matematicas-4-opcionb

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249� MATEMÁTICAS 4.° B ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
Números reales1
INTRODUCCIÓN
Los conceptos que se estudian en esta unidad ya han
sido tratados en cursos anteriores. A pesar de ello, 
es importante volverlos a repasar, pues los alumnos
suelen cometer errores al operar con este tipo 
de números.
RESUMEN DE LA UNIDAD
• Un número es el resultado de sumar los valores 
de posición de sus cifras.
• El máximo común divisor (m.c.d.) de dos números
es el mayor de sus divisores comunes.
• El mínimo común multiplo (m.c.m.) de dos números
es el menor de sus múltiplos comunes.
• Truncar las cifras decimales de un número hasta 
un orden determinado consiste en cambiar por ceros
las cifras que vienen a continuación de dicho orden.
• Redondear un número decimal es estimar 
si se suma o no una unidad a la cifra que ocupa 
la posición a la que se va a redondear el número.
1. Reconocer el valor de 
cada una de las cifras 
de un número.
2. Hallar el máximo común
divisor (m.c.d.) de dos
números.
3. Hallar el mínimo común
múltiplo (m.c.m.) 
de dos números.
4. Representar y operar 
con números enteros. 
5. Representar y operar
con números racionales. 
6. Expresar un número
decimal en forma 
de fracción. 
7. Aproximar un número
decimal.
8. Calcular el error que
cometemos al aproximar 
un número decimal.
• Valor de cada cifra en función
de la posición que ocupa.
• Expresión polinómica 
de un número. 
• Máximo común divisor (m.c.d.)
de dos números.
• Mínimo común múltiplo
(m.c.m.) de dos números.
• Representación de los números
enteros.
• Valor absoluto de un número
entero.
• Operaciones con números
enteros.
• Representación de los números
racionales.
• Operaciones con números
racionales.
• Transformación de un número
decimal en una fracción. 
• Aproximación por truncamiento
y redondeo.
• Error absoluto.
• Cota o margen de error.
• Error relativo.
• Identificación de la posición que ocupa
cada cifra en un número y su valor.
• Desarrollo de un número en forma
polinómica.
• Obtención de los divisores 
de dos números y selección del mayor
divisor común. 
• Obtención de los primeros múltiplos 
de dos números y selección del menor 
múltiplo común.
• Localización de números enteros 
sobre las divisiones de una recta.
• Obtención del valor absoluto 
de números enteros.
• Operaciones con números enteros. 
• Localización de números fraccionarios
entre números enteros (divisiones 
de una recta).
• Operaciones con fracciones.
• Transformaciones de números
decimales en fracciones.
• Truncamiento y redondeo 
de un número decimal hasta un orden.
• Obtención de los errores absoluto y
relativo al aproximar un número decimal.
• Determinación de la cota de error.
OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS
A
D
A
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C
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OBJETIVO 1
NOMBRE: CURSO: FECHA:
RECONOCER EL VALOR DE CADA UNA DE LAS CIFRAS DE UN NÚMERO1
En un número, el valor de cada cifra depende de la posición que ocupe.
Una cifra escrita a la izquierda de otra cifra representa unidades de un orden inmediato superior. 
EXPRESIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO
Un número es el resultado de sumar los valores de posición de cada una de sus cifras. 
Identifica las cifras y escribe en forma polinómica los siguientes números.
a) 83 8 decenas 3 unidades
83 = 8 ⋅ 10 + 3
b) 511,3 5 centenas 1 decenas
1 3 décimas
511,3 = 5 ⋅ 102 + 1 ⋅ 10 + 1 + 3 ⋅ 10−1
c) 2.305,74
2 unidades de millar 3 centenas 0 
5 7 4 centésimas
2.305,74 = 2 ⋅ 103 + + + 7 ⋅ + 4 ⋅ 10−2
d) 3.003.303,303
3 unidades de millón 3 unidades de millar 3 centenas 
3 unidades 3 décimas 3 milésimas
3.003.303,303 = 3 ⋅ 106 + 3 ⋅ + 3 ⋅ + 3 + 3 ⋅ 10−1 + 3 ⋅
FFF
FFF
FFF
FFF
FF
FF
FF
1
En el número 3.125.479,275:
3 representa las unidades de millón. 7 representa las decenas.
1 representa las centenas de millar. 9 representa las unidades.
2 representa las decenas de millar. 2 representa las décimas.
5 representa las unidades de millar. 7 representa las centésimas.
4 representa las centenas. 5 representa las milésimas.
EJEMPLO
3.025.079 = 3 ⋅ 106 + ... + 2 ⋅ 104 + 5 ⋅ 103 + ... + 7 ⋅ 10 + 9
35,012 = 3 ⋅ 10 + 5 + ... + 1 ⋅ 10−2 + 2 ⋅ 10−3
La cifra 0 no aporta valor al número, independientemente de la posición que ocupe. 
EJEMPLO
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R
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R
1
NOMBRE: CURSO: FECHA:
OBJETIVO 2
HALLAR EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR (m.c.d.) DE DOS NÚMEROS
El máximo común divisor de dos números es el mayor de sus divisores comunes. 
¿Cómo lo vamos a hallar?
Para hallar el máximo común divisor de dos números seguimos estos pasos.
1.o Descomponemos los dos números en sus factores primos.
2.o Multiplicamos los factores primos comunes de ambos, elevados al menor exponente.
Halla el máximo común divisor de estos números, descomponiendo en factores primos.
a) 21 y 105 c) 60 y 210
21 3 105 3 60 2 210 2
7 7 35 5
1 7 7
1
21 = 3 ⋅ 7 105 = 3 ⋅ ⋅ 60 = 22 ⋅ ⋅ 210 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7
m.c.d. (21, 105) = ⋅ = 21 m.c.d. (60, 210) = ⋅ ⋅ = 30
b) 33 y 44 d) 45 y 80
33 3 44 45 3 80
11 11 15
1 11
1 1
5 5
1
33 = 3 ⋅ 44 = 22 ⋅ 45 = 32 ⋅ 80 = 24 ⋅
m.c.d. (33, 44) = 11 m.c.d. (45, 80) = 5
1
Sean los números 12 y 42. Sus divisores son:
Div (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Div (42) = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}
Divisores comunes = {1, 2, 3, 6}
Luego el máximo común divisor de 12 y 42 es: m.c.d. (12, 42) = 6 
EJEMPLO
12 2 42 2 
6 2 21 3 
3 3 7 7
1 12 = 22 ⋅ 3 1 42 = 2 ⋅ 3 ⋅ 7 m.c.d. (12, 42) = 2 ⋅ 3 = 6 
EJEMPLO
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El mínimo común múltiplo de dos números es el menor de sus múltiplos comunes. 
¿Cómo lo vamos a hallar?
Para hallar el mínimo común múltiplo de dos números seguimos estos pasos.
1.º Descomponemos los dos números en factores primos.
2.º Multiplicamos los factores primos comunes y no comunes a ambos que estén elevados 
al mayor exponente. 
Halla el mínimo común múltiplo de estos números, descomponiendo en factores primos.
a) 21 y 105 c) 60 y 210
21 3 105 3 60 210
7 7 35 5 30 105
1 7 7 15 35
1 5 7
1 1
21 = ⋅ 105 = ⋅ ⋅ 60 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 210 = 22 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7
m.c.m. (21, 105) = ⋅ ⋅ = 105 m.c.m. (60, 210) = ⋅ ⋅ ⋅ = 420
b) 33 y 88 d) 45 y 80
33 3 88 2 45 3 80
11 11 44 15
1
11 1
1 5 5
1
33 = 3 ⋅ 88 = 23 ⋅ 45 = 32 ⋅ 80 = 24 ⋅
m.c.m. (33, 88) = ⋅ ⋅ = 264 m.c.m. (45, 80) = ⋅ ⋅ = 720
1
OBJETIVO 3
HALLAR EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.) DE DOS NÚMEROS1
NOMBRE: CURSO: FECHA:
Sean los números 12 y 42. Sus múltiplos son: Múltiplos de 12 = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 84, 96, ...}
Múltiplos de 42 = {0, 42, 84, 126, ...}
Luego el mínimo común múltiplo de 12 y 42 es: m.c.m. (12, 42) = 84
EJEMPLO
12 2 42 2 
6 2 21 3 
3 3 7 7
1 12 = 22 ⋅ 3 1 42 = 2 ⋅ 3 ⋅ 7 m.c.m. (12, 42) = 22 ⋅ 3 ⋅ 7 = 84
EJEMPLO
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LA
R
1
Representamos los números enteros positivos y negativos sobre una recta dividida en intervalos 
de la misma longitud.
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
Representa y ordena estos números enteros: −4, −5, 4, 5, −2, 2, −7 y 7.
Indica el signo < (menor que) o > (mayor que), según corresponda en cada caso.
a) −5 > −7 c) 5 7 e) −3 0
b) 0 9 d) −5 −1 f) 4 1
2
1
VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO
• El valor absoluto de un entero positivo es él mismo: ⏐3⏐ = 3, ⏐0⏐ = 0
• El valor absoluto de un entero negativo es su opuesto: ⏐−3⏐ = 3, ⏐−15⏐ = 15
Opera y halla el valor absoluto de los números enteros.
a) ⏐3 − 5⏐ = ⏐−2⏐ = 2
b) ⏐3 − 7 + 2 − 5⏐ = ⏐ ⏐ =
c) ⏐(−1) ⋅ (4 − 5)⏐ = ⏐(−1) ⋅ ( )⏐= ⏐ ⏐ =
d) ⏐(2 − 3) ⋅ (7 − 5)⏐ = ⏐(−1) ⋅ ( )⏐ = ⏐ ⏐ =
e) ⏐(−4) : (7 − 8)⏐ = ⏐(−4) : ( ⏐ = ⏐ ⏐ =
Efectúa las siguientes operaciones con números enteros.
a) [(−2)2 + 23] : (−2) = [ + ] : (−2) = : (−2) = −6
b) 3 ⋅ [1 − 4 + 2] − (−3) ⋅ [5 − (7 − 3)] = 3 ⋅ ( ) − (−3) ⋅ [5 − ] = + =
c) [(−2)2 ⋅ 62] : 32 = [4 ⋅ 36] : 9 = : 9 = 16
d) ⏐(−1) ⋅ 3 − 2 ⋅ (−3 + 5)⏐=⏐(−1) ⋅ 3 − 2 ⋅ 2⏐=⏐− − ⏐=⏐ ⏐= 7
e) ⏐[(−5 + 3) ⋅ 5] : (2 − 7)⏐=⏐[(−2) ⋅ 5] : (−5)⏐=⏐( ) : (−5)⏐= 2
4
3
NOMBRE: CURSO: FECHA:
OBJETIVO 4
REPRESENTAR Y OPERAR CON NÚMEROS ENTEROS
Representa y ordena, de menor a mayor, los siguientes números enteros: 7, −1, −3, 5, 0, 1, 5, −7 y 2.
Los representamos sobre la recta:
Su ordenación es inmediata: −7 < −3 < −1 < 0 < 1 < 2 < 5 < 7
EJEMPLO
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7
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OBJETIVO 5
NOMBRE: CURSO: FECHA:
REPRESENTAR Y OPERAR CON NÚMEROS RACIONALES1
Representamos los números racionales sobre una recta, en la que los números fraccionarios están 
comprendidos entre los números enteros.
Para ver cómo se representa un número fraccionario mostramos un ejemplo. Así, para representar 
el número seguimos estos pasos.
1.º Simplificamos la fracción hasta obtener su fracción irreducible: 
2.º Calculamos la parte entera y la parte decimal: 
3.º Tomamos sobre la recta el intervalo formado por los dos números enteros entre los que está 
comprendido el número, en este caso [4, 5], y lo dividimos en un número de partes igual 
que el denominador de la fracción, en este caso, en 5 partes.
Marcamos desde el número 4 tantas partes como indique el numerador, en este caso 3:
23
5
4
3
5
= +
138
30
69
15
23
5
= =
138
30
−4 −3 −2 −1 0 1 2
3/2 11/4−7/3
23/5
3 4
Representa los siguientes números fraccionarios.
a) 1.º Simplificamos: = = = = =
2.º Calculamos: = 0 +
3.º Señalamos sobre la recta el intervalo [0, 1]. 
Lo dividimos en 5 partes iguales. 
Marcamos 3 partes e indicamos la posición.
b) 1.º Simplificamos: = = = =
2.º Calculamos: = 2 +
3.º Señalamos sobre la recta el intervalo [2, 3]. 
Lo dividimos en 3 partes iguales. 
Marcamos 1 parte e indicamos la posición.
c) 1.º Simplificamos: = − = − = − =
2.º Calculamos: = 0 − 
3.º Señalamos sobre la recta el intervalo [0, −1], 
y representamos la fracción.
1
7
−
1
7
−
1
7
−
210
1 470.
−
210
1 470.
7
3
7
3
420
180
420
180
3
5
3
5
540
900
540
900
1
0 1 2 3 4 5
0 1
0 1 2 3
−1 0−1/7
7/3
3/5
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d) 1.º Simplificamos: = − = − = − =
2.º Calculamos: = 0 − 
3.º Señalamos sobre la recta el intervalo [0, −1] 
y representamos la fracción.
3
4
−
3
4
−
3
4
−
450
600
−
450
600
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D
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LA
R
1
−3/4
SUMA (O RESTA) DE NÚMEROS RACIONALES
Para sumar (o restar) fracciones con distinto denominador, las reducimos a común denominador 
y luego sumamos sus numeradores. 
Realiza las siguientes operaciones.
a) m.c.m. (2, 3) =
b) m.c.m. (3, 4) = 12
Efectuamos primero la suma del paréntesis:
c) m.c.m. (3, 5) = 15
Efectuamos primero la resta del paréntesis:
3
1
3
1
5
3
2
15
3
15
2
15
43
15
− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ = − =
⋅
− =�
1
3
1
5
1
15
1
15 15
2
15
− =
⋅
−
⋅
=
−
=� � � �
3
1
3
1
5
− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
5
2
1
2
3
1
4
5
2
1
11
12
− − +
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥ = − −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤⎤
⎦
⎥
⎥ = − =
⋅
− =
−
=
5
2
1
12
5
12
1
12 12
29
12
� � �
2
3
1
4
2
12
1
12 12
11
12
+ =
⋅
+
⋅
=
+
=� � � �
5
2
1
2
3
1
4
− − +
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
4
5
3
3
2
5
6
− − = − − =
− −
=
3
2
3
2
=
⋅
⋅
=�
�
�
�
5
3
5
3
=
⋅
⋅
=�
�
�
�
4
4
=
⋅�
�
4
5
3
3
2
− −
2
−1 0
Efectúa:
Hallamos el mínimo común múltiplo de los denominadores: m.c.m. (3, 5) = 15
3
5
2
17
3
9
15
30
15
85
15
9 30 85
15
64
15
− + = − + =
− +
=
17
3
17 5
3 5
85
15
=
⋅
⋅
=2
2 15
15
30
15
=
⋅
=
3
5
3 3
5 3
9
15
=
⋅
⋅
=
3
5
2
17
3
− +
EJEMPLO
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256 � MATEMÁTICAS 4.° B ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
1
PRODUCTO (O COCIENTE) DE NÚMEROS RACIONALES
• Para multiplicar dos fracciones, efectuamos el producto de los numeradores y lo dividimos entre 
el producto de los denominadores.
• Para dividir dos fracciones, multiplicamos la primera fracción por la inversa de la segunda. 
Efectúa las siguientes operaciones.
a)
b)
c)
d)
1
3
5
7
7
1
2
1
3
7
5
: :
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ = ⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ =
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
7
2
1
⎟⎟⎟⎟⎟ =
3
1
4
2
5
5
1
2
⋅ ⋅ −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥ −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥: ( ) : ==
⋅ −⎡
⎣
⎢
⎢⎢
⎤
⎦
⎥
⎥⎥
− ⋅
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥ =
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
�
�
( )
: ( )
2
5
2
1
⎟⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ =
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ =
⎛
:
⎝⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ =
3
100
1
3
4
5
3
7
7
3
⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
−
=
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
⋅
−
:
( )
(
�
� )) ( )
=
⋅
⋅ −
=� �
� 3
2
3
1
5
7
2
⋅
−
⋅ =
⋅ ⋅
⋅ ⋅
=
( ) ( )� � �
� � �
3
Haz estas operaciones.
a)
b)
c) 3
1
2
1
3
3
36
11
2 2
+
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ = + − =
+ −
=
33
36
5
1
3
5
1
27
134
27
5
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ = − =
−
=
3
2
1
5 200 200
3 2⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ = − =
−
=
−� � == 667
200
4
POTENCIA DE UNA FRACCIÓN
Para elevar una fracción a una potencia, se elevan el numerador y el denominador a dicha potencia. 
2
5
: 3 = = ⋅ =
⋅
⋅
=
2
5
3
1
2
5
1
3
2 1
5 3
2
15
:
1
3
:
5
7
= ⋅ =
⋅
⋅
=
1
3
7
5
1 7
3 5
7
15
1
3
5
7
⋅ = ⋅
⋅
=
1 5
3 7
5
21
EJEMPLO
− 3
5
3⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ =
−
=
−( )3
5
27
125
3
3
EJEMPLO
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257� MATEMÁTICAS 4.° B ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
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D
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N
 C
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R
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IC
U
LA
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1
OPERACIONES COMBINADAS CON NÚMEROS RACIONALES
La jerarquía de las operaciones es:
• Primero se hacen las operaciones de los paréntesis.
• Después, se calculan las potencias, si las hubiera.
• A continuación, se efectúan las multiplicaciones y divisiones.
• Por último, se resuelven las sumas y restas.
• Siempre se opera respetando el orden en que están escritas las operaciones, de izquierda a derecha. 
Efectúa las operaciones.
a)
b)
c)
d)
e) 2
1
5
3
1
2
4
2
3
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ ⋅ +
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
: ⎟⎟⎟⎟⎟ = ⋅ = ⋅ ⋅ =5 2 3 5 2
3 189
100
:
1
3
5
2
3
1
2
2
1
5
⋅ −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ + −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ − +
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ = + − =
+ −
= −
2 5 30
16
30
3
1
7
1
2
3
14
7
14
7
14 308
70
154
35
22
5
+
+
=
+
+
= ⋅ = = =
=
− +
= =
12
2
12
1
6
1
1
3
3
4
1
2
1
3
1
4
+
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ − +
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ + −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ =
+⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ −
+⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ +
−⎛
⎝
⎜⎜
3 4 12⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ = − + =
1
5
1
5
1
3 7 4⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
−
55
1
5
0
3 3⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ =
5
Hay dos bloques, con los que debemos operar por separado:
Operamos y simplificamos:
3
2
1
5
3
1
7
1
2
17
10
47
+
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ − +
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ =: : 114
17 14
10 47
238
470
119
235
=
⋅
⋅
= =
3
1
7
1
2
3 7 2
7 2
1 2
7 2
1 7
2 7
42
14
2
14
7
14
− + =
⋅ ⋅
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
= − + ==
− +
=
42 2 7
14
47
14
3
2
1
5
3 5
2 5
1 2
5 2
15
10
2
10
17
10
+ =
⋅
⋅
+
⋅
⋅
= + =
3
2
1
5
3
1
7
1
2
+
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ − +
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟:
EJEMPLO
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258 � MATEMÁTICAS 4.° B ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
OBJETIVO 6
NOMBRE: CURSO: FECHA:
EXPRESAR UN NÚMERODECIMAL EN FORMA DE FRACCIÓN Y VICEVERSA1
Para expresar un número fraccionario en forma decimal y viceversa se divide el numerador 
entre el denominador. 
Para pasar un número en forma decimal a fracción y viceversa, operamos de manera diferente 
en cada uno de los tres casos anteriores. 
Obtén la fracción generatriz de los siguientes números.
a) 0,87 = d) 2,45
)
b) 0,3
)
= e) 0,015
)
c) 3,1527
)
f) − 235,75 
g) 6,2
)
=
−
== = =
= − = − = −=
−
=
31 527 315
9 900
.
.
= = =
1
66
=
1
3
= = =
27
11
87
100
1
a) = 2,45 → decimal exacto c) = 1,31818... = 1,318
)
→ decimal periódico mixto
b) = 7,8181... = 7,81
)
→ decimal periódico puro
86
11
87
66
49
20
EJEMPLO
a) Decimal exacto:
2,4625 = =
b) Decimal periódico puro: 
3,45
)
=
c) Decimal periódico mixto:
3,217
)
=
3 217 321
900
2 896
900
1 448
450
724
225
. . .−
= = =
345 3
99
342
99
114
33
38
11
−
= = =
4 925
2 000
985
400
197
80
.
.
= =
24 625
10 000
.
.
EJEMPLO
F
F
F
F
Se resta la parte entera
Se ponen tantos 9 como cifras
tenga la parte periódica Cifras de la parte entera 
y la parte decimal no periódica
Se ponen tantos 9 como cifras tenga la parte periódica 
y tantos 0 como cifras tenga la parte anteperiódica
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259� MATEMÁTICAS 4.° B ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
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1
OBJETIVO 7
APROXIMAR UN NÚMERO DECIMAL
Para truncar las cifras decimales de un número hasta un orden determinado eliminamos las cifras 
que vienen a continuación de dicho orden.
Para redondear un número decimal hasta un orden determinado vemos si la cifra del siguiente orden 
es menor que 5 o mayor o igual que 5 y, en función de eso, dejamos la cifra anterior como está 
o la incrementamos en una unidad.
Trunca los números decimales a la cifra de las décimas, centésimas y milésimas.
a) 0,2765 b) 12,34 c) 8,7521 d) 361,4938
0,2
0,27
0,276
1
Redondea los números decimales a las décimas, centésimas y milésimas.
a) 0,2765 b) 12,3453 c) 8,7521 d) 361,4932
0,3
0,28
0,277
2
Efectúa las operaciones con números decimales, y redondea el resultado a las centésimas.
a) (1,367 + 4,875) ⋅ 2 = ⋅ 2 = = 12,48
b) (3,642 − 2,485) − (9,675 + 1,476) = − = = −9,99
c) = − = 46,959 = 46,96
d) = − = = 1,39
e) = 0,349 = 0,35
35 732 20 189
63 562 18 987
, ,
, ,
−
−
=
37 22−
43 764
2 15
3 831
74 772
13 57
5 6
,
,
,
,
,
,⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ − ⋅ 33
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
3
5,751 redondeado a las décimas es 5,8.
0,837 redondeado a las centésimas es 0,84.
12,3146 redondeado a las milésimas es 12,315.
EJEMPLO
5,751 truncado a las décimas es 5,7.
0,837 truncado a las centésimas es 0,83.
12,3146 truncado a las milésimas es 12,314.
EJEMPLO
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260 � MATEMÁTICAS 4.° B ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
OBJETIVO 8
NOMBRE: CURSO: FECHA:
CALCULAR EL ERROR QUE COMETEMOS AL APROXIMAR UN NÚMERO DECIMAL1
El error absoluto que cometemos al aproximar un número decimal es igual al valor absoluto de la diferencia 
entre el número dado y el número aproximado. Se representa por Ea.
Calcula el error que cometemos al aproximar los siguientes números decimales a las milésimas.
a) 35,3277
Por truncamiento queda 35,327. Por redondeo queda 35,328.
Ea = ⏐35,3277 − ⏐ = 0,0007 Ea = ⏐ − 35,3277⏐ = 0,0003
b) 107,8912
Por truncamiento queda: Por redondeo queda: 
Ea = ⏐107,8912 − ⏐ = 0,0002 Ea = ⏐107,8912 − ⏐ = 0,0002
1
Halla una cota de error al aproximar a las milésimas.
1,732 < < 1,733 1,733 − 1,732 =3
32
El máximo error absoluto que cometemos al hacer una aproximación se llama cota o margen de error.
Sea el número 3,5765. ¿Qué error absoluto se comete al aproximarlo a las centésimas?
Podemos aproximar el número de dos maneras: truncándolo o redondeándolo.
Si lo truncamos a las centésimas, el número es 3,57, y el error absoluto sería:
Ea = ⏐3,5765 − 3,57⏐ = 0,0065
Si lo redondeamos a las centésimas, el número es 3,58, y el error absoluto sería:
Ea = ⏐3,5765 − 3,58⏐ = 0,0035
Como el error cometido al redondear es menor, esta forma de aproximación es mejor que el truncamiento.
EJEMPLO
Al hallar con la calculadora el valor de , obtenemos:
= 1,7320508
Pero esta es una aproximación por redondeo que hace la calculadora a 7 cifras decimales,
por lo que no es el valor exacto de .
Como no podemos hallar el error absoluto, al no conocer el valor exacto, vamos a calcular una cota 
del error absoluto cometido. Si aproximamos, por ejemplo, a las centésimas:
1,73 < < 1,74
El error que cometemos será menor o, como máximo, igual que la diferencia entre 1,73 y 1,74, 
es decir: 1,74 − 1,73 = 0,01.
Así, resulta que 0,01 es una cota del error cometido al aproximar a las centésimas.3
3
3
3
3
EJEMPLO
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261� MATEMÁTICAS 4.° B ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
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1
Obtén la cota de error al aproximar los números a las décimas y a las centésimas.3
a) = 0,42857…
Para la aproximación a las décimas:
0,4 < <
luego la cota de error será:
0,5 − 0,4 =
Para la aproximación a las centésimas:
0,42 < <
luego la cota de error será:
0,43 − 0,42 =
b) = 0,272727
Para la aproximación a las décimas:
0,2 < <
luego la cota de error será:
0,3 − 0,2 =
Para la aproximación a las centésimas:
0,27 < <
luego la cota de error será:
0,28 − 0,27 =
3
11
3
11
3
11
3
11
3
7
3
7
3
7
3
7
c) 2,35
)
2,35
)
= 2,35555…
Para la aproximación a las décimas:
2,3 < 2,35
)
<
luego la cota de error será:
− = 0,1
Para la aproximación a las centésimas:
2,35 < 2,35
)
<
luego la cota de error será:
2,36 − 2,35 = 0,01
d) = 2,64575
Para la aproximación a las décimas:
2,6 < <
luego la cota de error será:
− = 0,1
Para la aproximación a las centésimas:
2,64 < <
luego la cota de error será:
2,65 − 2,64 = 0,01
7
7
77
El error relativo que cometemos al aproximar un número decimal es el cociente entre su error absoluto 
y el valor exacto de dicho número. Se representa por Er.
Sea el número 3,5765. ¿Qué error relativo se comete al aproximarlo por truncamiento 
a las centésimas? ¿Y a las milésimas?
Si lo truncamos a las centésimas, el número es 3,57, y el error absoluto Ea sería: 
Ea = ⏐3,5765 − 3,57⏐ = 0,0065
El error relativo, en este caso, es: Er = = 0,001817
Si lo truncamos a las milésimas, el número es 3,576, y el error absoluto Ea sería:
Ea = ⏐3,5765 − 3,576⏐ = 0,0005
El error relativo, en este caso, es: Er = = 0,000139
Otra forma de expresar el error relativo es mediante el tanto por ciento:
Para las centésimas: Er = 0,001817 = 0,18 % Para las milésimas: Er = 0,000139 = 0,01 %
Observa que, en ambos casos, hemos redondeado el error, para expresar el tanto por ciento (%) con dos
cifras decimales.
0 0005
3 5765
,
,
0 0065
3 5765
,
,
EJEMPLO
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262 � MATEMÁTICAS 4.° B ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
1
Halla el error relativo que cometemos al aproximar por truncamiento a las centésimas.4
Al medir varias veces con una cinta métrica, graduada en centímetros, 
la altura de un compañero de clase, hemos obtenido los siguientes valores.
Calcula la media de estas medidas y el error relativo cometido.
El valor medio de estas medidas será:
altura media =
El error absoluto cometido en cada una de las medidas lo obtenemos restando la media 
de cada medida y obteniendo su valor absoluto:
La media de los errores absolutos será:
= 1,28 = 1,3
La altura del compañero es: 174,4 ± 1,3 cm, y el error relativo cometido es:
= 0,00745 = 0,75 %
1 3
174 4
,
,
2 6
10
12 8
10
, ,+ + + + + + + + +
=
177
10
1 744
10
174 4
+ + + + + + + + +
= =
.
, cm
5
a) = 0,71428
El error absoluto será:
Ea = ⏐0,71428 − 0,71⏐ =
El error relativo será:
Er = = 0,005992 = 0,60 %
b) = 0,77777
El error absoluto será:Ea = ⏐0,77777 − 0,77⏐ =
El error relativo será:
Er = = 0,00999 = 1 %
0 00777
0 77777
,
,
7
9
7
9
0 00428
0 71428
,
,
5
7
5
7
c) 3,875
)
3,875
)
= 3,87555…
El error absoluto será:
Ea = ⏐3,87555 − 3,87⏐ = 0,00555
El error relativo será:
Er = = 0,001432 = %
d) = 2,64575
El error absoluto será:
Ea = ⏐2,64575 − 2,64⏐ = 0,00575
El error relativo será:
Er = = 0,00217 = %
0 00575
2 64575
,
,
77
0 00555
3 87555
,
,
MEDIDAS 177 173 175 174 177 174 174 173 175 172
MEDIDAS
ERROR
ABSOLUTO
177 173 175 174 177 174 174 173 175 172
⏐177 − 174,4⏐ = 2,6 ⏐173 − 174,4⏐ = 1,4 0,6 0,4 2,6 0,4 0,4 1,4 0,6 2,4
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Potencias y radicales2
INTRODUCCIÓN
Los alumnos ya han trabajado con potencias 
de exponente positivo y han efectuado multiplicaciones
y divisiones de potencias y potencias de potencias.
En esta unidad se introducen las potencias 
de exponentes negativos y fraccionarios. Es importante
insistir en que cumplen las mismas propiedades 
que las potencias de exponente positivo.
La notación científica sirve para expresar números 
muy grandes o muy pequeños, y será tratada 
en esta unidad. Los alumnos aprenderán 
a realizar las cuatro operaciones fundamentales 
con números expresados en esta forma.
Por último, se trabajará con radicales expresados 
en forma de potencia.
RESUMEN DE LA UNIDAD
• Un número a, llamado base, elevado a un
exponente n es igual al resultado de multiplicar 
a por sí mismo n veces: an.
• an ⋅ am = an+m an : am = an−m
(an)m = an⋅m a−n =
• Un número en notación científica es un número
entero o decimal, con una sola cifra entera (del 1 
al 9), multiplicado por una potencia de base 10.
• Orden de magnitud de un número expresado en
notación científica es el exponente de la potencia 
de base 10.
a an n= 1/1
an
263� MATEMÁTICAS 4.° B ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
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1. Operar con potencias:
multiplicación, división 
y potencia de potencia.
2. Expresar un número 
en notación científica.
3. Realizar operaciones 
en notación científica.
4. Operar con radicales.
• Potencias: base y exponente.
• Multiplicación de potencias 
de la misma base.
• División de potencias 
de la misma base.
• Potencia de una potencia.
• Potencias de exponente
negativo.
• Notación científica.
• Sumas y restas de números 
con el mismo exponente 
en la potencia de 10.
• Sumas y restas de números 
con diferentes exponentes 
en la potencia de 10.
• Productos y cocientes 
de números con iguales 
o diferentes exponentes 
en la potencia de 10.
• Transformación de radicales 
en potencias.
• Multiplicación y división 
de radicales.
• Racionalización 
de denominadores. 
• Expresión del producto de varios
factores iguales como potencia.
• Producto y división de potencias 
de la misma base.
• Potencia de una potencia.
• Utilización de las reglas de las
operaciones combinadas con potencias.
• Operaciones con potencias 
de exponente negativo.
• Transformación de un número 
en forma decimal en producto de una
parte decimal por la correspondiente
potencia de 10.
• Sumas y restas de números, sacando
como factor común 10 elevado 
al exponente común.
• Sumas y restas de números, sacando
como factor común 10 elevado al
menor de los exponentes no comunes.
• Multiplicaciones y divisiones 
de números, sumando o restando 
los exponentes de 10.
• Expresión de números expresados 
en forma de raíces en potencias.
• Operaciones con radicales.
• Multiplicación por el conjugado 
del denominador.
OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS
829566 _ 0249-0308.qxd 27/6/08 09:21 Página 263
264 � MATEMÁTICAS 4.° B ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
OBJETIVO 1
NOMBRE: CURSO: FECHA:
OPERAR CON POTENCIAS: MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN Y POTENCIA DE POTENCIA2
POTENCIA
Un número a, llamado base, elevado a un exponente n es igual al resultado de multiplicar a por sí mismo 
n veces: 
= an Se lee: «a elevado a n».
n: exponente, indica cuántas veces se multiplica la base por ella misma.
an
a: base
a a a a a a⋅ ⋅ ⋅ ⋅ …
� ��������� ���������
MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS
• Como las potencias son multiplicaciones, se va a trabajar con ellas cuando 
multiplicamos o dividimos:
34 ⋅ 33 = = 37
52 ⋅ 54 = = 5 6 ← exponente
• Las potencias han de tener la misma base para unificar el exponente. 
32 ⋅ 54 = 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 (no se puede poner con el mismo exponente)
• La fórmula general para multiplicar potencias de la misma base es: 
a n ⋅ a m = a n+m
5 5 5 5 5 5⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
� � ����� �����
3 3 3 3 3 3 3⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
� ����� ����� � ���� ����
F
F
Completa.
a) 29 ⋅ 29 ⋅ 29 ⋅ 29 ⋅ 29 = « »
b) 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = « »
c) = 135 « »
d) = «Siete elevado a cuatro»
1
Realiza las siguientes operaciones. 
a) 102 ⋅ 105 = d) 32 ⋅ 36 = g) 113 ⋅ 113 =
b) 74 ⋅ 72 = 7 e) 33 ⋅ 33 ⋅ 35 = h) 195 ⋅ 197 =
c) 113 ⋅ 112 ⋅ 11 = f) ⋅ 35 = 37 i) 22 ⋅ = 25
2
6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 63
Se lee: «seis elevado a tres».
EJEMPLO
n veces
829566 _ 0249-0308.qxd 27/6/08 09:21 Página 264
265� MATEMÁTICAS 4.° B ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
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2
DIVISIÓN DE POTENCIAS
• Para dividir potencias con igual base, se deja la base y se restan los exponentes: a n : a m = a n−m.
• La división entre potencias de distinta base no se puede realizar, y debe quedar indicada.
• A veces se combinan las operaciones de multiplicación y división. En estos casos, se realizan 
las distintas operaciones, paso a paso:
• Hay que tener en cuenta que solo se puede operar cuando se unifiquen las bases de las potencias:
7 7 5
7 7
7 5
7
7 5
2 3 2
2
5 2
3
2 2⋅ ⋅
⋅
=
⋅
= ⋅
5 5
5 5
5
5
5
6 3
2 3
9
5
4⋅
⋅
= =
3 3 3
3
3
3
3
2 5
6
8
6
2⋅ ⋅ = =
Opera con las siguientes potencias.
a) 56 : 54 = = 5 ⋅ 5 =
b) 37 : 34 = = = ⋅ ⋅ =
c) 115 : 113 = d) 136 : 132 = e) 72 : 73 =
3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
5
5
6
4
=
3
Realiza estas divisiones.
a) 35 : 34 = c) 46 : = 43 e) 57 : = 52
b) : 72 = 75 d) 127 : 124 = f) 612 : 65 =
4
Completa las siguientes operaciones.
a) = =
b) (115 ⋅ 112 ⋅ 113) : (114 ⋅ 11) =
c) (105 : 102) ⋅ 105 = ⋅ =
=
2
2
( ) : ( )2 2 2 25 4 3 2⋅ ⋅
� ���� ����
� ���� ����
5
■
■F
F
75 : 72 =
7
7
7 7 7 7 7
7 7
7 7 7 7
5
2
3=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅
= ⋅ ⋅ =
EJEMPLO
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2
POTENCIA DE UNA POTENCIA
Si elevamos una potencia a otra potencia, el resultado es otra potencia con la misma base y cuyo exponente
es el producto de los exponentes: 
(a n) p = a n ⋅ p
Hay también operaciones combinadas que presentan las tres operaciones estudiadas hasta el momento.
Multiplicación División Potencia de una potencia
(a n)m = a n ⋅ma m : a n = a m−na n ⋅ a m = a n+m
Completa las siguientes operaciones.
a) (73)4 = 7 e) (42) = 48
b) (33) = 315 f) (25)2 = 2
c) (62) = 612 g) (53)4 = 5
d) (93) = 915 h) (102)3 = 10
6
Realiza estas operaciones.
a) (35 : 32)3 = = ( )3 =
b) (57 : 53) ⋅ (56 : 52) =
c) (103)4 : (102 ⋅ 103) =
d) (42)3 ⋅ (45)2 =
e) (65 : 62) ⋅ (63)4 =
⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
3
7
(72)3 = (7 ⋅ 7)3 = (7 ⋅ 7) ⋅ (7 ⋅ 7) ⋅ (7 ⋅ 7) = 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 = 76
(54)2 = (5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5)2 = (5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5) ⋅ (5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5) = 58
EJEMPLO
(25 ⋅ 24) : (22)3 = = 23
2 2
2
2
2
5 4
2 3
9
6
⋅
=
( )
EJEMPLO
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2
POTENCIA DE EXPONENTE NEGATIVO
• Al efectuar una división de potencias, el resultado puede ser una potencia de exponente negativo: 
73 : 75 = = 7−2
• Si hay exponentes negativos, podemos transformarlos en una fracción: 
3−4 =
• En general, las potencias de exponente negativo se definen: a−n =
• Las potencias de exponente negativo cumplen las propiedadesque ya conocemos 
para las potencias de exponente natural.
1
an
1
3
1
3 3 3 3
1
814
=
⋅ ⋅ ⋅
=
1
an
7
7
7 7 7
7 7 7 7 7
1
7 7
1
7
3
5 2
=
⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
⋅
=
Expresa en forma de potencia de la base indicada en cada caso.9
Opera con potencias de exponentes negativos.
a) 52 ⋅ 3−2 = 52 ⋅
b) 52 ⋅ 5−7 ⋅ 53 = 52 ⋅ =
c) 63 ⋅ 2−4 = 63 ⋅ =
d) 43 ⋅ 2−3 ⋅ 8 = 43 ⋅ ⋅ 8 = (2 ⋅ 2)3 ⋅ ⋅ 23 = =
1
2 3
1 2 33
3 3
= ⋅ ⋅ =
⋅
( )
1
5
5 53
2 3
⋅ =
⋅
1
3
5
3
252
= =
8
F
4 = 2 ⋅ 2
F
F
8 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 23
F
OPERACIÓN BASE RESULTADO
9−7 ⋅ 911
46 : 8−3
(259)−3
(16−5 : 43)−2
(49−3)4 : 7−6
3
2
5
2
7
F
6 = 2 ⋅ 3
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Para expresar un número en notación científica, lo escribimos con una sola cifra, distinta de cero, 
como parte entera y las otras cifras decimales, multiplicado por una potencia de 10 
con exponente igual a:
• el número de cifras que hemos pasado a la parte decimal, o
• menos el número de posiciones que hemos saltado para conseguir que la primera cifra sea entera.
Expresa en notación científica los siguientes números.
a) 2.000.000 = 2,000000 ⋅ 106 = 2 ⋅ 106
b) 4.000 = e) 10 =
c) 100 = f) 80.000 =
d) 700 = g) 5.000.000 = 5 ⋅
Expresa en notación científica estos números con parte entera y parte decimal.
a) 990,85 = 9,9085 ⋅ 102
b) 340 = 3,4 ⋅ f) 340,05 = 3,4005 ⋅
c) 655,1 = 6,551 ⋅ g) 37,986 = 3,7986 ⋅
d) 567.765,22 = h) 4,4 =
e) 15,35 = i) 3,45 =
Expresa los números decimales en notación científica.
a) 0,0567 = 5,67 ⋅ 10−2
b) 0,000045 = 4,5 ⋅ f) 0,0073 =
c) 0,0000061 = g) 0,000101 =
d) 0,093 = h) 0,0007 =
e) 0,367 = 3,67 ⋅ i) 0,4765 =
3
2
1
OBJETIVO 2
NOMBRE: CURSO: FECHA:
EXPRESAR UN NÚMERO EN NOTACIÓN CIENTÍFICA2
5.438 = 5,438 ⋅ 103 3 cifras hemos tenido que pasar a decimales.
34,7 = 3,47 ⋅ 101 1 cifra hemos tenido que pasar a decimal.
800 = 8 ⋅ 102 2 cifras hemos tenido que pasar a decimales.
0,00748 = 7,48 ⋅ 10−3 3 saltos hemos tenido que dar para conseguir que la primera cifra: 7, 
esté en la parte entera.
0,356 = 3,56 ⋅ 10−1 1 salto hemos tenido que dar para conseguir que la primera cifra: 3, 
esté en la parte entera.
0,0691 = 6,91 ⋅ 10−2 2 saltos hemos tenido que dar para conseguir que la primera cifra: 6, 
esté en la parte entera.
EJEMPLO
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Para efectuar operaciones con números expresados en notación científica, hay que seguir unas sencillas
reglas, que vamos a ver con ejemplos y para hacerlo después con calculadora, es importante aprender 
a calcular primero sin ella, pues funciona según las mismas reglas.
Haz las siguientes sumas y restas en notación científica.
a) 6 ⋅ 103 − 5 ⋅ 103 + 7 ⋅ 103 = ( − + ) ⋅ 103 = 8 ⋅ 103
b) [101,17 ⋅ 102 − 5,87 ⋅ 102] ⋅ 3 = [( − ) ⋅ 102] ⋅ 3 = [ ⋅ 102] ⋅ 3 = 2,859 ⋅ 104
c) (33,3 ⋅ 10 + 2,5 ⋅ 10 − 6,7 ⋅ 10) ⋅ = [( + − ) ⋅ 10] ⋅ =
= [ ⋅ 10] ⋅ = 8,31 ⋅ 10
2
7
2
7
2
7
1
Haz las siguientes sumas y restas en notación científica.
a) 2,71 ⋅ 103 − 1,9 ⋅ 102 + 5,43 ⋅ 104 = 2,71 ⋅ 10 ⋅ 102 − 1,9 ⋅ 102 + 5,43 ⋅ 102 ⋅ 102 =
= ⋅ 102 − ⋅ 102 + ⋅ 102 = ( − + ) = 568,2 ⋅ 102
b) 3,76 ⋅ 104 − 5,78 ⋅ 103 = 3,76 ⋅ 10 ⋅ 103 − 5,78 ⋅ 103 = ⋅ 103 − ⋅ 103 =
= ( − ) ⋅ = 31,82 ⋅ 103
c) 5,25 ⋅ 104 + 60,4 ⋅ 103 = ⋅ 10 ⋅ 103 + ⋅ 103 = 5,854 ⋅ 105
2
NOMBRE: CURSO: FECHA:
OBJETIVO 3
REALIZAR OPERACIONES EN NOTACIÓN CIENTÍFICA
1.er caso: cuando las potencias de 10 están elevadas al mismo exponente, un número entero positivo 
o negativo.
Efectúa la suma 13,42 ⋅ 105 + 4 ⋅ 105.
En este caso, las dos potencias de 10 están elevadas al mismo exponente: 5, de forma que podemos sacar
factor común. El resultado se da en notación científica.
13,42 ⋅ 105 + 4 ⋅ 105 = (13,42 + 4) ⋅ 105 = 17,42 ⋅ 105 = 1,742 ⋅ 106
EJEMPLO
2.º caso: cuando las potencias de 10 están elevadas a distintos exponentes enteros positivos.
Efectúa la resta 6,74 ⋅ 105 −2,85 ⋅ 103.
Observa que, en este caso, las dos potencias de 10 están elevadas a números distintos: 5 y 3, 
de manera que no podemos sacar factor común directamente. Hay que expresar 
los dos números en función de la potencia de menor valor, en este caso 3. 
2,85 ⋅ 103
6,74 ⋅ 105 = 6,74 ⋅ 102 ⋅ 103 = 674 ⋅ 103
6,74 ⋅ 105 − 2,85 ⋅ 103 = 674 ⋅ 103 − 2,85 ⋅ 103 = (674 − 2,85) ⋅ 103 = 671,15 ⋅ 103
Una vez efectuada la operación, convertimos el resultado en notación científica:
671,15 ⋅ 103 = 6,7115 ⋅ 105
EJEMPLO
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2
Haz estas sumas y restas en notación científica.
a) 2,32 ⋅ 10−3 − 3,76 ⋅ 10−4
Como 10−4 = 10−1 ⋅ 10−3, resulta que:
2,32 ⋅ 10−3 − 3,76 ⋅ 10−4 = 2,32 ⋅ 10−3 − 3,76 ⋅ 10−1 ⋅ 10−3 = (2,32 − 0,376) ⋅ 10−3 = 1,944 ⋅ 10−3
b) 7,9 ⋅ 10−6 + 5,5 ⋅ 10−5 = ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =
= ( + ) ⋅ 10−5 = 6,29 ⋅ 10−5
c) 3 ⋅ 10−6 − 2 ⋅ 10−3 + 4 ⋅ 10−4 − 8 ⋅ 10−5 = 3 ⋅ 10−3 ⋅ 10−3 − 2 ⋅ 10−3 + 4 ⋅ 10−1 ⋅ 10−3 − 8 ⋅ 10−2 ⋅ 10−3 =
= ( − 2 + − ) ⋅ 10−3 = −1,677 ⋅ 10−3
3
Realiza los productos y cocientes en notación científica.
a) (5 ⋅ 104) ⋅ (12 ⋅ 107) = (5 ⋅ 12) ⋅ 104+7 = 60 ⋅ 1011
b) (34,4 ⋅ 10−5) ⋅ (6,1 ⋅ 104 ) = ( ⋅ ) ⋅ 10 = 209,84 ⋅ 10−1
c) (60 ⋅ 105) : (3 ⋅ 106) = (60 : 3) ⋅ 10 = 20 ⋅ 10−1
Efectúa las operaciones combinadas en notación científica.
a) [(3 ⋅ 105 + 7 ⋅ 105) : (5 ⋅ 103)] − [(2 ⋅ 10−4 − 5 ⋅ 10−4) ⋅ 104] = (2 ⋅ 10 ) − (−3 ⋅ 100) =
= 200 + 3 = 203 = 2,03 ⋅ 102
b) (6 ⋅ 10−3) : (8 ⋅ 10−3 − 3 ⋅ 10−3 − 2 ⋅ 10−3 ) = (6 ⋅ 10−3) : [( − − ) ⋅ 10−3] =
= (6 ⋅ 10−3) : ( ⋅ 10−3) = 2 ⋅ 100 = 2
5
4
3.er caso: cuando las potencias de 10 están elevadas a distintos exponentes, con números enteros negativos.
Efectúa la suma 2,5 ⋅ 10−5 + 9,6 ⋅ 10−4.
En este caso, las dos potencias de 10 están elevadas a distintos números enteros negativos: −5 y −4, 
por lo que para sacar factor común elegimos el mayor de ellos, −4, y procedemos así:
2,5 ⋅ 10−5 = 2,5 ⋅ 10−1 ⋅ 10−4
9,6 ⋅ 10−4
2,5 ⋅ 10−5 + 9,6 ⋅ 10−4 = 2,5 ⋅ 10−1 ⋅ 10−4 + 9,6 ⋅ 10−4 = 0,25 ⋅ 10−4 + 9,6 ⋅ 10−4 =
= (0,25 + 9,6) ⋅ 10−4 = 9,85 ⋅ 10−4
EJEMPLO
Efectúa el producto (6,2 ⋅ 105) ⋅ (4 ⋅ 103).
Multiplicamos los números: 6,2 ⋅ 4 = 24,8, y por otro lado, multiplicamos las potencias: 
105 ⋅ 103 = 108
(6,2 ⋅ 105) ⋅ (4 ⋅ 103) = 24,8 ⋅ 108 = 2,48 ⋅ 109
Efectúa la división (6,2 ⋅ 105) : (4 ⋅ 103).
Dividimos los números: 6,2 : 4 = 1,55, y por otro lado, dividimos las potencias: 105 : 103 = 102
(6,2 ⋅ 105) : (4 ⋅ 103) = 1,55 ⋅ 102
EJEMPLO
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2
NOMBRE: CURSO: FECHA:
OBJETIVO 4
OPERAR CON RADICALES
La raíz n-ésima de un número se puede poner en forma de potencia:
= a1/n
se llama radical, a es el radicando y n es el índice de la raíz.
Es más fácil operar con potencias que con raíces, por lo que transformamos las raíces en potencias. 
an
an
Escribe los radicales en forma de potencias.
a) = 3/5 b) = 8 c) =53
1
8
1
85 5 2
=
/
735
1
MULTIPLICACIÓN (O DIVISIÓN) DE RADICALES
Para multiplicar o dividir radicales con el mismo radicando, los convertimos primero en potencias. 
Calcula los siguientes productos de radicales.
a) = 73/5 ⋅ 73/2 = 73/5+3/2 = 7( + )/ = 721/10 =
b) + 6 = 6 ⋅ 6 = 6 + = 69/7 =
c) = 3 ⋅ 3 = 3 + = 319/10 =
d) = 23/4 ⋅ 22/3 ⋅ 21/2 = 2 = 2 = 223/12 =
Halla estos cocientes de radicales.
a) = 21/2 : 21/3 = 21/2−1/3 = 2(3−2)/6 = 21/6 =
b)
c)
d) = (3 ⋅ 3 ) : 3 = 3 : 3 = 38/3 = 383( ) :3 3 373 43 2⋅
5 57 34: =
8 853 23: =
262 23:
3
223122 2 234 23⋅ ⋅
319103 33 25⋅
697627
721107 735 3⋅
2
= 51/2 = 32/73275
EJEMPLO
= 21/3 ⋅ 21/5 = 21/3+1/5 = 2(5+3)/15 = 28/15 =
= 35/7 : 31/3 = 35/7−1/3 = 3(15−7)/21 = 38/21 = 38213 357 3:
28152 23 5⋅
EJEMPLO
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2
RACIONALIZAR DENOMINADORES
Racionalizar un denominador es el proceso mediante el que hacemos desaparecer el radical 
del denominador de la fracción.
Este proceso consiste en multiplicar el numerador y el denominador por un número que haga 
que en el denominador se elimine la raíz. 
Racionaliza los denominadores de las fracciones.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
2
1 3−
=
3
2 5
15
10
=
⋅
⋅
=
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
2
2+
−
=
+ ⋅
− ⋅
= = − +
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
−
−
= −
⋅ +
− ⋅ +
= − = −
+1
5 3
1 5 3
5 3 5 3
5 3
2
( )
( ) ( )
5
2 3
5 2 3
2 3 2 3
10 5 3
+
=
⋅ −
+ ⋅ −
= = −
( )
( ) ( )
1
223
=
1
3
=
4
En este caso, utilizamos la propiedad de que una suma por una diferencia de dos números es igual 
a una diferencia de cuadrados:
(3 − ) ⋅ (3 + ) = 32 − ( )2 = 9 − 2 = 7222
1 3 2
3 2 3 2
3 2
7
=
⋅ +
− ⋅ +
=
+( )
( ) ( )
1
3 2−
1
325
=
⋅
⋅
=
1 3
3 3
3
3
35
25 35
35
1
2
=
⋅
⋅
=
1 2
2 2
2
2
EJEMPLO
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Polinomios y fracciones
algebraicas
3
INTRODUCCIÓN
Son múltiples los contextos en los que aparecen los
polinomios: fórmulas económicas, químicas, físicas…,
de ahí la importancia de comprender el concepto de
polinomio y otros conceptos asociados a él.
Después de comprender y practicar cada uno de estos
conceptos, se estudiará cómo operar con polinomios.
Las dificultades pueden surgir en la multiplicación 
(en la colocación correcta de los términos) y en la
división (en la determinación de cada término del
cociente y en la resta de los productos obtenidos).
Conviene seguir los ejemplos resueltos, dejar claro 
el proceso seguido y hacer hincapié en la necesidad
de colocar correctamente cada término para operar
sin cometer errores.
Asimismo, es importante que los alumnos aprendan 
a deducir por sí mismos el desarrollo de las fórmulas
de las igualdades notables.
RESUMEN DE LA UNIDAD
• Un polinomio es una suma de monomios.
• Un polinomio reducido no tiene monomios
semejantes. Su grado es el grado del término 
de mayor grado.
• El valor numérico de un polinomio, para x = a, se
obtiene sustituyendo la variable x por a y operando.
• Sumamos dos polinomios sumando los términos
semejantes de ambos.
• Restamos dos polinomios sumando al primer
polinomio el opuesto del segundo.
• Multiplicamos dos polinomios multiplicando cada
uno de los monomios de uno por todos los
monomios del otro.
• División de polinomios: P(x) = Q(x) ⋅ C(x) + R(x)
• Igualdades notables.
1. Reconocer el grado, 
los términos 
y los coeficientes 
de un polinomio.
2. Determinar el valor
numérico 
de un polinomio.
3. Realizar operaciones 
con polinomios: sumas 
y restas.
4. Realizar operaciones 
con polinomios:
multiplicación.
5. Realizar operaciones 
con polinomios: división.
6. Identificar y desarrollar
igualdades notables.
• Grado, término independiente 
y coeficientes de un polinomio.
• Polinomio ordenado.
• Polinomio reducido.
• Polinomio completo.
• Valor numérico 
de un polinomio.
• Suma y resta de polinomios.
• Multiplicación de polinomios.
• División de polinomios.
• Cuadrado de una suma.
• Cuadrado de una diferencia.
• Producto de una suma 
por una diferencia.
• Identificación del grado, el término
independiente y los coeficientes 
de un polinomio.
• Reducción de polinomios.
• Ordenación de los términos 
de un polinomio.
• Distinción de polinomios completos 
e incompletos.
• Cálculo del valor numérico 
de un polinomio.
• Suma y resta de polinomios.
• Multiplicación de polinomios: aplicación
de la propiedad distributiva.
• División de polinomios.
• Comprobación de las divisiones.
• Identificación y desarrollo 
de las igualdades notables.
OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS
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274 � MATEMÁTICAS 4.° B ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
OBJETIVO 1
NOMBRE: CURSO: FECHA:
RECONOCER EL GRADO Y LOS ELEMENTOS QUE FORMAN UN POLINOMIO3
• Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma algebraica de monomios, 
que son los términos del polinomio.
• Un polinomio es reducido cuando no tiene monomios semejantes.
• El grado de un polinomio reducido es el grado del término de mayor grado.
• Un polinomio es completo cuando tiene términos de todos los grados inferiores al grado del polinomio.
Reduce los siguientes polinomios. 
a) P(x) = 4 − 3x2 + x − x2 + 1
b) P(x) = x4 − 4 − 3x2 + x − x2 +1 − 3x4 − 3x
1
Dado el polinomio P(x) = 5x2 − 3x + 2x + 1 − 3:
a) Obtén el polinomio reducido.
b) Determina el grado del polinomio.
c) ¿Cuántos términos tiene? ¿Cuál es su término independiente?
d) ¿Es un polinomio completo? Si es incompleto, di qué término falta.
a) Para reducir un polinomio lo primero que hay que hacer es operar: 
P(x) = 5x2 − 3x + 2x + 1 − 3 = P(x) = 5x2 − x − 2 Polinomio reducido
b) El grado del polinomio es grado 2: P(x) = 5x2 − x − 2.
c) El polinomio tiene tres términos y −2 es el término independiente.
P(x) = 5x2 − x − −2 es el término independiente.
Tiene tres términos.
d) P(x) = 5x2 − x − 2 es un polinomio completo.
grado: 2 1 0
2
EJEMPLO
��
F
F
F
F
¿Es Q(x) = 7x3 + 2x2 + 3 un polinomio completo o incompleto?
Q(x) = 7x3 + 2x2 + 3 es un polinomio incompleto, pues falta el término de grado 1.
grado: 3 2 0
EJEMPLO
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275� MATEMÁTICAS 4.° B ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
A
D
A
P
TA
C
IÓ
N
 C
U
R
R
IC
U
LA
R
3
Dado el polinomio Q(x) = 2x5 + x 2 − x, indica:
a) Si el polinomio es ordenado. 
b) Si el polinomio está reducido.
c) Si el polinomio es completo.
d) Su grado.
e) Su término independiente.
5
Reduce el polinomio y ordénalo, de mayor a menor grado.
P(x) = 3x5 − 2x4 + 3x + 4x4 − 3x + 2x 2 + 5
P(x) =
Tiene términos.
El término independiente es 
El grado del polinomio es 
¿Cómo es el polinomio, completo o incompleto? 
2
F
F
F
F
Reduce el polinomio y ordénalo, de mayor a menor grado.
P(x) = 3x3 − 2x2 + 3 + 5 − 7x + 3x 2 − 2x3
P(x) =
Tiene términos.
El término independiente es 
El grado del polinomio es 
¿Cómo es el polinomio, completo o incompleto? 
3
Señala si los siguientes polinomios son completos o incompletos. Completa la tabla.4
POLINOMIO COMPLETO INCOMPLETO FALTAN LOS TÉRMINOS
P(x) = −4x2 + 5x − 2
Q(x) = 2x3 + 40
R(x) = −10x2 − 20x + 40
S(x) = 40
T(x) = x3 + x2 + 1
F
F
F
F
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276 � MATEMÁTICAS 4.° B ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
3
El valor numérico de un polinomio P(x), para un valor de la variable x = a, se obtiene sustituyendo 
la variable x por a y operando.
Calcula el valor numérico de los polinomios para x = 1.
a) P(x) = x + 1
x = 1 P( ) = + 1
b) P(x) = x2 + 1
c) P(x) = x3 + 1
d) P(x) = x4 + 1
1
Halla el valor numérico de cada polinomio para el valor de la variable indicado.
a) A(x) = x + 1, para x = 1 c) C(x) = −9x4 + 7x2 + 5, para x = 1
b) B(x) = 4x5 – 6x2 + 3, para x = −1 d) D(x) = x3 + x2 + x + 2, para x = −2
2
En un polinomio, por ejemplo P(x) = 2x 2 + 1, se puede introducir cualquier valor a sustituyendo a x:
Para x = 2: P(2) = 2 ⋅22 + 1
P(2) = 2 ⋅4 + 1
P(2) = 8 + 1
P(2) = 9 El valor del polinomio cuando introducimos el valor 2 es 9.
Para x = 10: P(10) = 2 ⋅102 + 1
P(10) = 2 ⋅100 + 1
P(10) = 200 + 1
P(10) = 201 El valor del polinomio cuando introducimos el valor 10 es 201.
EJEMPLO
OBJETIVO 2
NOMBRE: CURSO: FECHA:
DETERMINAR EL VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO
829566 _ 0249-0308.qxd 27/6/08 09:21 Página 276
Suma los siguientes polinomios: P(x) = 3x3 − 2x2 + 5x − 3 y Q(x) = 4x2 − 3x + 2
Se puede realizar de dos maneras:
• En línea: solo se suman los términos semejantes.
P(x) + Q(x) = 3x3− + − + − + = 3x3 + 2x2 + 2x − 1
P(x) + Q(x) = 3x3 + 2x2 + 2x − 1
• En columna: hay que ordenar los polinomios.
P(x) = 3x3 − 2x2 + 5x − 3
+ Q(x) = 4x2 − 3x + 2
P(x) + Q(x) = 3x3 + 2x 2+ 2x− 1
23x4x235x2x2
EJEMPLO
Resta los siguientes polinomios: P(x) = 3x3 − 5x 2 + 5 y Q(x) = 5x 2 − 2x + 7
Se puede realizar de dos maneras:
• En línea: el signo negativo delante del paréntesis afecta a todos los términos.
P(x) − Q(x) = 3x3 − + − ( − 2x + ) = 3x3 − 10x2 + 2x − 2
P(x) −Q(x) = 3x3 − 10x 2 + 2x − 2
• En columna: hay que ordenar los polinomios como se indica
P(x) = 3x3 − 5x2 + 2x + 5
− Q(x) = 3x3 − (5x2 − 2x + 7)
P(x) − Q(x) = 3x3− 10x2 + 2x − 2
75x255x2
EJEMPLO
277� MATEMÁTICAS 4.° B ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
A
D
A
P
TA
C
IÓ
N
 C
U
R
R
IC
U
LA
R
3
• La suma de dos polinomios se calcula sumando los términos semejantes de ambos.
• La resta de dos polinomios se obtiene sumando el primero con el polinomio opuesto del segundo.
• Recuerda que la regla básica de las sumas y restas de polinomios es que solo se pueden sumar
y restar términos semejantes.
Dados los polinomios P(x) = x 3 − 2x + 1 y Q (x) = x 2 − 3x + 2, halla P(x) + Q(x) y P(x) −Q(x),
resolviendo las operaciones de las maneras estudiadas: en línea y en columna.
1
NOMBRE: CURSO: FECHA:
OBJETIVO 3
REALIZAR OPERACIONES CON POLINOMIOS: SUMAS Y RESTAS
829566 _ 0249-0308.qxd 27/6/08 09:21 Página 277
278 � MATEMÁTICAS 4.° B ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
3
Calcula la suma y resta de estos polinomios.
a) P(x) = 3x + 2x2 − x − 4 Q(x) = x3 − x2 − 9x + 3
P(x) = P(x) =
+ Q(x) = − Q(x) =
P(x) + Q(x) = P(x) − Q(x) =
b) P(x) = x7 − 8x4 + 3 Q(x) = x5 + 3x3 − 6
P(x) = P(x) =
+ Q(x) = − Q(x) =
P(x) + Q(x) = P(x) − Q(x) =
c) P(x) = 10x4 + x2 + 1 Q(x) = x5 +7x2 − x
P(x) = P(x) =
+ Q(x) = − Q(x) =
P(x) + Q(x) = P(x) − Q(x) =
d) P(x) = −x4 − x3 − 2 Q(x) = −3x4 − 2x3 − x − 5
P(x) = P(x) =
+ Q(x) = − Q(x) =
P(x) + Q(x) = P(x) − Q(x) =
e) P(x) = −3x3 − 2x2 − 2 Q(x) = 6x4 − x3 − 3x + 7
P(x) = P(x) =
+ Q(x) = − Q(x) =
P(x) + Q(x) = P(x) − Q(x) =
2
829566 _ 0249-0308.qxd 27/6/08 09:21 Página 278
Multiplica los siguientes polinomios: P(x) = 7x3 + 2x 2 + x − 7 y Q(x) = x 2 + 3
Vamos a resolver el ejercicio multiplicando en línea:
P(x) ⋅ Q(x) = (7x3 + 2x2 + x − 7) ⋅ (x 2 + 3) =
= + + −
= 7x5 + 21x3 + 2x4 + 6x2 + x3 + 3x − 7x2 − 21
= 7x5 + 2x4 + 22x3 − x2 + 3x − 21
P(x) ⋅ Q(x) = 7x5 + 2x4 + 22x3 − x 2 + 3x − 21
7 ⋅ x2 + 7 ⋅ 3x ⋅ x2 + x ⋅ 32x2 ⋅ x2 + 2x2 ⋅ 37x3 ⋅ x2 + 7x3 ⋅ 3
279� MATEMÁTICAS 4.° B ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
A
D
A
P
TA
C
IÓ
N
 C
U
R
R
IC
U
LA
R
3
• El producto de dos polinomios se halla multiplicando cada uno de los monomios de uno de ellos 
por todos los monomios del otro y sumando (o restando) los polinomios obtenidos 
en esas multiplicaciones.
• Para multiplicar dos polinomios es necesario aplicar la propiedad distributiva.
Se multiplican todos 
los monomios de un polinomio
por todos los monomios
del otro polinomio.
Solo se suman términos semejantes.
F
F
F
F F
Multiplica los siguientes polinomios.
a) P(x) = 5x2 − 7x + 3 y Q(x) = 2x2 + 1 
P(x) ⋅ Q(x) = (5x2 − 7x + 3) ⋅ (2x2 + 1) Multiplica los monomios.
= − − = − + =
= Suma los términos.
P(x) ⋅ Q(x) =
b) P(x) = x3 − 1 y Q(x) = 5x2 − x + 2 
1
F
F
F
NOMBRE: CURSO: FECHA:
OBJETIVO 4
REALIZAR OPERACIONES CON POLINOMIOS: MULTIPLICACIÓN
EJEMPLO
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280 � MATEMÁTICAS 4.° B ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
3
Multiplica los siguientes polinomios: P (x) = 5x 2 − 3x + 4 y Q(x) = 3x + 2
P(x) = 5x2 − 3x + 4 
� Q(x) = 3x + 2
+
P(x) ⋅ Q(x) =
2
Calcula el producto de los polinomios R(x) = x 3 − 1 y S(x) = x + 3,
utilizando la propiedad distributiva.
3
Halla el producto de los siguientes polinomios.
a) R(x) = x3 − 1 y S(x) = x
b) R(x) = x4 − x + 1 y S(x) = x2 + 1
4
Producto de 2 por 5x2, 3x, 4.
Producto de 3x por 5x2, 3x, 4.
Suma de monomios semejantes.
F
F
F
Multiplica los siguientes polinomios: P (x) = 7x 3 + 2x2 + x − 7 y Q(x) = x 2 + 3
Vamos a resolver el ejercicio multiplicando en columna:
P(x) = 7x3 + 2x2 + x − 7
� Q(x) = x2 + 3
21x3 + 6x2 + 3x − 21
+
7x5 + 2x 4 + 21x3 − 7x2 + 3x − 21
P(x) ⋅ Q(x) = 7x5 + 2x 4 + 22x3 − x 2 + 3x − 21
EJEMPLO
Producto de 3 por 7x3, 2 x2, x, 7.
Producto de x2 por 7x3, 2 x2, x, 7.
Suma de monomios semejantes.
F
F
F
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281� MATEMÁTICAS 4.° B ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
A
D
A
P
TA
C
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N
 C
U
R
R
IC
U
LA
R
3
NOMBRE: CURSO: FECHA:
OBJETIVO 5
REALIZAR OPERACIONES CON POLINOMIOS: DIVISIÓN
• Para dividir dos polinomios, P(x) y Q(x), hay que tener en cuenta que el grado 
del polinomio P(x) debe ser mayor o igual que el grado del polinomio Q(x).
• Dados dos polinomios P(x) y Q(x), existen otros dos polinomios C(x) y R(x) que cumplen que:
P(x) = Q(x) ⋅ C(x) + R(x)
P(x) es el polinomio dividendo.
Q(x) es el polinomio divisor.
C(x) es el polinomio cociente.
R(x) es el polinomio resto.
• Si el resto de la división es nulo, es decir, si R(x) = 0:
La división es exacta.
El polinomio P(x) es divisible por Q(x).
• En caso contrario, se dice que la división es entera.
Divide los siguientes polinomios: P(x) = 5x 3 + 3x2 + 5x − 7 y Q(x) = x 2 + 5
Polinomio dividendo: P(x) = 5x3 + 3x2 + 5x − 7
Polinomio divisor: Q(x) = x2 + 5
Polinomio cociente: C(x) = 5x + 3
Polinomio resto: R(x) = −20x – 22
En este caso, la división es entera, ya que el resto obtenido es distinto de cero.
EJEMPLO
5x3 + 3x2 + 5x − 7 x2 + 5
Hay que elegir un monomio que multiplicado
por x2 nos dé 5x3:
⋅ x2 = 5x3. En este caso, = 5x.F
−5x3 + 3x2 + 25x − 7 x2 + 5
−5x3
5x + 3
−5x3 + 3x2 − 25x
−5x3 + 3x2 − 20x − 72
Multiplicamos 5x por cada uno de los términos 
del polinomio cociente (x2, 5), cambiamos de signo 
los resultados y los colocamos en su columna correspondiente. 
A continuación, hacemos la suma.
Hay que buscar un monomio que multiplicado
por x2 nos dé 3x2, en este caso 3.
FFF
F
−5x3 + 3x2 + 25x − 27 x2 + 5
−5x3
5x + 3
−5x3 + 3x2 − 25x
−5x3 + 3x2 − 20x − 272
−5x3 −3x2 − 20x − 152
−5x3 + 3x2 − 20x − 22
Multiplicamos 3 por cada uno de los términos 
del polinomio cociente (x2, 5), cambiamos de signo 
los resultados y los colocamos en su columna correspondiente. 
A continuación, hacemos la suma.
Hay que buscar un monomio que multiplicado por 
x2 nos dé 20x, pero no existe ninguno. Por tanto,
la división finaliza.
F
F
FF
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282 � MATEMÁTICAS 4.° B ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
3
Calcula las divisiones de polinomios, y señala si son exactas o enteras.
a) P(x) = x − 1, Q(x) = x c) P(x) = x2 − 1, Q(x) = x + 1
b) P(x) = x2 − 5x + 6, Q(x) = x − 2 d) P(x) = x3 − 3x2 + 2x, Q(x) = x
1
Efectúa estas divisiones y comprueba que P(x) = Q(x) ⋅ C(x) + R(x).
a) P(x) = x3 − 1, Q(x) = x c) P(x) = x3 − 1, Q(x) = x2 − 2
b) P(x) = x3 − 1, Q(x) = x + 1 d) P(x) = x3 + 1, Q(x) = x3
2
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283� MATEMÁTICAS 4.° B ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
A
D
A
P
TA
C
IÓ
N
 C
U
R
R
IC
U
LA
R
3
Desarrolla las siguientes igualdades.
a) (x + 2y)2 = (x + 2y) ⋅ (x + 2y) =
b) (3x3 + 3)2 =
c) (2x + 3y)2 =
1
Desarrolla las igualdades.
a) (6x − 4y)2 = (6x − 4y) ⋅ (6x − 4y) =
b) (5x4 − 2)2 =
c) (4x3 − a2)2 =
2
CUADRADO DE UNA SUMA
• El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero 
por el segundo, más el cuadrado del segundo:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
• Vemos que esto se puede hacer como una multiplicación normal:
(a + b)2 = (a + b) ⋅ (a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2
F F
F FF �
CUADRADO DE UNA DIFERENCIA
• El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primer término, menos el doble productodel primero por el segundo, más el cuadrado del segundo:
(a − b)2 = a 2 − 2ab + b 2
• Vemos que esto se puede hacer como una multiplicación normal:
(a − b)2 = (a − b) ⋅ (a − b) = a2 − ab − ab + b2 = a2 − 2ab + b2
NOMBRE: CURSO: FECHA:
OBJETIVO 6
IDENTIFICAR Y DESARROLLAR IGUALDADES NOTABLES
(x + 3)2 = (x + 3) ⋅ (x + 3) = x2 + 3x + 3x + 9 = x2 + 6x + 9
(4x + y) = (4x + y) ⋅ (4x + y) = 16x2 + 4xy + 4xy + y2 = 16x2 + 8xy + y2
EJEMPLO
(2y − 3)2 = (2y − 3) ⋅ (2y − 3) = 4y2 − 6y − 6y + 9 = 4y2 − 12y + 9
(x 2 − 2) = (x 2 − 2) ⋅ (x 2 − 2) = x4 − 2x2 − 2x2 + 4 = x4 − 4x2 + 4
EJEMPLO
F F
F FF �
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284 � MATEMÁTICAS 4.° B ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
3
Desarrolla los siguientes productos.
a) (7x + x4) ⋅ (7x − x4) =
b) (y + x2) ⋅ (y − x2) =
c) (x + x3) ⋅ (x – x 3) =
d) (a4 – b ) ⋅ (a4 + b) =
3
Desarrolla los productos.
a) (x + 5)2 =
b) (2y − 7)2 =
c) (3xy + 2yz) ⋅ (3xy − 2yz) =
d) (abc + 1)2 =
e) (7 − 3x)2 =
f) (9v + 2z) ⋅ (9v – 2z) =
g) (3xy + x3)2 =
4
Desarrolla.
a) (4x + 2)2 − (5x + 1) ⋅ (2x − 3) =
b) (x + 3)2 − (x − 2)2 =
5
PRODUCTO DE UNA SUMA POR UNA DIFERENCIA
• El producto de una suma por una diferencia es igual al cuadrado del primero menos el cuadrado 
del segundo:
(a + b) ⋅ (a − b) = a 2 − b 2
• Vemos que esto se puede hacer como una multiplicación normal:
(a + b) ⋅ (a − b) = a 2 − ab + ab + b2 = a2 − b2
F F
FF
(3x + 2) ⋅ (3x − 2) = 9x2 − 6x + 6x − 4 = 9x2 − 4
(5x − 3y) ⋅ (5x + 3y) = 25x2 + 15xy − 15xy − 9y2 = 25x2 − 9y2
EJEMPLO
829566 _ 0249-0308.qxd 27/6/08 09:21 Página 284
285� MATEMÁTICAS 4.° B ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
A
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A
P
TA
C
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N
 C
U
R
R
IC
U
LA
R
Ecuaciones e inecuaciones4
INTRODUCCIÓN
Comenzamos esta unidad diferenciando entre
identidades y ecuaciones, y definiendo los conceptos
asociados a cualquier ecuación: miembros, términos,
coeficientes, grado, solución..., que son necesarios
para desarrollar y trabajar el resto de la unidad.
Para resolver ecuaciones de primer grado aprendemos
a transponer términos, resolviendo ecuaciones 
de primer grado con paréntesis y denominadores.
Para resolver ecuaciones de segundo grado, 
los alumnos han de aprender a identificarlas 
y distinguir entre las ecuaciones completas 
e incompletas, ya que las ecuaciones incompletas 
son más fáciles de resolver, sin necesidad de aplicar 
la fórmula general.
Es importante que los alumnos asimilen el método
general de resolución de problemas mediante
ecuaciones, aplicando todas las fases y respetando 
la fase de la comprobación de la solución, que 
los alumnos suelen obviar, para comprobar 
que el resultado obtenido es coherente.
RESUMEN DE LA UNIDAD
• Una ecuación es una igualdad algebraica que solo
es cierta para algunos valores.
• La incógnita de una ecuación es la letra de valor
desconocido.
• El grado de una ecuación es el mayor exponente 
al que está elevada la incógnita.
• La solución o las soluciones de una ecuación son 
los valores de la incógnita que hacen que se cumpla
la igualdad.
• Para resolver ecuaciones se transponen términos 
y se tienen en cuenta las reglas de la suma y 
del producto.
• Una ecuación de primer grado es una expresión 
del tipo: ax = b. Su solución es x = .
• Una ecuación de segundo grado es una expresión
del tipo: ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son
números reales y a � 0. Sus soluciones son:
x
b b ac
a
=
− ± −2 4
2
b
a
1. Ecuaciones. Grado 
de una ecuación.
Soluciones.
2. Resolver ecuaciones 
de primer grado.
Transposición 
de términos.
3. Resolver ecuaciones 
de primer grado 
con paréntesis 
y denominadores.
4. Ecuaciones 
de segundo grado.
5. Resolver problemas 
con ecuaciones 
de primer y segundo
grado.
• La ecuación como igualdad.
• Elementos de una ecuación:
incógnitas, coeficientes,
miembros, términos y grado.
• Transposición de términos.
• Resolución de ecuaciones.
• Eliminación de paréntesis.
• Eliminación de denominadores.
• Resolución de ecuaciones
de primer grado
• Resolución de ecuaciones 
de segundo grado incompletas.
• Resolución de ecuaciones 
de segundo grado completas.
• Planteamiento y resolución 
de problemas mediante
ecuaciones de primer 
y segundo grado.
• Identificación del grado 
de una ecuación.
• Cálculo por tanteo de la solución 
de una ecuación.
• Resolución de ecuaciones de
primer grado por transposición 
de términos.
• Resolución de ecuaciones de primer
grado con paréntesis y denominadores.
• Comprobación de la solución 
de una ecuación.
• Identificación de una ecuación 
de segundo grado.
• Resolución de ecuaciones de segundo
grado incompletas y completas.
• Planteamiento y resolución de
problemas mediante ecuaciones 
de primer y segundo grado.
OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS
829566 _ 0249-0308.qxd 27/6/08 09:21 Página 285
Elementos de una ecuación
5x − 3(x + 1) = 4x −1 Términos: 5x, 3(x + 1), 4x y −1 Incógnita: x
1.er miembro 2.o miembro Coeficientes: 5, −3, 4 y −1
EJEMPLO
Grado de una ecuación
a) La ecuación 3x − 5 = 0 es una ecuación de primer grado.
b) La ecuación x4 − 13x2 + 36 = 0 es una ecuación de cuarto grado.
EJEMPLO
286 � MATEMÁTICAS 4.° B ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
OBJETIVO 1
NOMBRE: CURSO: FECHA:
ECUACIONES. GRADO DE UNA ECUACIÓN. SOLUCIONES4
En Matemáticas, para representar cualquier enunciado o problema, lo hacemos mediante expresiones
algebraicas u operaciones en las que aparecen letras y números.
• Una identidad es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, que se cumple o es cierta 
para cualquier valor de las letras contenidas en ambas expresiones. Por ejemplo:
3 − x = 6 + x2 − (3 + x + x2) es una igualdad, que se cumple para cualquier valor de x.
• Una ecuación es una identidad algebraica que se cumple o es cierta solo 
para algunos valores de las letras. Por ejemplo:
x 2 + x = 2 es una ecuación, que solo se cumple cuando x vale 1 o −2.
La incógnita de una ecuación es la letra con valor desconocido.
El grado de una ecuación es el mayor exponente con el que aparece la incógnita en la ecuación, 
una vez realizadas todas las operaciones.
La parte izquierda de la igualdad se llama primer miembro, y la parte derecha es el segundo miembro.
Cada miembro está formado por uno o más sumandos que se llaman términos.
La solución o las soluciones de una ecuación son los valores de la incógnita que hacen que la igualdad 
se cumpla.
� �
Indica el grado de las siguientes ecuaciones.
a) x3 + 2x2 = 13x − 10 c) 3(x2 + 2) − 4(x2 − 1) + (x 2 + x − 5) = 0
b) (7 − 2x) + (5 + 3x) = 0 d) 3(x2 − 1) − 2(x + 6 − x2) = 0
Calcula, por tanteo, las soluciones de las ecuaciones.
(Ten en cuenta que una ecuación tendrá tantas soluciones como sea su grado.)
a) 2x − 18 = 0 c) x2 + 3x − 10 = 0 e) 14 = 5 − 3x
b) x3 − 2x2 − x + 2 = 0 d) x2 − 9 = 0 f) (1 + x) + (1 − 2x) = 0
2
1
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NOMBRE: CURSO: FECHA:
OBJETIVO 2
RESOLVER ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Resolver una ecuación es hallar el valor de la incógnita que cumple la ecuación.
Para resolver una ecuación de primer grado, transponemos términos, lo que consiste en pasar 
a un miembro (normalmente, al izquierdo) todos los términos con x, y al otro miembro (el derecho), todos 
los números o términos independientes (términos sin x).
Se deberán tener en cuenta las siguientes reglas.
• Regla de la suma: un término que está sumando en un miembro de la ecuación pasa al otro
miembro restando, y si está restando pasa sumando.
• Regla del producto: un término que está multiplicando en un miembro de la ecuación pasa al otro
miembro dividiendo, y si está dividiendo pasa multiplicando.
Resuelve por transposición las siguientes ecuaciones de primer grado.
a) 7x − 1 = 9 − 3x d) 75 − 37x + 25 − 12x = 318 + x − 10 + 2x
b) 5 − 3x = 1 − x + 9 − 3x e) 4x − 18+ x − 7 = 25 − 5x
c) x − 10 = 3x − 7 + 8x − 13 f) 5x − 30 + 35 − 10x = 45x − 20 + 65 − 10x
1
Resuelve esta ecuación de primer grado por transposición: 5x −3 = 3x + 11
• Sumamos 3 en los dos miembros: 
5x − 3 + 3 = 3x + 11 + 3 → 5x = 3x + 14
• Para eliminar el término con x del segundo miembro, restamos 3x en ambos miembros:
5x − 3x = 3x + 14 − 3x → 2x = 14
• Para despejar la incógnita x, dividimos ambos miembros de la ecuación entre 2:
→ x = 7
2
2
14
2
x
=
EJEMPLO
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4
ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON PARÉNTESIS
Para resolver una ecuación de primer grado que contiene paréntesis, en primer lugar hay que quitarlos,
poniendo atención en los cambios de signo cuando haya un signo negativo delante del paréntesis.
Resuelve las ecuaciones de primer grado, comprobando la solución.
a) (3 − x) + 2(x − 1) = (x − 5) + 2x d) 7x − (5 − x) = 4 − (x + 3)
b) (7 − 6x) − 5(x + 2) = 3(x + 2) − 2x e) 2(x − 5) − 3(1 − x) = 17
c) 2(5 − x) = 19 − 3(x + 5) f) 6(12x − 81) = 80x + 2
1
OBJETIVO 3
NOMBRE: CURSO: FECHA:
ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON PARÉNTESIS Y DENOMINADORES
Resuelve la siguiente ecuación de primer grado: (2 + x) − 5(x − 1) = 3(x + 1) + (x − 4)
• Quitamos los paréntesis: 2 + x − 5x + 5 = 3x + 3 + x − 4
• Reducimos términos semejantes: −4x + 7 = 4x − 1
• Transponemos términos: −4x − 4x = −1 − 7 → −8x = −8
• Despejamos la x : x = = 1
• Comprobamos la solución: (2 + x) − 5(x − 1) = 3(x + 1) + (x − 4)
(2 + 1) − 5(1 − 1) = 3(1 + 1) + (1 − 4)
3 − 0 = 3 ⋅ 2 − 3 → 3 = 6 − 3 = 3 → 3 = 3
La solución es correcta, porque el resultado final de las operaciones es el mismo número en ambos
miembros de la ecuación.
−
−
8
8
EJEMPLO
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ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DENOMINADORES
Para eliminar los denominadores, hay que calcular su mínimo común múltiplo (m.c.m.) y multiplicar 
los dos miembros de la ecuación por dicho valor.
Resuelve las siguientes ecuaciones, comprobando las soluciones.
a)
b)
c)
x x x x
3
1
2
5
3
2
2
6
+ =
+
−
−
+
x x x x−
+
+
= −
+1
5
2
3 2
4
30
3 1
5
2 1
3
x x−
=
+
2
Resuelve la siguiente ecuación de primer grado:
• Calculamos el m.c.m. (2, 3) = 6
• Multiplicamos los dos miembros de la ecuación por 6:
2(x − 5) − 12 = 3(x + 1) + 6
• Quitamos los paréntesis: 2x − 10 − 12 = 3x + 3 + 6
• Reducimos términos semejantes: 2x − 22 = 3x + 9
• Transponemos términos: 2x − 3x = 9 + 22 → −x = 31 → x = −31
• Comprobamos la solución:
+ 1 → −12 − 2 = −15 + 1 → −14 = −14
−
− =
−36
3
2
30
2
x x−
− =
+
+
− −
− =
− +
+
5
3
2
1
2
1
31 5
3
2
31 1
2
1→
6 5
3
6 2
6 1
2
6 1
( ) ( )x x−
− ⋅ =
+
+ ⋅
x x− − = + +5
3
2
1
2
1
EJEMPLO
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4
Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado con paréntesis y denominadores, 
y comprueba el resultado.
a)
b)
c)
d)
3 1
2
2 1
2
3
2
5
3
x x x−
+ −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ =
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ +
2 1
3
1
2
1
2
1
6 4
x
x
x x+
− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ =
−
−
x x x+
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ − −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ = − +
⎛
⎝
1
5
2
1
2
1
5
7
2
1⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
2
1
2
3
3
2
2
1
2
x x x−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ + −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ = +
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ − −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟x
3
2
3
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NOMBRE: CURSO: FECHA:
OBJETIVO 4
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una ecuación que se expresa de la forma:
ax2 + bx + c = 0
donde a, b y c son números reales y a � 0. Si los coeficientes b y c son distintos de cero, la ecuación 
se llama completa; en caso contrario, es incompleta.
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETAS
• Ecuaciones del tipo ax2 + c = 0 → ax2 = −c → x =
Dependiendo del valor que tenga c, la ecuación tendrá una, dos o ninguna solución.
• Ecuaciones del tipo ax2 + bx = 0 → x (ax + b) = 0
x = 0
ax + b = 0 → x =
±
−c
a
Halla, si es posible, las soluciones de las ecuaciones y comprueba el resultado.
a) 4x2 − 64 = 0
b) 4x2 + 64 = 0
c) 4x2 = 0
1
F
F
La ecuación 3x2 − 4x + 1 = 0 es una ecuación de segundo grado completa, ya que a = 3, b = −4 
y c = 1.
La ecuación 3x2 + 1 = 0 es una ecuación de segundo grado incompleta, pues a = 3, b = 0 y c = 1.
La ecuación 3x2 = 0 es una ecuación de segundo grado incompleta, porque a = 3, b = 0 y c = 0.
EJEMPLO
• La ecuación 2x2 − 16 = 0 es incompleta, del tipo ax2 + c = 0, en la que a = 2 y c = −16.
Operando con ella, tenemos que: 2x2 = 16 → x2 = 8 → x = ±
Luego tiene dos soluciones: x1 = y x2 = −
Comprobamos que son soluciones de la ecuación:
Si x = → 2 ⋅ ( )2 = 2 ⋅ 8 = 16 Si x = − → 2 ⋅ (− )2 = 2 ⋅ 8 = 16
• La ecuación 5x2 = 0 es incompleta, del tipo ax2 + c = 0, en la que a = 5 y c = 0.
Tiene una única solución, x = 0.
• La ecuación 2x2 + 16 = 0 es incompleta, del tipo ax2 + c = 0, en la que a = 2 y c = 16.
Operando con ella, tenemos que: 2x2 = −16 → x2 = −8 → x = ±
Como no existe , la ecuación no tiene solución.−8
−8
8888
88
8
EJEMPLO
−b
a
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PRIMER CASO. En la ecuación x2 − 8x + 15 = 0, los coeficientes son a = 1, b = −8 y c = 15.
Como b2 − 4ac = (−8)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 15 = 64 − 60 = 4, tenemos que:
Comprobamos las soluciones:
– Para x1 = 5: x 2 − 8x + 15 = 52 − 8 ⋅ 5 + 15 = 25 − 40 + 15 = 0
– Para x2 = 3: x 2 − 8x + 15 = 32 − 8 ⋅ 3 + 15 = 9 − 24 + 15 = 0
SEGUNDO CASO. En la ecuación x2 − 10x + 25 = 0, los coeficientes son a = 1, b = −10 y c = 25.
Como b2 − 4ac = (−10)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 25 = 100 − 100 = 0, tenemos que:
Comprobamos la solución: x 2 − 10x + 25 = 52 − 10 ⋅ 5 + 25 = 25 − 50 + 25 = 0
TERCER CASO. En la ecuación x2 + 3x + 12 = 0, los coeficientes son a = 1, b = 3 y c = 12.
Como b2 − 4ac = 32 − 4 ⋅ 1 ⋅ 12 = 9 − 48 = −39, y no existe , la ecuación 
no tiene solución.
−39
x
b b ac
a
=
− ± −
=
−− ±
⋅
= =
2 4
2
10 0
2 1
10
2
5
( )
x1 = 5
x2 = 3
x
b b ac
a
=
− ± −
=
−− ±
⋅
=
±
=
2 4
2
8 4
2 1
8 2
2
( )
EJEMPLO
292 � MATEMÁTICAS 4.° B ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
4
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO COMPLETAS
La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado completa es:
Según sea el valor del discriminante se pueden dar tres casos:
• PRIMER CASO. Si b2 − 4ac > 0, existirán dos soluciones: x1 = + y x2 = −
• SEGUNDO CASO. Si b2 − 4ac = 0, hay una única solución, x = .
• TERCER CASO. Si b2 − 4ac < 0, la raíz no es un número real y la ecuación 
no tiene solución.
b ac2 4−
−b
a2
b ac2 4−b ac2 4−
x
b b ac
a
=
− ± −2 4
2
Resuelve las ecuaciones de segundo grado y comprueba las soluciones.
a) x2 + 5x + 6 = 0
b) x2 −12x + 36 = 0
c) x2 − 3x + 2 = 0
2
F
F
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Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones.
a) (x − 1)(x + 6) − 4(3x − 4) = 0
b) x(x − 1) + 6(x + 1) = 0
c) (x + 5)(x − 1) − 2(x + 1) + (x + 11) = 0
d) (x + 3)(x − 5) + 2(x − 17) = 0
3
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294 � MATEMÁTICAS 4.° B ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
4
Calcula tres números consecutivos cuya suma vale 24.
(Con los números x, x + 1 y x + 2, plantea la ecuación correspondiente.)
Halla un número tal que su mitad es 5 unidades menor que su triple. A partir de la tabla, 
resuelve la ecuación.
2
1
Recuerda los cuatro pasos que debes dar para resolver un problema correctamente:a) Leer detenidamente el enunciado.
b) Plantear el problema, en este caso, la ecuación.
c) Resolver el problema, en este caso, la ecuación.
d) Comprobar el resultado.
ENUNCIADO EXPRESIÓN ALGEBRAICA
El número x
Su mitad x
2
Su triple 3x
5 unidades menor que su triple 3x − 5
Su mitad es 5 unidades menor
que su triple
x
x
2
3 5= −
OBJETIVO 5
NOMBRE: CURSO: FECHA:
RESOLVER PROBLEMAS CON ECUACIONES DE 1.er Y 2.º GRADO
Halla un número tal que si a sus dos terceras partes se les resta 1, obtenemos 11.
EJEMPLO
ENUNCIADO EXPRESIÓN ALGEBRAICA
El número x
partes del número 2
3
2
3
x
partes del número menos 12
3
2
3
1
x −
partes del número menos 1
es igual a 11
2
3
2
3
1 11
x − =
Resolvemos la ecuación:
− 1 = 11 → = 12 →
→ 2x = 36 → x = 18
Comprobamos la solución:
− 1 = 11 → − 1 = 11 →
→ 12 − 1 = 11 → 11 = 11
36
3
2 18
3
⋅
2
3
x2
3
x
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4
El perímetro de un campo de fútbol es 280 m, y sabemos que mide 40 m más de largo 
que de ancho. Halla las dimensiones (largo y ancho).
El perímetro de un polígono es igual a la suma de sus lados:
P = x + (x + 40) + x + (x + 40) = 2x + 2 (x + 40) = 280
Pepe tiene dos años más que su hermana María y tres años más que Juan. 
Sumando las edades de los tres, el resultado es 40. Halla la edad que tiene cada uno.
Llamamos x = edad de Pepe, x − 2 = edad de María y x − 3 = edad de Juan
El padre de los hermanos del ejercicio anterior tiene 46 años. Sabiendo que Pepe 
tiene 15 años, María tiene 13 años y Juan tiene 12 años, calcula cuánto tiempo ha de pasar 
para que la suma de las edades de los tres iguale a la edad de su padre.
En los problemas en los que aparecen edades actuales y futuras conviene elaborar una tabla 
como la siguiente.
Planteamos la ecuación:
15 + x + 13 + x + 12 + x = 46 + x
La madre de Pepe, María y Juan tiene 42 años. Calcula cuántos años deben pasar 
para que la edad de Pepe sea la mitad que la edad de su madre.
Planteamos la ecuación:
15 + x =
42
2
+ x
6
5
4
3
x + 40
x
EDAD
ACTUAL
DENTRO
DE x AÑOS
Pepe 15 15 + x
María 13 13 + x
Juan 12 12 + x
Padre 46 46 + x
EDAD
ACTUAL
DENTRO
DE x AÑOS
Pepe 15 15 + x
Madre 42 42 + x
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296 � MATEMÁTICAS 4.° B ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
4
La suma de los cuadrados de dos números consecutivos es 61. Halla de qué números se trata.
Si representamos los números por x y x + 1, sus cuadrados serán x2 y (x + 1)2. 
Recuerda que el cuadrado de una suma es: (x + 1)2 = x2 + 2x + 12
El abuelo de Pepe, María y Juan tiene una edad tal que elevada al cuadrado es igual 
a 160 veces la suma de las edades de sus tres nietos. Calcula la edad del abuelo.
Tenemos en cuenta que las edades son: Pepe, 15 años; María, 13 años, y Juan, 12 años.
Un campo de baloncesto tiene 1.000 m2 de área. Halla sus dimensiones, sabiendo que mide 30 m 
más de largo que de ancho.
Planteamos y resolvemos la ecuación de segundo grado que se obtiene al sustituir en la fórmula del área 
del rectángulo. Hay que tener en cuenta que la solución negativa no es válida, pues no tiene sentido 
una medida de longitud negativa.
Si aumentamos el lado de un cuadrado en 2 m, su superficie aumenta en 16 m2.
Calcula lo que medía inicialmente el lado del cuadrado.
10
9
8
7
ANTES DESPUÉS
Lado x x + 2
Superficie x2 (x + 2)2
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Sistemas de ecuaciones5
INTRODUCCIÓN
Los sistemas de ecuaciones son necesarios 
para plantear y solucionar numerosos problemas
reales, por lo que los alumnos deben ser capaces 
de reconocerlos y resolverlos. 
La obtención de un sistema equivalente a uno dado
es fundamental, ya que permite hallar la solución 
del sistema planteado de una forma sencilla.
A lo largo del tema se exponen los tres métodos 
de resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos
incógnitas: sustitución, igualación y reducción. 
Se deben dejar claros los pasos que hay que dar 
para resolver un sistema por cada uno de los métodos,
así como señalar sus similitudes y diferencias. 
Para decidir cuál de los tres métodos es el más
indicado para resolver un sistema, es preciso examinar
los coeficientes de las incógnitas; en cualquier caso, 
la solución va a ser la misma. 
Conviene resolver algún sistema por los tres métodos
para que el alumno compruebe cuál de ellos 
es el más sencillo en cada sistema.
La resolución de problemas mediante sistemas 
de ecuaciones no es especialmente complicada, 
pero debemos insistir en plantear las cuatro fases 
ya conocidas: leer detenidamente el enunciado,
plantear el sistema de ecuaciones, resolverlo 
por el método más adecuado y, por último, comprobar
la solución.
RESUMEN DE LA UNIDAD
• Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas 
x e y se expresa de la forma:
�
• Resolver un sistema es encontrar dos números tales
que, al sustituirlos en las dos ecuaciones, las
verifiquen. Un sistema es compatible si tiene solución.
• Dos sistemas son equivalentes si tienen la misma
solución.
• Método de sustitución: despejar una incógnita 
en una de las ecuaciones y sustituir en la otra.
Resolver la ecuación que resulta. La otra incógnita
se halla sustituyendo el valor obtenido de la primera
en cualquiera de las dos ecuaciones. 
• Método de igualación: despejar la misma incógnita
en las dos ecuaciones. Igualar las expresiones
obtenidas y resolver la ecuación que resulta. La otra
incógnita se halla sustituyendo el valor obtenido de
la primera en cualquiera de las dos ecuaciones. 
• Método de reducción: buscar un sistema
equivalente al dado, en el que los coeficientes 
de una misma incógnita sean iguales u opuestos.
Sumar o restar las ecuaciones, eliminando así una
incógnita, y resolver la ecuación que resulta. La otra
incógnita se halla sustituyendo el valor obtenido 
de la primera en cualquiera de las dos ecuaciones. 
• Las fases en la resolución de un problema son:
comprender, plantear, resolver y comprobar 
la solución.
ax + by = k'
a'x + b'y = k'
1. Sistemas de dos
ecuaciones con 
dos incógnitas.
2. Resolver sistemas 
de dos ecuaciones 
con dos incógnitas.
Métodos de resolución.
3. Resolver problemas 
por sistemas de dos
ecuaciones con dos
incógnitas.
• Sistemas de ecuaciones 
con dos incógnitas.
• Coeficientes y términos
independientes.
• Método de sustitución.
• Método de igualación.
• Método de reducción.
• Planteamiento, resolución 
y comprobación de un sistema 
de dos ecuaciones con dos
incógnitas.
• Identificación de los sistemas 
de ecuaciones con dos incógnitas.
• Representación gráfica de sistemas, 
para comprobar si son o no equivalentes.
• Resolución de un sistema 
por el método de sustitución.
• Resolución de un sistema 
por el método de igualación.
• Resolución de un sistema 
por el método de reducción.
• Resolución de problemas mediante
sistemas de dos ecuaciones.
• Comprobación de la solución.
OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS
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298 � MATEMÁTICAS 4.° B ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
OBJETIVO 1
NOMBRE: CURSO: FECHA:
SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS5
• Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es un conjunto de dos ecuaciones 
que se puede representar de la forma:
�
• Coeficientes de las incógnitas: a, a', b, b'
• Términos independientes: k, k'
• Una solución de un sistema de ecuaciones con dos incógnitas es un par de números que verifican 
las dos ecuaciones.
ax + by = k'
a'x + b'y = k'
Halla las parejas de valores que son soluciones de las ecuaciones del sistema, y determina 
cuál es la solución.
Representa las rectas correspondientes a cada una de las ecuaciones, comprobando que el punto 
en el