GUIA DE PRACTICA EDP 2023 (3)

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE
SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA
DEPARTAMENTO ACADEMICO
DE MATEMÁTICA Y F́ıSICA
E.F.P. Cs. FÍSICO MATEMATICAS Fecha:12 de diciembre de 2021
GUÍA DE PRACTICA PARA ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
(1) Resolver el problema indicando las curvas caracteŕısticas planas
ux + xuy = y,
u
(
0, y
)
= y2, y ∈ R,
(2) Dado el problema,
ux + xuy = y,
u
(
0, y
)
= cos y, y ∈ R,
Verificar si u = xy − x
3
3
+ cos(
2y − x2
2
) es la solución del problema.
(3) Considere la ecuación lineal,
aux + bux = c(x, y),
u
(
x, 0
)
= h(x), x ∈ R,
Supongamos que a, b son constantes (b 6= 0), y c, h son suaves y están acotados.
a) Mostrar que u(x, y) = h
(
x− a
b
y
)
+
∫ y
b
0
c(aτ + x− a
b
y, bτ)dτ .
b) Deducir que una discontinuidad de salto de h en x0 se propaga en un salto del mismo tamaño para u,
a lo largo de la caracteŕıstica de la ecuación x− a
b
y = x0 .
(4) Resolver el problema, indicando las curvas caracteŕısticas planas
ut ± uux = 0, x ∈ R, t > 0
u
(
x, 0
)
= x, x ∈ R,
(5) Resolver el problema, indicando las curvas caracteŕısticas planas
ut + uux = 0, x ∈ R, t > 0
u
(
x, 0
)
= h(x), x ∈ R,
donde
h(x) =

0, x < 0,
1, 0 < x < 1,
0, x > 1.
(6) Resolver el problema, indicando las curvas caracteŕısticas planas
ut + uux = 0,
u
(
x, 0
)
= h(x), x ∈ R,
donde
h(x) =
 0, si |x| ≥ 1,1− |x|, si |x| < 1,
1
(7) Resolver el problema, indicando las curvas caracteŕısticas planas
ut + u
2ux = 0,
u
(
x, 0
)
= h(x), x ∈ R,
donde
h(x) =
 1, si x ≤ 0,0, si x > 0,
(8) Resolver el problema, indicando las curvas caracteŕısticas planas
ut + uux = 0, x ∈ R, t > 0
u
(
x, 0
)
= h(x), x ∈ R,
donde
h(x) =
 sen x, 0 < x < π,0, x ≤ 0 ∨ x ≥ π.
(9) Resolver el problema de Cauchy
ux = −(uy)2, y ∈ R, x > 0
u
(
0, y
)
= 3y, y ∈ R,
(10) Dado el problema de Cauchy
u2x + u
2
y = 4u, (x, y) ∈ R2,
u
(
x,−1
)
= x2, x ∈ R,
Verifique si su solución es u(x, y) = x2 + (y + 1)2.
(11) Dada la EDP: xuy − yux = 0 que contiene a la curva inicial Γ0 definida por x = 0, u = y2.
Clasificar la EDP, analizar si el problema de Cauchy asociado está bien planteado y, finalmente, halle la
superficie integral. (mostrar la superficie integral con un graficador)
(12) Dada la EDP: yux = u donde z = u(x, y) viene prescrita en la curva Γ0 definida por x = 2, u = y. Clasificar
la EDP, analizar si el problema de Cauchy asociado está bien planteado y, finalmente,resolverlo.
(13) Dada la EDP: xux − yuy = 0 donde z = u(x, y) viene prescrita en la curva Γ0 definida por y = 1, u = 3x.
Analizar el problema de Cauchy asociado.
(14) Dada la EDP: yuux + uy = 0 donde z = u(x, y) viene prescrita en la curva Γ0 definida por x = 0, u = y
3.
Clasificar la EDP y analizar el problema de Cauchy asociado.
(15) Dada la EDP: ux − 2xuy = 0 donde z = u(x, y) viene prescrita en la curva Γ0 definida por x = 1, u = y2.
Analizar el problema de Cauchy asociado.
(16) Dado el problema de valor inicial:
ut + 2tux = 0, x ∈ R, t > 0,
u(x, 0) = cosx, x ∈ R, t = 0
a) Clasificar la EDP que define el PVI. ¿Utilizando la clasificación anterior, se puede afirmar que las
caracteŕısticas de la EDP son ĺıneas rectas y que la solución es constante a lo largo de las caracteŕısticas?
2
b) Calcular las caracteŕısticas de la EDP.
c) Determinar la solución general de la EDP.
d) Encontrar la (única) solución del PVI.
(17) Dado el problema de valor inicial:
ut + 3ux = xu, x ∈ R, t > 0,
u(x, 0) = x2, x ∈ R, t = 0
a) Clasificar la EDP que define el PVI. ¿Utilizando la clasificación anterior, se puede afirmar que las
caracteŕısticas de la EDP son ĺıneas rectas y que la solución es constante a lo largo de las caracteŕısticas?
b) Calcular las caracteŕısticas de la EDP.
c) Determinar la solución general de la EDP.
d) Determinar si el problema de valor inicial está bien planteado. En caso afirmativo encontrar la (única)
solución del PVI.
(18) Dado el problema de valor inicial:
ut + 2ux + u
2 = 0, x ∈ R, t > 0,
u(x, 0) = x, x ∈ R, t = 0
a) Clasificar la EDP que define el PVI. ¿Utilizando la clasificación anterior, se puede afirmar que las
caracteŕısticas de la EDP son ĺıneas rectas y que la solución es constante a lo largo de las caracteŕısticas?
b) Calcular las caracteŕısticas de la EDP en la forma φ1(x, t, u) = c1 y φ2(x, t, u) = c2
c) Determinar la solución general de la EDP.
d) Determinar si el problema de valor inicial está bien planteado. En caso afirmativo encontrar la (única)
solución del PVI.
(19) Dado el problema de valor inicial:
(
√
y + 1)ut + xux = 0, x > 0, t > 0,
u(x, 0) = ln(x), x > 0, t = 0
a) Clasificar la EDP que define el PVI. ¿Utilizando la clasificación anterior, se puede afirmar que las
caracteŕısticas de la EDP son ĺıneas rectas y que la solución es constante a lo largo de las caracteŕısticas?
b) Calcular las caracteŕısticas de la EDP determinar la solución general de la EDP.
c) DDemostrar que el PVI está bien puesto y encontrar su solución.
d) Calcular u(1; 0) y u(e2; 3) y determinar las ecuaciones de las caracteŕısticas que pasan por los puntos
(1, 0) y (e2, 3).
(20) Encuentra la solución de la ecuación u =
1
2
(p2 + q2) + (p− x)(q − y) que pasa por el eje de las abscisas.
3
(21) Encuentre las caracteŕısticas de la ecuación uxuy = u, y determine la superficie integral que pasa por la
parábola x = 0, y2 = u
(22) Escriba e integre completamente las ecuaciones para las caracteŕısticas de (1 + u2y)u = xux. expresando x,
y, z y ux en términos de θ, donde uy = tan θ, y determine la superficie integral que pasa por la parábola
x2 = 2u, y = 0.
(23) Determine las caracteŕısticas de la ecuación u = p2 − q2, y encuentre la superficie integral que pasa por la
parábola 4u+ x2 = 0, y = 0
(24) Integrar las ecuaciones para las caracteŕısticas de la ecuación.p2 + q2 = 4u.
expresando x, y, z y p en términos de q, y luego encuentre las soluciones de esta ecuación que se reducen a
u = x2 + 1 cuando y = 0.
ALGUNOS EJEMPLOS RESUELTOS
Example 1. Encontrar una solución a la ecuación de transporte, ut + aux = 0. Como se describió anteriormente,
buscamos una solución de ésta mediante la introducción de las ecuaciones caracteŕısticas,
dx
ds = a
dy
ds = 1
dz
ds = 0.
La solución de este sistema, tenemos
x(s) = as+ c1
t(s) = s+ c2
z(s) = c3.
La eliminación del parámetro s, se observa que estas curvas son ĺıneas en R3 dada por x− at = x0, z = k para las
constantes x0 y k. Ahora sea S la superficie integral formado a partir de la unión de éstos curvas caracteŕısticas.
De este modo, vemos que z(x, t) es constante a lo largo de las ĺıneas x − at = x0. Esto es, z(x, t) = f(x − at).
dejando u(x, t) = z(x, t) = f(x− at) para cualquier función (sueve) f , hemos encontrado la solución general de la
ecuación dada. Una aplicación de la regla de la cadena muestra que tal función en efecto, satisfacer la ecuación
de transporte,
ut + aux = −af ′(x− at) + af ′(x− at) = 0
.
Antes de discutir el problema con valores iniciales para la ecuación de transporte, hacemos algunas observaciones.
Observaciones:
La solución de ut + aux = 0 es constante a lo largo de las ĺıneas x = x0 + at. Estas ĺıneas son conocidos como las
curvas caracteŕısticas proyectadas para esta ecuación. Ellos son la proyección de las curvas caracteŕısticas en
el plano xt. Ver la imagen de abajo para las caracteŕısticas proyectadas para a = 2.
4
Los datos iniciales se propaga a lo largo de las curvas caracteŕısticas proyectadas. Por esta razón, ut + aux = 0 se
conoce como la ecuación de transporte. Información simplemente se propaga a lo largo de ĺıneas.
En el ejemplo anterior, encontramos la solución general de la ecuación de transporte. En la práctica, sin embargo,
estamos normalmente interesado en encontrar una solución que no sólo satisface una cierta EDP, pero también
satisface alguna condición de auxiliar, es decir - una condición inicial o cobertura.
Example 2. Antes de hablarde la técnica en la generalidad, se considera el problema valor inicial para la ecuación
de transporte,
ut + aux = 0
u(x, 0) = h(x)
Como vimos en el ejemplo anterior, la solución general de ut + aux = 0 es dado por u(x, t) = f(x − at) para
cualquier función suave f . En consecuencia, dejando u(x, t) = h(x−at), tenemos una función que no sólo satisface
nuestra EDP, pero también satisface nuestra condición inicial, y por lo tanto nuestro problema de valor inicial
dado.
Por un momento, sin embargo, suponemos que no sab́ıamos eso. Vamos a pensar cómo ı́bamos a construir nuestra
solución. Como se describió anteriormente, el plan es encontrar una solución de nuestra EDP por la construcción
de una superficie S integral como una unión de curvas caracteŕısticas. Ahora, imponemos la condición adicional
de que esta superficie contiene la curva {(x, 0, h(x))}. Como veremos, lo que requiere esta condición adicional no
representa un problema.
Geométricamente, la intuición es la siguiente. Sea Γ = {(x, 0)} la curva en R2 en la que estamos prescribiendo
nuestros datos. Sea (Γ, h) la curva en R3 dada por {(x, 0, h(x))}. Para construir nuestra solución, empezar por elegir
un punto {(x0, 0, h(x0))} en (Γ, h). Ahora, vamos a construir una curva caracteŕıstica que emana de {(x0, 0, h(x0))}.
dx
ds = a
dy
ds = 1
dz
ds = 0.
que satisface las condiciones iniciales
x(0) = x0
t(0) = 0
z(0) = h(x0).
5
Si construimos una curva caracteŕıstica de cada punto de (Γ, h) y tomar la unión de estas curvas caracteŕısticas,
podemos encontrar una superficie S integral para el campo vectorial (a, 1, 0) que contiene la curva (Γ, h). Esta
superficie integral nos dará una solución de la EDP dada.
Algebraicamente, se procede de la siguiente manera. Vamos a parametrizar nuestra curva Γ por r. En este caso,
Γ = {(r, 0)}. (Podŕıamos haber parametrizado por x0, pero la consistencia después, vamos a elegir el parámetro
r.) Ahora para cada r, tenemos que resolver el siguiente sistema
dx
ds
(r, s) = a
dy
ds
(r, s) = 1
dz
ds
(r, s) = 0.
con las condiciones iniciales
x(r, 0) = r
t(r, 0) = 0
z(r, 0) = h(r).
En primer lugar, en la resolución de nuestro sistema, vemos que
x(r, s) = as+ c1(r)
t(r, s) = s+ c2(r)
z(r, s) = c3(r) = h(r).
Observemos ahora en nuestras condiciones iniciales, vemos que
x(r, 0) = a(0) + c1(r) = r
t(r, 0) = 0 + c2(r) = 0
z(r, 0) = c3(r) = h(r).
En consecuencia, nuestra solución está dada por
x(r, s) = as+ r
t(r, s) = s
z(r, s) = h(r).
Ahora resolvemos para r, s en términos de x y t. En particular, tenemos
r(x, t) = x− at
s(x, t) = t
6
En consecuencia, podemos escribir nuestra solución z(r, s) como z(r, s) = z(r(x, t), s(x, t) = h(x− at)
Ahora u(x, t) = z(r(x, t), s(x, t)) = h(x− at), nos da una solución de la EDP dada.
Ver la imagen de abajo para la solución de la EDP dada, con a = 2 y los datos iniciales h(x) = e−x
2
Mat. Coaquira Cárdenas Vı́ctor A. LATEX
7