1ro_RAZONAMIENTO_MATEMATICO (1)

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CICLO
VERANO
Alumno(a): .............................................................................................................................................
1
RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO
Í in c ed
Pág.
Psicotécnico 49
Fracciones 51
Porcentaje 53
Probabilidad 55
Gráficos lineales y de barras 57
49
Razonamiento Matemático
1ro SECUNDARIA
Integral
1. ¿Cuántos palitos debes quitar, como mínimo para
formar cuatro cuadrados del mismo tamaño?
2. Indica la ficha que continúa.
3. Señala la figura que sigue.
a) b) c) d) e)
Los ejercicios que verás a continuación te ayudarán 
a desarrollar tu razonamiento, tu habilidad lógica y 
tu pensamiento lateral. Para resolverlos necesitarás 
creatividad, la cual está relacionada con el ingenio. 
Por lo tanto, ármate de paciencia y buen humor. 
¡Adelante!
 Z Juegos de palitos de fósforo
 Z Test de dominó
 Z Figuras que continúan
 Z Orden numérico
 Z Conjuntos
Trabajando en clase
Católica
4. ¿Cuántos palitos de fósforo debes mover para ob-
tener tres cuadrados del mismo tamaño?
Resolución:
5. ¿Cuántos palitos de fósforo debes mover para ob-
tener diez cuadrados?
6. Indica la ficha que continúa.
?
?
?
?
?
01
Psicotécnico
50
Razonamiento Matemático
1ro SECUNDARIA
7. Indica la figura que sigue.
a) b) c) d) e)
UNMSM
8. Cruza de la letra A hacia la letra B, sumando exacta-
mente 20 y sin pasar por el mismo círculo. Da como
respuesta el mayor número por el que pasaste.
Resolución:
Luego: 5 + 3 + 2 + 9 + 1 = 20
∴ Respuesta: 9
?
 
 5 3 6 
 4 2 7 
 8 9 1 
 5 3 6 
 4 2 7 
 8 9 1 
A
A
B
B
51
Razonamiento Matemático
1ro SECUNDARIA
1. Fracción (Definición)
Todo número racional que cumple la siguiente
condición:
a
b
Numerador
Denominador
Donde: a y b ∈ Z+ ∧ a ≠ b
 Ejemplo.
¿Cuál de las siguientes expresiones representa a 
una fracción?
2
3 , –
8
5 ; 
p
4 ; 
0
3 ; 
7
5 ; 
6
–4; 
4
3 ;
8
2
De la definición: 23 ; 
7
5 ; 
4
3
2. Fracción
«Relación parte-todo»
- Todo: número de partes en que se divide la
unidad.
- Parte: Número de pedazos considerados
1 < > TOTAL < > 5 partes
 64444444744444448
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5 < > 
3
5
 14444244443
 3 partes tomadas
Parte
Todo < > 
ES
DE = 
SON
DEL = 
Representa
Respecto
 Ejemplo:
¿Qué parte de 15 es 10 ?
 Resolución:
Parte
Todo = 
ES
DE = 
10
15 =
2
3
¡Cuidado! 
No siempre la menor cantidad 
va en la parte superior
Relación: Gaste / No gaste
Gaste Queda/no gaste
1
5 x 
Falta 4 4
5 x
2
7 x 
Falta 5 5
7 x
 Ejemplo:
Ayer preste 57 de mi dinero y aún me queda S/. 10. 
¿Cuánto tenía?
 Resolución:
Preste Falta 2 No preste
5
7 x 
2
7 x = 10
 ∴ x = 35
El concepto de «fracción» se maneja desde hace muchos siglos atrás, en la historia el primer documento el 
que se tiene referencia sobre los números fraccionarios es el «papirus» egipcio que data de 1900 a.C. (hace casí 
4000 años) escrito por el sacerdote Ahmes. En la vida diaria es común utilizar fracciones como por ejemplo, si 
se tiene una receta que rinde para 6 personas, y deseas prepararla solo para 2 personas entonces se tomará la 
tercera parte de cada ingrediente.
02
Fracciones
52
Razonamiento Matemático
1ro SECUNDARIA
Trabajando en clase
Integral
1. ¿Qué fracción del gráfico representa la parte som-
brada?
2. Calcular:
2
3 de los 
4
5 de 
3
7 de 105
3. Calcular:
M = 
1
2 + 
1
3
1
3 – 
1
6
 ÷ 53
PUCP
4. Si ayer perdí 1/7 de lo que no perdí. ¿Qué árte de
lo que tenía perdí?
Resolución:
Perdí = 17 no perdí
Perdí
No perdí = 
1k
7k
⇒ Tenía como «8k»
∴ 18
5. Si ayer gané 1/3 de lo que no gané. ¿Qué parte de
lo que tenía gané?
6. De un depósito que contiene 600 litros de agua
han sacado 1/6 del total y después 3/4 del total.
¿Cuántos litros de agua aún quedan?
7. Un obrero puede hacer una obra en 15 días y otro
puede hacer la misma obra en 20 días. ¿Qué parte
de la obra avanzarán si trabajan juntos durante 3
días?
UNMSM
8. Ayer perdí 3/7 de mi dinero y hoy presté 3/8 de lo
que me quedó. Si aún me queda S/. 100. ¿Cuánto
dinero tenía?
Resolución:
Sea «x» el dinero que tengo
Perdí Queda
3
7 x 
4
7 x
Presté Queda
3
8


4
7 x

 
5
8


4
7 x

 ⇒ 100
5
8
4
7 x = 100
.
5
x = 56(5) = 280
53
Razonamiento Matemático
1ro SECUNDARIA
Recuerda
Que una cantidad es 100% de sí misma.
En el tema de porcentaje para evitar 
posibles errores al momento de resolver 
tu examen de admisión, realiza un gráfico
Advertencia pre
Este tema es recurrente tanto en la PUCP, 
como en UNMSM. Es decir, siempre está 
presente y a veces dentro de otros temas 
como planteo de ecuaciones, fracciones, 
etc.
Aquí gráficamente, lo que llamamos unidad lo 
dividimos en 100 pares equivalentes.
1
100
1
100
1
100
1
100 ...
1
100
1
100
1
100
14444444444444244444444444443
100 partes
Definición:
1 < > 1100 < > 100% ⇒ 1 < > 100%
Expresión general
A% de N = A100 × N
Ejemplo: 
Halle el 30% de 800
Resolución:
30% de 800 = 30100 . 800 = 240
Equivalentes Fraccionarios
 Z 1% < > 1100
 Z 2% < > 2100 < > 
1
50
 Z 5% < > 5100 < > 
1
20
 Z 20% < > 20100 < >
1
5
 Z 25% < > 25100 < >
1
4
 Z 30% < > 30100 < > 
3
10
 Z 50% < > 50100 < >
1
2
 Z 75% < > 75100 < >
3
4
Ejemplo: 
Halla el 5% del 75% del 40% de 1800
Resolución
5% del 75% del 40% de 1800
↓ ↓ ↓
 120 × 
1
4 ×
2
5 × 1800 = 27
I. ¿Qué porcentaje de «A» es «B»?
B
A × 100%
II. A% de B% de A
 Ejemplo: 
Hallar el 24% de 50
 Resolución
46% de 50 = 50% de 46 = 12 × 46 = 23
III. A% más = (100 + A)%
A% menos = (100 – A)%
Ejemplo:
Halla el 20% más de 800
Resolución:
20% más → (100 + 20)% de 800 = 120% (800)
= 120100 × 800 = 960
03
Porcentaje
54
Razonamiento Matemático
1ro SECUNDARIA
Trabajando en clase
Integral
1. Calcula el 62% de 1200
2. Calcula el 185 del 205 del 50% de 1000.
3. Calcula el 305 de 40 más el 70% de 180.
PUCP
4. ¿Qué porcentaje de 480 es 96?
Resolución:
ES
DE × 100 %
96
480 × 100 %
Simplificando:
1
5 × 100% = 20%
∴ 20%
5. ¿Qué porcentaje de 200 es 164?
6. Expresa como fracción:
28% + 37%
7. Calcula el 30% más de 420
UNMSM
8. Sandrita dice: «Mi papi gana S/. 1500 mensuales
y le van a aumentar el 20%» ¿Cuánto ganará este
mes el papá de Sandrita?
Resolución:
Aumento: 20% de 1500
20
100 × 1500 = 20 × 15 = 300
Luego ganará:
1500 + 300 = S/. 1800
55
Razonamiento Matemático
1ro SECUNDARIA
Imaginamos la siguiente situación:
Lanzamos sobre una mesa dos monedas e intentamos 
contestar a las siguientes preguntas:
1. ¿Se tendrá al menos «cara»?
2. ¿Es muy posible que se obtenga dos «sellos»?
 Z El lanzamiento de las dos monedas es un experi-
mento aleatorio.
 Z Al responder a preguntas como (1) y (2), damos 
lugar a sucesos, los cuales puedan tener uno o va-
rios resultados.
 Z Si un suceso tiene un solo resultado, se le llama 
suceso elemental.
¿Que son los «Experimentos Deterministicos»?
Supongamos que tenemos un dado con sus seis caras 
marcadas por el mismo puntaje, (todos con puntaje 1).
Al lanzar este dado, ¿podemos esperar puntaje 
diferente a «1». Pues, no; obtendremos siempre como 
único resultado posible el punto 1.
 Z Consideremos ahora una moneda de dos caras 
(lados iguales), al lanzar esta siempre se trndrá 
la certeza de obtener «cara», ya que no existe la 
posibilidad de que salga «sello» pues esta moneda 
no tienen «sello».
 Z Y si consideramos una urna que contiene cinco 
bolillas rojas. Si extraemos una de ellas al azar, se 
tienen la certeza de que será roja, pues no existe 
otro posibilidad.
¿Qué son experimentos aleatorios?
Son experimentos en los que no se puede producir el 
resultado. Decimos entonces que el experimento está 
sujeto al azar.
Ejemplos:
 Z Arrojar un dado.
 Z Lanzar un moneda al aire.
 Z Extraer al azar una bola de una urna donde hay 
bolas de igual tamaño pero de distintos colores.
Espacio Muestral (E)
Es el conjunto de todos los resultados posibles que 
presenta un experimento aleatorio determinado.
Ejemplo:
1. Lanzamos unamoneda al suelo:
E = {cara; sello}
→ n(E) = 2
Donde se tiene:
n(E) = número de elementos del espacio muestral
2. Lanzamos un dado sobre una mesa
E = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
→ n(E) = 6
3. Al extraer un carta de una baraja:
E = {13 espadas; 13 corazones; 13 tréboles; 13 dia-
mantes}
→n(E) = 52
Suceso o Evento (S)
Dado un experimento aleatorio, cuyo espacio muestral 
es E, cualquier subconjunto de E se denomina suceso 
o evento.
Ejemplos:
1. Si lanzamos al suelo un dado, se puede obtener un
punto «2»
E = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Suceso: S1 = (2) → n(S1) = 1
2. Si lanzamos una moneda sobre un tablero, se
puede obtener «cara».
E = {C; S}
Suceso: S2 = (2) → n(S2) = 1
En todas las pruebas realizadas anteriormente el 
resultado podía predecirse con anticipación, es 
decir; sin realizar siquiera la prueba, ya que esto 
constaba de un único resultado posible. A estos 
experimentos se les llama Determinísticos.
04
Probabilidad 
56
Razonamiento Matemático
1ro SECUNDARIA
Trabajando en clase
Integral
1. Mencione un caso en el que se suscite el experi-
mento determinístico.
2. Indique verdad o falsedad en los siguientes casos
de experimentos determinísticos
• Tres	mas	seis	igual	a	nueve
• Cuando	encienda	la	computadora	esta	funcio-
nará
• Al	finalizar	el	año	2014	comenzará	2015.
3. Al lanzar 2 monedas sobre un tablero, mencione
el espacio muestral de dicha situación.
PUCP
4. En el clásico Universitario - Alianza Lima. ¿Cuán-
tos elementos encontramos en el espacio mues-
tral de dicho suceso?
Resolución:
En dicho evento podría suscitarse 3 posibilidades.
1° El que gane Universitario
2° El que gane Alianza Lima
3° El que empaten
Por tanto: n(E) = 3
5. En el partido de voley Perú-Italia. ¿Cuántos ele-
mentos encontramos en el espacio muestral de
dicho evento?
6. Menciones un caso de Experimento aleatorio
7. Del problema anterior. Calcula el número de ele-
mentos de su espacio muestral.
UNMSM
8. Al lanzar 2 monedas sobre una superficie. ¿Cuán-
tos elementos conforman su espacio muestral?
Resolución:
Al ser 2 monedas y al tener unicamente 2 posibi-
lidad (cara - sello)
⇒ 2 = 4
2
posibilidades
Número de monedas
57
Razonamiento Matemático
1ro SECUNDARIA
• Diagramas	lineales
Nos ayudan a interpretar la relación entre dos da-
tos, los cuales nos indican cantidades.
Ejemplo:
Exportación toneladas metal (cobre)
20
10
30
40
50
60
($)
Millones
2009 2010 2011 2012 2013 Año
Nos indica el número o incremento de expor-
tación de «cobre» en estos últimos años debido, 
muy probablemente, al requerimiento de países 
asiáticos.
• Diagrama	de	barras
Tienen la misma función que los diagramas li-
neales, el de ayudarnos a interpretar situaciones
estadísticas, para ello usaremos el mismo ejemplo
(Exportación de «cobre»).
Ejemplo:
Exportación toneladas metal (cobre)
20
10
30
40
50
60
($)
Millones
2009 2010 2011 2012 2013 Año
Ambos gráficos, interpretado adecuadamente, 
nos sirven para obtener valiosas conclusiones y 
gracias a ellos tomar decisiones más correctas y 
coherentes.
Trabajando en clase
Integral
Gráfico N° 1
El gráfico nos muestra la asistencia durante la semana 
de los trabajadores a cierta empresa
360
420
440
480
520
560
N° de trabajadores
Lun Mar Mie Jue Vie Sab
Días
1. ¿Qué día hay mayor asistencia de trabajadores?
¿Qué día hay menos asistencia de trabajadores?
2. ¿Cuántas asistencias se verifican, en total, durante
toda la semana?
3. ¿Cuál es el promedio de asistencia por día duran-
te toda la semana?
PUCP
Gráfico N° 2
El gráfico nos muestra la variación del precio de un 
televisor durante seis meses.
05
Gráficos lineales y de barras
58
Razonamiento Matemático
1ro SECUNDARIA
400
500
600
700
800
900
1000
Precio ($)
May Jun Jul Ago Set Oct
Mes
4. ¿En qué periodo mensual el aumento en el precio
fue mayor?
Resolución:
En octubre se observa que el precio del televisor
llega a $1000, el mas alto en comparación con los
demás.
Por tanto muestra respuesta será en el periodo Se-
tiembre-Octubre.
5. ¿En que periodo mensual la disminución en el
precio fue menor?
6. ¿Cuál fue el precio promedio en el periodo Ju-
nio-Setiembre?
7. ¿En qué periodo mensual la variación porcentual
del precio fue mayor?
UNMSM
Gráfico N° 3
El siguiente gráfico, muestra la utilidad de una 
empresa en cinco años consecutivos
20
10
30
40
50
60
Utilidad
(en miles de soles)
2008 2009 2010 2011 2012 Año
8. ¿Cuál fue el aumento porcentual en el periodo
2010-2011?
Resolución:
2010 2011
20
mil
30
mil
Se observa que: de 20 mil a 30 mil hay 10 mil de 
incremento.
Porcentualmente lo que representa 10 mil con 
respecto a 20 mil es lo que nos piden.
⇒ 1020 × 100 % = 50%