EDP_Condi-Contorno

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Problema de condición de frontera Condición de frontera de Neumann Condición de frontera de Cauchy Condición de frontera de Robin Condición de frontera mixta
Problema de condición de frontera
E.P. Cs. FÍSICO MATEMÁTICAS
Docente: Mat. Coaquira Cárdemas Vı́ctor A.
Universidad Nacional de San Cristóbal de Huamanga
Facultad de Ingenieŕıa de Minas, Geologia y Civil
Departamento Académico de Matemática y F́ısica
Math 197 (Special Problem) - Final Defense - Diciembre 23, 2022
Problema de condición de frontera Coaquira Cárdemas Vı́ctor A. 1 / 28
Problema de condición de frontera Condición de frontera de Neumann Condición de frontera de Cauchy Condición de frontera de Robin Condición de frontera mixta
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1 Problema de condición de frontera
2 Condición de frontera de Neumann
3 Condición de frontera de Cauchy
4 Condición de frontera de Robin
5 Condición de frontera mixta
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Problema de condición de frontera
En el campo de las ecuaciones diferenciales, un problema de valor de
frontera (también llamados como problemas de valor o condición, de
borde o contorno) se lo denomina al conjunto de una ecuación diferencial
y a las condiciones de frontera o contorno.
Una solución de un problema de condiciones de frontera es una solución
de una ecuación diferencial que también satisface condiciones de frontera.
Problemas que involucran la ecuación de onda son comúnmente proble-
mas de condiciones de frontera. Muchas clases de problemas de valores
de frontera importantes son los problemas de Sturm-Liouville.
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Condición de frontera de Dirichlet
La condición de frontera de Dirichlet (o de primer tipo) es un tipo
de condición de frontera o contorno, denominado aśı en honor a Jo-
hann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859), cuando en una
ecuación diferencial ordinaria o una en derivadas parciales, se le especi-
fican los valores de la solución que necesita la frontera del dominio.
La cuestión de hallar las soluciones a esas ecuaciones con esta condición
se le conoce como problema de Dirichlet.
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Ejemplos
En Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
En caso de una ecuación diferencial ordinaria tal como:
d2y
dx2
+ 2y = 0
sobre el intervalo [0, π], las condiciones de frontera de Dirichlet toman
la forma: y(0) = 1, y(π) = 0.
En Ecuaciones Diferenciales Parciales
Para una ecuación diferencial en derivadas parciales sobre un dominio
Ω ⊂ Rn tal como: ∆u + u = 0, las condiciones de frontera de Dirichlet
toman la forma: u(x) = f(x), ∀x ∈ ∂Ω.
donde f es una función conocida definida sobre ∂Ω.
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Condición de frontera de Neumann
La condición de frontera de Neumann (o de segundo tipo) es un tipo
de condición de frontera o contorno, llamada aśı en alusión a Carl Neu-
mann. Se presenta cuando a una EDO o a EDPs, se le especifican los
valores de la derivada de una solución tomada sobre la frontera o con-
torno del dominio.
En EDOs
En caso de una ecuación diferencial ordinaria tal como:
d2y
dx2
+ 3y = 1
sobre el intervalo [0, 1], las condiciones de frontera de Neumann toman
la forma: y′(0) = yo, y
′(1) = y1, donde yo y y1 son números dados.
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En EDPs
Para una ecuación diferencial en derivadas parciales sobre un dominio
Ω ⊂ Rn tal como: ∆u = 0, las condiciones de frontera de Neumann
toman la forma:
∂u
∂n
(x) = f(x), ∀x ∈ ∂Ω.
donde n es la normal a la frontera ∂Ω y f es una función escalar.
La derivada normal
∂
∂n
se define como:
∂u
∂n
(x) = ∇u(x) ·n(x), donde ∇
es el gradiente (vector) y el punto es el producto interno con el vector
normal unitario n.
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Condición de frontera de Cauchy
las condiciones de frontera de Cauchy en EDOs o en EDPs imponen
valores espećıficos a la solución de una ED que se toma de la frontera
del dominio y de la derivada normal a la frontera. Esto es igual a
imponer dos tipos de condiciones: la condición de frontera de Dirichlet
y la condición de frontera de Neumann. Su nombre hace honor al
proĺıfero matemático francés del siglo XIX Augustin Louis Cauchy.
Las condiciones de Cauchy son también llamadas condiciones de valor
inicial o valores iniciales o simplemente valores de Cauchy.
En Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
En caso de una ecuación diferencial ordinaria tal como:
d2y
dx2
+ 2y = 0 sobre el
intervalo [0, π], las condiciones de frontera de Cauchy toman la forma:
y(a) = α0, y
′(a) = α1.
donde a es la frontera o punto inicial. Las condiciones de frontera de Cauchy
son una generalización de estos tipos de condiciones.
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En Ecuaciones Diferenciales Parciales
Para una EDP sobre un dominio Ω ⊂ R2 tal como: ∆ϕ = ϕ(x, y), cuya
frontera es una ĺınea, que puede ser descrita por las siguientes ecuaciones
paramétricas:
x = ξ(s)
y = η(s)
. Aśı, de manera similar que en las EDOs de segundo orden, necesitamos
ahora conocer el valor de la función en la frontera y su derivada normal
a esta para hallar la solución de la ecuación diferencial parcial, es decir,
que: {
u(s)
∂u
∂n
= n · ∇u(s)
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Condición de frontera de Robin
Observe que si bien las condiciones de frontera de Cauchy implican tener tanto las
condiciones de frontera de Dirichlet como las de Neumann, que no es lo mismo del
todo que tener una condición de frontera de Robin.
Una mezcla entre las condiciones de frontera de Dirichlet y Neumann está dada por
a(s)u(s) + b(s)
∂u
∂n
(s) = f(s) sobre ∂Ω
donde se entiende que a(s), b(s) y f(s) deben darse en la frontera (esto contrasta con
el término condiciones de frontera mixtas, que es generalmente usado para referirse
a condiciones de frontera de tipos diferentes en subgrupos distintos de frontera).
En este caso la función y sus derivadas deben cumplir una condición dentro de la
misma ecuación de la condición de frontera.
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Condición de frontera mixta
Una condición de frontera mixta para una EDP indica que se utilizan diferentes
condiciones de frontera sobrepartes diferentes de la frontera del dominio de la
ecuación.
Por ejemplo, si u es una solución a una EDP sobre el conjunto abierto Ω con
frontera ∂Ω suave a tramos, y ∂Ω está dividida en dos partes, Γ1 y Γ2, una puede
usar la condición de frontera de Dirichlet sobre Γ1 y una condición de frontera de
Neumann sobre Γ2: 
u∣∣Γ1 = uo
∂u
∂n
∣∣∣
Γ2
= g
donde u0 y g son funciones dadas definida sobre aquellas porciones de la frontera.
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Como la condición de frontera de Robin es una combinación lineal de las condiciones de
frontera de Dirichlet y Neumann, es otro tipo de condición de frontera h́ıbrida.
Verde: condición de frontera de Neumann;
Púrpura: condición de frontera de Dirichlet.
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Condiciones iniciales
Otro tipo de condiciones que suelen exigise a las soluciones de una EDP son
las denominadas condiciones iniciales respecto de una de las variables
independientes que denotaremos t. Normalmente son un conjunto de
condiciones de la forma:
u(t
0
) = u
0
, ut(t0) = u1 , ut2(t0) = u2 , . . . utr−1(t0) = ur−1 ,
donde r ≥ 0 y las funciones ui con i = 0, r − 1 dependen del resto de variables
independientes.
En general, las condiciones iniciales no son condiciones de contorno ya que
también se consideran situaciones en las que el conjunto determinado por la
relación t = to puede estar en el interior de Ω.
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Ejemplo:
Consideremos la ecuación del calor en 2 dimensiones:
ut = uxx ; sobre el dominio Ω = {(x, t) ∈ R2 / t > 0 ; 1 < x < 2}.
Donde las condiciones iniciales son
u(x, 0) = (x− 1)(x− 2) en Ω
u(1, t) = 0, en ∂Ω
u(2, t) = 0, en ∂Ω
En este caso la condición inicial es también condición de contorno.
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Actividad
Ejerrcicio # 1
Supongamos que se quiere obtener la temperatura u(x, y) correspondiente al estado
estacionario de una placa rectangular.
Ω = {(x, y) ∈ R2 / 0 < x < a ∧ 0 < y < b}.
Cuando no se pierde calor a través de las caras laterales, el problema es.
∆u = 0, en Ω
u(x, b) = φ(x), 0 < x < a
u(x, 0) = 0, 0 < x < a
ux(0, y) = 0, 0 < y < b
ux(a, y) = 0, 0 < y < b
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Actividad
Ejerrcicio # 2
La siguiente EDP modela la variación de temperatura con el tiempo en una varilla
de longitud 1. Si u(t, x) es la temperatura de la varilla en el instante t en la posición
x de la varilla, entonces, podemos plantear el problema como sigue
uxx = ut, 0 < x < 1 ; t > 0
u(0, x) = f(x), 0 ≤ x ≤ 1
u(t, 0) = 0, t ≥ 0
u(t, 1) = 0, t ≥ 0
La condición u(0, x)=f(x) es la temperatura en el instante inicial t = 0 y representa
una condición inicial del problema. Las condiciones u(t, 0) = 0 y u(t, 1) = 0 son
restricciones que se le imponen a los extremos de la varilla en cualquier instante de
tiempo y se denominan condiciones de contorno.
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Resolución.
Nos piden la temperatura u(t, x) de la varilla en el instante t en la posición x de la
varilla, donde el problema está modelado por:
uxx = ut, 0 < x < 1 ; t > 0
u(0, x) = f(x), 0 ≤ x ≤ 1
u(t, 0) = 0, t ≥ 0
u(t, 1) = 0, t ≥ 0
La condición inicial u(0, x)=f(x) indica la distribución de temperatura en la varilla
en el instante inicial. Las condiciones de contorno u(t, 0) = 0 y u(t, 1) = 0 indican
que la temperatura en los extremos de la varilla es constante e igual a 0.
Supongamos que u(t, x) = g(t)h(x), obviamente la función nula (u = 0) es solución
de la EDP, sin embargo sólo será solución del problema si f(x) = 0 que es el caso
trivial.
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Buscaremos soluciones no triviales, para esto supondremos que h(x) ̸= 0 y g(t) ̸= 0.
Tomando las condiciones de frontera, se tienen:
u(t, 0) = g(t)h(0) = 0 =⇒ h(0) = 0 y u(t, 1) = g(t)h(1) = 0 =⇒ h(1) = 0.
Además, si u(t, x) = g(t)h(x), entonces uxx = g(t)h
′′(x) y ut = g
′(t)h(x).
PPS: g(t)h′′(x) = g′(t)h(x) ⇐⇒ h
′′(x)
h(x)
=
g′(t)
g(t)
Observamos que, un lado de la igualdad depende sólo de x y el otro depende sólo de
t, por tanto, para que se dé la igualdad ambos miembros deben ser constantes, es
decir
h′′(x)
h(x)
=
g′(t)
g(t)
= k, con k ∈ R
De aqúı, h′′(x)− kh(x) = 0 · · · (α) y g′(t)− kg(t) = 0 · · · (β)
⋆ Si k = 0, en (α) y (β) respectivamente se tienen h′′(x) = 0 y g′(t) = 0 cuya
solución general se obtiene integrando h(x) = c1x+ c2 y g(t) = c3
Luego, u(t, x) = g(t)h(x) = c3(c1x+ c2) = Ax+B
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⋆
Como u(t, 0) = 0 = A(0) +B, entonces B = 0, quedando u(t, x) = Ax, además
u(t, 1) = 0 = A(1), entonces A = 0, aśı u(t, x) = 0.
⋆ Si k > 0, podemos suponer que k = λ2 > 0; λ ̸= 0.
En (α) y (β) respectivamente se tienen h′′(x)− λ2h(x) = 0 y g′(t)− λ2g(t) = 0.
cuyas soluciones son: h(x) = c4 coshλx+ c5 senh λx y g(t) = c6e
λ2t
Como h(0) = 0 = h(1), es decir c4 coshλ0 + c5 senh λ0 = 0, entonces c4 = 0,
quedando h(x) = c5 senh λx.
Además h(1) = 0, esto es c5 senh λ = 0, de aqúı c5 ̸= 0, entonces senh λ = 0 pero,
senh λ = 0 ⇐⇒ λ = 0 lo cual contradice a lo supuesto (que λ ̸= 0).
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⋆
⋆ Si k < 0, podemos suponer que k = −λ2 < 0; λ ̸= 0.
En (α) y (β) respectivamente se tienen h′′(x) + λ2h(x) = 0 y g′(t) + λ2g(t) = 0.
cuyas soluciones son: h(x) = c7 cosλx+ c8 senλx y g(t) = c9e
−λ2t
Como h(0) = 0, es decir c7 cosλ0 + c8 senλ0 = 0, entonces c7 = 0, quedando
h(x) = c8 senλx.
Además, h(1) = 0, es decir c8 senλ = 0, ya que c8 ̸= 0, se tiene senλ = 0.
senλ = 0 si solo si λ = nπ con n = 1, 2, . . .
Expresemos hn(x) = cn sen(nπx) y gn(t) = kne
−(nπ)2t
Luego, un(t, x) = kne
−(nπ)2tcn sen(nπx) = bn e
−(nπ)2tsen(nπx)
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⋆
Cualquier combinación lineal de estas funciones, es también solución (Principio de
superposición).
u(t, x) =
∞∑
n=1
bn e
−(nπ)2tsen(nπx)
. Usado la condición inicial, u(0, x) = f(x), es decir
∞∑
n=1
bn e
−(nπ)20sen(nπx)= f(x)
.
f(x) =
∞∑
n=1
bn sen(nπx)⇝⇝ bn = 2
∫ 1
0
f(x)sen(nπx)dx
.
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Ejemplo:
El problema 
uy = 0, en R2
u(x, p(x)) = f(x), x ∈ R,
es un problema de Cauchy, donde p, f ∈ C1(R) son funciones dadas. Luego, la
función u se busca a lo largo de la curva inicial y = p(x) en el plano.
Como uy = 0, tenemos que u(x, y) = g(x), ∀(x, y) ∈ R2 donde g ∈ C1(R) es
arbitrario y u ∈ C1(R2).
Puesto que u(x, p(x)) = f(x), entonces g(x) = f(x), es decir, la solución del
problema es u(x, y) = f(x), ∀(x, y) ∈ R2.
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Se ha probado entonces que, si u es una solución clasica del problema dado, dicha
solución está dada por u(x, y) = f(x), ∀(x, y) ∈ R2. Rećıprocamente, si u está
dada por u(x, y) = f(x), ∀(x, y) ∈ R2, entonces u es solución del problema dado.
Por lo tanto, el problema dado tiene solución clásica única.
Observaciones:
Tenemos dependencia continua en los datos del problema dado, puesto que la
solución u(x, y) es igual a la condición inicial f(x). Por lo tanto, el problema
dado es bien puesto.
Si, en el problema dado, se cambia la condición u(x, p(x)) = f(x) por
u(0, y) = f(y), y ∈ R, el problema sigue siendo de Cauchy, la curva inicial es el
eje de las ordenadas. Aśı, el problema no tiene solución (si f no es constante) o
tiene infinitas soluciones (si f es constante).
Además, aśı propuesto el problema no es bien puesto, puesto que
ut(0, y) = f
′(y), y por tanto f ′(y) = 0, ∀y ∈ R.
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Luego, para que exista solución, es preciso que f sea constante. Si f = k es
constante, como la solución general de la EDP es u(x, y) = g(x), ∀(x, y) ∈ R2, donde
g ∈ C1(R) es cualquier función que satisface g(0) = k.
Los problemas que involucren EDPs no homogeneas se resuelven de la misma
manera.
Por ejemplo, dado el problema uy = φ(x, y), (x, y) ∈ R
2
u(x, p(x)) = f(x), x ∈ R,
donde φ ∈ C1(R2), p, f ∈ C1(R) serán conocidos, las curvas caracteŕısticas
planas son las mismas, a lo largo de la recta x = xo.
la ecuación queda
d
dy
u(xo, y) = φ(x, y)
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Para hallar la solución en el punto (xo, yo) basta integral a lo largo del segmento de
recta determinado pot (xo, p(xo)) y (xo, yo),
Por lo tanto:
u(xo, yo) = u(xo, p(xo)) +
∫ yo
p(xo)
uy(xo, s)ds = f(xo) +
∫ yo
p(xo)
φ(xo, s)ds
osea,
u(x, y) = f(x) +
∫ y
p(x)
φ(x, s)ds, (1)
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Ejercicios:
Verificar si los sigientes problemas tienen solución si fueran aśı presentaremos dicha
solución.
1
{
uy = xe
y, ∀(x, y) ∈ R2
u(y2, y) = ey
2
+ y4, y ∈ R.
2
{
uy = xe
y, ∀(x, y) ∈ R2
u(y2, y) = y2ey, y ∈ R.
3
{
uy = 2xy, ∀(x, y) ∈ R2
u(ey, y) = y2 + 1, y ∈ R.
4
{
ux = 2xy, ∀(x, y) ∈ R2
u(x, x2) = 1, x ∈ R.
5
{
ux = 2xy, ∀(x, y) ∈ R2
u(x, x2) = x, x ∈ R.
Revisar el texto de: Iório, Valeria. (2001). EDP, um curso de graduaçao. Instituto
de Matemática Pura e Aplicada.
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	Condición de frontera de Neumann
	Condición de frontera de Cauchy
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