SISTEMAS DE EDO´S LINEALES DE PRIMER ORDEN

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Alumno: Hernández Leyva Luis Alfredo 
Fecha de entrega: 15/12/2002 
Grupo: 3MM6 
ECUACIONES DIFERENCIALES 
TAREA 3.- 
SISTEMAS DE EDO´S LINEALES DE PRIMER ORDEN. 
Resuelva las siguientes sistemas Homogéneos. 
𝒂) 𝒚´𝟏 = 𝒚𝟏 + 𝒚𝟐 
𝒚´𝟐 = 𝟗𝒚𝟏 + 𝒚𝟐 
𝐴 = (
1 1
9 1
) 
𝑝(𝜆) = |(
1 1
9 1
) − (
𝜆 0
0 𝜆
)| 
= ⌈
1 −𝜆 1
9 1 −𝜆
⌉ = (1 − 𝜆)2 − 9 = 𝜆2 − 2𝜆 − 8 = (𝜆 + 2)(𝜆 − 4) = 0 
𝝀𝟏 = −𝟐 ; 𝝀𝟐 = 𝟒 
Para 𝜆1 = −2 Para 𝜆2 = 4 
𝑒−2𝑥 = 𝛽0 − 2𝛽1 𝑒
4𝑥 = 𝛽0 + 4𝛽1 
𝜷𝟎 = 𝒆
−𝟐𝒙 + 𝟐𝜷𝟏 𝜷𝟎 = 𝒆
𝟒𝒙 − 𝟒𝜷𝟏 
Realizamos una igualación: 
𝑒−2𝑥 + 2𝛽1 = 𝑒
4𝑥 − 4𝛽1 
6𝛽1 = 𝑒
4𝑥 − 𝑒−2𝑥 
𝜷𝟏 =
𝟏
𝟔
𝒆𝟒𝒙 −
𝟏
𝟔
𝒆−𝟐𝒙 
Se sustituye en 𝛽0: 
𝛽0 = 𝑒
−2𝑥 + 2 (
1
6
𝑒4𝑥 −
1
6
𝑒−2𝑥) 
𝛽0 =
1
3
𝑒4𝑥 −
2
3
𝑒−2𝑥 
∴ 𝒆𝑨𝒙 = 𝜷𝟎 + 𝜷𝟏𝑨 
𝑒𝐴𝑥 = (
1
3
𝑒4𝑥 −
2
3
𝑒−2𝑥) (
1 0
0 1
) + (
1
6
𝑒4𝑥 −
1
6
𝑒−2𝑥) (
1 1
9 1
) 
𝑒𝐴𝑥 = (
1
3
𝑒4𝑥 −
2
3
𝑒−2𝑥 0
0
1
3
𝑒4𝑥 −
2
3
𝑒−2𝑥
) + (
1
6
𝑒4𝑥 −
1
6
𝑒−2𝑥
1
6
𝑒4𝑥 −
1
6
𝑒−2𝑥
3
2
𝑒4𝑥 −
3
2
𝑒−2𝑥
1
6
𝑒4𝑥 −
1
6
𝑒−2𝑥
) 
𝑒𝐴𝑥 = (
1
2
𝑒4𝑥 +
1
2
𝑒−2𝑥
1
6
𝑒4𝑥 −
1
6
𝑒−2𝑥
3
2
𝑒4𝑥 −
3
2
𝑒−2𝑥
1
2
𝑒4𝑥 +
1
2
𝑒−2𝑥
) 
Considerando �⃑� = 𝑒𝐴𝑥�⃖� , desarrollamos los siguiente: 
�⃑� = (
𝑦1
𝑦2
) = (
1
2
𝑒4𝑥 +
1
2
𝑒−2𝑥
1
6
𝑒4𝑥 −
1
6
𝑒−2𝑥
3
2
𝑒4𝑥 −
3
2
𝑒−2𝑥
1
2
𝑒4𝑥 +
1
2
𝑒−2𝑥
) (
𝑘1
𝑘2
) 
𝑦1 =
1
2
𝑒4𝑥𝑘1 +
1
2
𝑒−2𝑥𝑘1 +
1
6
𝑒4𝑥𝑘2 −
1
6
𝑒−2𝑥𝑘2 
𝑦2 =
3
2
𝑒4𝑥𝑘1 −
3
2
𝑒−2𝑥𝑘1 +
1
2
𝑒4𝑥𝑘2 +
1
2
𝑒−2𝑥𝑘2 
∴ 𝑪𝟏 =
𝟏
𝟐
𝒌𝟏 ; 𝑪𝟐 =
𝟏
𝟔
𝒌𝟐 
LA SOLUCIÓN ES LA SIGUIENTE: 
𝒚𝟏 = 𝑪𝟏𝒆
𝟒𝒙 + 𝑪𝟏𝒆
−𝟐𝒙 + 𝑪𝟐𝒆
𝟒𝒙 − 𝑪𝟐𝒆
−𝟐𝒙 = 𝑪𝟏(𝒆
𝟒𝒙 + 𝒆−𝟐𝒙) + 𝑪𝟐(𝒆
𝟒𝒙 − 𝒆−𝟐𝒙) 
𝒚𝟐 = 𝟑𝑪𝟏𝒆
𝟒𝒙 − 𝟑𝑪𝟏𝒆
−𝟐𝒙 + 𝑪𝟑𝟐𝒆
𝟒𝒙 + 𝟑𝑪𝟐𝒆
−𝟐𝒙 = 𝟑𝑪𝟏(𝒆
𝟒𝒙 + 𝒆−𝟐𝒙) + 𝟑𝑪𝟐(𝒆
𝟒𝒙 − 𝒆−𝟐𝒙) 
 
𝒃) 𝒚´𝟏 = 𝒚𝟏 + 𝟐𝒚𝟐 
𝒚´𝟐 = 𝟐𝒚𝟏 + 𝒚𝟐 
 
 
 
 
 
 
HERNÁNDEZ LEYVA LUIS ALFREDO 
N° DE LISTA: 17 
3MM6 
 
LA SOLUCIÓN ES LA SIGUIENTE: 
 
𝒚𝟏 = 𝑪𝟏(𝒆
𝟑𝒙 + 𝒆−𝒙) + 𝑪𝟐(𝒆
𝟑𝒙 − 𝒆−𝒙) 
𝒚𝟐 = 𝑪𝟏(𝒆
𝟑𝒙 − 𝒆−𝒙) + 𝑪𝟐(𝒆
𝟑𝒙 + 𝒆−𝒙)