Levantamientos planimétricos 2021

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Sistemas de coordenadas planas topográficas.
La posición de un punto en el plano se lo puede identificar a través de dos sistemas de
coordenadas:
Coordenadas ortogonales: El punto es ubicado por las distancias a dos ejes
perpendiculares (X e Y) llamadas proyección X y proyección Y.
En Topografía y Geodesia se disponen los ejes coordenados de la siguiente manera:
• El semieje positivo de las X hacia arriba, coincidente con el Norte ya sea verdadero
(basado en la dirección del eje de rotación de la tierra), magnético (dado por la
dirección que toma la aguja magnetizada de una brújula en la posición del
observador), o arbitrario (dirección definida por dos puntos de referencia) .
• El semieje positivo de las Y hacia la derecha o este.
 Coordenadas polares: El punto es definido por una distancia y un ángulo, el acimut
 Definimos el Acimut de un lado P1P2 como el ángulo determinado por una semirrecta
paralela al semieje positivo de las X, con vértice en P1, gira en sentido horario, hasta
superponerse con dicho lado P1P2.
Los azimutes varían desde 0° hasta 360°
Agrim Virginia Arcuri Carou 1
ACIMUT de lado P1P2, difiere de 180º del acimut del lado P2P1, razón por la cual es de 
sumamente importante el orden de mención de los vértices del lado. 
Frecuentemente en topografía se utiliza la siguiente simbología para indicar el acimut:
A (P1→P2) o Ac P1P2 o (P1→P2): Acimut del lado P1P2 
A (P2→P1) o Ac P2P1 o(P2→P1) : Acimut del lado P2P1 
Cálculo de acimut conocido las coordenadas de 2 puntos
Conociendo las coordenadas de dos puntos se puede calcular el acimut del lado que los contiene. 
(T 1→T 2)=arctg( ΔYΔX )
(T 1→T 2)=arctg( YT2-YT1XT2-XT1)
Agrim Virginia Arcuri Carou 2
Cálculo de distancia entre 2 puntos de coordenadas conocidas
Aplicando el Teorema de Pitágoras se obtiene:
D ist T 1 T 2= √(x T 2 − x T 1 )2+ ( y T 2 − y T 1 )2
Métodos planimétricos topográficos
Los métodos planimétricos son los métodos que permiten obtener las coordenadas de un punto a 
partir de las coordenadas conocidas de otros puntos mediante la medición de distancias o ángulos.
Los métodos planimétricos se los puede clasificar en:
A. TRIANGULACIÓN
B. TRILATERACIÓN
C. POLIGONACIÓN
D. RADIACIÓN
E. GEOPOSICIONAMIENTO SATELITAL
F. FOTOGRAMÉTRICO
En un mismo trabajo se puede combinar diferentes métodos.
La metodología planimétrica y o altimétrica a desarrollar y el instrumental a utilizar para la
determinación de la posición de los puntos del terreno, depende de la precisión requerida según
la finalidad técnica del plano topográfico y la escala a desempeñar.
 La primera etapa de cualquier tarea consiste:
 en la recopilación de información sobre las características topográficas, climáticas,
construcciones civiles, datos hidrológicos si fueran necesarios. 
 recopilación cartografía existente, escritura y antecedentes pertinentes a la actividad a
desarrollar. 
 obtención de puntos de referencia con sus coordenadas y ubicación de los mismos tanto
planimétricos como altimétricos.
 análisis de la metodología a desarrollar e instrumental a utilizar según la precisión
requerida.
En el lugar de medición la primera actividad del topógrafo es realizar un meticuloso
reconocimiento de la zona de trabajo. Se selecciona los vértices pre-existentes en las
proximidades al sector del trabajo que tengan coordenadas en el sistema de referencia en el que
Agrim Virginia Arcuri Carou 3
se realice el trabajo. Es conveniente elegir éstos vértices con mayor visibilidad sobre la zona del
proyecto. Esta etapa es extremadamente fundamental para eludir complicaciones en la tarea
implicando importantes pérdidas de tiempos. 
Se analiza la viabilidad de la metodología elegida y la ubicación definitiva de los puntos a
densificar. Estos puntos deben ser intervisibles por tal motivo se los elige en lugares dominantes
del terreno. Se realiza sus materializaciones amojonándolos y señalizándolos. Se confecciona las
correspondientes monografías de los mismos. 
Se realiza las mediciones según la metodología planimétrica y/ o altimétrica programada.
DESCRIPCIÓN DE LOS MÉTODOS
A- TRIANGULACIÓN 
El método permite la obtención de las coordenadas planimétricas de un punto con mucha 
precisión que posteriormente se utilizará como puntos de arranque para las operaciones de
poligonación y radiación. 
Las coordenadas del nuevo punto se obtienen por la resolución de triángulos a partir de la 
medición de ángulos.
 Intersección directa o hacia adelante 
Haciendo estación con el teodolito en 2 puntos de coordenadas conocidas (T1 y T2) y
midiendo los ángulos horizontales a y . Se determina las coordenadas del punto P
Datos: XT1, YT1, XT2, YT2
Mediciones: , 
Incógnitas: XP, YP
Los vértices T1, T2, cuyo símbolo
es ∆, corresponden a puntos de coordenadas conocidas, generalmente medidas con una
precisión mayor pudiendo considerarlas para los trabajos de topografía como
coordenadas de valor exacto.
Por ejemplo
Incógnitas:
xP y yP
Agrim Virginia Arcuri Carou 4
Datos: 
xT1=2500 xT2=1500
yT1=3000 yt2=5000
Mediciones:
=620 42’3”
=52013’53”
El punto P se encuentra a la izquierda del lado T1T2 yendo de T1 a T2. 
La última observación es importante para identificar 1 solo punto con los datos dados de
lo contrario habría dos soluciones: P1 o P2.
Antes de empezar a calcular es conveniente realizar un croquis para ubicar
aproximadamente el punto P.
Para el cálculo de las coordenadas del punto P se procede de la siguiente manera:
 1 Paso: Se determina la distancia T1-T2 con las coordenadas de los puntos.
DistT 1T 2=√( XT 2−XT 1)2+(Y T 2−Y T 1 )2
DistT 1T 2=√(1500−2500)2+(5000−3000)2=2236,068
 2 Paso: Se define el azimut de (T1 → T2) con las coordenadas de los puntos.
Obsérvese que el azimut es un ángulo comprendido entre 900 y 1800 pues ∆Y>0 y ∆X<0
Agrim Virginia Arcuri Carou 5
tag (T 1→T 2)=
Y T 2−Y T 1
XT 2−XT 1
tag (T 1→T 2)=5000−3000
1500−2500
Acimut (T 1→T 2)=116° 33 ' 54
 3 Paso: Se calcula el acimut (T1P).
 
A (T 1→P )=A (T 1→T 2)−α
A (T 1→P )=116° 33 ' 54-62°42'03
A (T 1→P )=53 °51 ' 51
 4 Paso: Utilizando el Teorema del seno se obtiene la distancia T1-P
T 1P
senβ
= T 1T 2
sen (180−α−β )
T 1P
sen52 °13 ’53”
=2236,068
sen (180 °−62° 42 ’3”−52° 13 ’53”)
T 1P= 1949,247
 5 Paso: Se calcula las proyecciones XT1P y YT1P a partir del A(T1P) y la 
distancia T1-P.
∆XT 1P=T 1 P. cos (T 1→P )
∆XT 1P=1949,247 . cos (53° 51 ' 51´´ )
∆XT 1P=1149,474
Agrim Virginia Arcuri Carou 6
∆YT 1 P=T 1 P . sen(T 1→ P )
∆YT 1 P=1949,247. sen(53 °51 ' 51 '' )
∆YT 1 P=1574,253
 6 Paso: Se obtiene las coordenadas X e Y del punto P a partir de las coordenadas
de T1 y las proyecciones calculadas en el paso anterior.
XP=XT 1 +∆XT 1 P
XP=2500+1149,474=3649,474
YP=YT 1 +∆YT 1 P
YP = 3000 + 1574,253 = 4574,253
Para realizar un control en el cálculo de las coordenadas de P se efectúa operaciones 
similares a las efectuadas pero a partir del punto T2.
 1 Paso: se determina la distancia T2-T1.
D ist T 2 T 1=√( X T 1 − X T 2)2 + (Y T 1 − Y T 2)2
Dist T 1T 2=√(2500 −1500 )2+(3000 −5000 )2=2236,068
 2 Paso: El azimut de (T2 → T1), el mismo
está comprendido entre 2700 y 3600
pues que ∆Y<0 y ∆X>0
tagT 2→T 1=
Y T 1−Y T 2
XT 1−XT 2
tagT 2→T 1=3000−5000
2500−1500
AcimutT 2→T 1=296 ° 33 ' 54
 3 Paso: Se calcula el acimut (T2P).
Agrim Virginia Arcuri Carou 7
A (T 2→ P )=A (T 2→ T 1 )+ β
A (T 2→ P )=296 ° 33 ' 54 +52°13'53
A (T 2→ P )=348 ° 47 ' 47
 4 Paso: Utilizando el Teorema del seno se obtiene la distancia T2-P
´T 2 P
senα
=
´T 1 T 2
sen (180 − α − β )
´T 1 P
sen 62 ° 42 ' 03 ´ ´
= 2236,068
sen (180 ° − 62 ° 42 ’ 3” − 52 ° 13 ’ 53 ” )
´T 2 P=2191,231
 5 Paso: Se calcula las proyecciones XT2P y YT2P a partir del A(T2P) y la
distancia T2-P.
∆ XT 2 P= ´T 2 P . cos (T 2→ P )
∆ XT 2 P=2191,231 . cos (348° 47 ' 47 ´ ´ )
∆XT 2 P = 2149,473
∆ YT 2 P= ´T 2 P . sen (T 2 → P )
∆ YT 2 P=2191,231 . sen (348° 47 ' 47 ´ ´ )
∆ YT 2 P= − 425,748
 6 Paso: Se obtiene las coordenadas X e Y del punto P a partir de las coordenadas 
de T2 y las proyecciones calculadas en el paso anterior.
XP = XT 2 + ∆ XT 2 P
XP = 1500+ 2149,473= 3649,473
YP= YT 2+ ∆ YT 2 P
YP = 5000 − 425,748= 4574,252
Agrim Virginia Arcuri Carou 8
Las coordenadas del punto P determinadas a partir del vértice T2 son iguales a las calculadas
desde el punto T1 por lo tanto no se incurrió en errores de cálculos. La diferencia de 1mm
corresponde a errores de redondeo. 
La determinación de coordenadas de puntos por intersección directa es precisa. Por ello se emplea
estos puntos como puntos de apoyo para aplicar en otros métodos menos precisos.
También éste método sirve para dar coordenadas a puntos inaccesibles.
 Intersección lateral 
Se determina las coordenadas del punto P haciendo estación con el teodolito en ese punto
y en un punto de coordenadas conocidas (T1). Midiendo los ángulos  y . El punto T2 es
un punto inaccesible.
Datos: XT1, YT1, XT2, YT2
Mediciones:  y . 
Incógnitas: XP, YP
Las coordenadas de P de deducen con cálculos similares al método anterior.
 Intersección inversa o método de Pothenot 
A partir de 3 puntos de coordenadas X e Y conocidas (A, B, C) se determina las
coordenadas de un cuarto punto P dónde se hace estación y se mide los ángulos
horizontales α y β que forman las direcciones PA y PM , y PB y PC, respectivamente.
Datos: XA, YA, XB, YB, XC,YC
Mediciones:  y . 
Incógnitas: XP, YP
Agrim Virginia Arcuri Carou 9
La obtención de las coordenadas X e Y del punto P puede obtenerse por método gráfico
basado en conceptos geométricos o por método analítico utilizando los principios de
trigonometría.
o Solución geométrica
Algunas definiciones y propiedades de los elementos de la circunferencia necesarias para
obtener la solución geométrica 
 Un ángulo está inscrito si su vértice pertenece a la circunferencia y sus lados
interceptan la circunferencia.
 Los ángulos inscritos en el mismo arco son iguales.
 El radio es perpendicular a una tangente en su punto de tangencia.
Ángulo semiinscrito en una circunferencia es un ángulo cuyo vértice se encuentra en la
circunferencia y cuyos extremos son la recta tangente a la misma en el vértice del ángulo
Agrim Virginia Arcuri Carou 10
y una cuerda. Su medida es igual al ángulo es igual al ángulo inscrito cuyo arco sostiene.
 La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia.
Las coordenadas del punto P se obtiene como la intersección de 2 circunferencias una definida por
los puntos A B P y la otra por los puntos B C P.
Para su fin se debe determinar los centros de las circunferencias realizando los siguientes pasos:
Se traza la recta r1 formando con AB un ángulo 
Se construye una perpendicular a la recta r1 pasando por el punto A y la mediatriz al segmento AB.
Estas dos últimas rectas se cortan en el centro de la circunferencia O1. 
Se dibuja la circunferencia con centro O1.y radio O1A.
De igual manera se construye la circunferencia que pasa por PBC trazando una recta r2 formando
con CB un ángulo. La intersección entre la recta perpendicular a r2 por el punto C y la mediatriz
del lado BC corresponde al centro O2 de la circunferencia.
Agrim Virginia Arcuri Carou 11
Uno de los puntos de la intersección de las 2 circunferencias es B cuyas coordenadas eran
conocidas y el otro es P , el punto incógnita.
Si los cuatro puntos A, B C y P pertenecen a la misma circunferencia corresponde a una
indeterminación. Motivo por el cual en el terreno es aconsejable medir una cuarta
dirección con el fin de subsanar esta situación.
o Solución analítica
A partir de las distancias AB y BC calculadas con las coordenadas de los puntos A, B y C
conocidas y los ángulos  y  medidos se calcula las coordenadas del punto P mediante la
resolución de los triángulos APB y el BPC.
Agrim Virginia Arcuri Carou 12
La distancia PB es común a los dos triángulos y el valor de su distancia en cada uno de ellos
es:
En el triángulo APB: 
PB
sen ω
= AB
sen α
→ PB = AB . senω
sen α 
En el triángulo BPC: 
PB
sen φ
= BC
sen β
→ PB =BC . senφ
sen β
Se Iguala las dos expresiones obteniéndose:
AB .
senω
sen α
=BC . senφ
sen β
Luego 
 
senφ
sen ω
= AB
BC
.
senβ
sen α
= K (1)
Considerando que los lados AB y BC son datos calculados y los ángulos  y  son datos
obtenidos por la medición en consecuencia K es una constante.
El valor del ángulo γ se obtiene como:
γ=(B → A )− (B →C ) (2)
La sumatoria de los ángulos internos del cuadrilátero PABC es igual a 360º por lo tanto:
α + β + φ + γ + ω = 360 °
φ+ω=360 ° − (α+β + γ )=Z (valor conocido)
φ =Z − ω (3)
Recordando que: sen (a − b )= sen a . cos b −cosa . sen b y reemplazando la expresión (3)
en (1) se obtiene:
senφ
sen ω
=
sen (Z −ω )
senω
= sen Z . cos ω − cos Z . sen ω
senω
=sen Z . cotg ω − cos Z=K
Agrim Virginia Arcuri Carou 13
Despejando cotg ω 
cotg ω= K + cos Z
sen Z
tag ω= sen Z
K +cos Z
Se determina los valores de los ángulos ω y ϕ aplicando las siguientes expresiones:
 
ω=arctag sen Z
K +co s Z
φ =Z − ω
Siendo 360 ° − (α+β +γ )=Z y 
AB
BC
.
senβ
sen α
= K
Conociendo ω y ϕ, la determinación de las coordenadas del punto P es inmediato
calculando previamente el acimut A→P y la distancia AP.
(A→P)= (A→B)+ω
AP=AB .
sen (180− (α+ω ))
senα
=AB .
sen (α+ω)
senα
XP= XA + AP cos (A→P) 
YP= YA + AP sen (A→P) 
B- TRILATERACIÓN
Las coordenadas del nuevo punto se obtienen por la resolución de triángulos a partir de la
medición de lados. 
A partir de los avances tecnológicos con la creación de los instrumentos electrónicos de medición
de distancias, donde la medición de los lados son obtenidos con una gran precisión superando la
precisión angular, se relegó el método de triangulación por el de trilateración. 
Haciendo estación con el teodolito en 2 puntos de coordenadas conocidas (T1 y T2) se mide los
lados T1P y T2P respectivamente. Se determina las coordenadas del punto P en forma similar al
método de triangulación directa pero aplicando el teorema del coseno
Agrim Virginia Arcuri Carou 14
Datos: XT1, YT1, XT2, YT2
Mediciones: lados T1P y T2P 
Incógnitas: XP, YP
Por ejemplo
Datos: XT1=2000 YT1=1500
 XT2=1500 YT2=3200
Mediciones: 
lado T1P= 1232,765m
lado T2P= 1543,140m
Incógnitas: XP y YP ubicado a la izquierda yendo de T1 a T2
• 1 Paso: Se determina la distancia T1-T2 con las coordenadas de los puntos.
D ist T 1 T 2=√( X T 2 − X T 1)2 + (Y T 2 − Y T 1)2
DistT 1T 2=√(1500−2000 )2+(3200−1500)2=1772,005
• 2 Paso: Se define el azimut de (T1 → T2) con las coordenadas de los puntos.
Obsérvese que el azimut es un ángulo comprendido entre 900 y 1800 pues ∆Y>0 y ∆X<0
tag (T 1→T 2)=
Y T 2−Y T 1
XT 2−XT 1
Acimut (T 1→T 2)=106 ° 23' 22 ' '
 3 Paso: Cálculo del ángulo del vértice T1 (α) mediante el teorema del coseno 
T 2 P2=T 1T 22+T 1P2−2⋅T 1T 2⋅T 1 P⋅cosα
1543,1402=1772,0052+1232,7652−2⋅1772,005⋅1232,765⋅cosα
α=58 ° 34 ' 00 ' '
 4 Paso: Se calcula el azimut T1→P 
Agrim Virginia Arcuri Carou 15
(T 1→P)=(T 1→T 2)−α
(T 1→P)=47 ° 49 ' 22 ' '
 5 Paso: Se calcula las proyecciones XT1P y YT1P a partir del Acimut (T1P) y la
distancia T1-P.
∆ XT 1 P= ´T 1 P . cos (T 1→ P )
∆XT 1 P=1232,765 .cos (47 ° 49 ' 22´´ )
∆XT 1P= 827,711
∆ YT 1 P= ´T 1 P . sen (T 1→ P )
∆YT 1 P=1232,765. sen ( 47° 49 ' 22 '' )
∆YT 1 P=913,567
• 6 Paso: Se obtiene las coordenadas X e Y del punto P a partir de las coordenadas de T1 y 
las proyecciones calculadas en el paso anterior.
X P = XT 1 + ∆ X T 1 P
XP=2000+827,711=2827,711
YP = YT 1 + ∆ YT 1 P
YP=1500+913,567=2413,567
C- POLIGONACIÓN
La poligonación es uno de los métodos topográficos para determinarde forma rápida la posición
planimétrica de una serie de puntos del terreno P1, P2, ... Pn llamados vértices referidos a un
sistema de coordenadas rectangulares planas. Para tal fin se debe medir el ángulo horizontal en
cada uno de los vértices y la distancia horizontal entre vértices consecutivos. 
Agrim Virginia Arcuri Carou 16
Las poligonales se utilizan para determinar puntos de apoyo para una posterior densificación del
levantamiento topográfico utilizando el método de radiación, o para establecer puntos de control
de ejecución de obras, o para fijar puntos en el replanteo de proyectos. 
Propagación de acimutes
Los acimutes de los lados una poligonal se calcula a partir de un acimut pudiendo ser este
astronómicos, magnéticos o arbitrarios, dependiendo del tipo de norte empleado. 
Los ángulos pueden ser leídos a la derecha o izquierda en el sentido de avance de la poligonal.
 Ángulos a la izquierda: Considerando que la graduación del limbo acimutal del teodolito es
en sentido horario entonces el ángulo a la izquierda será dado por:
α= dirección del vértice “adelante” – dirección del vértice “atrás” 
El acimut T1→P2 se lo obtiene como:
(T1→P2) = (T1→T2) + α1
Como se observa en la figura el cálculo de los sucesivos acimutes, se halla como:
Agrim Virginia Arcuri Carou 17
(P2→P3) = (P2→T1) + α2 = (T1→P2) + 1800 + α2
Se debe aclarar que si el resultado es mayor a 360° simplemente se le resta este valor.
(P3→P4) = (P3→P2) + α3 = (P2→P3) + 1800 + α3
Se calcula sucesivamente los acimutes de esta forma hasta el último lado de la poligonal.
 Ángulos a la derecha se obtendrán como:
α= dirección del vértice “atrás” – dirección del vértice “adelante”
El calculo de los acimutes es similar al caso anterior pero los ángulos se deben 
restar como se observa en la figura.
Agrim Virginia Arcuri Carou 18
 (P2→P3) = (P2→T1) - α2 = (T1→P2) + 1800 - α2
(P3→P4) = (P3→P2) - α3 = (P2→P3) + 1800 - α3
Por consiguiente en la medición angular en el terreno, se tiene que adoptar previamente un
sentido en el recorrido, numerando correlativamente las estacas o mojones que materializan los
sucesivos vértices.
Las poligonales pueden ser clasificadas en:
 Poligonales cerradas en las cuales se conocen las coordenadas de los puntos inicial y final, 
y el acimut inicial y final, siendo también posible efectuar los controles de cierre angular y 
lineal.
 Un caso especial es polígono donde el punto de inicio es el mismo punto de cierre,
proporcionando por lo tanto control de cierre angular y lineal.
 Poligonales abiertas en las cuales no es posible establecer los controles de cierre, ya que
no se conocen las coordenadas del punto final, o no se conoce la orientación de la
alineación final. Al no tener control angular y/o lineal no es aconsejable medir una
poligonal que supere los tres lados para que la propagación de errores no invalide el
trabajo.
Agrim Virginia Arcuri Carou 19
Poligonales cerradas
Este método permite el control de cierre angular y lineal y la compensación de los errores
respectivos. Una vez calculado todos los acimutes el acimut final debería diferir en 180º del
conocido. 
Si los ángulos se midieron a la izquierda debería cumplirse que:
Acimut inicial + ∑ αi = Acimut final + (n-1) . 1800 
En caso de ángulos medidos a la derecha 
Acimut inicial + (n-1) . 1800 = Acimut final + ∑ αi 
(siendo n el número de ángulos medidos)
Pero en general ello no ocurre, debido a la acumulación de los errores accidentales de la medición
angular. La diferencia entre el valor del acimut calculado a través de la poligonal y el valor
“verdadero” del acimut de cierre constituye el error de cierre angular “Eα”.
Si la diferencia está dentro de la tolerancia angular propuesta para el trabajo, se realiza la
compensación. 
Según sea la finalidad técnica la tolerancia angular oscila, en general, entre los siguientes valores:
 T=20 ’’ √n para poligonales de gran precisión topográfica;
 T=40 ’’√n para poligonales de precisión normal topográfica;
 T=1 ’√n para poligonales de escasa precisión topográfica
Si el error de cierre angular no fuera menor o igual que la tolerancia angular, se debería medir de
nuevo los ángulos. Si la equivocación fuera en un sólo vértice se puede determinarlo calculando la
poligonal de atrás a adelante y de adelante hacia atrás, de tal forma que (si el error es en un sólo
vértice) el vértice que tenga coordenadas iguales en los dos cálculos será el que haya brindado el
ángulo equivocado. Pues en las dos direcciones el cálculo se desvirtúa a partir de éste vértice. En
este caso se vuelve al campo y se mide únicamente dicha estación.
Si el error de cierre angular fuera menor a la tolerancia angular se reparte el error E en forma
equitativa en todos los ángulos medidos pues es independiente de la magnitud del ángulo
medido, como se demuestra en el siguiente análisis:
Un ángulo acimutal está definido como la diferencia de dos direcciones:
 α = d2 – d1
Agrim Virginia Arcuri Carou 20
Su error según la expresión general de propagación de errores es:
mα=√md 12 +md 22
Al utilizar el mismo instrumento en la medición de las 
direcciones se acepta la homogeneidad de la precisión de 
las mismas:
md 1=md2 =md
Entonces: mα =md √2
Ésta expresión refleja que el error angular es independiente
de la magnitud del ángulo y solo depende del error en la 
medición de las direcciones que lo determinan.
La corrección en cada ángulo es: 
C α=
− Eα
n
La corrección también se puede efectuar sobre los acimutes, aplicando una corrección
acumulativa, (múltiplo de la corrección angular), a partir del primer ángulo medido. Es decir,
primer acimut se corrige con Cα, el segundo con 2Cα y así sucesivamente, hasta el último acimut
que se corrige con nCα.
Una vez calculado los acimutes de los lados se calcula las proyecciones de esos lados sobre
ambos ejes (∆Xi y ∆Yi ), que al ser sumados algebraicamente con las coordenadas conocida del
punto de arranque de la poligonal permite determinar las coordenadas de los sucesivos vértices
de la misma.
Agrim Virginia Arcuri Carou 21
∆X=P1P2 . Cos (P1→P2 )
∆Y=P1P2 . sen (P1→P2 )
La suma de las proyecciones sobre el eje x debe ser igual a la diferencia entre las coordenadas X
de los puntos de control inicial y final con coordenadas conocidas, y de igual manera la suma de las
proyecciones sobre el eje y debe ser igual a la diferencia entre las coordenadas Y de los puntos de
control inicial y final .
Debido a los inevitables errores instrumentales y operacionales presentes en la medición de
distancias, la condición lineal mencionada nunca se cumple, obteniéndose de esta manera un
error en el eje X y un error en el eje Y. 
El error total lineal se lo calcula aplicando el Teorema de Pitágoras. A dicho error se lo denomina
“fecha” 
F=√Ex2 +E y2 . 
-Si la flecha del error es mayor a la tolerancia prefijada se debe verificar las mediciones efectuadas.
Obsérvese que el cálculo del ACIMUT (“”) del error F
 ϕ=arctg( EYEX )
es conveniente porque proporciona un elemento fundamental para intuir en qué lado de la
poligonal pudo haberse cometido un error grosero al medir su longitud. Por ende se comienza por
comprobar aquellos lados cuyo acimut calculado sea similar al de F . 
Agrim Virginia Arcuri Carou 22
-Si la flecha del error es menor a la tolerancia prefijada se procede a la compensación lineal la 
misma se realiza considerando que el error ocurre en proporción directa a la distancia.
C∆Xi , i+1=
−Ex
∑ li
.li (1)
C∆Yi ,i+ 1=
−EY
∑ li
.li (2)
Las expresiones anteriores indican las correcciones a aplicar a los incrementos ∆Xi y ∆Yi son
proporcionalmente a la longitud de los lados.
El signo negativo es debido a que la corrección esde signo contrario al error.
Cuando los incrementos en X y en Y son muy distintos , se asigna mayor peso al obtenido 
partiendo de la proyección mayor. Las correcciones a aplicar a los incrementos ∆xi y ∆yi son 
proporcionales a las proyecciones parciales coordenados de los lados. Las expresiones que reflejan
dicho criterio son las siguientes
C∆ Xi− i+1=
− Ex
∑|Δ X (i ,i+1 )|
.|Δ X (i , i+1)|
C∆ Yi− i+1=
− EY
∑|ΔY (i , i+1)|
.|ΔY (i ,i+1 )|
Luego se determina los incrementos en X e Y corregidos
∆ X icorregido=∆ X ∆ i+C Xi
∆ Y icorregido=∆ Y ∆ i+CYi
Sumando los incrementos a las coordenadas de punto inicial se calculan las X e Y definitivas de los
vértices de la poligonal.
 
La fijación de la tolerancia lineal depende del compromiso técnico de la medición, al número de
lados, etc . 
Una vez determinada la precisión angular mα con la que debe medirse la poligonal debe ser
acorde con la precisión lineal εL. Se deduce que:
Agrim Virginia Arcuri Carou 23
mα ≃ε l .√ 3n
 De la expresión anterior se desprende que mα depende de la cantidad de número de estaciones 
(n) realizada en la poligonal. En la práctica este número varía entre entre 3 y 30 generalmente en 
la gran mayoría de los casos. Por lo tanto:
Si n=3 mα≃ε l
Si n=12
mα≃
ε l
2
Si n=30
mα≃
ε l
3
En la práctica se utiliza frecuentemente 
mα≃
ε l
2 si el valor de n no es muy chico.
Ejemplo: Se proyecta medir una poligonal de longitud L 2,5 km con cinta , y se exige que su ≅
último vértice tenga una vacilación longitudinal ML = 0,50 m ¿Con qué precisión deberían medirse 
las direcciones de los ángulos para que resulte acorde con dicha precisión lineal?
ε l=
ml
l
ε l=
0,5
2500
= 1
5000
mα≃
ε l
2
mα≃
1
5000
2
= 1
10000
=20 ''
mα=md √2
 
md =
mα
√2 
md=
20 ''
√2
=15 ''
Respuesta: Con una precisión de aproximadamente ±15’’ 
Ejemplo de una poligonal cerrada de un polígono abierto
1. Hallar las coordenadas del vértices 3 con la siguiente información, si la tolerancia angular
está fijada para c= 40’’ y la vacilación lineal del punto es de 10 cm:
Agrim Virginia Arcuri Carou 24
1- Cálculo del acimut de arranque y cierre del polígono 
Acimut de arranque (2→1 ) se calcula de la siguiente manera:
tang (2→1)=
Y 1−Y 2
X 1−X 2
tang (2→ 1)= 20,91−109,22
221,48−150,67
(1→2 )=308 ° 43 ' 26' ' 
Obsérvese que el acimut (2→1 ) corresponde a un ángulo del cuarto cuadrante debido a que 
∆X>0 y ∆Y<0
El acimut de cierre (4 →5) se obtiene como
tang (4 →5 )=
Y 5−Y 4
X 5− X 4
tang (4 → 5 )=446,90−357,97
241,35−134,53
(4 →5 )=39 ° 46 ' 41''
2. Cálculo del error angular
Los ángulos se midieron a la derecha por lo tanto:
Acimut inicial + (n-1) . 1800 +Eα = Acimut final + ∑ αi 
La sumatoria de los ángulos medidos: ∑αi = 628º 56’17’’
El error angular εα = - 28’’ 
3. Comparación del error angular hallado con la tolerancia prefijada.
El error angular debe ser menor o igual a la tolerancia prefijada: εα≤ Tα 
Agrim Virginia Arcuri Carou 25
T α=c ∙√n
T α= 40 ''⋅√3
28’’ ‹ 70’’, por lo tanto se procede a realizar la compensación angular
4. Compensación angular.
La corrección angular será igual para cada ángulo, pues el peso de la medición angular no 
depende del valor del ángulo.
C α=
−ε α
n
Cα 2=9 ' ' Cα 3=9 ' ' Cα 4=10 ' '
Siendo αi corregido = αi + Cα , los nuevos valores angulares serán 
α 2=256 ° 25'58'' 
α 3=111 ° 31 ' 49 ''
α 4=260 ° 58 ' 58 ''
5. Cálculo del acimut de los lados
Los ángulos están medidos a la derecha en el sentido de avance de la poligonal.
(2→3 )=(2→1 )−α 2=308 ° 43
' 26 ''−256 ° 25 ' 58 =52° 17 ' 28 ''
(3→4 )= (2→3 )+180°−α3=52 ° 17
' 28 ' ' +180° −111 ° 31 ' 49''= 120 ° 45 ' 39 ' '
(4 →5 )=(3→ 4 )+180°−α 4=120° 45
' 39''+180° −260° 58 ' 58 '' =39° 46 ' 41 ''El acimut 4→5 calculado coincide con el determinado con las coordenadas de los puntos 4 y 5.
6. Cálculo de las proyecciones de los lados sobre los ejes X e Y 
∆X 23 =L 23 ∙cos (2 → 3 )=121,88 ∙ cos52 ° 17 ' 28'' = 74,55
∆Y 23 =L 23 ∙sen (2→ 3 )= 121,88 ∙ sen52 ° 17 ' 28'' = 96,42
∆X 34 =L 34 ∙ cos (3 → 4 )= 177,20 ∙ cos120 ° 45 ' 39'' = -90,63
∆Y 34 =L 34 ∙sen (3→ 4 )=177,20 ∙ sen120 ° 45 ' 39'' = 152,27
7. Cálculo de la flecha de error lineal f
Agrim Virginia Arcuri Carou 26
El cálculo de error en cada una de las coordenadas se obtiene como diferencia entre la suma de 
los incrementos X e Y calculados entre los puntos 2 y 4 y la resta de coordenadas consideradas 
como verdadera, las conocidas. 
∆X 24calculado=∑ ∆X i ,i+1=74,55 - 90,63=-16,08
∆Y 24calculado=∑ ∆Y i ,i+1=96,42 + 152,27=248,69
∆X 24 verdadero=X4−X2=134,53−150,67=-16,14
∆Y 24 verdadero=Y 4−Y 2=357,97−109,22=248,75
ε X =∆X 24 calculado−∆X 24 verdadero= -16,08−(-16,14 )=0,06m=6cm
εY =∆Y 24 calculado−∆Y 24 verdadero= 248,69−248,75=−- 0,06m=−6 cm
El error total, llamado flecha, es el módulo de la composición vectorial de los errores de cada 
coordenada.
F=√ε X2 +εY2 =√62+(−6)2=9 cm
El error lineal debe ser menor o igual a la tolerancia prefijada F<T
Siendo 9 cm< 10 cm se procede a la compensación.
8. Calculo de las correcciones lineales sobre las proyecciones de los lados
C∆Xi , i+1=
−Ex
∑ li
.li 
C∆Yi ,i+ 1=
−EY
∑ li
.li
CX 23=
−Ex
∑ li
.l23=
-6cm
299,08
∙121,88=−2cm
CY 23=
−EY
∑ li
.l23=
−( -6cm )
299,08
∙121,88=2 cm
Agrim Virginia Arcuri Carou 27
CX 34=
−Ex
∑ li
. l34=
-6cm
299,08
∙177,20=−4cm
CY 34=
−EY
∑ li
.l34=
−( -6cm )
299,08
∙177,20=4 cm
9- Compensación del error lineal sobre las proyecciones de los lados
ΔX
corregido( i,i+1)=ΔX ( i,i+1)+C Δx (i,i+1 )
ΔY
corregido (i,i+1)=ΔY i,i+1+C ΔY (i,i+1 )
∆X 23c=74,55−0,02=74,53m
∆Y 23c=96,42+0,02=96,44 m
∆X 34c=-90,63−0,04=-90,67m
∆Y 34c=152,27+0,04=152,31m
10- Cálculo de las coordenadas definitivas de los vértices del polígono
X3 = X2+ Δx23c =150,67 + 74,53 = 225,20
Y3 = Y2+ ΔY23c = 109,22 + 96,44 = 205,66
X4 = X3+ Δx34c = 225,20 - 90,67 = 134,53
Y4 = Y3+ ΔY34c = 205,66 + 152,31 = 357,97
Ejemplo de una poligonal cerrada de un polígono cerrado
Compensar la siguiente poligonal si la tolerancia angular está fijada es c= 40’’ y la vacilación lineal
del punto es de 15 cm:
Agrim Virginia Arcuri Carou 28
1- Cálculo del acimut de arranque 
Acimut de arranque ( A→ D ) se calcula de la siguiente manera:
tang ( A→D )=
Y D−Y A
XD−X A
tang ( A→ D )=1137,72−3493,39
2993,06−4336,59
( A→ D )=240° 18 ' 08'' 
Obsérvese que el acimut ( A→ D ) corresponde a un ángulo del tercer cuadrante debido a que 
∆X<0 y ∆Y<0
2. Cálculo del error angular
 La sumatoria de los ángulos interiores de un polígono es igual al producto entre el número de 
vértices disminuido en dos y 180° 
∑ β i = 180° ( n - 2 ) Siendo n= número de vértices
El factor (n-2) indica la cantidad de triángulos en los que se pueden dividir el polígono n lados 
desde un vértice y el valor 180° deriva de la sumatoria de los ángulos interiores de un polígonos de
tres lados. 
La sumatoria de los ángulos interiores de un cuadrilátero = 180° ( 4-2)= 360°
La sumatoria de los ángulos medidos: ∑αi = 360º 00’20’’
El error angular εα = 20’’ 
3. Comparación del error angular hallado con la tolerancia prefijada.
El error angular debe ser menor o igual a la tolerancia prefijada: εα≤ Tα 
T α=c ∙√n
T α=40 ''⋅√4
20’’ ‹ 80’’, por lo tanto se procede a realizar la compensación angular
4. Compensación angular.
La corrección en cada ángulo será:
Cα=
−ε α
n
=−20' '
4
=5 ' '
Siendo αi corregido = αi + Cα , los nuevos valores angulares serán:
α A=121 °19'45'' 
Agrim Virginia Arcuri Carou 29
α B=84 ° 48'05'' 
αC=99 °02 ' 25 ''
α D=54 ° 49' 45 ''
5. Cálculo del acimut de los lados
Los ángulos están medidos a la derecha en el sentido de avance de la poligonal.
( A→B )=( A→D )−α A=240 ° 18
' 08''−121 °19 ' 45 =118° 58' 23''
(B→C )=( A→B )+180°−α B=118° 58'23 '' +180° −84 ° 48 ' 05''=214°10'18 ''
(C→D )=(B→C )+180 °−αC=214 ° 10'
' 18''+180° −99 °02 ' 25 ''=295 °07 ' 53 ''
(D→A )=(C→D )+180 °−α D=295 °07'
' 53''+180° −54 ° 49 ' 45 ''=420 °18 ' 08 ''
(D→A)=420°18'08''−360°=60°18'08''
(D→A )=60°18'08''+180°=240°18'08''El acimut D→A calculado coincide con el determinado con las coordenadas de los puntos A y D.
6. Cálculo de las proyecciones de los lados sobre los ejes X e Y 
∆X AB =LAB ∙cos( A→B )=2293,25 ∙cos118°58 ' 23'' = -1110,846
∆Y AB =LAB ∙sen ( A→B )=2293,25 ∙ sen118° 58' 23'' = 2006,244
∆XBC =LBC ∙cos (B→C )=2089,10 ∙cos214 °10 ' 18'' = - 1728,434
∆Y BC=LBC ∙sen (B→C )=2089,10 ∙sen214 °10 ' 18'' = - 1173,394
∆XCD =LCD ∙cos (C→D )=3522,07 ∙cos295°07 ' 53'' = 1495,807
∆Y CD =LCD ∙sen (C→D )=3522,07 ∙ sen295° 07' 53'' = - 3188,658
7. Cálculo de la flecha de error lineal f
El cálculo de error en cada una de las coordenadas se obtiene como diferencia entre la sumatoria 
de los incrementos calculados de cada coordenada entre los puntos A y D y las obtenidas por la 
diferencia de coordenadas verdaderas de los puntos D y A. 
∆X AD calculado=∑∆X i ,i+1=-1110,846 + (-1728,434) + 1495,807= -1343,473
Agrim Virginia Arcuri Carou 30
∆Y AD calculado=∑∆Y i ,i+1=2006,244+ (-1173,394)+ (-3188,658)=-2355,808
∆X AD verdadero=X D−X A=2993,06−4336,59=-1343,53
∆Y AD verdadero=Y D−Y A=1137,72−3493,39=-2355,67
ε X =∆X AD calculado−∆X AD verdadero= -1343,473−( -1343,530 )=0,057m=57 mm
εY =∆Y AD calculado−∆Y AD verdadero= -2355,808−(-2355,670)=− 0,138m=−138 mm
La Flecha es:
F=√ε X2 +εY2 =√572+(−138 )2=149,3 mm=14,93cm
El error lineal debe ser menor o igual a la tolerancia prefijada F<T
14,93cm< 15 cm
Se procede a la compensación.
8. Calculo de las correcciones lineales de polígono cerrado son proporcionales a las proyecciones
de los lados sobre cada uno de los ejes
C∆ Xi− i+1=
− Ex
∑|Δ X (i ,i+1 )|
.|Δ X (i , i+1)|
C∆ Yi− i+1=
− EY
∑|ΔY (i , i+1)|
.|ΔY ( i ,i+1 )|
CX AB=
−Ex
∑|Δ X (i ,i+1 )|
.|Δ X (A ,B )|=-57mm4335,087m ∙1110,846m=−14 mm
CY AB=
−EY
∑|ΔY (i , i+1)|
.|ΔY ( A , B )|=
−( -138mm )
6368,296m
∙2006,244m=44 mm
CX BC=
−Ex
∑|Δ X ( i ,i+1 )|
.|Δ X (B ,C )|=-57mm4335,087m ∙1728,434m=−23 mm
CY BC=
−EY
∑|ΔY (i ,i+1 )|
.|ΔY (B ,C)|=
−( -138mm )
6368,296
∙1173,394=25mm
Agrim Virginia Arcuri Carou 31
CX CD=
−Ex
∑|Δ X (i , i+1)|
.|Δ X (C , D )|=-57mm4335,087m ∙1495,807m=−20 mm
CY CD=
−EY
∑|ΔY (i ,i+1)|
.|ΔY (C , D)|=
−( -138cm )
6368,296
∙3188,658=69mm
9- Compensación del error lineal sobre las proyecciones de los lados
Δ X corregido ( i , i +1)= Δ X (i , i +1)+C Δ x ( i , i +1)
Δ Y corregido ( i , i+1 )= Δ Y i , i+1+C ΔY (i , i+1)
∆X ABc=-1110,846m+ (-0,014m)=-1110,860 m
∆Y ABc=2006,244m+0,044m=2006,288 m
∆XBCc=-1728,434m+(-0,023m)=-1728,457m
∆Y BCc=-1173,394m+0,025m=-1173,369m
∆X CDc=1495,807m+(-0,020m)=1495,787
∆Y CDc=-3188,658m+0,069m=-3188,589
10- Cálculo de las coordenadas definitivas de los vértices del polígono
X B=X A +Δ X ABc=4336,59−1110,860=3225,730=3225,73
Y B=Y A+ΔY ABc=3493,39+2006,288=5499,678=5499,68
XC=XB+Δ XBCc=3225,730−1728,457=1497,273=1497,27
Y C=Y B+ΔY BCc=5499,678−1173,369=4326,309=4326,31
X D=X A+Δ XCDc=1497,273+1495,787=2993,06
Y D=Y A+ΔY CDc=4326,309−3188,589=1137,72
D- Radiación 
La radiación es un método de densificar puntos o detalles en torno a un punto conocido. 
Generalmente éste es un vértice de la poligonal, y la orientación angular se hará a la base anterior 
o posterior. Muchas veces la radiación es un método complementario de otro método de 
densificación.
Agrim Virginia Arcuri Carou 32
 Datos: XE, YE
Mediciones: (E→ Pn) , distancia EPn
Incógnitas: XP, YP
 Consiste en medir distancias y ángulos hacia puntos de coordenadas incógnita con respecto a un
punto E (estación) de coordenadas conocidas. El ángulo que se mide es el azimut por lo que se
tienen azimutes y distancias desde un punto de coordenadas conocidas a varios puntos de
coordenadas incógnita. 
A partir de las mediciones realizadas en el campo se calcula las proyecciones X y Y entre punto 
dato (punto estación) y punto incógnita.
∆X=P1P2 . Cos (P1→P2 )
∆Y=P1P2 . sen (P1→P2 )
Agrim Virginia Arcuri Carou 33