Proceso Adiabático de un gas ideal_EDO - MARIO ALAN DIAZ LOPEZ

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Proceso Adiabático de un gas ideal. 
Díaz López Mario Alan, Villalpando Hegewisch Luis Eduardo. 
Universidad de Guadalajara. 
Centro Universitario de Ciencias Exactas E Ingeniería. 
División de Ingenierías. 
Ingeniería en Mecánica Eléctrica. 
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. 
 
 
 
 
 
 
Profesor: Gustavo Corona 
 
 
Introducción. 
En la rama de la ciencia, específicamente la termodinámica, hay varios usos que se pueden dar 
para las ecuaciones diferenciales ordinarias, para empezar, la primera ley de la termodinámica, 
que es el principio de conservación de la energía aplicado a un sistema con varias partículas. 
La termodinámica estudia las transferencias de calor, conversión de la energía y la capacidad 
de los sistemas para producir trabajo, están regido bajo las leyes de la termodinámica globales 
que explican los comportamientos a nivel macroscópico en equilibrio. 
Una parte importante de la termodinámica es la relación entre el trabajo y el calor, son modos 
en que los cuerpos y los sistemas transforman su energía. 
Tanto trabajo mecánico a calor y calor a trabajo mecánico. 
En los componentes de un sistema está el entorno exterior, fronteras y entorno interior, puede 
ser un sistema cerrado y abierto. Si hay intercambio de masa y energía es un sistema abierto, si 
no hay transferencia de materia ni energía es aislado, si solo energía es cerrado y si no hay ni 
transferencia de calor y de materia y solo la energía cambia a trabajo es adiabático. 
Para un gas ideal se le denomina ecuación de estado; 
𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 
Donde; 
P – Es presión, unidad de medida por el SI, en pascal (Pa) 
V – Volumen, SI en metro cubico (m3) 
n- Número de moles, por el número de Avogadro, NA=6.023 × 1023 
R-Constante Universal del gas 
T- Temperatura en grados Kelvin. T = Celsius + 273.15 
 
Leyes de la termodinámica. 
 Ley cero, establece que, cuando dos cuerpos están en equilibrio térmico con un tercero, 
estos están a su vez en equilibrio térmico entre sí. 
 Primera Ley, relaciona el trabajo y el calor transferido intercambiado en un sistema a 
través de una nueva variable termodinámica, la energía interna. Dicha energía ni se crea 
ni se destruye, sólo se transforma. 
 Segunda Ley, establece que, si bien todo el trabajo mecánico puede transformarse en 
calor, no todo el calor puede transformarse en trabajo mecánico. 
 
 
 
 
Proceso Adiabático. Ecuación de estado de un gas ideal. 
PV=nRT del cual el trabajo es, dW=PdV 
 
Calor especifico; 
dU =nCVdt Cv= Volumen constante. 
 nCVdT=-PdV nCVdT=-Nrt/vDv CvdT+RT/VdV=0 
 
De este caso se tiene dos diferenciales, de temperatura y de Volumen. 
Forma una ecuación ordinaria de dos variables, aplicando la separación de variables queda; 
𝒅𝑻
𝑻
+
𝑹𝑽
𝑪𝑽
𝒅𝑽 = 𝟎 
Integrando ambas partes de la ecuación. 
∫
𝒅𝑻
𝑻
+ ∫
𝑹
𝑪𝑽𝒗
𝒅𝑽 = 𝟎 
Cambiando variables para integración ∫
𝑢
𝑑𝑢
 . 
Como R = 𝛾 −1, entonces; 
∫
𝒅𝑻
𝑻
+ ∫
(𝜸 − 𝟏)
𝑽
𝒅𝑽 = 𝟎 
(𝛾 − 1) Es una constante y sal como tal, quedando así: 
∫
𝒅𝑻
𝑻
+ (𝜸 − 𝟏) ∫
𝒅𝑽
𝑽
= 𝟎 
Integrando. 
𝐥𝐧 𝑻 + (𝜸 − 𝟏) 𝐥𝐧 𝑽 = 𝟎 
Aplicado Propiedades de los logaritmos. 
𝐥𝐧 𝑻 + 𝐥𝐧 𝑽(𝜸−𝟏) = 𝟎 
𝐥𝐧 𝑻𝑽(𝜸−𝟏) = 𝟎 
𝒆𝐈𝐧 𝑻𝑽
(𝜸−𝟏)
= 𝒆𝟎 
𝑻𝑽(𝜸−𝟏) = 𝟏 
Por lo tanto, 𝑻𝑽(𝜸−𝟏) = 𝑪𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆. 𝑻𝟏𝑽𝟏(𝜸−𝟏) = 𝑻𝟐𝑽𝟐(𝜸−𝟏) 
Y en función de presión parta gas ideal. 
𝑃𝑉(𝛾) = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒. 𝑃1𝑉1(𝛾) = 𝑃2𝑉2(𝛾) 
Ejemplo. 
La razón de conversión de un motor diésel es de 15 a 1; esto implica que el aire de los cilindros 
se comprime a un 
1
15
 de su volumen inicial. Si la presión inicial es de 1.01x105 pascales y la 
temperatura inicial es de 27°C, calcule la presión y temperatura final después de la compresión. 
El aire es su mayor parte una mezcla de oxígeno y nitrógeno diatomicos, con la constante de 
𝛾 = 1.40. 
 𝑻𝟏𝑽𝟏(𝜸−𝟏) = 𝑻𝟐𝑽𝟐(𝜸−𝟏) Despejando Temperatura 2. 
 
 𝑻𝟐 =
𝑻𝟏𝑽𝟏(𝜸−𝟏)
𝑽𝟐(𝜸−𝟏)
 𝑻𝟐 =
(𝟑𝟎𝟎𝑲)(
𝟏
𝟏𝟓
𝑽𝟏)(𝜸−𝟏)
(
𝑽𝟏
𝟏𝟓
)(𝜸−𝟏)
 𝑻𝟐 = (𝟑𝟎𝟎 𝑲)(𝟏𝟓)(𝜸−𝟏) 
𝑻𝟐 = (𝟑𝟎𝟎 𝑲)(𝟏𝟓)(𝟏.𝟒𝟎−𝟏)=(𝟑𝟎𝟎 𝑲)(𝟏𝟓)(𝟎.𝟒𝟎)=886.25 K 
Para la presión final se tiene que; 
 𝑃1𝑉1(𝛾) = 𝑃2𝑉2(𝛾) (1.01x105𝑝𝑎)(
𝑉2
15
)(𝛾) = 𝑃2(
1
15
𝑉1)(𝛾) 
(1.01x105𝑝𝑎)(15)(1.40) = 4475.578 𝐾𝑝𝑎 
 
En una transformación adiabática no se produce intercambio de calor del gas con el exterior (Q 
= 0). Se define el coeficiente adiabático de un gas (γ) a partir de las capacidades caloríficas 
molares tomando distintos valores según el gas sea monoatómico o diatómico: 
 
El gas se encuentra encerrado mediante un pistón en un recipiente de paredes aislantes y se deja 
expansionar. 
 
 
http://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/termo1p/calor.html#calorificagi
http://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/termo1p/calor.html#calorificagi
En este caso varían simultáneamente la presión, el volumen y la temperatura, pero no son 
independientes entre sí. Se puede demostrar usando el Primer Principio que se cumple: 
 
Haciendo cambios de variable mediante de la ecuación de estado del gas ideal, obtenemos las 
relaciones entre las otras variables de estado: 
 
 
 
Conclusiones. 
En cuanto a la aplicación de las ecuaciones diferenciales para la termodinámica es esencial para 
uso de integrales y constase en gases, presiones y volúmenes. 
En este caso se utilizó separación de dos variables para así después integrar con respecto a cada 
término encontrando la igualada correspondiente, fue una demostración que por medio de 
propiedades de logaritmos, integración básica y simple algebra se puede realizar. Esta es una 
de las pocos usos que se puede realizar a esta rama, hay más, sin embargo nosotros llegamos a 
que esta seria las más fácil y simple de explicar. 
 
 
 
 
 
 
 
Referencias 
Blas, T. M. (2017). Curso de Física Básica. Obtenido de 
http://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/default.htm 
Boles, Y. A. (2012). Termodinámica. Carolina del Norte: McGrawHill. 
 
http://es.wikipedia.org/wiki/Adiabasis
http://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/termo1p/estado.html