matrices - Oscar Benitez

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Tarea No. 6 
2.7 Determine la mejor relación funcional para ajustar los siguientes conjuntos de 
datos: 
 (b) (c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.20 Un reactor convierte un compuesto orgánico en el producto de P calentando el 
material en presencia de un aditivo A. El aditivo puede inyectarse en el reactor y el 
vapor puede inyectarse en un serpentín de calentamiento dentro del reactor para 
proporcionar calor. Se puede obtener alguna conversión calentando sin la adición 
de A, y viceversa. Para predecir el rendimiento de P, Yp (lb mol del producto por lb 
mol de alimentación), en función de la fracción molar de A, XA y la adición de vapor 
S (en lb mol / lb mil de alimentación), los siguientes datos fueron adquiridos 
 
Yp XA S 
0.2 0.3 0 
0.3 0.0 30 
0.5 0.0 60 
 
(a) Ajustar un modelo lineal 
𝑌𝑃 = 𝑐0 + 𝑐1𝑋𝐴 + 𝑐2 𝑆 
Que proporcione un ajuste de mínimos cuadrados a los datos. 
(b) Si requerimos que el modelo siempre deba ajustarse al punto YP = 0 para XA = 
S = 0, calcule c0, c1 y c2 para obtener un ajuste por mínimos cuadrados. 
X Y 
2 94.8 
5 87.9 
8 81.3 
11 74.9 
14 68.7 
17 64.0 
 
X Y 
2 0.0245 
4 0.0370 
8 0.0570 
16 0.0855 
32 0.1295 
64 0.2000 
128 0.3035 
 
 
 
 
Soluciones 
Problema 2.7 
b) 
𝑦 = 98.32 − 2.076𝑥 
 
 
c) 
𝑦 = 0.028 − 0.00170𝑥 
 
 
 
 
Problema 2.20 
 
a) 
𝑌𝑝 = 1 + 0.333 𝑋𝐴 + 0.006 𝑆 
 
b) 
𝑌𝑝 = 0.66 𝑋𝐴 + 0.0086 𝑆 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Operaciones 
Problema 2.7 
b) 
Con los datos proporcionados por el problema, se arman las matrices y y x: 
𝑦 =
[
 
 
 
 
 
94.8
87.9
81.3
74.9
68.7
64 ]
 
 
 
 
 
 𝑥 = 
[
 
 
 
 
 
1
1
1
1
1
1
 
2
5
8
11
14
17]
 
 
 
 
 
 
 
Se calcula la transpuesta de x 
𝑥𝑇 = [ 
1 1 1 1 1 1
2 5 8 11 14 17
] 
Ahora se calcula la multiplicación de xT* x 
 
 
𝑥𝑇𝑥 = [ 
1 1 1 1 1 1
2 5 8 11 14 17
] ∗
[
 
 
 
 
 
1
1
1
1
1
1
 
2
5
8
11
14
17]
 
 
 
 
 
 
 
𝑥𝑇𝑥 = [
6 57
57 699
] 
 
Ahora calculamos la inversa de la nueva matriz (𝑥𝑇𝑥)−1 Recordando que se realiza 
de la siguiente manera: 
(𝑥𝑇𝑥)−1 = 
𝐴𝑑𝑗 (𝑥𝑇𝑥)
𝐷𝑒𝑡(𝑥𝑇𝑥)
 
Al ser una matriz de 2x2, para la adjunta se puede realizar, cambiando de posición 
los números de la diagonal principal, y cambiando los signos de los números de la 
otra diagonal, de la siguiente manera: 
 
𝐴𝑑𝑗(𝑥𝑇𝑥) = [
6 57
57 699
] → [
699 −57
−57 6
] 
 
Para la determinante 
 
𝐷𝑒𝑡(𝑥𝑇𝑥) = [
6 57
57 699
] = (6 ∗ 699) − (57 ∗ 57) = 4194 − 3249 = 945 
 
Entonces 
(𝑥𝑇𝑥)−1 = 
1
945 
∗ [
699 −57
−57 6
] = [
233
315
−19
315
−19
315
2
315
] 
 
Ahora se obtiene a (𝑥𝑇𝑦) 
 
(𝑥𝑇𝑦) = [ 
1 1 1 1 1 1
2 5 8 11 14 17
] ∗
[
 
 
 
 
 
94.8
87.9
81.3
74.9
68.7
64 ]
 
 
 
 
 
= [
471.6
4153.2
] 
¿Por qué se realizan estas operaciones?, porque el modelo se ajustará a la forma 
𝑦 = 𝛽1 + 𝛽2𝑥 para determinar la mejor relación de los datos 
Y para obtener a β se tiene que 
𝛽 = (𝑥𝑇𝑥)−1 ∗ (𝑥𝑇𝑦) 
Por lo tanto, ya tenemos ambos datos y realizamos la ecuación 
 
(𝑥𝑇𝑥)−1 ∗ (𝑥𝑇𝑦) = [
233
315
−19
315
−19
315
2
315
] ∗ [
471.6
4153.2
] = [
98.32
−2.076
] 
Por lo tanto, el mejor modelo que describe a este conjunto de datos es: 
𝑦 = 98.32 − 2.076𝑥 
 
c) 
Para este inciso se utilizará el mismo método que el inciso anterior, primero las 
matrices y y x 
𝑦 =
[
 
 
 
 
 
 
0.0245
0.0370
0.0570
0.0855
0.1295
0.2000
0.3035]
 
 
 
 
 
 
 𝑥 = 
[
 
 
 
 
 
1
1
1
1
1
1
1
 
2
4
8
16
32
64
128]
 
 
 
 
 
 
 
Ahora la transpuesta de x 
𝑥𝑇 = [ 
1 1 1 1 1 1 1
2 4 8 16 32 64 128
] 
Ahora se calcula 𝑥𝑇𝑥 
𝑥𝑇𝑥 = 𝑥𝑇 = [ 
1 1 1 1 1 1 1
2 4 8 16 32 64 128
] ∗ 
[
 
 
 
 
 
1
1
1
1
1
1
1
 
2
4
8
16
32
64
128]
 
 
 
 
 
 
𝑥𝑇𝑥 = [
7 254
254 21844
] 
 
Ahora se obtiene la determinarte y la adjunta de dicha matriz 
𝐴𝑑𝑗(𝑥𝑇𝑥) = [
7 254
254 21844
] → [
21844 −254
−254 7
] 
𝐷𝑒𝑡(𝑥𝑇𝑥) = [
7 254
254 21844
] = (7 ∗ 21844) − (254 ∗ 254) = 152908 − 64516 
𝐷𝑒𝑡(𝑥𝑇𝑥) = 88392 
 
Entonces 
(𝑥𝑇𝑥)−1 = 
1
88392 
∗ [
21844 −254
−254 7
] = [
43
174
−1
348
−1
348
7
88392
] 
 
Ahora se calcula (𝑥𝑇𝑦) 
 
(𝑥𝑇𝑦) = [ 
1 1 1 1 1 1 1
2 4 8 16 32 64 128
] ∗
[
 
 
 
 
 
 
0.0245
0.0370
0.0570
0.0855
0.1295
0.2000
0.3035]
 
 
 
 
 
 
= [
0.837
61.917
] 
 
 
Finalmente se calcula a 
𝛽 = (𝑥𝑇𝑥)−1 ∗ (𝑥𝑇𝑦) 
 
(𝑥𝑇𝑥)−1 ∗ (𝑥𝑇𝑦) = [
43
174
−1
348
−1
348
7
88392
] ∗ [
0.837
61.917
] = [
0.028
−0.00170
] 
 
Por lo tanto, el modelo que mejor define al conjunto de datos es 
𝑦 = 0.028 − 0.00170𝑥 
 
 
Problema 2.20 
a) 
Primero construimos la matriz ‘y’ y la matriz ‘x’ de resultados: 
𝑦 = [
0.2
0.3
0.5
] 𝑥 = [
1 0 ⋅ 3 0
1 0 30
1 0 60
] 
Calculamos la matriz transpuesta de x: 
𝑥𝑇 = [
1 1 1
0.3 0 0
0 30 60
] 
Y se multiplica por la propia matriz x: 
 
𝑥𝑇𝑥 = [
1 1 1
0.3 0 0
0 30 60
] ∗ [
1 0 ⋅ 3 0
1 0 30
1 0 60
] 
𝑥𝑇𝑥 = [
3 0.3 40
0.3 0.1 0
90 0 4500
] 
Luego calculamos la determinarte y la adjunta de dicha matriz 
 
𝑑𝑒𝑡(𝑥𝑇𝑥) = 3 |
0.1 0
0 4500
| − 0.3 |
0.3 0
90 4500
| + 40 |
0.3 0.1
90 0
| = 81 
𝐴𝑑𝑗(𝑥𝑇𝑥) = [
405 −1350 −8.1
1350 5400 27
−8.1 27 0.18
] 
Con esto podemos calcular la matriz inversa: 
(𝑥𝑇𝑥)−1 =
1
81
∗ [
405 −1350 −8.1
1350 5400 27
−8.1 27 0.18
] 
(𝑥𝑇𝑥)−1 = [
5 −16.6 −0.1
−16.6 66.6 0.33
−0.1 0.33 0.0022
] 
 
Ahora calculamos (𝑥𝑇𝑦) 
(𝑥𝑇𝑦) = [
1 1 1
0.3 0 0
0 30 60
] ∗ [
0.2
0.3
0.5
] = [
1
0.6
39
] 
Finalmente se calcula a 
𝛽 = (𝑥𝑇𝑥)−1 ∗ (𝑥𝑇𝑦) 
(𝑥𝑇𝑥)−1 ∗ (𝑥𝑇𝑦) = [
5 −16.6 −0.1
−16.6 66.6 0.33
−0.1 0.33 0.0022
] ∗ [
1
0.6
39
] = [
1
0.333
0.006
] 
Por lo tanto, el modelo que mejor define al conjunto de datos es 
𝑌𝑝 = 1 + 0.333 𝑋𝐴 + 0.006 𝑆 
b) 
Si 𝑌𝑝 = 0 y 𝑋𝐴 = 𝑆 = 0 entonces 𝐶0 = 0 
Entonces construimos la matriz ‘y’ y la matriz ‘x’ de resultados: 
𝑦 = [
0.2
0.3
0.5
] 𝑥 = [
0.3 0
0 60
0 30
] 
Calculamos la matriz transpuesta de x: 
𝑥𝑇 = [
0.3 0 0
0 30 60
] 
Y se multiplica por la propia matriz x: 
𝑥𝑇𝑥 = [
0.3 0 0
0 30 60
] ∗ [
0.3 0
0 60
0 30
] 
𝑥𝑇𝑥 = [
0.09 6
0 4500
] 
Luego calculamos la determinarte y la adjunta de dicha matriz 
 
𝑑𝑒𝑡(𝑥𝑇𝑥) = (0.09)(4500) − 0 = 405 
𝐴𝑑𝑗(𝑥𝑇𝑥) = [
4500 0
0 0.09
] 
Entonces la matriz inversa es: 
(𝑥𝑇𝑥)−1 =
1
405
∗ [
4500 0
0 0.09
] 
 
(𝑥𝑇𝑥)−1 = [
11.11 0
0 0.0002
] 
 
Ahora se calcula (𝑥𝑇𝑦) 
(𝑥𝑇𝑦) = [
0.09 6
0 4500
] ∗ [
0.2
0.3
0.5
] = [
0.06
39
] 
Finalmente se calcula a 
𝛽 = (𝑥𝑇𝑥)−1 ∗ (𝑥𝑇𝑦) 
(𝑥𝑇𝑥)−1 ∗ (𝑥𝑇𝑦) = [
11.11 0
0 0.0002
] ∗ [
0.06
39
] = [
0.66
0.0086
] 
Por lo tanto, el modelo que mejor define al conjunto de datos es 
𝑌𝑝 = 0.66 𝑋𝐴 + 0.0086 𝑆