Criptografia e Sistemas de Equações Lineares

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MATEMÁTICA I - 2012 - Capítulo 6 
------------------------------------------------------------------------------------ 
 
CRIPTOGRAFIA BASICA Y SISTEMAS DE 
ECUACIONES LINEALES 
 
 
Las matrices inversas se pueden usar para proporcionar un procedimiento simple y efectivo para 
codificar y decodificar mensajes. 
Para codificar un mensaje los elementos que se requieren son: un emisor, un receptor, un mensaje y 
un código. 
Cuando hablamos de código, estamos hablando de un método de codificación, es decir algún 
algoritmo biunívoco (una función biyectiva), que asigne a cada carácter del mensaje otro carácter. 
Este método hace que el mensaje enviado por el emisor se transforme en una cadena de símbolos 
ilegibles para el resto de los receptores que no sean legales. Dependiendo de la calidad del método de 
codificación, el mensaje será más o menos difícil de descifrar si es capturado por receptores ilegales. 
 
Método de encriptación: 
* A las letras del alfabeto se le asignan los números del 1 al 27. Al espacio en blanco se le asigna el 
número 28, para poder separa palabras. Esta es una posibilidad, también podrían asignarse las letras 
en orden decreciente o comenzando por el número 3, etc. 
 
* Cualquier matriz cuyos elementos sean enteros positivos y sea invertible se puede usar como 
matriz de codificación. 
 
* Si la matriz de código es de nxn se construye con el mensaje una matriz de n filas y tantas 
columnas como sean necesarias, escribiendo los números por columna y rellenando al final con 
espacios en blanco si fuera necesario. 
 
* Luego se multiplica a izquierda por la matriz de código y el resultado es el mensaje codificado. 
 
* Para recuperar el mensaje se multiplica la matriz anterior a izquierda por la inversa de la matriz de 
código. 
 
Ejemplo: 
Mensaje a codificar: “vuelvo mañana” 
 
Secuencia que le corresponde: 
23 21 5 12 23 16 28 13 1 15 1 14 1 
 
Matriz de código, se elige cualquiera que sea invertible , debe ser conocida por el emisor y el 
receptor : C= 





12
31
 
 
Construcción de la matriz A (tendrá dos filas): 





28141513161221
1112823523
 
 
Multiplicando CA, se obtiene: B= 





30161769622267
85434667714186
 
El receptor es quien recibe esta matriz y debe conocer la inversa de la matriz de código para 
recuperar el mensaje. 
 
En este caso C-1=












−
−
5
1
5
2
5
3
5
1
 entonces al realizar el producto C-1 .B= C-1 . C. A= I. A=A y se recupera 
el mensaje en forma matricial. Es evidente que el receptor debe conocer tanto la primera fase de la 
codificación, es decir que número le corresponde a cada letra, como la segunda fase, es decir la 
matriz de código. 
 
 
 
2.1. Notación matricial de un Sistema. Soluciones. 
 
Dado un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas 
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
31 1 32 2 33 3 3 3
1 1 2 2 3 3
.....
.....
.....
..........................................................
.....
n n
n n
n n
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
+ + + + =
 + + + + = + + + + =


+ + + + =
 
se distinguen las siguientes matrices: 
11 12 13 14 1
21 22 23 24 2
31 32 33 34 3
1 2 3 4
.....
.....
..... 
... ... ... ... ... ...
.....
m n
n
n
n
m m m m mn
a a a a a
a a a a a
a a a a aA
a a a a a
R ×
 
 
 
 = ∈
 
 
 
 
 , 
1 1
2 2
3 3
1 x , b=
..... .....
n m
m
x b
x b
x b
x b
R ×
   
   
   
   = ∈
   
   
   
   
 
 
 
1 2
 es la matriz de coeficientes, b la matriz de términos independientes, en ambas sus entradas son números, 
x es la matriz de una columna de las incógnitas , ,..., .n
A
x x x
 
11 12 13 14 1
21 22 23 24 2
31 32 33 34 3
1 2 3 4
Conociendo el producto de matrices, el sistema puede escribirse en forma equivalente:
.....
.....
..... .
... ... ... ... ... ...
.....
n
n
n
m m m m mn
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
 
 
 
 
 
 
 
 
1 1
2 2
3 3 
..... .....
que indicaremos en forma breve .x=b.
 La matriz ampliada ( ) del sistema es la matriz de coeficientes a la que se agrega
como última 
n m
x b
x b
x b
x b
A
A b A
   
   
   
   =
   
   
   
   
columna la matriz de términos independientes.b
 
 
 
 Una solución del sistema es una n-upla 1 2( , ,..., )nc c c de números tales que reemplazando 
respectivamente 1 1 2 2 por , por ,....., por n nx c x c x c en cada una de las ecuaciones, se cumple la 
igualdad en todas ellas. 
 
 
 
2.2. Operaciones elementales y sistemas de ecuaciones lineales 
 
 
Si A.x=b es un sistema de ecuaciones, aplicando operaciones elementales de fila a la matriz A 
ampliada con la columna b de términos independientes, se obtiene una matriz equivalente, el sistema 
de ecuaciones correspondiente tiene las mismas soluciones que el de partida. 
 
2.2.1. Proposición. Si A.x = b es un sistema de ecuaciones lineales y e es una operación elemental 
de fila, entonces el sistema e(A).x= e(b) tiene las mismas soluciones que A.x = b. 
Demostración 
Sea c = 1 2( , ,..., )nc c c una solución de A.x = b, 
 
Caso 1 : e es multiplicar Fi por escalar α ∈ R, α ≠ 0 
Vale la igualdad ai1 c1 + ai2 c2 + ...+ ain cn = bi por ser c solución, también vale la igualdad 
multiplicando ambos miembros por α : 
α (ai1 c1 + ai2 c2 + ...+ ai n cn )= α bi , luego c es solución del sistema e(A).x = e(b), para este caso. 
 
Caso 2 : e es reemplazar Fi por Fi + αFk , entonces son válidas las siguientes igualdades 
ai1 c1 + ai 2 c2 + ...+ ai n cn = bi y también 
ak1 c1 + ak 2 c2 + ...+ ak n cn = bk 
Multiplicando la segunda por α y sumándola a la primera se conserva la igualdad, factoreando ci en 
cada sumando, queda lo siguiente: 
 ( ai1 + α ak1) c1 + ... + (ain + α akn) cn = bi + α bk 
 también queda probado para e del segundo tipo. 
 
Caso3 : e es permutar Fi con Fk , inmediato ya que es solamente permutar dos ecuaciones de lugar. 
 
El enunciado quedó probado para cuando se aplica una operación elemental de cualquiera de los 
tres tipos que hay. También vale cuando se aplica a las matrices A y b del sistema un número finito 
de operaciones elementales de fila. 
e1(A).x = e1(b) tiene las mismas soluciones que A.x=b, es decir : son sistemas equivalentes. Si se 
aplica una segunda operación elemental, resulta e2 oe1(A).x = e2oe1(b) equivalente a e1(A).x=e1(b), 
luego también equivalente al sistema A.x=b. Siguiendo, si se aplican k operaciones elementales 
1 2 1 1 2 1..... ( ). ..... ( )k k k ke e e e A x e e e e b− −=� � � � � � � � tiene las mismas soluciones que A.x = b . ���� 
 
 
 
2.2.2. Aplicación a los distintos tipos de Sistemas lineales 
 
El objetivo es encontrar las soluciones (o bien decidir que no hay) del sistema dado A.x=b. Las 
operaciones elementales se aplicarán a la matriz ampliada (A b), es decir a A y a b simultáneamente 
hasta llevar a la matriz A de los coeficientes a su matriz reducida equivalente AR . 
 
 
Ejemplo 1 Resolver el sistema 
2 2 2 4
2 1
 2 - -3
x y z
x y z
x y z
+ + =
 − − =
 + =
 2 
Se forma la matriz ampliada 
2 2 2 4
( ) 2 1 1 1
1 2 1 3
A b
 
 = − − 
 − − 
 y se le aplica una sucesión de operaciones 
elementales (no necesariamente única) para llevarla a ( )AR b′ donde AR es la reducida equivalente con 
A y b′ la columna resultante de esa misma sucesión de operaciones elementales. 
( )AR b′ es única cualesquiera sean las operaciones elementales elegidas para reducir A. 
 
2 1
1
3 1
1 2
2 3
3 2
2 2 2 4 1 1 1 2 1 1 1 2
21
2 1 1 1 2 1 1 1 0 3 3 3 , 
2
1 2 1 3 1 2 1 3 0 1 2 5
1 1 1 2 1 0 0 1 1 0 0 1
1 1
0 1 1 1 , 0 1 1 1 , 0 1 1 1
3 3
0 1 2 5 0 0 3 6
F F
F
F F
F F
F F
F F
    
−     − − → − − → − − −     −     − − − − − −     
   
−− −   → → →   −   − − − −   
2 3
,
0 0 1 2
1 0 0 1
 0 1 0 1
0 0 1 2
F F
 
 
 
 
 
 
 − → − 
 
 
 
 
 
La última matriz obtenida es la más simple equivalente a la matriz ampliada del sistema dado. 
La matriz AR reducida equivalente a A en este caso es la identidad. 
El sistema así obtenido da las soluciones del sistema dado. 
El sistema equivalente al de partida con notación usual y con la matricial es el siguiente: 
 
 
1 0 0 1
0 1 0 . 1 , 
0 0 1 2
x
y
z
     
     = −     
     
     
 
0 0 1
0 0 1
0 0 2
x y z
x y z
x y z
+ + =
 + + = −
 + + =
 
 
 La solución única de este sistema dado es : 1, -1, 2x y z= = = , es un sistema compatible determinado. 
 
 
 
 
 
En el Ejemplo 1 el sistema tiene solución única. Esto no ocurre siempre. 
Si un sistema no tiene ninguna solución es incompatible. 
Si tiene solución es compatible, y existen dos posibilidades: que haya una única solución (como en el 
Ejemplo 1) en cuyo caso se llama compatible determinado, o que el conjunto de soluciones sea infinito , en 
este caso el sistema es compatible indeterminado. 
 
 
 
Observación : La palabra "indeterminado" sugiere que las soluciones no pueden conocerse, esto no 
es así : las infinitas soluciones de un sistema compatible indeterminado siguen todas una misma "ley" 
(que suele llamarse solución general), a partir de la cual se puede obtener cualquier solución 
particular. En un ejemplo se verá que también esa solución general se encuentra aplicando 
operaciones elementales a la matriz ampliada (A b), hasta llevar A a su matriz equivalente AR 
reducida por filas. 
 
 
 
 
 Ejemplo 2. Ejemplo de un sistema con infinitas soluciones (compatible indeterminado), se 
encontrará el conjunto de sus infinitas soluciones : 
 
2 4 5
2 2 3 3
3 3 4 2 1
x y z t
x y z t
x y z t
+ − + =
 + − + =
 + − − =
 
 
 Se construye la correspondiente matriz ampliada ( )A b y se le aplican operaciones elementales hasta obtener 
( )AR b′ donde AR es la reducida equivalente a A y b′ la columna que resulte habiendo aplicado a 
b la misma secuencia de operaciones elementales. 
 
2 1
3 1
3 2 1 2
1 1 2 4 5 1 1 2 4 5
2
( ) 2 2 3 1 3 , 0 0 1 7 7 ,
3.
3 3 4 2 1 0 0 2 14 14
1 1 -2 4 5 1 1 0 -10 -9
2 0 0 1 -7 -7 , 2 0 0 1 -7 -7 ( )
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A
F F
A b
F F
F F F F R b
− −   
−   = − → − −   −   − − − −   
   
    ′− → + → =   
   
   
 
 
En este como en todos los casos, la sucesión de operaciones elementales aplicada no es única, no debe 
necesariamente ser la que se muestra ahí arriba, pero cualesquiera sean las operaciones elementales y el orden 
en que se apliquen, la matriz final obtenida( )AR b′ es siempre la misma, ésa es única. 
 
La matriz ( )AR b′ es la matriz ampliada correspondiente a un sistema equivalente (es decir: con las mismas 
soluciones) que el enunciado. Escrito en forma matricial y en la forma corriente queda: 
 
1 1 0 10 9
0 0 1 7 . 7
0 0 0 0 0
x
y
z
t
 
− −    
    − = −           
 
 
 
10 9
 7 7
x y t
z t
+ − = −
 − = −
 del que se obtiene 
9 10
7 7
x y t
z t
= − − +
 = − +
 
 
 
Las letras , son variables libres, pueden adoptar cualquier número real, 
esto se indica con: , R. En cambio , son dependientes (dependen 
de los valores elegidos para y para ). 
y t
y t x z
y t
∈ 
 
El hecho de que haya al menos una variable libre, que recorre todos los números reales,
hace que el conjunto de soluciones del sistema sea infinito.
 
En este ejemplo el conjunto de infinitas soluciones (la solución general) del sistema original planteado es
S = { ( 9 10 , , - 7 7. , ) ; , Ry t y t t y t− − + + ∈ } 
Si se quiere obtener una solución particular, se asignan números determinados a las libres (en este 
ejemplo y, t) y con esos valores se obtienen los de x y z. 
 
 
 
Observación. Antes de dar un ejemplo de aplicación de operaciones elementales a un sistema 
incompatible, en este ejemplo sencillo se ve qué significa la incompatibilidad : 
 
1 2
1 2
2 1
2 0
x x
x x
+ =
 + =
 
 
Usando el método corriente de despejar e igualar, se obtiene al despejar y de ambas ecuaciones : 
 1 11 2 2x x− = − equivalente a 1 = 0 (Falso). 
Siempre se llega a una falsedad cuando se quiere resolver un sistema incompatible. 
 
En este ejemplo simple la incompatibilidad surge del hecho de que la segunda ecuación pide 
que el doble de 1x sea el opuesto de 2x (que es único), en la primera ecuación se está pidiendo que el 
doble de 1x sumado a 2x sea 1. No existe ningún par de números reales (ni complejos) que cumplan 
simultáneamente ambas condiciones. En esto reside la incompatibilidad : pedir en una ecuación (Ei) 
una determinada relación numérica, tal que, para por lo menos otra ecuación (Ek) del mismo sistema, 
ninguna de las soluciones de la ecuación (Ei), puede satisfacer la ecuación (Ek). 
 
 
 
Ejemplo 3. Ejemplo de un sistema incompatible, aplicando operaciones elementales de fila a la 
matriz ampliada. 
 
2 1
3 2 5
2 3
x y z
x y z
x y z
+ + =
 + + =
 + − =
 
 
2 1
3 2
3 1
1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1
3
3 2 1 5 0 1 5 2 0 1 5 2
2
2 1 -1 3 0 1 5 1 0 0 0 1
F F
F F
F F
     
−     → − − − → − −     −     − − −     
 
 
 
En el sistema equivalente que se obtiene, queda la última ecuación 0 0 0 1x y z+ + = − , imposible de 
resolver, equivale (cualesquiera sean x, y , z ) a la igualdad falsa 0 = -1. 
 
 
 
 
2.3. El siguiente teorema permite establecer comparando el rango de la matriz de coeficientes con el 
de la matriz ampliada si el sistema es compatible o incompatible. 
 
 
2.3.1. Teorema (Rouché, Frobenius). Sea A x = b un sistema de m ecuaciones lineales con n 
incógnitas, 
 
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
31 1 32 2 33 3 3 3
1 1 2 2 3 3
.....
.....
.....
..........................................................
.....
n n
n n
n n
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
+ + + + =
 + + + + = + + + + =


+ + + + =
 
 A x = b es compatible si y sólo si ( ) ( b)r A r A= 
 
Además, si ( ) ( b)r A r A= = n (número de incógnitas), entonces la solución es única, (sistema 
compatible determinado), si ( ) ( b)r A r A= <<<< n, entonces tiene infinitas soluciones (sistema 
compatible indeterminado). 
 
 
 
Ejemplo 
Para el sistema 
2 1
3 2 5
2 3
x y z
x y z
x y z
+ + =
 + + =
 + − =
 del Ejemplo 3 de la sección 2.2.2, es ( ) 2r A = ( b)=3r A< , de 
acuerdo con el teorema el sistema es incompatible. 
 
 
Observación: Este teorema permite clasificar el sistema, no obtener las soluciones en caso que 
existan. 
 
 
 
2.4. Sistemas homogéneos de ecuaciones lineales 
 
2.4.1. Definición. Un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si todos los términos 
independientes son ceros. 
 
Su notación matricial es A.x =O donde O indica una matriz columna nula. 
 
2.4.2 Observación Todo sistema homogéneo es compatible : la solución trivial es aquella en la 
que se reemplazan todas las incógnitas por ceros, esta solución nula la tienen todos los sistemas 
homogéneos, por esa razón se llama trivial. Si el sistema homogéneo es determinado, tiene una única 
solución que debe necesariamente ser la trivial. Si es indeterminado tendrá, además de la trivial, otras 
infinitas soluciones. 
Aplicando el teorema 2.3.1 a un sistema homogéneo los rangos de ambas matrices siempre coinciden 
debido a que la columna que se agrega para construir la matriz ampliada es nula. Este número puede 
coincidir con el número n de incógnitas (compatible determinado)o ser menor que n (compatible 
indeterminado). 
 
Un sistema homogéneo se resuelve mediante operaciones elementales como los anteriores. 
 
 
2.4.3 Teorema. Sea A.x=O un sistema homogéneo donde A ∈ Rmxn, O es la matriz nula mx1 y x 
la matriz columna de n incógnitas xi , i =1,...,n. 
Sean c y c´ dos soluciones del sistema y k ∈ R, entonces c + k.c´ también es una solución del 
sistema dado. 
 
Demostración. Siendo c y c´ soluciones las siguientes son igualdades : 
A.c = O y A. c´= O . Se debe probar que sustituyendo x por (c + k. c´) 
también se obtiene una igualdad : 
 A (c+k. c´) = A.c + A. k. c´ = A. c + k. A. c´= O + k.O = O (porque A.c = O y 
A. c´= O), luego c + k. c´ es solución de A. x = O . ���� 
 
…………………………………………………………………………………………………….. 
EJERCICIOS 
1) Utiliza la siguiente matriz de código C= 










130
001
010
, para decodificar el siguiente mensaje: 
22 20 71 21 19 68 5 28 29 5 28 27 17 28 52 3 9 18 12 1 64 
 (la biyección es la que asigna los números del 1 al 27 a las letras y 28 al espacio blanco) 
 
2) Supongamos que interceptas el siguiente mensaje: 42 22 24 19 26 5 
Se ha filtrado la información de que la primer letra del mensaje es una “S”, las letras están 
numeradas del 1 al 27 y que la matriz de código es 2x2 con la siguiente forma 





10
1 a
 Puedes 
descifrar el mensaje? 
 
3) Representar en el plano los siguientes sistemas, indicar qué observa en cada caso 
2 0 2 6 8 2 3
 
2 3 1 3 4 6 3 5
x y x y x y
x y x y x y
 + = + = − =
 + = + = − = −
 
 
4) Verificar que los valores dados son soluciones de los sistemas planteados. 
 En cada caso clasifique el sistema. 
(a) x=1, y =2 para 
3 5
1
x y
x y
+ =
 − = −
 (b) x=1, y=1 para 
0
2
3 2
x y
x y
x y
− =
 + =
 − =
 
(c) {(x,y) ; x = -3y} para 
3 0
3 9 0
2 6 0
x y
x y
x y
+ =
− − =
+ =





 (d) x=1, y=0, z= -1 para 
2 3
 4 4
 2
x y z
y z
x y z
+ + =
+ = −
− − =





 
 
(e) {(x, y, z) ; x =1+y, z=3y} para 
2 1
1
x y z
x y
+ − =
 − =
 
 
5) Aplicar el teorema de Rouché-Frobenius a los siguientes sistemas. Resolverlos : 
 a) 
1 2 3
1 3
2 3
2
 6
 4
x x x
x x
x x
− + =
 − =
 + =
 b) 1 2 3
2 3
1
 1
u u u
u u
+ + =
 − =
 c) 
2 3 1
0
2 3 4
x y z
x y z
x y z
+ − =
 + + =
 + + =
 d) 
1
2 3
3 0
x y
x y
x y
+ =
 − =
 − =

 
 e) 
2 7
3 5 4
2 3 1
x y z
x z
x y z
+ + =
 + =
 + + = −
 f) 1 2 3
1 2 3 4
2 3 1
2 5 2 2
x x x
x x x x
− + =
 + − + =
 g) 
2 3 2 0
3 7 2 4 0
4 3 5 2 0
x y z w
x y z w
x y z w
− + − =
 − − + =
 + + + =
 
 
6) Analizar la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones. Fundamentar la respuesta 
a) Todo sistema homogéneo tiene al menos una solución. 
b) Los sistemas homogéneos tienen siempre infinitas soluciones. 
c) Un sistema homogéneo que no tiene una única solución, tiene infinitas soluciones. 
d) Si un sistema no homogéneo no tiene solución única, debe tener infinitas soluciones. 
e) Si un sistema tiene más de una solución, entonces tiene infinitas. 
f) La ecuación x + y = 0 no tiene solución. 
g) Si para cada ecuación del sistema hay alguna solución, entonces el sistema tiene solución. 
h) Si un sistema es incompatible, entonces cada ecuación del mismo tampoco tiene solución. 
 
7) Determinar (si existen ) los valores de b para que los siguientes sistemas sean 
 i) compatible (en tal caso resolverlo, expresar la solución en la forma adecuada) 
 ii) incompatible 
 a) 
1 2 3 4
1 3 4
1 2 3 4
3 1
3 2 7 5
2 3 4
x x x x
x x x
x x x x b
+ − + =
 + + =
 − + + =
 b) 
3 7 5
4 3
5 7
r s t
r t b
r s t
− + =
 + =
 + − =
 c) 
1
2
3 8
2 2 6
x y z w
x y z w b
 − + − =

− + − + =
 
 
8) Determinar qué relación debe haber entre a, b y c para que este sistema sea compatible: 
 
2 3
2 6 11
2 7
x y z a
x y z b
x y z c
+ − =
 + − =
 − + =
 
 
9) Si la terna (2,1, 1)− es una solución de 
1 2 3
1 3
1 2
2 
 
x x x a
x x b
x x c
− + =
 + =
 + =
 
 hallar todas las soluciones del sistema. (piense dónde debe reemplazar 2, 1 y -1) 
 
10) En cada caso determinar, si existen, los valores de k tales que el sistema resulte, 
respectivamente: 
� compatible determinado 
� compatible indeterminado 
� incompatible 
 
 (a) 1 2
1 2
3 4
2 . 2
x x
x k x k
+ =
 + = +
 (b) 1 2
1 2
2 4
3 ( 1).
x x
x k x k
+ =
 + − =
 
 
 (c ) 
1 2 3
1 2 3. 1
x x x k
x k x x
+ + =
 + + = (d) 
1 2 3
1 2 3
3
. 1
 . 2
x x x k
x k x x
k x
+ + =
 + + =
 =
 
 
 
…………………………………………………………………………………………………… 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I - 2012 – Capítulo 7 
------------------------------------------------------------------------------------ 
 
 
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ 
 
 
 
3.1. Determinante de una matriz. 
 
 El determinante de una matriz A de orden 2 2× se calcula de la siguiente manera: 
 
 det 11 12
21 22
a a
a a
 
 
 
 = 11 22 21 12. .a a a a− 
 
 También se indica con barras │A│= 11 22 21 12. .a a a a− 
 
 
Se define a continuación, por recurrencia, el determinante de cualquier matriz cuadrada. 
Si A está en Rnxn el detA es un número de R, se puede pensar el determinante como una función 
 det: Rn x n →→→→ R que a toda matriz A en Rn x n le asigna el único número detA ∈∈∈∈ R. 
 
3.1.1. Definición. Sea A= ( ija ) matriz de R
n x n, 
• Si n= 1, A = ( 11)(a ) , se define detA = 11a 
• Se supone detA está definido para toda matriz ( 1) ( 1)n n− × − 
• Sea ahora A n n× , 
Sea ( / )A i j la matriz que se obtiene sacando de A la fila i y la columna j , esta matriz ( / )A i j 
es de orden ( 1) ( 1)n n− × − luego para ella está definido det( / )A i j 
Se llama adjunto (o cofactor) del coeficiente ija al valor ααααi j = 1 .( )
i j+− det ( / )A i j 
 
El determinante de A es la suma de los productos de los coeficientes de una fila (o una columna) 
cualquiera de A por sus respectivos cofactores, es decir, desarrollado por la fila i , es 
 
 detA =
1
.
n
ij ij
j
a α
=
=∑ 1ia .αi 1 + 2ia .αi 2 + ... + .ina αi n 
 
 
 
 
3.1.2. Observación. El determinante está bien definido: el valor detA es único cualquiera sea la fila 
o la columna de A que se elija para calcularlo. 
 
 
 
 
 
Ejemplo: 
Calcular detA siendo A = 
3 1 2
2 1 2
0 1 3
− 
 − − 
 − 
 
 
por la fila 2 , detA =. 21.a α 21 + 22.a α 2 2 + 23.a α 23 , 
 
calculando primero los cofactores αααα2 j : 
 
α 2 1 = ( - 1)2 + 1 . det A(2/1) = ( - 1) .
1 2
det
1 3
− 
 − 
 = -1 
 
 
α 2 2 = ( -1 ) 2 + 2 .detA(2/2) = 
3 2
det
0 3
 
 − 
 = - 9 
 
 
α 2 3 = (- 1 )2 + 3 . det A(2/3) = ( 1).−
3 1
det
0 1
− 
 
 
= - 3 
 
 
 detA = 2 . (- 1) + (- 1). ( - 9) + (- 2 ) . (- 3 ) = 13 
 
El mismo valor 13 se obtiene calculando detA por cualquier otra fila o por cualquier columna. 
Tomando por ejemplo la primera columna: 
 
det A = 3.(- 1)1 + 1
1 2
.det
1 3
− − 
 − 
 + 2.( -1 )2 + 1 .
1 2
det
1 3
− 
 − 
 + 0 = 13 
 
 
3.2. Propiedades del determinante 
 
 A continuaciónse enuncian algunas propiedades de los determinantes. Existen además otras 
propiedades no incluidas en los contenidos de esta asignatura. 
 
 
Sea A ∈ Rn x n, A = ( )ija 
 
3.2.1. Propiedad 1) detA = det AT 
 
La demostración es inmediata por la definición del determinante y por el hecho de que el valor detA 
es único cualquiera sea la fila o columna que se elija para calcularlo (Recordar: la fila i de A es la 
columna i de AT ). ���� 
 
 
3.2.2 .Corolario de la Propiedad 1. Toda propiedad de los determinantes que se enuncie para las 
filas vale también para las columnas de la matriz. 
 
 
3.2.3. Propiedad 2) Si se multiplican todos los coeficientes de una fila (respectivamente una 
columna) de A por un escalar c entonces el detA queda multiplicado por c. 
 
Demostración. Llamando B a la matriz que se obtiene multiplicando la fila k de A por c, B está 
dada por . 
.( ) si 
( ) 
( ) si 
ij
ij
ij
c A i k
B
A i k
 ==  ≠
 
 
Se calcula el detB por la fila k, detB = 
1
( ) .( 1) .det ( / )
n
k j
kj
j
B B k j+
=
−∑ = (1) 
Por la definición de , es det ( / ) det ( / )B B k j A k j= , porque en ambas se suprime la fila k que es la 
única en la que difieren, entonces se tiene: 
a. = 
1
.( ) .( 1) .det ( / ) .det .
n
k j
kj
j
c A A k j c A+
=
− =∑ � 
 
 
3.2.4 .Corolario de la Propiedad 2 Si consideramos la matriz .c A ( producto del escalar c por la 
matriz A), entonces det(.c A)= .detnc A. 
 
 
3.2.5. Propiedad 3) Si una fila (respectivamente una columna) de A tiene todos sus coeficientes 
iguales a 0 entonces detA = 0. 
 
Demostración. Sea (0,0,.....,0)kF = la fila nula, se desarrolla el determinante por fila k, 
 
1
det . 0
n
kj kj
j
A a α
=
= =∑ porque 0 para fijo, 1,....., .kja k j n= = . � 
 
 
 
3.2.6. Propiedad 4) Sean , matrices de n nA B R × entonces det( . ) det .detA B A B= 
 
 
Observaciones 
 
1) Dado un fijo, n la propiedad 4 de 3.2.6 se generaliza a cualquier número finito de matrices 
n n× 
 
1 2
1 2 1 2
Si , ,..., son matrices , entonces
det( . ..... ) det .det .....det .
k
k k
M M M n n
M M M M M M
×
=
 
 
2) Esta propiedad del determinante citada en 3.2.6 es, tal como se indica, para el producto 
 de matrices, no existe ninguna con relación a la suma de matrices 
 
3) Para la matriz identidad I n n× , det 1I = , cualquiera sea n. 
 
 
3.2.7. Propiedad 5) tiene inversa si y sólo si det( ) 0es distinto de A A 
 
3.2.8. Propiedad 6) -1 -1 1
1
Si la matriz tiene inversa entonces det( ) [det ]
det
,A A A A
A
−= = 
 Demostración. 
( )
-1 -1
-1 -1 -1
Por hipótesis tiene inversa, es decir . . ,
1
det . det .det det 1, luego det .
det
A A A A A I
A A A A I A
A
= =
= = = =
 
 
 
3.2.9. Propiedad 7) Dado un sistema de n ecuaciones con n incógnitas 
1
2
3
1
2
3
 A.x=b, siendo A matriz n n de los coeficientes, x = matriz 1 de una sola
...
 columna de las incógnitas y b= matriz 1 de una so
...
n
n
x
x
x n
x
b
b
b n
b
 
 
 
 × ×
 
 
 
 
 
 
 
  ×
 
 
 
 
la columna de los términos independientes,
el sistema A.x=b tiene una solución única (es compatible determinado) la matriz A tiene inversa. si y sólo si
 
(Esquema de la demostración A es cuadrada de orden n, el sistema tiene única solución si y sólo si 
la matriz reducida equivalente AR I= si y sólo si A tiene inversa.). 
 
EJERCICIOS 
 
1) Sea 










=
ihg
fed
cba
A tal que detA= 5 calcular los determinantes de las siguientes matrices: 
 a) 









 −−−
ihg
fed
cba
.3.3.3
.2.2.2 b) 
4 5
10 40 50
4 5
a b c
d e f
g h i
 
 
 
 
 
 Indicar las propiedades usadas 
2)Si A es una matriz 3x3 con detA = 5, ¿Cuál es el det de AT, de 3A, de A.
2
1
 , de -2A , de A2, de 
(AT )3 , de (3A)4 ? Indicar las propiedades usadas. 
 
3) Sea B ∈ R5x5 tal que detB=2. Indicar cuál es el valor del determinante de la matriz que se obtiene 
si se multiplica la fila 3 por 4 y la columna 2 por 3 . 
4) a) Probar que det(A-1)= 
Adet
1
 
 
 b) Sean A, B, C matrices nxn, tales que C tiene inversa y A = C.B.C -1. 
 Probar que detA = detB. Fundamentar cada paso de la prueba. 
 
c) Si A es 5x5 y el det A = k, cuál es el det (8.A)? cuál es el de 9(6.A) ? Explicar. 
d) Si B es nxn y el det B = 10, indicar cuál es el det (
3
4
.B). Explicar. 
e) Si D es 6x6 y el detD =
5
2
, indicar cuál es el det de las matrices 
( )44
3
3
10.D , 10.D (explique la diferencia entre ambas), indicar los determinantes de
4 4
 .D , .D (explique la diferencia entre ambas).
5 5
 
 
 
 
 
5) Si A, B, C son matrices 5x5, 3det =A , detB=2 y detC=6, indicar cuánto valen: 
 a) 3 1
1 1
det . . .
3 5
TA B A B−
    
    
    
 
 b) ( )4 11det . .( . )
2
T TB A B A −
  
  
  
 
 c) ( )
43
1 15 1det . . . .( . . )
3 2
T TB C B A C B A− −
     
           
 
 Mencionar todas las propiedades usadas en cada paso. Justificar todas las respeuestas. 
 
6) Decidir si las siguientes matrices tienen o no inversa : 
 





−
−
=
11
32
A 










−−−
=
963
120
201
B 










−
=
110
521
003
C 
 
7) Hallar los valores de k para que las siguientes matrices tengan inversa 
 





−−
+
=
1)2(
21
k
k
A 










+−
−
=
502
010
005
k
k
B 
 
8)Sean A, B matrices nxn. Decidir por propiedades del determinante si las siguientes afirmaciones 
son V o F. Justificar. 
a) Si A no tiene inversa, entonces A.B no tiene inversa 
b) Si A tiene inversa y B no, entonces A.B no tiene inversa. 
c) Si A.B no tiene inversa, entonces ni A ni B tienen inversa. 
d) Si A.B no tiene inversa, entonces al menos una de las dos, A o B, no tiene inversa. 
 
9) Decidir si hay valores de k (y encontrarlos) para los que el siguiente sistema sea compatible 
determinado, justificar la respuesta. 
 
1 2 3 1
2 3 2
1 2 3 3
3( 5). 9.
 6. 12.
5. (1 ).
k x x x b
x x b
x k x x b
+ + − =
 + =
 + − + =