mecanica de fluidos problema 1 - Oscar Benitez

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Para un tinaco, asumiendo que es perfectamente cilíndrico, con una capacidad de 1100 L un 
diámetro de 1.55 y 1.6 m de altura, que se vacía a través de un tubo de 1 inch, determinar el 
tiempo para que el nivel del agua este a 2 ft y el tiempo para que se vacié completamente. 
Aplicando las siguientes conversiones: 
𝑉 = 1100 𝐿 = 1.1 𝑚3 
𝐷𝑡 = 1 𝑖𝑛𝑐ℎ = 0.0254 𝑚 
Usando el balance de energía: 
𝐸𝑝 = 𝐸𝐶 
𝑚𝑔ℎ =
1
2
𝑚𝑣2 
⟨𝑣⟩ = √2𝑔ℎ 
Asumiendo un fluido incompresible, que se encuentra en estado transitorio con flujo laminar, 
aplicando la razón de cambio de la masa en un volumen de control. 
�̇�1 − �̇�2 =
ⅆ𝑚𝑣⋅𝑐
ⅆ𝑡
 
Donde: 
�̇�1 = 0 
�̇�2 = 𝜌⟨𝑣⟩𝐴𝑡 
�̇�𝑣⋅𝑐 = 𝜌𝑉𝐶 
Además, el Volumen del tinaco esta dado por: 
𝑉𝐶 = 𝐴𝑇ℎ 
Sustituyendo en el balance de masa: 
−𝜌𝐴𝑡√2𝑔ℎ(𝑡) =
ⅆ
ⅆ𝑡
𝜌𝐴𝑇ℎ(𝑡) 
Reescribimos la ecuación y resolvemos por variables separables 
−
𝐴𝑡
𝐴𝑇
√2𝑔√ℎ(𝑡) =
ⅆ
ⅆ𝑡
ℎ(𝑡) 
∫ −
𝐴𝑡
𝐴𝑇
√2𝑔 ⅆ𝑡 = ∫
ℎ′(𝑡)
√ℎ(𝑡)
ⅆ𝑡 
−
𝐴𝑡
𝐴𝑇
√2𝑔𝑡 + 𝑐1 = 2√ℎ(𝑡) 
ℎ(𝑡) = (−
√2𝑔
2
𝐴𝑡
𝐴𝑇
𝑡 + 𝑐1)
2
 
Calculando la constante de integración: 
ℎ(0) = 1.6 
(1) 
ℎ(0) = (0 + 𝑐1)
2 = 1.6 
𝑐1 = √1.6 ≈ 1.26 
Definimos el Área del tinaco y del tubo de descarga como: 
𝐴𝑡 =
𝜋𝐷𝑡
2
4
 
𝐴𝑇 =
𝜋𝐷𝑇
2
4
 
El cociente de las áreas es: 
𝐴𝑡
𝐴𝑇
=
𝜋𝐷𝑡
2
4
𝜋𝐷𝑇
2
4
=
𝐷𝑡
2
𝐷𝑇
2 
(
𝐷𝑡
𝐷𝑇
)
2
= (
0.0254
1.55
)
2
≈ 0.026 
 
Sustituyendo en (1) tenemos: 
ℎ(𝑡) = ((−
√2𝑔
2
) (
𝐷𝑡
𝐷𝑇
)
2
𝑡 + √1.6)
2
 
Para h(t) = 2 ft = 0.6096 m 
 
ℎ(𝑡) = ((−
√2𝑔
2
) (
𝐷𝑡
𝐷𝑇
)
2
𝑡 + √1.6)
2
= 0.6096 
𝑡 = 813.9 𝑠 
Para h(t) = 0 ft = 0 m 
 
ℎ(𝑡) = ((−
√2𝑔
2
) (
𝐷𝑡
𝐷𝑇
)
2
𝑡 + √1.6)
2
= 0 
𝑡 = 2126.85 𝑠