Balance integral de Energía Mecánica

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Balance integral de Energía Mecánica
2.4. Balance integral de energía mecánica (Ecuación de ingeniería Bernoulli)
Consideremos un volumen de control finito a través del cual fluye un fluido, tal como se muestra en la figura 2.3.1, se establece un balance global de energía mecánica. Al construir tal balance, se expresa el hecho de que la rapidez de cambio de la energía mecánica dentro del volumen de control es igual al influjo neto de energía mecánica, menos la rapidez con la cual el fluido trabaja. En ésta la atención se restringirá solamente a términos de energía mecánica, esto es, energía cinética, energía de presión y energía potencial. En lo que respecta a los posibles términos de trabajo, sólo se considerarán el trabajo hecho sobre los medios circundantes y el realizado en contra de las fuerzas de fricción. 
Una declaración más general de la conservación de la energía, esto es, la primera ley de la termodinámica tendría que incluir efectos térmicos puesto que los mismos términos de trabajo que aparecen en el balance de energía mecánica producirán necesariamente calor. La presentación dada aquí se restringirá (principalmente) a sistemas isotérmicos, y se avanzará con el entendimiento tácito de que la isotermicidad se mantendrá mediante la extracción o adición de calor al sistema. 
Esta suposición es bastante razonable para la mayoría de los casos que se exponen en este trabajo porque la energía térmica producida por efectos de fricción tiende a ser pequeña en la mayoría de las aplicaciones en el proceso de los metales. En los textos de Bird y Welty2 se presenta una buena explicación de balances más generales de energía. 
Consideremos ahora las diferentes formas de energía que habrán de ser tomadas en cuenta para el establecimiento del balance integral de energía mecánica.
Energía cinética La energía cinética del fluido contenido en el volumen de control puede aproximarse por (ϯ) 
b) Energía potencial La energía potencial del fluido dentro del volumen de control está dada por 
c) En este caso, por razones prácticas, la energía potencial que se considerará se restringe a la debida a la gravedad, definida en relación con un punto de referencia dado. Aquí Z designa la altura por encima de este punto de referencia. Se hace notar que tanto como poseen ambas las dimensiones de energía, esto es ML2 /t2 o newtons metro (Nm); así, se refieren a la energía total combinada dentro del volumen de control. (ϯϯ) 
d) La energía de presión por unidad de masa se define como 
Podemos ahora continuar el enunciado del balance de energía mecánica expresando el hecho de que la energía se convierte dentro del volumen de control, ilustrado en la figura 2.3.l, en el cual pasa el fluido a través de un área y desde el cual fluye el fluido a través del área . Para el caso general de estado no estacionario la conservación de energía toma la forma siguiente: 
(ϯ) Esta aproximación es válida para flujo turbulento. Para flujo laminar, debe reemplazarse por donde . 
(ϯϯ) Los términos y que designan a la energía cinética y potencial, respectivamente, aquí se consideran por unidad de masa. 
Se nota que cada uno de los términos de la ecuación (2.4.4) posee la dimensión de (energía/tiempo). Utilizando los símbolos definidos previamente, la ecuación (2.4.4) toma la forma siguiente: 
 
 
Ciertos comentarios pueden ser útiles en este momento. La ecuación de balance de energía mecánica se escribe en términos de cantidades escalares, puesto que la energía es un escalar; además, la ecuación (2.4.5) es un balance escrito sobre el contenido de energía del volumen de control como un todo. La cantidad W es el trabajo realizado sobre los alrededores, el cual sería positivo si se considerara un pistón que se expande, y sería negativo si se considerara el trabajo hecho por una bomba, por ejemplo, en un circuito de agua de enfriamiento. Mientras que los términos que aparecen en la ecuación (2.4.5) son escalares, se tiene que ser cuidadoso con respecto a los signos de estas cantidades. 
Cuando el sistema está en estado estacionario, el lado izquierdo de la ecuación (2.4.5) desaparece y bajo estas condiciones es conveniente reescribir la ecuación (2.4.5) en términos de potencia/unidad de rate de flujo rnásico; así, dividiendo entre w obtenemos lo siguiente: 
Es de notarse que al pasar de la (2.4.5) a la (2.4.6) hubo tolerancia para el hecho de que, por la orientación de las áreas y , y implícitamente se definen como velocidades de entrada y de salida. Aquí y . 
Las dimensiones de los términos que aparecen en la ecuación (2.4.6) son de energía/masa por ejemplo (L/t)2; representa el cambio en la energía potencial del fluido entre los niveles "1" y "2". Para sistemas horizontales, este término es cero. 
La ecuación (2.4.6) expresa la conservación de energía mecánica para sistemas en estado estacionario y se denomina con frecuencia ecuación ingenieril de Bernoulli. 
Su importancia reside en el hecho de que nos proporciona una relación manejable entre los cambios en la velocidad, la energía potencial y la presión del fluido, en tanto que éste pasa a través de las superficies de control "1" y "2". 
Para la solución de problemas reales, la ecuación (2.4.6) constituye una relación algebraica conveniente entre los dos valores terminales de , y los términos de trabajo. Dependiendo del número de incógnitas, se pueden requerir relaciones adicionales para la definición de los problemas. La más importante es la dependencia de . de los parámetros del sistema y que es discutido en la siguiente sección. 
Con todo, bajo ciertas condiciones no se hace trabajo sobre áreas circundantes, y además, los términos friccionales también pueden ser despreciados (por ejemplo, boquillas cortas). Bajo estas condiciones, como se ilustra en los siguientes párrafos, la ecuación (2.4.6) puede utilizarse directamente para definir al sistema. 
MEDIDOR DE ORIFICIO 
El flujo de los fluidos a través de tuberías o conductos puede medirse haciendo pasar al fluido por una constricción, aumentando así su velocidad y en consecuencia, su energía cinética. La verdadera rapidez de flujo se puede entonces determinar midiendo el cambio correspondiente de presión a energía potencial constante. 
Uno de los dispositivos típicos, el medidor de orificio se bosqueja en la figura 2.4.1. 
Figura 2.4.1 Boceto del medidor de orificio.
Se ve que el fluido se aproxima al orificio con una velocidad media a través del área transversal del conducto y con una presión En el orificio, el fluido pasa por un área reducida , y es acelerado hasta una velocidad con una presión .
El manómetro, ilustrado también en el boceto, se utiliza para medir la diferencia de presiones . Nuestro objetivo es relacionar el flujo másico con . 
El volumen de control que se utilizará en el cálculo se muestra en la figura 2.4.1; se procede entonces a establecer un balance global de masa y un balance global de energía como sigue: 
Para condiciones de estado estacionario, la ecuación (2.2.6) es el punto de partida apropiado para el balance de masa, que se escribe como 
Si no hay trabajo realizado sobre la zona circundante , cuando los efectos de fricción son despreciables (), y para una tubería horizontal [], la ecuación (2.4.6) se puede escribir como 
Para un fluido incompresible 
Así, sustituyendo la integral y eliminando con la ayuda de la ecuación (2.4.7), la ecuación (2.4.8) puede escribirse como · 
En la práctica, el fluido, al pasar por el orificio se acelerará hasta una velocidad mayor que debido a la formación de una "vena contracta" en algún punto corriente abajo del orificio. En consecuencia, la ecuación (2.4.10) sobreestimará la velocidad de flujo. Para relacionar la rapidez de flujo con la cantidad medible se acostumbra a introducir un factor de corrección llamado coeficiente de descarga . Así tenemos que 
o
Se dispone de valores tabulados de para ciertas geometrías "estándar". Estos valores por lo general se encuentranentre 0.6 y 0.8. 
Ejemplo 2.4.1. Se instala un orificio de borde afilado de 0,03 m de diámetro en una línea de agua de 0,05 m de diámetro, que suministra agua refrigerante a una lanza de oxígeno. Si la caída de presión en el orificio es de 200 mm de mercurio, calcule el caudal de agua.
 
Datos:				, 
Usando la tabla 1.2.2, 
Así, sustituyendo en la ecuación (2.4.12) se tiene 
2.5 Factor de fricción 
La discusión precedente sobre el balance energético global se restringió a sistemas en donde el trabajo realizado contra las fuerzas de fricción fue despreciable. Sin embargo, hay muchos casos en los que las fuerzas de fricción son importantes; bajo estas condiciones el punto de partida lógico es el enunciado del balance global de energía mecánica, pero se requiere entonces una relación adicional entre el rate de trabajo realizado en contra de las fuerzas de fricción y los otros parámetros del sistema. En la mayoría de los casos, esta relación ha de deducirse de mediciones experimentales, y el factor de fricción que se definirá enseguida, proporciona un medio conveniente de representar esta información obtenida empíricamente. Consideremos un tubo largo horizontal de longitud y de diámetro como se muestra en la figura 2.5.1, a través del cual fluye un fluido incomprensible con una velocidad media . 
Figura 2.5.1 Boceto que muestra los parámetros utilizados para definir el factor de fricción para el flujo a través de una tubería
Al establecer el balance global de energía mecánica, consideremos que no se trabaja sobre el área circundante; así, para condiciones de estado estacionario, la ecuación (2.4.6) se escribe como 
donde es la tasa de trabajo realizada contra la fuerza de fricción dividida por el caudal másico de fluido.
La ecuación (2.5.1) relaciona la caída de presión del tubo con el trabajo realizado en contra de las fuerzas de fricción. 
A principios del siglo pasado se realizó una gran cantidad de mediciones de la caída de presión en tuberías y se encontró conveniente representar esta información en términos de correlaciones para el factor de fricción. 
Para tubos rectos el factor de fricción se define implícitamente a través de la siguiente expresión: 
o
Usando la ecuación (2.5.1), el y son relacionados por
Debe recalcarse que, tal como se define en las Ecs. (2.5.2) - (2.5.4), el factor de fricción es una constante de proporcionalidad entre la caída de presión o la tasa de trabajo realizada contra las fuerzas de fricción y la velocidad lineal media del fluido. Las definiciones dadas anteriormente se aplican solo a las tuberías rectas. Los factores de fricción se han utilizado para relacionar caída de presión y velocidad del fluido para otras geometrías, y hay que tener cuidado aquí de aplicar una definición que sea consistente con los cálculos subsecuentes, por ejemplo, la geometría del sistema, etc. 
El factor de fricción es una cantidad adimensional, para la cual se dispone de correlaciones para diversas geometrías. La figura 2.5.2 muestra una gráfica de versus el número de Reynolds 
que se basa en un gran número de mediciones experimentales. 
Se ve que para los datos experimentales se representan por una sola línea: 
Esta región corresponde al flujo laminar, un concepto que se definirá subsecuentemente. Cuando , lo cual corresponde al flujo turbulento, el factor de fricción depende tanto del como de la rugosidad relativa de la tubería que se especifica como . 
La región corresponde a una transición entre el flujo laminar y el turbulento, y está bastante mal definida. Apuntamos finalmente que la correlación mostrada en la figura (2.5.2) es válida solamente para tubos largos, en los que . 
En el libro de Knudsen y Katz5 pueden encontrarse numerosas correlaciones para tubos cortos y para otras geometrías. 
El uso del factor de fricción se ilustra realizando un ejemplo simple. 
Como se puede observar el factor de fricción se encuentran mediante la grafica de Moody que ha dado o bien mediante las expresiones experimentalmente comprobadas.
Para flujos 4000 < NRe < 108 Colebrook (1939) combinó una serie de expresiones conocidas obteniendo la siguiente expresión:
Una forma útil para calcular el NRe dado el valor de f es:
							(14)
Y en una forma útil para calcular f a partir del NRe, Paviov (1981) dio una excelente aproximación con la siguiente expresión:
							(15)
Las expresiones anteriores se simplifican para una serie de casos, para flujo turbulento totalmente en tubos rugosos donde f es independiente del NRe la ecuación (13), se convierte en:
							(16)
Para tubos lisos la ecuación (15) se simplifica a:
							(17)
Ejemplo 2.5.1. Se propone bombear plomo fundido a 1000°K, con una velocidad de 10 ton/h a través de un tubo horizontal de 2 cm de diámetro y 100 m de largo. Calcule la caída de presión requerida y el consumo teórico de potencia para el bombeo. 
Datos 
viscosidad del plomo		0.012 g/cm s 
densidad del plomo			10 g/cm3 
e/d					4*10-3 
SOLUCIÓN: Primero convertimos los valores numéricos de los parámetros a las unidades SI. De acuerdo con esto tenemos:
Usando la ecuación (2.5.2) para calcular la caída de presión:
Lo primero que tenemos que calcular es la velocidad de transporte;
Sabemos que: 
El flujo másico lo tenemos que transformar a flujo volumétrico en el sistema SI 
Luego se calcula el área dela sección de transporte que es de sección circular
Luego tenemos que
Sabemos que el factor de fricción depende del número de Reynolds, por lo tanto, tenemos que calcular el este número:
De acuerdo con la Fig. 2.5.2. tenemos:
En función de estos datos calculamos la caída de presión:
Para calcular el requerimiento de potencia para el bombeo, consideremos que la bomba realizara trabajo sobre el fluido. Se deduce entonces que la expresión adecuada es la ecuación (2.4.6), la cual para este caso se escribe como:
Donde el signo positivo indica que se hizo trabajo sobre el fluido. Recordemos que es la potencia requerida por unidad de masa de fluido pasado a través sistema; por lo tanto, tenemos: