5_Continuidad

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Notas de clase - Cálculo I
5. Continuidad
Dada una función f : I → R y un punto x0 ∈ R para el cual tiene sentido tomar ĺımite, no se cumple
necesariamente que
(1) lim
x→x0
f(x) = f(x0).
En efecto, puede ocurrir que f no este definida en el punto x0 (por lo tanto no tiene sentido escribir
f(x0)), ó que no exista lim
x→x0
f(x), ó que exista el ĺımite pero lim
x→x0
f(x) 6= f(x0).
Para las funciones y los puntos que satisfacen (1) tenemos la siguiente definición.
Definición: Sea f : I → R una función y sea x0 ∈ I tal que para algún r > 0 se cumple que
(2) (x0 − r, x0 + r) ⊂ I.
Decimos que una función f es continua en un punto x0 que satisface (2) si
lim
x→x0
f(x) = f(x0).
Sea S ⊂ I un sub-conjunto no vaćıo, decimos que f es continua sobre S, si f es continua en cada punto
de S.
Decimos que una función f : I → R es discontinua en un punto x0, en el cual tiene sentido tomar ĺımite,
si (1) no se cumple.
El gráfico de una función continua definida sobre un intervalo de la forma (a, b) o [a, b] es de un solo trazo,
en otras palabras su gráfico no presenta interrupciones ni saltos.
Ejemplos de funciones continuas:
1. Todo polinomio p(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn, an 6= 0, es una función continua sobre todo R, pues se
cumple que lim
x→x0
p(x) = p(x0), para cada x0 ∈ R.
2. La función seno es continua sobre todo R, pues se cumple que lim
x→x0
sen(x) = sen(x0), para cada x0 ∈ R.
3. La función coseno es continua sobre todo R, pues se cumple que lim
x→x0
cos(x) = cos(x0), para cada
x0 ∈ R.
4. La función tangente es continua sobre su dominio de definición, pues se cumple que lim
x→x0
tg(x) =
lim
x→x0
sen(x)
lim
x→x0
cos(x)
=
sen(x0)
cos(x0)
= tg(x0), para cada x0 6= (2k+1)2 π, (k ∈ Z).
5. La función exponencial es continua sobre todo R, pues se cumple que lim
x→x0
ex = ex0 , para cada x0 ∈ R.
6. La función logaritmo natural es continua sobre todo (0,+∞), pues se cumple que lim
x→x0
ln(x) = ln(x0),
para cada x0 > 0.
7. La función f(x) =
x2 − 1
x+ 1
es continua para todo x 6= −1. Por qué? Nótese que lim
x→−1
f(x) = −2, sin
embargo f no es continua en x = −1 pues no esta definida en dicho punto.
1
2
Continuidad por derecha y por izquierda
Sea f : I → R una función y sea x0 ∈ I tal que [x0, x0 + r) ⊂ I para algún r > 0. Decimos que f es
continua por la derecha en x0 si
lim
x→x+0
f(x) = f(x0).
Sea z0 ∈ I tal que (z0 − r, z0] ⊂ I para algún r > 0. Decimos que f es continua por la izquierda en z0 si
lim
x→z−0
f(x) = f(z0).
Teorema 1: Una función f es continua en x0 si y sólo si f es continua por la derecha y por la izquierda
en x0.
Ejemplo 1: Sea f(x) =
√
x, x ∈ [0,+∞). Entonces f es continua en cada punto del (0,+∞) y es
continua por la derecha en 0. Ciertamente,
lim
x→x0
√
x =
√
x0, si x0 > 0,
y
lim
x→0+
√
x = 0 =
√
0.
Ejemplo 2: Sea f : [1, 4]→ R la función cuyo gráfico se muestra en la siguiente figura.
Figura 1
Entonces f es continua en cada punto del conjunto (1, 2) ∪ (2, 3) ∪ (3, 4); f es continua por la derecha en
x = 1 y en x = 2; f es continua por la izquierda en x = 4; y f es discontinua en los puntos x = 2 y x = 3,
pues lim
x→2
f(x) no existe y lim
x→3
f(x) = 2 6= 1 = f(3).
Propiedades de las funciones continuas
1. Si f y g son funciones continuas en x0, entonces (f + g), (f · g), y (f/g) (g(x0) 6= 0) son funciones
continuas en x0. Esto se sigue de la definición de continuidad y de las propiedades del ĺımite.
2. Si g es continua en x0 y f es continua en g(x0), entonces f ◦ g es continua en x0; esto es:
lim
x→x0
(f ◦ g)(x) = lim
x→x0
f(g(x)) = f(g(x0)).
Highlight
3
Ejemplo 3: De la propiedad 1. se sigue que las siguientes funciones son continuas en sus respectivos
dominios de definición: f1(x) = 5 sen(x) + 3 cos(x) + x
3 − 1; f2(x) = ex + ln(x); f3(x) =
ex + sen(x)
ln(x)
;
f4(x) = loga(x) con 0 < a 6= 1; h1(x) = senh(x); h2(x) = cosh(x).
Ejemplo 4: De la propiedad 1. y/o 2. se sigue que las siguientes funciones son continuas en sus respectivos
dominios de definición: g1(x) =
ex
ln (| sen(x2)|+ 2)
; g2(x) = a
x, donde 0 < a 6= 1; g3(x) = ee
ex
.
Diferentes tipos de discontinuidades
Sea f una función discontinua en un punto x0 en el cual tiene sentido tomar ĺımite (nótese que x0 puede
o no pertenecer al dominio de f). Las discontinuidades que puede presentar una función en un punto son
de tres tipos, a saber: discontinuidades de salto, discontinuidades evitables, y discontinuidades de segunda
especie.
1. Si existen y son finitos los ĺımites lim
x→x−0
f(x), lim
x→x+0
f(x) y lim
x→x−0
f(x) 6= lim
x→x+0
f(x), decimos que f presenta
una discontinuidad de salto en x0.
2. Si x0 ∈ dom(f) y existe lim
x→x0
f(x) ∈ R pero lim
x→x0
f(x) 6= f(x0), ó si x0 /∈ dom(f) pero existe
lim
x→x0
f(x) ∈ R; decimos que f presenta una discontinuidad evitable en x0.
Las discontinuidades de salto y las evitables se dicen que son discontinuidades de primera especie.
3. Si no existe lim
x→x−0
f(x) ó no existe lim
x→x+0
f(x), ó lim
x→x−0
f(x) = ±∞, ó lim
x→x+0
f(x) = ±∞, decimos que f
presenta una discontinuidad de segunda especie en x0.
La siguiente figura ilustra los diferentes tipos de discontinuidades
Figura 2
4
Ejemplo 5: La función f(x) =
|x|
x
presenta una discontinuidad de salto en x = 0, en efecto
lim
x→0−
|x|
x
= −1 6= 1 = lim
x→0+
|x|
x
.
Ejemplo 6: La función f(x) =
sen(x)
x
, presenta una discontinuidad evitable en x = 0, pues f no esta
definida en x = 0 sin embargo existe
lim
x→0
sen(x)
x
= 1.
Ejemplo 7: La función f(x) = sen
(
1
x
)
presenta una discontinuidad de segunda especie en x = 0, pues
no existe lim
x→0
f(x).
La función g(x) =
1
x− 2
presenta una discontinuidad de segunda especie en x = 2, pues lim
x→2+
f(x) = +∞
y lim
x→2−
f(x) = −∞. La recta x = 2 es aśıntota.
Redefinición de funciones
Sea f : I → R una función tal que presenta una discontinuidad evitable en un punto x0, entonces tal
función puede ser redefinida de tal manera que resulte continua en x0. En efecto, sea f̃ definida por
f̃(x) =
{
f(x) si x ∈ I \ {x0}
lim
u→x0
f(u) si x = x0
.
Entonces f̃ : I ∪ {x0} → R satisface que f̃(x) = f(x) para todo x 6= x0 y lim
x→x0
f̃(x) = lim
u→x0
f(u) = f̃(x0).
Por lo tanto f̃ es la redefinición de f que es continua en x0.
Ejemplo 8: La función f(x) =
sen(x)
x
presenta una discontinuidad evitable en x = 0 como ya vimos. Su
redefinición continua es la función f̃ : R→ R definida por
f̃(x) =

sen(x)
x
si x 6= 0
1 si x = 0
.
Figura 3
Si en el Gf ”rellenamos” los agujeros donde se presentan las discontinuidades evitables obtenemos el Gf̃ .
Highlight
5
Nota 1: Una función con discontiuidades sólo puedes ser redefinida de manera continua sobre sus dis-
continuidades evitables, de ah́ı el nombre evitable.
Ejercicio: Sea f(x) = x sen(1/x) + x
2−1
x+1 . Determinar el dominio de f , los puntos donde f es continua,
y clasificar sus discontinuidades. En caso de presentar discontinuidades evitables redefinir la función de
manera continua.
Teoremas Importantes sobre Continuidad
Sean −∞ < a < b < +∞ y sea f : [a, b] → R una función. Decimos que f es continua sobre el intervalo
cerrado y acotado [a, b] si f es continua sobre (a, b), es continua por la derecha en x = a y continua por la
izquierda en x = b; esto es
lim
x→x0
f(x) = f(x0), ∀ x0 ∈ (a, b),
lim
x→a+
f(x) = f(a) y lim
x→b−
f(x) = f(b).
Figura 4
Teorema de la inversa de una función inyectiva y continua: Si f es una función inyectiva y
continua sobre un intervalo [a, b] ( ó (a, b) ), entonces su función inversa f−1 es continua sobre su dominio
de definición, (a saber: sobre Im(f)).
Por lo tanto las inversas trigonométricas arcsen, arcos, artg, etc... son funciones continuas sobre sus
respectivos dominios de definición.
Teorema de acotación: Si f : [a, b] → R es una función continua sobre el intervalo cerrado y acotado
[a, b], entonces f es acotada sobre [a, b]. Esto es: existe M > 0 tal que |f(x)| ≤M , para todo x ∈ [a, b].
El teorema de acotaciónno vale si el intervalo es semi-abierto o abierto. Por ejemplo, sea f : (0, 1] → R
definida por f(x) = 1x , es claro que f es continua sobre (0, 1] pero no es acotada sobre (0, 1], pues lim
x→0+
1
x
=
+∞.
Teorema de existencia de máximo y mı́nimo absolutos: Si f : [a, b]→ R es una función continua
sobre el intervalo cerrado y acotado [a, b], entonces existen x1, x2 ∈ [a, b] tales que
f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2), ∀ x ∈ [a, b],
Highlight
6
Figura 5
f(x1) es el mı́nimo absoluto de f sobre [a, b] y f(x2) es el máximo absoluto de f sobre [a, b].
Nota 2: El teorema anterior sólo garantiza la existencia de máximo y mı́nimo absolutos para una función
f continua sobre [a, b], pero no dice nada acerca de como hallarlos. Cuando veamos la teoŕıa de diferenciación
tendremos un criterio para localizarlos.
Teorema de Bolzano: Si f : [a, b] → R es una función continua sobre el intervalo cerrado y acotado
[a, b] tal que f(a) · f(b) < 0, entonces existe x0 ∈ (a, b) tal que f(x0) = 0.
Figura 6
Nota 3: El teorema de Bolzano sólo garantiza existencia.
Ejemplo 9: Sea p(x) = x3 + x+ 3 veamos que existe x0 tal que p(x0) = 0.
Para ello, debemos encontar un intervalo cerrado y acotado [a, b] tal que p(a) · p(b) < 0. En este caso
al tomar el intervalo [−2, 0] resulta que p es continua sobre el [−2, 0], p(−2) = −7 y p(0) = 3, luego por el
teorema de Bolzano existe x0 ∈ (−2, 0) tal que x30 + x0 + 3 = p(x0) = 0.
Buscando ceros: Un cero (algunas veces llamado también ráız) de una función f es un x0 ∈ dom(f)
tal que f(x0) = 0, equivalentemente x0 es solución de la ecuación f(x) = 0. Si f : [a, b] → R es continua y
f(a) · f(b) < 0, entonces, por Bolzano, existe al menos un x0 ∈ (a, b) tal que f(x0) = 0.
7
El siguiente paso es localizar un tal x0. Para ello, consideramos el punto medio
a+b
2 del [a, b]; luego puede
ocurrir uno y sólo uno de los siguientes 3 casos
(I) f
(
a+ b
2
)
= 0, ó (II) f(a) · f
(
a+ b
2
)
< 0, ó (III) f(b) · f
(
a+ b
2
)
< 0.
Si ocurre (I), entonces localizamos un cero de f .
Si ocurre (II), entonces f tiene un cero en el intervalo [a, a+b2 ]. Al bisecar tal intervalo se sigue que f(
3a+b
4 ) =
0, ó f(a) · f( 3a+b4 ) < 0, ó f(
3a+b
4 ) · f(
a+b
2 ) < 0; continuando con este proceso obtenemos una sucesión
{xn} ⊂ [a, b] (una elección conveniente es tomar como xn al punto medio obtenido en la etapa n) y un
x0 ∈ (a, b) tal que xn → x0, f(x0) = 0 y |x0 − xn| ≤ b−a2n .
Si ocurre (III), entonces procedemos como en (II) y obtenemos una tal sucesión que nos permite localizar
un cero de f .
Este método se conoce como método de bisección.
Ventajas: El método converge. Tenemos una estimación del error en = |x0 − xn| de aproximación en
cada etapa.
Desventajas: Si b−a es muy grande en magnitud, entonces necesitaremos tomar n grande para aproximar
un cero de f , pues la estimación del error en = |x0− xn| en cada etapa es en ≤ b−a2n . En cada etapa hay que
verificar el cambio de signo de f .
Corolario del Teorema de Bolzano: (Teorema del valor intermedio) Sea f : [a, b] → R una función
continua sobre [a, b] con f(a) 6= f(b). Entonces para cada s tal que f(a) < s < f(b) ( ó f(b) < s < f(a) )
existe x0 ∈ (a, b) tal que f(x0) = s.
Prueba: Sea g(x) = f(x)− s, entonces g es una función continua sobre [a, b] tal que g(a) · g(b) < 0, luego
por el teorema de Bolzano existe x0 ∈ (a, b) tal que 0 = g(x0) = f(x0)− s, por lo tanto f(x0) = s. �
Figura 7
8
Ejercicios adicionales 5.
Continuidad
(1) Las siguientes funciones presentan una discontinuidad en algún punto. Hallar dicha discontinuidad
y determinar de que tipo se trata. Para cuáles de tales funciones f existe una función continua F
con dominio igual a todo R y tal que F (x) = f(x) para todo x ∈ dom(f)?
(i) f(x) =
sen(x)
x
, (ii) f(x) =
|x|
x
, (iii) f(x) = sen(1/x), (iv) f(x) =
x2 − 3
x−
√
3
,
(v) f(x) =
x
x− 1
, (vi) f(x) = x2 sen(1/x), (vii) f(x) = x2 ln(|x|).
(2) (a) Dar un ejemplo de una función f que no sea continua en ningún punto, pero tal que |f | sea
continua en todo punto.
(b) Dar un ejemplo de una función continua en un punto x = x0 y discontinua para todo x 6= x0.
(3) Mostrar que si f es continua, entonces |f | también lo es.
(4) Determinar en que puntos la siguiente función es continua, justificando su respuesta. Indicar los
puntos de discontinuidad y que tipo de discontinuidad presenta. En caso de ser la discontinuidad
evitable redefinir la función de tal manera que resulte continua.
f(x) =

cos(x+ 1) x < −1
x−1sen(π2x) 0 < |x| ≤ 1
0 x = 0
ln(x− 1) x > 1
.
(5) Desmostrar que si f : (y0− δ, y0 + δ)→ R es una función continua en y = y0 y lim
x→x0
g(x) = y0, donde
−∞ ≤ x0 ≤ +∞, entonces lim
x→x0
(f ◦ g)(x) = f(y0).
(6) Verificar los siguientes ĺımites utilizando el inciso anterior.
(a) lim
x→0+
xx = 1, (b) lim
x→+∞
a
1
x = 1, (0 < a < +∞), (c) lim
x→+∞
[x ln(x+ 1)− x ln(x)] = 1.
(7) (a) Enunciar de manera clara y precisa el Teorema de Bolzano.
(b) Aplicar el teorema de Bolzano para mostrar que la siguiente ecuación tiene al menos una
solución:
x5 + x4 − 2x3 + x+ 1 = 0.
(8) Sea f : [0, 1]→ [0, 1] una función continua. Mostrar que existe x0 ∈ [0, 1] tal que f(x0) = x0.
(9) Supóngse que f y g son funciones continuas sobre [a, b] y que f(a) < g(a), pero g(b) < f(b). Mostrar
que f(x0) = g(x0) para algún x0 ∈ (a, b).
(10) Sea f(x) = sen3(x)− 12 sen(x), para x ∈ [
π
6 ,
π
2 ].
(a) Demostrar que existe x0 ∈ (π6 ,
π
2 ) tal que f(x0) = 0.
(b) Hallar el ó los valores de x ∈ (π6 ,
π
2 ) que satisfacen f(x) = 0.
(11) Verificar el teorema del valor intermedio para cada una de las siguientes funciones dadas en el inter-
valo indicado. Graficar.
(a) f(x) = x3 + 1, x ∈ [−1, 3].
(b) f(x) =
x
x+ 4
, x ∈ [−3, 2].
(c) f(x) = | ln(x)|, x ∈ [1/2, e].
(12) Aplicar el método de bisección para aproximar
√
2 con un error menor a 10−1.