Introducción al Diseño Experimental

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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
INTRODUCCIÓN AL DISEÑO EXPERIMENTAL
ING. SERGIO DAVID MADRIGAL ESPINOZA, DR.
DISEÑO DE EXPERIMENTOS
24 DE AGOSTO DE 2022
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Contenido
Definición de Estadística
Cinco conceptos básicos de la Estadística
Pruebas de hipótesis
Contrastes de la t con muestras aparejadas
Análisis de varianza unifactorial
Diseño bifactorial
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Estadística
La Estadística es el arte de aprender de los datos.
Se relaciona con su recopilación, descripción y
análisis. Esto con el fin de extraer conclusiones.
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Contenido
Definición de Estadística
Cinco conceptos básicos de la Estadística
Pruebas de hipótesis
Contrastes de la t con muestras aparejadas
Análisis de varianza unifactorial
Diseño bifactorial
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Población
El conjunto de elementos de interés de cualquier
investigación, recibe el nombre de población.
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Muestra y muestra aleatoria
Una muestra es cualquier subconjunto de una
población. Una muestra aleatoria es aquella que
consiste de individuos de la población tomados en
forma aleatoria (Cada miembro de la población tiene
la misma probabilidad de ser elegido). A menos que
se indique lo contrario, se utilizará el término
muestra para referirse a una muestra aleatoria.
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Parámetro
Un parámetro es un valor que representa una
característica determinada sobre la población de
interés. Los parámetros pueden ser conocidos
únicamente si se estudia de forma particular a cada
miembro de la población.
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Estadístico
Se define a un estadístico como una función de los
datos de una muestra. Por ejemplo, la media y la
varianza de una muestra son estadísticos. Un
estadístico es a su vez una variable aleatoria con
distribución de probabilidad, valor esperado y demás
medidas asociadas a una variable de este tipo.
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Estimador
Un estimador es un estadístico cuyos valores
dependen de la muestra particular extraída. Se
utiliza el valor del estimador, llamado valor estimado,
para aproximar el valor de un parámetro.
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Ejemplo
Asocie los conceptos anteriores al siguiente
enunciado:
Una encuesta reciente, aplicada a 1500 mexi-
canos elegidos aleatoriamente, pone de mani-
fiesto que 22% de la población total de nuestro
país está a dieta.
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Contenido
Definición de Estadística
Cinco conceptos básicos de la Estadística
Pruebas de hipótesis
Contrastes de la t con muestras aparejadas
Análisis de varianza unifactorial
Diseño bifactorial
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Introducción
Con frecuencia, el interés de una investigación
consiste en contrastar el parámetro de una población
contra un valor especificado de antemano. Puesto
que esta comparación no puede realizarse de
manera directa, es necesario hacer hipótesis sobre
el valor del parámetro y medir su verosimilitud.
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Algunos ejemplos
¿Será cierto que ...
▶ la proporción de recién nacidos del genero
masculino es de 50%?
▶ la aceleración de la gravedad terrestre es de
9.8m/s2?
▶ el contenido de una lata de refresco de cola es de
335ml?
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Hipótesis
Una hipótesis es una sentencia acerca de un
parámetro de la población. En términos prácticos,
podemos decir que una hipótesis es una sospecha
que se fundamenta en la experiencia y que puede
ser sometida a experimentación para su
comprobación.
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Hipótesis alternativa
La hipótesis alternativa, denota por H1, es aquella
que corresponde a la sospecha que se desea
demostrar. Su comprobación implicaría un nuevo
conocimiento.
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Hipótesis nula
La hipótesis nula, denotada por H0, es lo opuesto a
la alternativa. Por lo tanto, la comprobación de H0 no
implicaría ningún hallazgo. A pesar de que durante la
experimentación se supone que H0 es verdadera en
realidad el propósito de la prueba es desacreditarla,
es decir, demostrar que es poco probable.
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Por ejemplo, en el caso del genero de un recién
nacido, se puede plantear lo siguiente:
H0 : P{X =m} = 0.50.
Si se sospecha que H0 no es verdadera, se procede
a contrastarla contra su opuesto (H1):
H1 : P{X =m} ̸= 0.50.
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Errores
Al contrastar H0 vs. H1, es posible cometer uno de
estos dos errores:
Error tipo I Rechazar la hipótesis nula cuando es
verdadera.
Error tipo II No rechazar la hipótesis nula cuando es
falsa.
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El p–valor
La probabilidad de obtener los datos observados
suponiendo que H0 es verdadera recibe el nombre
de p–valor. Viene del inglés p-value (probabilistic
value).
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Nivel de Significancia y Criterio de Rechazo
Después de formular las hipótesis se debe definir
cuál es la probabilidad de cometer el Error Tipo I que
estamos dispuestos a correr. A esta probabilidad se
le llama nivel de significancia y se representa con la
letra griega α. De esta manera, si p–valor es menor
o igual que α, la hipótesis nula debe rechazarse. En
la práctica los valores típicos de α son 0.05 y 0.01.
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Estadístico del contraste
Algunas veces resulta impráctico obtener el p–valor
de la prueba. Cuando esto sucede, se utiliza en su
lugar el Estadístico del Contraste cuyo valor debería
ocurrir fuera de cierta región de valores cuando H0
es falsa. De cumplirse esto, simplemente se dice que
la hipótesis nula ha sido rechazada.
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Pasos para contrastar hipótesis
(1) Establecimiento de las hipótesis.
(2) Determinar el criterio de rechazo de la hipótesis
nula.
(3) Cálculo del estadístico del contraste o del
p–valor.
(4) Conclusiones.
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Ejemplo
Suponga que usted tienen la sospecha (hipótesis)
de que una moneda está cargada de tal forma que al
lanzar un volado con ella, es más probable obtener
águila que sello. Formule un contraste de hipótesis
estadísticas para comprobar su sospecha. La
muestra consta de cinco volados en los que siempre
se observó águila.
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Solución
1. H0: No está cargada al águila (P{águila} ≤ 1/2).
H1: Sí está cargada al águila (P{águila} > 1/2).
α = 0.05.
2. Rechazar H0 si p–valor ≤ α.
3.
p–valor = probabilidad de obtener la muestra
dado que la nula es verdadera,
= (1/2)5,
= 0.03125.
4. Se rechaza H0. La evidencia indica que la moneda está
cargada.
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¿De donde sale (1/2)5?
Sea X el número de águilas en n = 5 volados. La
probabilidad de obtener águila en cada volado es
p = 1/2. Entonces,
P{X = } =
�
n

�
p(1 − p)n−,
P{X = 5} =
�
5
5
�
(1/2)5(1 − 1/2)5−5,
= (1/2)5.
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Contenido
Definición de Estadística
Cinco conceptos básicos de la Estadística
Pruebas de hipótesis
Contrastes de la t con muestras aparejadas
Análisis de varianza unifactorial
Diseño bifactorial
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Universidad Autónoma de Nuevo León
Facultad de Ingenierı́a Mecánica y Eléctrica
Actividad 1 del curso de Diseño de experimentos, clave (MCCCXXXI).
Alumno: Matrı́cula
1. Doce inspectores midieron el diámetro de un cojinete de bolas, utilizando cada uno dos tipos diferentes de
calibradores. ¿Existen diferencias significativas entre los calibradores? Utilice α = 0.05.
Inspector Calibrador 1 Calibrador 2
1 0.265 0.264
2 0.265 0.265
3 0.266 0.264
4 0.267 0.266
5 0.267 0.267
6 0.265 0.268
7 0.267 0.264
8 0.267 0.265
9 0.265 0.265
10 0.268 0.267
11 0.268 0.268
12 0.265 0.269
Situación
Suponga que X1, . . . , Xm y Y1, . . . , Ym son
muestras del mismo tamaño procedentes de dos
poblaciones normales con medias μ y μy,
respectivamente. Además, existe una relación entre
los valores de los datos X y Y. Es decir, los pares
(X, Y),  = 1, . . . ,m, no son independientes.
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Contrastes y sus respectivos cálculos
H0 H1 Cál. del TS Rechazar H0 si: p–valor
μd = 0 μd ̸= 0
p
m
D̄
Sd
|TS| ≥ tm−1,α/2 2P{Tm−1 ≥ |TS|}
μd ≤ 0 μd > 0
p
m
D̄
Sd
TS ≥ tm−1,α P{Tm−1 ≥ TS}
Nota: se define μd = μ − μy, D = X − Y para
 = 1, . . . ,m, D̄ y Sd son la media y la desviación
estándar de D, respectivamente.
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Ejemplo
Para estudiar la efectividad de cierto producto
reductor de peso, éste fue suministrado a nueve
individuos a los que se sometió a cierto régimen
dietético durante dos semanas. Se registraron sus
pesos, en libras, antes del programay seis meses
después. Los resultados son los siguientes:
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Datos
Sujeto Antes Después
1 197 185
2 212 220
3 188 180
4 226 217
5 170 185
6 194 197
7 233 219
8 166 170
9 205 202
Cuadro 1: Resultados del programa en libras.
Pruebe la hipótesis alternativa de que la dieta
funciona. Utilice α = 0.05.
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Solución
1. H0: μ ≤ μy =⇒ μ − μy ≤ 0 =⇒ μd ≤ 0.
H1: μ > μy =⇒ μ − μy > 0 =⇒ μd > 0.
α = 0.05.
2. Rechazar H0 si TS ≥ tm−1,α, con t8,0.05 = 1.8595.
3.
TS =
p
m
D̄
Sd
,
=
p
9
1.7778
9.8714
,
= 0.5403.
4. No se rechaza H0. La evidencia de reducción de peso es
insuficiente.
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Ejemplo
Se desea averiguar el efecto que tiene un aditivo de
la gasolina que se ha desarrollado recientemente
sobre la distancia recorrida por unidad de carburante.
Para obtener información, se han seleccionado siete
coches, y las millas (por galón de gasolina) se
registraron posteriormente. Para cada coche, esto se
hizo usando gasolina sin aditivo y con aditivo. Se
obtuvieron los siguientes resultados:
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Datos
Coche Sin aditivo Con aditivo
1 24.2 23.5
2 30.4 29.6
3 32.7 32.3
4 19.8 17.6
5 25.0 25.3
6 24.9 25.4
7 22.2 20.6
Cuadro 2: Resultados de las pruebas en millas por galón.
Pruebe la hipótesis nula de que el aditivo no influye
sobre la distancia.
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Solución
1. H0: μ = μy =⇒ μ − μy = 0 =⇒ μd = 0.
H1: μ ̸= μy =⇒ μ − μy ̸= 0 =⇒ μd ̸= 0.
α = 0.05.
2. Rechazar H0 si |TS| ≥ tm−1,α/2 donde t6,0.025 = 2.4469.
3.
TS =
p
m
D̄
Sd
,
=
p
7
0.7
0.9661
,
= 1.917.
4. No se rechaza H0. No hay evidencia de que el aditivo
influya sobre el millage.
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Universidad Autónoma de Nuevo León
Facultad de Ingenierı́a Mecánica y Eléctrica
Actividad 2 del curso de Diseño de experimentos, clave (MCCCXXXI).
Alumno: Matrı́cula
Se estudia el crecimiento, en centı́metros, de cierta planta
que crece en 6 diferentes áreas pantanosas. Se eligie-
ron muestras de 5 plantas aleatoriamente y se midió su
crecimiento en las distintas áreas. ¿Influye el área en el
crecimiento de las plantas? Utilice α = 0.01.
Área 1 Área 2 Área 3 Área 4 Área 5 Área 6
1 2.96 4.93 6.62 4.11 5.53 7.67
2 6.77 3.49 5.28 4.02 5.11 6.52
3 3.60 3.76 7.02 3.98 5.01 6.34
4 6.99 4.48 6.67 4.98 4.72 6.59
5 5.94 2.69 8.33 4.34 3.85 9.02
Situación
Se tienen n muestras, cada una de tamaño m. Las
muestras son independientes y normalmente
distribuidas con media μj (j = 1, . . . , n) y varianza
común σ2.
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Realización de la prueba
1. Las hipótesis se plantean de la siguiente manera:
H0: μ1 = μ2 = · · · = μn.
H1: No todas las medias son iguales.
2. Rechazar H0 si TS ≥ Fn−1,n(m−1),α.
3. Sean X̄j y S2j la media y la varianza de la muestra j,
respectivamente. El estadístico del contraste es:
TS =
mS̄2
∑n
j=1
S2
j
/n
, donde S̄2 =
∑n
j=1
(X̄j − ¯̄X)2
n − 1
, (1)
siendo ¯̄X la media de todas las medias.
4. Conclusiones.
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Ejemplo
Un investigador de una cooperativa de
consumidores, diseñó un estudio de distancias
asociadas a tres marcas de gasolina. Usó 15
motores idénticos para conseguir la misma velocidad.
El investigador asignó aleatoriamente cada marca de
gasolina a 5 de los citados motores. Después, se
puso en marcha cada motor con 10 galones de
gasolina. Las millas recorridas en cada caso fueron
las siguientes:
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Gasolina 1 Gasolina 2 Gasolina 3
220 244 252
251 235 272
226 232 250
246 242 238
260 225 256
Cuadro 3: Resultados de las pruebas.
¿Tienen el mismo rendimiento las tres gasolinas?
Utilice α = 0.01.
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Solución
1. H0: μ1 = μ2 = μ3.
H1: Al menos una media es diferente del resto.
α = 0.01.
2. Rechazar H0 si TS ≥ Fn−1,n(m−1),α donde F2,12,0.01 = 6.927.
3.
TS =
mS̄2
∑n
j=1
S2
j
/n
,
=
5(86.3333)
165.9667
,
= 2.6009.
4. No se rechaza H0. La evidencia indica que las gasolinas no
influyen en el rendimiento.
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Ejemplo
Los siguientes datos se refieren al número de
muertos por cada 10000 adultos en una gran
ciudad durante las distintas estaciones del año:
Año Invierno Primavera Verano Otoño
1982 33.6 31.4 29.8 32.1
1983 32.5 30.1 28.5 29.9
1984 35.3 33.2 29.5 28.7
1985 34.4 28.6 33.9 30.1
1986 37.3 34.1 28.5 29.4
¿Depende la tasa de mortalidad de la estación?
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Solución
1. H0: μ1 = μ2 = μ3 = μ4.
H1: Al menos una media es diferente del resto.
α = 0.05.
2. Rechazar H0 si TS ≥ Fn−1,n(m−1),α con F3,16,0.05 = 3.239.
3.
TS =
mS̄2
∑n
j=1
S2
j
/n
,
=
5(4.6633)
3.7325
,
= 6.2469.
4. Se rechaza H0. La evidencia indica que las estaciones del
año si influyen sobre la tasa de mortandad.
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Pruebas de hipótesis
Contrastes de la t con muestras aparejadas
Análisis de varianza unifactorial
Diseño bifactorial
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Situación
Se tiene el factor fila (donde  = 1, . . . ,m representa el índice
de sus niveles) y el factor columna (j = 1, . . . , n). Las
observaciones son acomodadas en una tabla como la
siguiente:
X11 X12 · · · X1j · · · X1n
X21 X22 · · · X2j · · · X2n
... ... ... ... ... ...
X1 X2 · · · Xj · · · Xn
... ... ... ... ... ...
Xm1 Xm2 · · · Xmj · · · Xmn
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Supuestos
Los valores Xj, son variables aleatorias normales e
independientes con varianza común σ2. El esperado de cada
Xj es
E
�
Xj
�
= μ + α + βj
donde μ es la desviación total, α es la desviación debida a la
fila , βj es la desviación de la columna j.
Las desviaciones debidas a las filas y columnas, cumplen lo
siguiente:
m
∑
=1
α =
n
∑
j=1
βj = 0
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Estimación
Defínanse los siguientes estadísticos
X· =
∑n
j=1
Xj
n
X·j =
∑m
=1
Xj
m
X·· =
∑m
=1
∑n
j=1
Xj
mn
Es posible demostrar que
▶ X·· estima a μ (μ̂ = X··)
▶ X· − X·· estima a cada α (α̂ = X· − X··)
▶ X·j − X·· estima a cada βj (β̂j = X·j − X··)
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Ejemplo
Se han utilizado tres lavadoras distintas para probar la
efectividad de cuatro detergentes diferentes con los siguientes
resultados:
Lavadora
Detergente 1 2 3
1 53 50 59
2 54 54 60
3 56 58 63
4 50 45 58
Estime μ, α y βj.
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Solución
Lavadora
Detergente 1 2 3 X·
1 53 50 59 54
2 54 54 60 56
3 56 58 63 59
4 50 45 58 51
X·j 53.25 51.75 60 X·· = 55
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Solución
Por lo tanto,
μ̂ = X·· = 55
α̂1 = X1· − X·· = − 1
α̂2 = X2· − X·· = 1
α̂3 = X3· − X·· = 4
α̂4 = X4· − X·· = − 4
β̂1 = X·1 − X·· = − 1.75
β̂2 = X·2 − X·· = − 3.25
β̂3 = X·3 − X·· = 5.00
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Universidad Autónoma de Nuevo León
Facultad de Ingenierı́a Mecánica y Eléctrica
Actividad 3 del curso de Diseño de experimentos
Alumno: Matrı́cula
Los datos mostrados en el cuadro, representan el número de piezas
defectuosas producidas por cuatro trabajadores que utilizan, cua-
tro máquinas diferentes. Utilice su calculadora y α = 0.01 para
contestar las siguiente preguntas:
1. 50 puntos ¿Influyen las máquinas en el número de defectos?
2. 50 puntos ¿Influyen los trabajadores?
Máquina
Trabajador
1 2 3 4
1 41 42 40 35
2 35 42 43 36
3 42 39 44 47
4 38 35 38 32
Pregunta: 1 2 Total
Puntos: 50 50 100
Calificación:
Realización de la prueba (filas)
1. Las hipótesis asociadas a las filas son:
H0: α = 0 para toda .
H1: No todos los valores son cero.
2. Rechazar H0 si TS ≥ Fm−1,(m−1)(n−1),α.
3. El estadístico del contraste es:
TS =
nVar(X·)
SSe/[(m − 1)(n − 1)]
,
donde Var(X·) es la varianza de las medias de las filas y,
SSe =
m
∑
=1
n
∑
j=1
(Xj − X· − X·j + X··)2.
4. Conclusiones.
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Realización de la prueba (columnas)
1. Las hipótesis asociadas a las columnas son:
H0: βj = 0 para toda j.
H1: No todos los valores son cero.
2. Rechazar H0 si TS ≥ Fn−1,(m−1)(n−1),α.
3. El estadístico del contraste es:
TS =
mVar
�
X.j
�
SSe/[(m − 1)(n − 1)]
,
donde Var
�
X·j
�
es la varianza de las medias de las
columnas.
4. Conclusiones.
54 / 62
Ejemplo
Determine si los detergentes y las lavadoras influyen sobrelas
puntuaciones de efectividad.
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Solución (cálculos previos)
Lavadora
Detergente 1 2 3 X·
1 0.75 -0.75 0 54
2 -0.25 1.25 -1 56
3 -1.25 2.25 -1 59
4 0.75 -2.75 2 51
X·j 53.25 51.75 60 X·· = 55
Var(X·) = 11.3333,
Var
�
X·j
�
= 19.3125,
SSe = (0.75)2 + (−0.75)2 + · · · + (2)2,
= 23.5.
56 / 62
Solución (filas)
1. H0: α1 = α2 = α3 = α4 = 0.
H1: No todos los valores son cero.
α = 0.05.
2. Rechazar H0 si TS ≥ Fm−1,(m−1)(n−1),α, donde F3,6,0.05 = 4.757.
3. .
TS =
nVar(X·)
SSe/[(m − 1)(n − 1)]
,
=
3(11.33)
23.5/6
,
= 8.6809.
4. Se rechaza H0. El detergente si influye sobre las puntuaciones
de efectividad.
57 / 62
Solución (columnas)
1. H0: β1 = β2 = β3 = 0.
H1: No todos los valores son cero.
α = 0.05.
2. Rechazar H0 si TS ≥ Fn−1,(m−1)(n−1),α, donde F2,6,0.05 = 5.143.
3. .
TS =
mVar
�
X.j
�
SSe/[(m − 1)(n − 1)]
,
=
4(19.3125)
23.5/6
,
= 19.7234.
4. Se rechaza H0. Las lavadoras también influyen sobre las
puntuaciones.
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Ejemplo
Cinco estudiantes se sometieron a cuatro test de lectura
diferentes. Sus puntuaciones fueron:
Examen 1 2 3 4 5
1 75 73 60 70 86
2 78 71 64 72 90
3 80 69 62 70 85
4 73 67 63 80 92
Determine si el tipo de examen y el alumno influyen en las
puntuaciones.
59 / 62
Solución (cálculos previos)
Examen 1 2 3 4 5 X.
1 -0.3 4.2 -1.05 -1.8 -1.05 72.8
2 0.5 0 0.75 -2 0.75 75.0
3 4.3 -0.2 0.55 -2.2 -2.45 73.2
4 -4.5 -4 -0.25 6 2.75 75.0
X.j 76.50 70.00 62.25 73.00 88.25 X·· = 74
Var(X·) = 1.36,
Var
�
X·j
�
= 91.09375.
SSe = 138.1.
60 / 62
Solución (filas)
1. H0: α1 = α2 = α3 = α4 = 0.
H1: No todos los valores son cero.
α = 0.05.
2. Rechazar H0 si TS ≥ Fm−1,(m−1)(n−1),α, donde F3,12,0.05 = 3.49.
3. .
TS =
nVar(X·)
SSe/[(m − 1)(n − 1)]
,
=
5(1.36)
138.1/12
,
= 0.5909.
4. No se rechaza H0. No hay evidencia de que el tipo de examen
influya en la calificación.
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Solución (columnas)
1. H0: β1 = β2 = β3 = β4 = β5 = 0.
H1: No todos los valores son cero.
α = 0.05.
2. Rechazar H0 si TS ≥ Fn−1,(m−1)(n−1),α, donde F4,12,0.05 = 3.259.
3. .
TS =
mVar
�
X.j
�
SSe/[(m − 1)(n − 1)]
,
=
4(91.09375)
138.1/12
,
= 31.6618.
4. Se rechaza H0. Evidentemente, los alumnos sí influyen sobre las
calificaciones.
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	Definición de Estadística
	Cinco conceptos básicos de la Estadística
	Pruebas de hipótesis
	Contrastes de la t con muestras aparejadas
	Análisis de varianza unifactorial
	Diseño bifactorial