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Métodos Numéricos 10 DE DICIEMBRE DE 2022 Contenido Introducción a los métodos numéricos de las matemáticas aplicadas .................................... 1 Método 1. ........................................................................................................................................... 2 Método de Gauss Jordán. ............................................................................................................... 2 Descripción del método y del algoritmo usado ........................................................................ 2 Evidencia de la ejecución del programa resolviendo un par de casos ................................ 5 Demostración de la solución en otra herramienta existente. ................................................. 7 Método 2. ......................................................................................................................................... 12 Integración numérica. .................................................................................................................... 12 Descripción del método y del algoritmo usado ...................................................................... 12 Evidencia de la ejecución del programa resolviendo un par de casos .............................. 15 Demostración de la solución en otra herramienta existente. ............................................... 17 Método 3. ......................................................................................................................................... 18 Interpolación Newton ..................................................................................................................... 18 Descripción del método y del algoritmo usado ...................................................................... 18 Evidencia de la ejecución del programa resolviendo un par de casos .............................. 21 Demostración de la solución en otra herramienta existente. ............................................... 22 Método 4. ......................................................................................................................................... 24 Interpolación lineal ......................................................................................................................... 24 Descripción del método y del algoritmo usado ...................................................................... 24 Evidencia de la ejecución del programa resolviendo un par de casos .............................. 25 Demostración de la solución en otra herramienta existente. ............................................... 26 Conclusiones ................................................................................................................................... 27 Referencias ..................................................................................................................................... 28 10 /Diciembre/ 2022 1 Introducción a los métodos numéricos de las matemáticas aplicadas Problemas que se pueden resolverse usando mediante métodos de aproximación, como técnicas generalmente conocidas como métodos numéricos. Comenzamos por observar algunos problemas, considerando algunos aspectos matemáticos y computacionales que aparecen cuando se aproxima la solución de un problema. Los métodos numéricos son aplicaciones de algoritmos mediante las cuales es posible formular y solucionar problemas matemáticos usando operaciones aritméticas. La mayor parte de las matemáticas estudiadas hasta ahora se han dedicado a desarrollar métodos que nos proporcionen la solución exacta de un problema. Aunque existen muchos tipos de métodos numéricos estos siempre compartiendo una característica en común siempre van a repetir un buen número tedioso de cálculos aritméticos. Si bien es cierto antes era un trabajo muy tedioso, actualmente existe computadoras que logran esa eficiencia de resolver estos cálculos de forma correcta en un tiempo muy rápido que un ser humano sería imposible hacerlo con esa rapidez. En este documento, se muestra 4 de los métodos numéricos que se llevaron a cabo a través del curso de la materia, siendo estos métodos los cuales nos resultó los más importantes a considerar para la resolución de un problema 2 Método 1. Método de Gauss Jordán. Descripción del método y del algoritmo usado Es una serie de algoritmos del álgebra lineal para determinar los resultados de un sistema de ecuaciones lineales y así hallar matrices e inversas. El método de Gauss Jordán hace uso de las operaciones elementales dado que, al conservarse el valor de las incógnitas, es posible obtener sistemas de ecuaciones más simples y así obtener los valores de manera directa. Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes si se cumple que: 1. Todos los coeficientes son ceros. 2. Dos filas son iguales. 3.Una fila es proporcional a otra. 4.Una fila es combinación lineal de otras. Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones 1. Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente. 2. Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente. 3. Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado. 4. Si en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero. 5. Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente. Referente a lo del proyecto para hacer la resolución de un sistema de ecuaciones lineales por el método de Gauss Jordán, el equipo decidió elaborar el código en lenguaje java, para ello lo que hicimos fue lo siguiente: 3 Esta parte se define la tabla y posteriormente ejecuta las operaciones Como se puede observar en las imágenes anteriores y en las siguientes imágenes que van a visualizar, en cada línea de código se añadió comentarios de las 4 instrucciones que se quiere lograr. Este sería todo el algoritmo que se utilizó para llevar a cabo la implementación del método. Para hacer el código, tomamos como guía los videos y para reforzar vimos este diagrama de flujo que se verá a continuación: 5 Evidencia de la ejecución del programa resolviendo un par de casos Se considera este ejemplo para llevar a cabo la ejecución del programa Desarrollar el siguiente Sistema lineal mediante el método de Gauss Jordán 𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 − 𝑡 = 0 −3𝑦 + 2𝑧 + 6𝑡 = −8 −3𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 + 𝑡 = 0 2𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 − 𝑡 = −8 6 7 Demostración de la solución en otra herramienta existente. Y, por otra parte, la página de Calculadora de eliminación de Gauss-Jordán (reshish.com) nos ayuda a comprobar los resultados obtenidos en la aplicación y comprobando el mismo resultado en ambas aplicaciones. https://matrix.reshish.com/es/gauss-jordanElimination.php https://matrix.reshish.com/es/gauss-jordanElimination.php 8 9 10 11 12 Método 2. Integración numérica. Descripción del método y del algoritmo usado La integración numérica es una herramienta de las matemáticas que proporciona formulas y técnicas para calcular aproximaciones de integrales definidas. Gracias a ella se pueden calcular, aunque sea de forma aproximada, valores de integrales definidas que no puedencalcularse analíticamente y, sobre todo, se puede realizar ese cálculo en un ordenador. Para llevar a cabo estos tipos de integración numérica se proporciona 2 tipos de reglas que son las que se utilizó en el curso de Matemáticas aplicadas a la computación: Aproximación numérica por regla de Simpson y Trapezoidal Regla Trapezoidal Esta regla se amplía subdividiendo el intervalo [a, b] en “n” subintervalos, con la misma longitud, en la que se debe aplicar el siguiente método: 1. Se divide el intervalo [a, b] en subintervalos de igual medida. 2. Aproximar en cada subintervalo la función f(x) por una recta. 3. Aproximar el área bajo la curva f en el intervalo [a, b] mediante la suma de las áreas de los trapecios. 4. Aplicar la regla del trapecio compuesta que viene dada por: 13 Donde tenemos como código implementado en Java de la siguiente manera: 14 De los cuales este código nos servirá para llevar a cabo estas aproximaciones. Regla de Simpson Esta es una segunda manera de llevar a cabo las aproximaciones y es la más utilizada debido a que su rango de error es menor. Esta regla a diferencia de la regla del trapecio, donde a mayor número de subdivisiones se obtiene una mejor aproximación, lo que hace es ajustar una curva de orden superior en lugar de la línea recta como sucede con la regla del trapecio. Si bien, esta regla se implementa de la siguiente manera: El intervalo [a, b] se divide en n subintervalos de largo △x= (b−a) / n. Luego se construyen parábolas a través de cada grupo de tres puntos consecutivos en el gráfico. Utilizando parábolas de esta manera produce el siguiente estimado del área con la regla de Simpson: De igual manera que la regla del trapecio se implementó el siguiente código en Java para la resolución de este método numérico. Se podrá observar que sigue el mismo patrón de seguimiento que el del trapecio sin embargo los métodos finales cambian debido a los intervalos que se llevan a cabo, entonces este él es código implementado en Java: 15 Con estas implementaciones se puede lograr una aproximación más cercana en el área bajo la curva Evidencia de la ejecución del programa resolviendo un par de casos Para llevar a cabo estas reglas se implementó este ejemplo sencillo visto en clase, donde se hace uso del programa realizado por el equipo y también se realizó la comprobación con las páginas que llevan a cabo estos métodos numéricos. 16 Ejemplo: Aproxima el valor de la integral de las siguientes funciones en el rango indicado usando el método de Simpson y Trapezoidal. 𝑓^𝑥 = 3𝑥 2 𝑎 = 0 𝑏 = 1 ℎ = 4 Y por lo tanto tenemos en la aplicación desarrollado por el equipo que se muestran los 2 resultados de la regla de Trapecio y Simpson junto a su respectivo error porcentual del cual está más alejado de la aproximación, que este caso el del trapecio fue la que mostro el error que tiene. Recordemos que el valor real seria, la integral de la ecuación que se está implementando. 17 Demostración de la solución en otra herramienta existente. Esta es la página https://bit.ly/3HqqeIj donde se comprueba los mismos resultados https://bit.ly/3HqqeIj 18 Método 3. Interpolación Newton Descripción del método y del algoritmo usado Es un método de interpolación polinómica. Aunque sólo existe un único polinomio que interpola una serie de puntos, existen diferentes formas de calcularlo. Este método es útil para situaciones que requieran un número bajo de puntos para interpolar, ya que a medida que crece el número de puntos, también lo hace el grado del polinomio. El cálculo se realiza considerando que la función que relaciona los valores de ambos ejes es lineal. Esto se cumple para muchas aplicaciones reales, sin embargo, muchos fenómenos físicos no cumplen una relación lineal entre sus variables. En esos casos la interpolación o extrapolación lineal sigue siendo de mucha utilidad ya que nos permite obtener para una serie de puntos, un valor intermedio de forma aproximada. Dados n+1 escalares distintos 𝑥𝑜 , 𝑥1, … , 𝑥𝑛 y n+1 escalares (iguales o distintos) 𝑊0,𝑊1, …𝑊𝑛 se define el polinomio interpolador en la forma: 𝑝𝑘(𝑥) = 𝑐0 + 𝑐1(𝑥 − 𝑥0) + 𝑐2(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1) + ⋯ + 𝑐𝑘(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)… (𝑥 − 𝑥𝑘 − 1) Y su formula Y por lo tanto se implementó el siguiente código en Java para la resolución del algoritmo: Como primer punto es crear la tabla donde se almacenan los valores 19 Posteriormente se procede a realizar las operaciones correspondientes 20 21 Evidencia de la ejecución del programa resolviendo un par de casos Para llevar a cabo este método numérico se realizó el siguiente ejemplo Dados los puntos (0,-1), (1,6), (2,31) y (3,18). Se requiere obtener la interpolación en x=4. En la que se ingresa la interpolación que se desea obtener y se obtiene el dato 22 Demostración de la solución en otra herramienta existente. Y, por otra parte, esta página Calculadora en línea: La interpolación polinómica de Newton (planetcalc.com) nos ayuda a corroborar los resultados. https://es.planetcalc.com/9023/ https://es.planetcalc.com/9023/ 23 24 Método 4. Interpolación lineal Descripción del método y del algoritmo usado Consiste en estimar la ubicación de un punto dentro de un intervalo numérico, suponiendo que los valores extremos de dicho intervalo están unidos por una recta. Conocida la ecuación de esta recta, es posible ubicar el punto desconocido. Partimos de un valor base, en este caso x0,y0. Lo siguiente es que el valor intermedio que estamos buscando estará entre y0 e y1. Ahora observamos la diferencia entre los dos pares de valores y calculamos su cociente, para ver cuánto cambia uno con respecto al otro, por cada unidad. A continuación, multiplicamos ese valor obtenido por todas las unidades que se ha avanzado desde el x1 hasta el x0. Para resolver 1. Determinamos el punto incógnita P (x, y). 2. Establecemos los dos puntos que limitan el intervalo donde se encuentra el valor a calcular, en este caso, los puntos (xo, yo) y (x1, y1). 3. Sustituir todos los valores en la ecuación Y por lo tanto se implementó el siguiente código en java de manera sencilla 25 Evidencia de la ejecución del programa resolviendo un par de casos Para obtener el valor intermedio entre dos puntos necesitamos saber los valores de las coordenadas de dos puntos y la coordenada x del valor que queremos calcular obtendremos el valor de la ‘y’. También funcionaria para problemas en los que supiésemos el valor de la ‘y’ y queramos obtener el valor de la ‘x’, para ellos simplemente tendríamos que cambiar los valores de ‘x’ e ‘y’ y viceversa (x<->y). 26 Resultado Demostración de la solución en otra herramienta existente. Sitio web: https://academiarafavilchez.com/calculadora-interpolacion/ en donde se hizo la comprobación, siendo la celda naranja el resultado final. https://academiarafavilchez.com/calculadora-interpolacion/ 27 Conclusiones Los métodos numéricos son unos de los grandes factores a considerar, ya que en muchos casos se utiliza para diferentes proyectos de ingeniería, investigaciones ya sea de aspecto académico o científico. Como podemos apreciar en este proyecto, gracias a las técnicas aplicadas de los métodos numéricos con las cuales nos es posible formular problemas matemáticos de tal manera que puedan tener solución usando operaciones aritméticas.El estudio de estos distintos métodos numéricos tenemos conocimiento de cómo pueden ser aplicados para resolver procedimientos ya sea en ecuaciones diferenciales, ajuste de curvas y cálculo de polinomios e interpolaciones. El uso de estos métodos nos permite también ser más precisos y exactos a la hora de hacer nuestros cálculos, a partir del estudio y aplicación de este conocimiento podemos desarrollar e implementar software especializado para el cómputo científico y hacer modificaciones a los cálculos de error con los que trabajemos. Ahora contamos con computadoras capaces de resolver una ecuación tan compleja y con una exactitud impresionante por lo que en está asignatura su objetivo es prepararnos a comprender ciertas técnicas matemáticas, poderlos implementar en un programa como lo que acabamos de hacer en este proyecto considerando cierta responsabilidad ya que cuando sea aplicable este tenga un error mínimo. La gran importancia de estudiar métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas numéricos a fin de resolver problemas matemáticos y principalmente para los que estudian alguna ingeniería, estos estudian una parte para una solución analítica y en muchos caso es solo para acercarse a una respuesta aproximada por ello con ayuda de dispositivos como lo es una computadora se podrá abarcar más teorías, técnicas matemáticas, métodos algebraicos, formulas adecuadas para darnos un resultado y no digo que sea correcto por que para ello nos falta bastante en comprobar si la solución es correcta. 28 Referencias Darwin Morocho. (2014, 6 octubre). Método de Gauss Jordan en java-NetBeans Parte 1. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=Us8l6XHq2IQ Darwin Morocho. (2014, septiembre 18). integración numérica en java parte 1. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=NlVmRdHqlOM Dexter_one, P. (2010, octubre 3). Código Fuente en Java para la resolución de Métodos Numéricos. dexter_one. https://dexter-one.net/programacion/codigo- fuente-en-java-para-la-resolucion-de-metodos-numericos/ Universidad de Guanajuato. (2021, noviembre 27). Clase digital 4: Método de Gauss - Jordan. Recursos Educativos Abiertos; Sistema Universitario de Multimodalidad Educativo (SUME) - Universidad de Guanajuato. https://blogs.ugto.mx/rea/clase- digital-4-metodo-de-gauss-jordan/ (S/f). Departamento.us.es. Recuperado el 6 de diciembre de 2022, de http://departamento.us.es/edan/php/asig/LICFIS/LFIPC/Tema7FISPC0809.pdf Khalugas, P. (2016, marzo 8). INTERPOLACION DE NEWTON. LABORATORIO DE MÉTODOS NUMERICOS. https://velardebarret.wordpress.com/2016/03/08/interpolacion-de-newton/ Como interpolar | Formula y ejemplo de interpolación lineal. (s. f.). Salamarkesa. https://www.salamarkesa.com/formula-interpolar-ejemplo-resuelto-interpolacion/ Los Profes De Ciencias. (2021, 3 marzo). Interpolación Lineal [Vídeo]. 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Métodos Numéricos - Interpolación Lineal -1 [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=ANTZQc_CT3A Mate316. (2019, 19 octubre). Interpolación lineal, formula de interpolación lineal - ejemplo 1 [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=PJvw4iAZcVM 4.1 INTERPOLACION LINEAL Y CUADRATICA - Numerictron. (s. f.). https://sites.google.com/site/numerictron/unidad-4/4-1-interpolacion-lineal-y- cuadratica Zapata, F. (2021, 12 marzo). Interpolación lineal. Lifeder. https://www.lifeder.com/interpolacion-lineal/ https://www.youtube.com/watch?v=ANTZQc_CT3A https://www.youtube.com/watch?v=PJvw4iAZcVM https://sites.google.com/site/numerictron/unidad-4/4-1-interpolacion-lineal-y-cuadratica https://sites.google.com/site/numerictron/unidad-4/4-1-interpolacion-lineal-y-cuadratica https://www.lifeder.com/interpolacion-lineal/
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