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Métodos Numéricos

10 DE DICIEMBRE DE 2022

Contenido
Introducción a los métodos numéricos de las matemáticas aplicadas .................................... 1
Método 1. ........................................................................................................................................... 2
Método de Gauss Jordán. ............................................................................................................... 2
Descripción del método y del algoritmo usado ........................................................................ 2
Evidencia de la ejecución del programa resolviendo un par de casos ................................ 5
Demostración de la solución en otra herramienta existente. ................................................. 7
Método 2. ......................................................................................................................................... 12
Integración numérica. .................................................................................................................... 12
Descripción del método y del algoritmo usado ...................................................................... 12
Evidencia de la ejecución del programa resolviendo un par de casos .............................. 15
Demostración de la solución en otra herramienta existente. ............................................... 17
Método 3. ......................................................................................................................................... 18
Interpolación Newton ..................................................................................................................... 18
Descripción del método y del algoritmo usado ...................................................................... 18
Evidencia de la ejecución del programa resolviendo un par de casos .............................. 21
Demostración de la solución en otra herramienta existente. ............................................... 22
Método 4. ......................................................................................................................................... 24
Interpolación lineal ......................................................................................................................... 24
Descripción del método y del algoritmo usado ...................................................................... 24
Evidencia de la ejecución del programa resolviendo un par de casos .............................. 25
Demostración de la solución en otra herramienta existente. ............................................... 26
Conclusiones ................................................................................................................................... 27
Referencias ..................................................................................................................................... 28

10 /Diciembre/ 2022

Introducción a los métodos numéricos de las matemáticas aplicadas

Problemas que se pueden resolverse usando mediante métodos de aproximación,
como técnicas generalmente conocidas como métodos numéricos. Comenzamos
por observar algunos problemas, considerando algunos aspectos matemáticos y
computacionales que aparecen cuando se aproxima la solución de un problema.
Los métodos numéricos son aplicaciones de algoritmos mediante las cuales es
posible formular y solucionar problemas matemáticos usando operaciones
aritméticas.
La mayor parte de las matemáticas estudiadas hasta ahora se han dedicado a
desarrollar métodos que nos proporcionen la solución exacta de un problema.
Aunque existen muchos tipos de métodos numéricos estos siempre compartiendo
una característica en común siempre van a repetir un buen número tedioso de
cálculos aritméticos. Si bien es cierto antes era un trabajo muy tedioso, actualmente
existe computadoras que logran esa eficiencia de resolver estos cálculos de forma
correcta en un tiempo muy rápido que un ser humano sería imposible hacerlo con
esa rapidez.
En este documento, se muestra 4 de los métodos numéricos que se llevaron a cabo
a través del curso de la materia, siendo estos métodos los cuales nos resultó los
más importantes a considerar para la resolución de un problema

Método 1.
Método de Gauss Jordán.

Descripción del método y del algoritmo usado
Es una serie de algoritmos del álgebra lineal para determinar los resultados de un
sistema de ecuaciones lineales y así hallar matrices e inversas.
El método de Gauss Jordán hace uso de las operaciones elementales dado que, al
conservarse el valor de las incógnitas, es posible obtener sistemas de ecuaciones
más simples y así obtener los valores de manera directa.
Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes
si se cumple que:
1. Todos los coeficientes son ceros.
2. Dos filas son iguales.
3.Una fila es proporcional a otra.
4.Una fila es combinación lineal de otras.
Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones
1. Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les
resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.
2. Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un
sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.
3. Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del
mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.
4. Si en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las
dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por
números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero.
5. Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las
incógnitas, resulta otro sistema equivalente.
Referente a lo del proyecto para hacer la resolución de un sistema de ecuaciones
lineales por el método de Gauss Jordán, el equipo decidió elaborar el código en
lenguaje java, para ello lo que hicimos fue lo siguiente:

Esta parte se define la tabla y posteriormente ejecuta las operaciones

Como se puede observar en las imágenes anteriores y en las siguientes imágenes
que van a visualizar, en cada línea de código se añadió comentarios de las

instrucciones que se quiere lograr. Este sería todo el algoritmo que se utilizó para
llevar a cabo la implementación del método.

Para hacer el código, tomamos como guía los videos y para reforzar vimos este
diagrama de flujo que se verá a continuación:

Evidencia de la ejecución del programa resolviendo un par de casos
Se considera este ejemplo para llevar a cabo la ejecución del programa
Desarrollar el siguiente Sistema lineal mediante el método de Gauss Jordán
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 − 𝑡 = 0
−3𝑦 + 2𝑧 + 6𝑡 = −8
−3𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 + 𝑡 = 0
2𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 − 𝑡 = −8

Demostración de la solución en otra herramienta existente.
Y, por otra parte, la página de Calculadora de eliminación de Gauss-Jordán
(reshish.com) nos ayuda a comprobar los resultados obtenidos en la aplicación y
comprobando el mismo resultado en ambas aplicaciones.

https://matrix.reshish.com/es/gauss-jordanElimination.php
https://matrix.reshish.com/es/gauss-jordanElimination.php

Método 2.
Integración numérica.

Descripción del método y del algoritmo usado
La integración numérica es una herramienta de las matemáticas que proporciona
formulas y técnicas para calcular aproximaciones de integrales definidas. Gracias a
ella se pueden calcular, aunque sea de forma aproximada, valores de integrales
definidas que no puedencalcularse analíticamente y, sobre todo, se puede realizar
ese cálculo en un ordenador.
Para llevar a cabo estos tipos de integración numérica se proporciona 2 tipos de
reglas que son las que se utilizó en el curso de Matemáticas aplicadas a la
computación:
Aproximación numérica por regla de Simpson y Trapezoidal
Regla Trapezoidal
Esta regla se amplía subdividiendo el intervalo [a, b] en “n” subintervalos, con la
misma longitud, en la que se debe aplicar el siguiente método:
1. Se divide el intervalo [a, b] en subintervalos de igual medida.
2. Aproximar en cada subintervalo la función f(x) por una recta.
3. Aproximar el área bajo la curva f en el intervalo [a, b] mediante la suma de
las áreas de los trapecios.
4. Aplicar la regla del trapecio compuesta que viene dada por:

Donde tenemos como código implementado en Java de la siguiente manera:

De los cuales este código nos servirá para llevar a cabo estas aproximaciones.
Regla de Simpson
Esta es una segunda manera de llevar a cabo las aproximaciones y es la más
utilizada debido a que su rango de error es menor.
Esta regla a diferencia de la regla del trapecio, donde a mayor número de
subdivisiones se obtiene una mejor aproximación, lo que hace es ajustar una curva
de orden superior en lugar de la línea recta como sucede con la regla del trapecio.
Si bien, esta regla se implementa de la siguiente manera:
El intervalo [a, b] se divide en n subintervalos de largo △x= (b−a) / n.
Luego se construyen parábolas a través de cada grupo de tres puntos consecutivos
en el gráfico.
Utilizando parábolas de esta manera produce el siguiente estimado del área con la
regla de Simpson:

De igual manera que la regla del trapecio se implementó el siguiente código en Java
para la resolución de este método numérico.
Se podrá observar que sigue el mismo patrón de seguimiento que el del trapecio sin
embargo los métodos finales cambian debido a los intervalos que se llevan a cabo,
entonces este él es código implementado en Java:

Con estas implementaciones se puede lograr una aproximación más cercana en el
área bajo la curva
Evidencia de la ejecución del programa resolviendo un par de casos
Para llevar a cabo estas reglas se implementó este ejemplo sencillo visto en clase,
donde se hace uso del programa realizado por el equipo y también se realizó la
comprobación con las páginas que llevan a cabo estos métodos numéricos.

Ejemplo:
Aproxima el valor de la integral de las siguientes funciones en el rango indicado
usando el método de Simpson y Trapezoidal.
𝑓^𝑥 = 3𝑥
2
𝑎 = 0
𝑏 = 1
ℎ = 4
Y por lo tanto tenemos en la aplicación desarrollado por el equipo que se muestran
los 2 resultados de la regla de Trapecio y Simpson junto a su respectivo error
porcentual del cual está más alejado de la aproximación, que este caso el del
trapecio fue la que mostro el error que tiene. Recordemos que el valor real seria, la
integral de la ecuación que se está implementando.

Demostración de la solución en otra herramienta existente.
Esta es la página https://bit.ly/3HqqeIj donde se comprueba los mismos resultados

https://bit.ly/3HqqeIj

Método 3.
Interpolación Newton

Descripción del método y del algoritmo usado
Es un método de interpolación polinómica. Aunque sólo existe un único polinomio
que interpola una serie de puntos, existen diferentes formas de calcularlo. Este
método es útil para situaciones que requieran un número bajo de puntos para
interpolar, ya que a medida que crece el número de puntos, también lo hace el grado
del polinomio.
El cálculo se realiza considerando que la función que relaciona los valores de
ambos ejes es lineal. Esto se cumple para muchas aplicaciones reales, sin
embargo, muchos fenómenos físicos no cumplen una relación lineal entre sus
variables. En esos casos la interpolación o extrapolación lineal sigue siendo de
mucha utilidad ya que nos permite obtener para una serie de puntos, un valor
intermedio de forma aproximada.

Dados n+1 escalares distintos 𝑥𝑜 , 𝑥1, … , 𝑥𝑛 y n+1 escalares (iguales o distintos)
𝑊0,𝑊1, …𝑊𝑛 se define el polinomio interpolador en la forma:
𝑝𝑘(𝑥) = 𝑐0 + 𝑐1(𝑥 − 𝑥0) + 𝑐2(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1) + ⋯
+ 𝑐𝑘(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)… (𝑥 − 𝑥𝑘 − 1)
Y su formula

Y por lo tanto se implementó el siguiente código en Java para la resolución del
algoritmo:
Como primer punto es crear la tabla donde se almacenan los valores

Posteriormente se procede a realizar las operaciones correspondientes

Evidencia de la ejecución del programa resolviendo un par de casos
Para llevar a cabo este método numérico se realizó el siguiente ejemplo
Dados los puntos (0,-1), (1,6), (2,31) y (3,18).
Se requiere obtener la interpolación en x=4.

En la que se ingresa la interpolación que se desea obtener y se obtiene el dato

Demostración de la solución en otra herramienta existente.
Y, por otra parte, esta página Calculadora en línea: La interpolación polinómica de
Newton (planetcalc.com) nos ayuda a corroborar los resultados.

https://es.planetcalc.com/9023/
https://es.planetcalc.com/9023/

Método 4.
Interpolación lineal

Descripción del método y del algoritmo usado
Consiste en estimar la ubicación de un punto dentro de un intervalo numérico,
suponiendo que los valores extremos de dicho intervalo están unidos por una recta.
Conocida la ecuación de esta recta, es posible ubicar el punto desconocido.
Partimos de un valor base, en este caso x0,y0. Lo siguiente es que el valor
intermedio que estamos buscando estará entre y0 e y1. Ahora observamos la
diferencia entre los dos pares de valores y calculamos su cociente, para ver cuánto
cambia uno con respecto al otro, por cada unidad. A continuación, multiplicamos
ese valor obtenido por todas las unidades que se ha avanzado desde el x1 hasta el
x0.

Para resolver
1. Determinamos el punto incógnita P (x, y).
2. Establecemos los dos puntos que limitan el intervalo donde se encuentra el
valor a calcular, en este caso, los puntos (xo, yo) y (x1, y1).
3. Sustituir todos los valores en la ecuación
Y por lo tanto se implementó el siguiente código en java de manera sencilla

Evidencia de la ejecución del programa resolviendo un par de casos
Para obtener el valor intermedio entre dos puntos necesitamos saber los valores de
las coordenadas de dos puntos y la coordenada x del valor que queremos calcular
obtendremos el valor de la ‘y’. También funcionaria para problemas en los que
supiésemos el valor de la ‘y’ y queramos obtener el valor de la ‘x’, para ellos
simplemente tendríamos que cambiar los valores de ‘x’ e ‘y’ y viceversa (x<->y).

Resultado

Demostración de la solución en otra herramienta existente.

Sitio web: https://academiarafavilchez.com/calculadora-interpolacion/ en donde se
hizo la comprobación, siendo la celda
naranja el resultado final.

https://academiarafavilchez.com/calculadora-interpolacion/

Conclusiones
Los métodos numéricos son unos de los grandes factores a considerar, ya que en
muchos casos se utiliza para diferentes proyectos de ingeniería, investigaciones ya
sea de aspecto académico o científico.
Como podemos apreciar en este proyecto, gracias a las técnicas aplicadas de los
métodos numéricos con las cuales nos es posible formular problemas matemáticos
de tal manera que puedan tener solución usando operaciones aritméticas.El estudio
de estos distintos métodos numéricos tenemos conocimiento de cómo pueden ser
aplicados para resolver procedimientos ya sea en ecuaciones diferenciales, ajuste
de curvas y cálculo de polinomios e interpolaciones. El uso de estos métodos nos
permite también ser más precisos y exactos a la hora de hacer nuestros cálculos, a
partir del estudio y aplicación de este conocimiento podemos desarrollar e
implementar software especializado para el cómputo científico y hacer
modificaciones a los cálculos de error con los que trabajemos.
Ahora contamos con computadoras capaces de resolver una ecuación tan compleja
y con una exactitud impresionante por lo que en está asignatura su objetivo es
prepararnos a comprender ciertas técnicas matemáticas, poderlos implementar en
un programa como lo que acabamos de hacer en este proyecto considerando cierta
responsabilidad ya que cuando sea aplicable este tenga un error mínimo.
La gran importancia de estudiar métodos numéricos nos vuelven aptos para
entender esquemas numéricos a fin de resolver problemas matemáticos y
principalmente para los que estudian alguna ingeniería, estos estudian una parte
para una solución analítica y en muchos caso es solo para acercarse a una
respuesta aproximada por ello con ayuda de dispositivos como lo es una
computadora se podrá abarcar más teorías, técnicas matemáticas, métodos
algebraicos, formulas adecuadas para darnos un resultado y no digo que sea
correcto por que para ello nos falta bastante en comprobar si la solución es correcta.

Referencias

Darwin Morocho. (2014, 6 octubre). Método de Gauss Jordan en java-NetBeans
Parte 1. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=Us8l6XHq2IQ

Darwin Morocho. (2014, septiembre 18). integración numérica en java parte 1.
YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=NlVmRdHqlOM

Dexter_one, P. (2010, octubre 3). Código Fuente en Java para la resolución de
Métodos Numéricos. dexter_one. https://dexter-one.net/programacion/codigo-
fuente-en-java-para-la-resolucion-de-metodos-numericos/

Universidad de Guanajuato. (2021, noviembre 27). Clase digital 4: Método de Gauss
- Jordan. Recursos Educativos Abiertos; Sistema Universitario de Multimodalidad
Educativo (SUME) - Universidad de Guanajuato. https://blogs.ugto.mx/rea/clase-
digital-4-metodo-de-gauss-jordan/

(S/f). Departamento.us.es. Recuperado el 6 de diciembre de 2022, de
http://departamento.us.es/edan/php/asig/LICFIS/LFIPC/Tema7FISPC0809.pdf

Khalugas, P. (2016, marzo 8). INTERPOLACION DE NEWTON. LABORATORIO
DE MÉTODOS NUMERICOS.
https://velardebarret.wordpress.com/2016/03/08/interpolacion-de-newton/

Como interpolar | Formula y ejemplo de interpolación lineal. (s. f.). Salamarkesa.
https://www.salamarkesa.com/formula-interpolar-ejemplo-resuelto-interpolacion/

Los Profes De Ciencias. (2021, 3 marzo). Interpolación Lineal [Vídeo]. YouTube.
https://www.youtube.com/watch?v=zNaepj0O2tM

LORENA GARCIA. (2021, 12 marzo). INTERPOLACIÓN LINEAL RÁPIDO Y FÁCIL
[Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=6-HbYfZ3UfQ

https://www.youtube.com/watch?v=Us8l6XHq2IQ
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https://dexter-one.net/programacion/codigo-fuente-en-java-para-la-resolucion-de-metodos-numericos/
https://dexter-one.net/programacion/codigo-fuente-en-java-para-la-resolucion-de-metodos-numericos/
https://blogs.ugto.mx/rea/clase-digital-4-metodo-de-gauss-jordan/
https://blogs.ugto.mx/rea/clase-digital-4-metodo-de-gauss-jordan/
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Ing. Jorge Landa. (2020, 21 abril). Métodos Numéricos - Interpolación Lineal -1
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Mate316. (2019, 19 octubre). Interpolación lineal, formula de interpolación lineal -
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4.1 INTERPOLACION LINEAL Y CUADRATICA - Numerictron. (s. f.).
https://sites.google.com/site/numerictron/unidad-4/4-1-interpolacion-lineal-y-
cuadratica

Zapata, F. (2021, 12 marzo). Interpolación lineal. Lifeder.
https://www.lifeder.com/interpolacion-lineal/

https://www.youtube.com/watch?v=ANTZQc_CT3A
https://www.youtube.com/watch?v=PJvw4iAZcVM
https://sites.google.com/site/numerictron/unidad-4/4-1-interpolacion-lineal-y-cuadratica
https://sites.google.com/site/numerictron/unidad-4/4-1-interpolacion-lineal-y-cuadratica
https://www.lifeder.com/interpolacion-lineal/