NOTAS DE ANALISIS MATEMATICO II - ANETTE RACHEL PINACHO MATIAS

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Curso de Análisis Matemático II 2023 A.
Docente:
Sofía Ortega Castillo (sofia.ortega@academicos.udg.mx).
Horario:
Lunes, 11:00-12:55 horas, U7.
Lunes, 15:00-16:55 horas, V8 (taller).
Miércoles, 15:00-16:55 horas, U3.
Modo de evaluación:
Tareas, 30 %,
Proyecto, 20 %
Exámenes parciales, 50 %.
Temario:
Espacio Euclidiano:
• Aspectos lineales,
• Aspectos topológicos;
Continuidad:
• Continuidad,
• Caracterización de continuidad,
• Imágenes de conjuntos bajo funciones continuas,
• Continuidad uniforme,
• Funciones de Lipschitz;
Diferenciabilidad:
• Derivadas parciales,
• La derivada de Fréchet,
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• Derivadas de orden mayor,
• El teorema de Taylor,
• Puntos críticos y extremos locales,
• Convexidad;
Superficies:
• Conjuntos de nivel,
• Curvas y campos vectoriales,
• El espacio tangente,
• Multiplicadores de Lagrange;
Teoremas de la función implícita e inversa:
• Teorema de la función implícita,
• Teorema de la función inversa.
Bibliografía:
Marsden, Hoffman; Análisis Clásico Elemental, Addison Wesley Longman,
1997.
Bartle; The Elements of Real Analysis, John Wiley & Sons, 1964.
Kantorovitz; Several Real Variables, Springer, 2016.
Capítulo 1
Espacio Euclidiano
1.1. Aspectos lineales
El espacio Euclidiano Rn está dado por {x = (x1, · · · , xn) : xi ∈ R} y tiene
dos operaciones elementales, la suma y el producto por escalar:
Si x = (x1, · · · , xn), y = (y1, · · · , yn) ∈ Rn entonces x + y = (x1 +
y1, · · · , xn + yn) ∈ Rn.
Si x = (x1, · · · , xn) ∈ Rn y λ ∈ R entonces λx = (λx1, · · · , λxn) ∈ Rn.
Es un ejercicio para el lector verificar que (Rn,+, ·) es un espacio vectorial sobre
R, donde a los elementos de Rn se les llama puntos de Rn, o vectores en Rn.
Como espacio vectorial, Rn tiene dimensión n, y una base canónica de Rn
consiste de los vectores
e1 = (1, 0, · · · , 0),
e2 = (0, 1, · · · , 0),
.
.
.
en = (0, 0, · · · , 1).
3
CAPÍTULO 1. ESPACIO EUCLIDIANO 4
En esta base, es claro que cada x = (x1, · · · , xn) ∈ Rn tiene como represen-
tación única la combinación lineal x =
∑n
j=1 xjej .
Además de estudiar el enfoque de álgebra lineal en Rn, queremos entender
la geometría del espacio Euclidiano. Para esto, veamos el concepto de espacio
vectorial con producto interno:
Definición 1.1.1. Sea V un espacio vectorial sobre R. Un producto interno sobre
R es una función (x, y) ∈ V × V 7→ x · y ∈ R que satisface:
1. bilinealidad: es lineal en cada una de las variables x y y,
2. conmutatividad: x · y = y · x ∀x, y ∈ V ,
3. positivo definido: x · x ≥ 0 ∀x ∈ V , y x · x = 0 ssi x = 0.
Ejemplo 1.1.2. El producto interno Euclidiano x ·y de los vectores x, y ∈ Rn está
dado por
x · y =
n∑
i=1
xiyi.
Ejemplo 1.1.3. Un producto interno < f, g > de las funciones f, g ∈ C[0, 1] está
dado por
< f, g >=
∫ 1
0
f(x)g(x)dx.
Un concepto más general es el de espacio normado:
Definición 1.1.4. Una norma del espacio vectorial V sobre R es una función
‖ · ‖ : x ∈ V 7→ ‖x‖ ∈ [0,∞) con las siguientes propiedades:
1. positiva definida: ‖x‖ = 0 ssi x = 0,
2. homogeneidad: ‖λx‖ = |λ|‖x‖ ∀λ ∈ R y x ∈ V ,
3. desigualdad del triángulo: ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ ∀x, y ∈ V.
Observación 1.1.5. El valor absoluto es una norma en el espacio vectorial 1-
dimensional R sobre R.
Teorema 1.1.6. Sea V un espacio vectorial con producto interno sobre R y define
‖x‖ = (x · x)1/2, x ∈ V.
Entonces ‖ · ‖ es una norma de V , y |x · y| ≤ ‖x‖‖y‖ cuando x, y ∈ V .
CAPÍTULO 1. ESPACIO EUCLIDIANO 5
Demostración. Veamos que ‖ · ‖ es una norma. Primero notamos que claramente
la función está bien definida pues x · x toma valores no-negativos, y se satisface
1-3 de la definición de norma:
1. (x · x)1/2 = 0 ssi x · x = 0 ssi x = −→0 .
2. Sean λ ∈ R y x ∈ V . Entonces ‖λx‖ = (λx · λx)1/2 = (λ2)1/2(x · x)1/2 =
|λ|‖x‖.
Observemos que, dados x, y ∈ V y λ ∈ R,
0 ≤ (x− λy) · (x− λy)
= x · x− 2λ(x · y) + λ2(y · y)
= ‖x‖2 − 2λ(x · y) + λ2‖y‖2
sin pérdida de generalidad y 6= 0, y tomemos λ = x·y‖y‖2 , luego por la ecua-
ción anterior tenemos que
0 ≤ ‖x‖2 − 2(x · y)
2
‖y‖2
+
(x · y)2
‖y‖2
= ‖x‖2 − (x · y)
2
‖y‖2
,
en consecuencia (x · y)2 ≤ ‖x‖2‖y‖2 de modo que |x · y| ≤ ‖x‖‖y‖ (des-
igualdad de Cauchy-Schwarz).
3. Sean x, y ∈ V , entonces, por la desigualdad de Cauchy-Schwarz:
‖x+ y‖2 = (x+ y) · (x+ y) = ‖x‖2 + 2(x · y) + ‖y‖2
≤ ‖x‖2 + 2‖x‖‖y‖+ ‖y‖2
= (‖x‖+ ‖y‖)2.
Ejemplo 1.1.7. En Rn, la norma inducida por su producto interno es llamada la
norma Euclidiana, y está dada por
‖x‖2 = (x · x)1/2 = (
n∑
i=1
x2i )
1/2, x ∈ Rn.
Otra norma en Rn es la del taxi, la cual está dada por
‖x‖1 =
n∑
i=1
|xi|, x ∈ Rn.
CAPÍTULO 1. ESPACIO EUCLIDIANO 6
Ejemplo 1.1.8. La función ‖·‖∞ : C[0, 1]→ R dada por ‖f‖∞ = supx∈[0,1] |f(x)|
es una norma.
Observación 1.1.9. Es un ejercicio para el lector verificar que las últimas dos
normas no están inducidas por un producto interno, pues no satisfacen la ley del
paralelogramo: si (V, ·) es un espacio con producto interno, y a, b ∈ V , entonces
‖a+ b‖2 + ‖a− b‖2 = 2(‖a‖2 + ‖b‖2) (también queda como ejercicio al lector).
Un concepto relacionado al de norma es el de métrica, cómo veremos a conti-
nuación:
Definición 1.1.10. Una métrica (o función distancia) en un conjunto no vacíoM
es una función d : M ×M → [0,∞) con las siguientes propiedades:
positiva definida: d(x, y) = 0 ssi x = y,
simetría: d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈M ,
desigualdad del triángulo: d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ∀x, y, z ∈M .
(M,d) es llamado un espacio métrico.
Ejemplo 1.1.11. Si V es un espacio normado por ‖ · ‖, la métrica inducida por la
norma se define como
d(x, y) = ‖x− y‖, x, y ∈ V.
En particular, la distancia Euclidiana en Rn está dada por
d :Rn × Rn → [0,∞)
(x, y) 7→ (
n∑
i=1
|xi − yi|2)1/2,
mientras que la distancia del taxi está dada por d′(x, y) =
∑n
i=1 |xi − yi| para
x, y ∈ Rn.
Ejemplo 1.1.12. Si M es un conjunto arbitrario no vacío entonces (M,d) es un
espacio métrico cuando
d :M ×M → {0, 1}
(x, y) 7→
{
0, si x = y
1, si x 6= y
En este caso a d se le llama la métrica discreta.
CAPÍTULO 1. ESPACIO EUCLIDIANO 7
Ejemplo 1.1.13. Si (M,d) es un espacio métrico dado, entonces la función
ρ :M ×M → [0,∞)
(x, y) 7→ d(x, y)
1 + d(x, y)
también es una métrica sobre M , llamada la métrica acotada asociada a d.
Es un ejercicio para el lector probar que estas últimas dos métricas no están
inducidas por una norma en el eventual caso de que M sea un espacio vectorial
sobre R.
El siguiente concepto tendrá un papel importante en la próxima sección.
Definición 1.1.14. Dado un conjuntoX dotado con dos métricas d1 y d2, decimos
que estas métricas son equivalentes si existen constantesK,L > 0 tales que, para
todos x, y ∈ X ,
Kd1(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ Ld1(x, y).
Ejemplo 1.1.15. La métrica Euclidiana y la métrica del taxi son equivalentes en
R2.
1.2. Aspectos topológicos
Es claro que en los espacios métricos tenemos una noción de cercanía, lo cual
más generalmente se tiene en los llamados espacios topológicos. Hablemos de lo
que es una topología:
Definición 1.2.1. Si X es un conjunto, y τ es una familia de subconjuntos de X ,
diremos que τ es una topología sobre X si se satisface que
1. ∅, X ∈ τ ,
2. Si Eα ∈ τ para todo α en un conjunto de índices I , entonces ∪α∈IEα ∈ τ ,
3. Si Ej ∈ τ para j = 1, · · · , n entonces ∩nj=1Ej ∈ τ .
Veremos que todo espacio métrico es un espacio topológico. Para esto, consi-
deremos las siguientes nociones topológicas:
Definición 1.2.2. Sea (M,d) un espacio métrico.
CAPÍTULO 1. ESPACIO EUCLIDIANO 8
1. Dados x ∈M y r > 0, la bola con centro en x y radio r es el conjunto
B(x, r) = Bd(x, r) = {y ∈M : d(x, y) < r},
2. El punto x ∈M es llamado un punto interior de E ⊂M si existe r > 0 tal
que B(x, r) ⊂ E, y en particular el conjunto int(E) consiste de los puntos
interiores de E,
3. El conjunto E es llamado abierto si todo punto de E es interior,
4. El conjunto E es llamado vecindad de x ∈ E si E es un abierto que con-
tiene a x,
5. El conjunto E es llamado cerrado si su complemento
Ec = {x ∈M : x /∈ E}
es abierto,
6. Elpunto x ∈ M es un punto límite de E si toda bola B(x, r) contiene un
punto y ∈ E, y 6= x, y esto se suele denotar por x ∈ E ′,
7. El punto x ∈ E es un punto aislado de E si no es punto límite de E, es
decir, existe r > 0 tal que B(x, r) ∩ E = {x}.
Observación 1.2.3. Si (M,d) es un espacio métrico, sus abiertos τd forman una
topología, es decir, (M, τd) es un espacio topológico.
Ejemplo 1.2.4. Toda bola B(x, r) es un abierto en el espacio métrico (M,d).
En efecto, si y ∈ B(x, r), entonces r′ = r − d(y, x) > 0 y satisface que
B(y, r′) ⊂ B(x, r) pues, si z ∈ B(y, r′),
d(z, x) ≤ d(z, y) + d(y, x) < r′ + d(y, x) = r.
Veamos la siguiente caracterización de los conjuntos abiertos:
Proposición 1.2.5. Sea (M,d) un espacio métrico. Dado E ⊂ M , los siguientes
enunciados son equivalentes:
1. E es abierto,
2. E es unión de bolas,
CAPÍTULO 1. ESPACIO EUCLIDIANO 9
3. int(E) = E.
Demostración. (1)⇒ (2) Si E es abierto entonces para cada x ∈ E existe rx > 0
tal que B(x, rx) ⊂ E, de modo que E = ∪x∈EB(x, rx).
(2) ⇒ (1) Si E es unión de bolas entonces E es unión de abiertos, de modo
que E es abierto.
(1)⇒ (3) SiE es abierto entonces todo punto deE es interior, así que int(E) =
E.
(3)⇒ (1) Si int(E) = E entonces todo punto de E es interior, por lo que E
es abierto.
Observación 1.2.6. Si d y d′ son métricas equivalentes en X entonces inducen
la misma topología, es decir, τd = τd′ (por la proposición 1.2.5 y porque cada
bola en la métrica d contiene una bola en la métrica d′ con el mismo centro y
conversamente, cada bola en la métrica d′ contiene una bola en la métrica d con
el mismo centro).
La siguiente proposición es de interés para determinar que el interior de un
conjunto es siempre abierto.
Proposición 1.2.7. Si (M,d) es un espacio métrico y E ⊂M entonces int(E) es
la unión de todos los subconjuntos abiertos de E.
Demostración. Si x ∈ int(E) entonces existe r > 0 tal que B(x, r) ⊂ E, dónde
B(x, r) es un subconjunto abierto de E, así que x ∈ ∪V⊂E,V abiertoV . Recíproca-
mente, si x ∈ ∪V⊂E,V abiertoV , entonces existe V0 ⊂ E, V0 abierto, tal que x ∈ V0,
y por tanto, existe r > 0 tal que B(x, r) ⊂ V0 ⊂ E, así que x ∈ int(E).
Volviendo a topologías en general, la siguiente construcción de una topología
a partir de una dada es útil.
Definición 1.2.8. Si (X, τ) es un espacio topológico y Y ⊂ X , la topología
relativa τ restringida a Y , τ |Y , consiste de los conjuntos U ∩ Y para U ∈ τ .
Observación 1.2.9. Las topologías relativas son topologías, por lo que si (X, τ)
es un espacio topológico, a (Y, τ |Y ) se le llama un subespacio topológico. En par-
ticular, si (X, τ) es un espacio topológico y Y ∈ τ entonces la topología relativa
τ restringida a Y está dada por {U ⊂ Y : U ∈ τ}.
CAPÍTULO 1. ESPACIO EUCLIDIANO 10
En el caso de una topología inducida por una métrica, sus topologías relativas
satisfacen lo siguiente:
Proposición 1.2.10. Sea (M,d) un espacio métrico y sea Y un subconjunto de
M . La topología relativa de M restringida a Y también está inducida por una
métrica, la métrica d restringida a Y .
Demostración. Denotemos por τd|Y a la topología relativa τd restringida a Y . Si
V ∈ τd|Y entonces V = U ∩ Y para algún U ∈ τd, y como U ∈ τd, para
cada x ∈ V existe rx > 0 tal que V = ∪x∈VBd(x, rx) ∩ Y lo cual es igual a
∪x∈VBd′(x, rx) que claramente es un abierto en τd′ para d′ la métrica d restringida
a Y × Y , es decir,
d′ :Y × Y → [0,∞)
(y1, y2) 7→ d(y1, y2).
Recíprocamente, si V ∈ τd′ entonces V = ∪x∈VBd′(x, rx) para algunos radios
positivos rx, x ∈ V . Luego, V = ∪x∈V (Bd(x, rx) ∩ Y ) = (∪x∈VBd(x, rx)) ∩ Y,
así que para U = ∪x∈VBd(x, rx) ∈ τd, tenemos que V = U ∩ Y , es decir,
V ∈ τd|Y .
Otra manera de entender las propiedades topológicas de un espacio métri-
co consiste en estudiar sus espacios cerrados, es decir, los complementos de los
abiertos. Los siguiente es evidente de la definición de topología:
Proposición 1.2.11. En un espacio métrico (M,d) tenemos que
1. El espacio total M y el conjunto vacío ∅ son cerrados,
2. La intersección de una familia arbitraria de subconjuntos cerrados es ce-
rrado,
3. La unión de un número finito de subconjuntos cerrados es cerrado.
Ejemplo 1.2.12. La bola cerrada con centro en x y radio r dada por
B(x, r) = Bd(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) ≤ r}
es un cerrado.
CAPÍTULO 1. ESPACIO EUCLIDIANO 11
En efecto, si y /∈ B(x, r) entonces r′ = d(y, x) − r > 0, así que B(y, r′) ∩
B(x, r) = ∅ puesto que si z ∈ B(y, r′),
d(z, x) ≥ d(y, x)− d(z, y) > d(y, x)− r′ = r.
La siguiente es una caracterización de los conjuntos cerrados:
Proposición 1.2.13. Sea (M,d) un espacio métrico. Dado E ⊂M , los siguientes
enunciados son equivalentes:
1. E es cerrado,
2. E contiene todos sus puntos límite,
3. E = ∩C⊃E,C cerrado C
Demostración. (1)⇒ (2) Si E es cerrado entonces Ec es abierto. Si existiera un
punto límite x de E que no pertenece a E, obtendríamos que B(x, r) ⊂ Ec para
algún r > 0, luego (B(x, r) \ {x}) ∩ E ⊂ Ec ∩ E = ∅, lo cual contradice que x
sea punto límite de E.
(2)⇒ (1) Si E no fuese cerrado tendríamos que Ec no sería abierto, así que
existiría x /∈ E tal que B(x, r) ∩ E 6= ∅ para todo r > 0. Como x /∈ E tenemos
que (B(x, r) \ {x}) ∩ E 6= ∅ para todo r > 0, es decir, x es un punto límite de E
que no está en E.
(1)⇒ (3) SiE fuese cerrado tendríamos que claramenteE = ∩C⊃E,C cerrado C.
(3)⇒ (1) Si E = ∩C⊃E,C cerrado C entonces E es una intersección arbitraria de
cerrados, por lo que es cerrado.
Inspirados por la proposición anterior definimos lo siguiente:
Definición 1.2.14. Sea (M,d) un espacio métrico y sea E un subconjunto de M .
La cerradura de E está dada por
E = ∩C⊃E,C cerrado C.
Por la definición de la cerradura, es claro que la cerradura de un conjunto es
un cerrado. Veamos además la siguiente caracterización de la cerradura.
Proposición 1.2.15. Si (M,d) es un espacio métrico y E ⊂M , E = E ∪ E ′.
CAPÍTULO 1. ESPACIO EUCLIDIANO 12
Demostración. E = ∩C⊃E,C cerrado C ssi E
c
= ∪Cc⊂Ec,Cc abierto Cc = int(Ec), de
modo que
E = (int(Ec))c = {x ∈M : x no es punto interior de Ec}
= {x ∈M : para todo r > 0, B(x, r) ∩ E 6= ∅}
= E ∪ E ′
Las proposiciones anteriores nos llevan a concluir que el conjunto de puntos
límite es de interés. Si tomamos E ′′ = (E ′)′ lo siguiente se cumple:
Proposición 1.2.16. Si (M,d) es un espacio métrico yE ⊂M entoncesE ′′ ⊂ E ′.
Demostración. Sea x ∈ E ′′. Entonces, dado r > 0, existe y 6= x, tal que y ∈
E ′ ∩ B(x, r). Como y ∈ B(x, r) que es abierta, entonces existe s ∈ (0, d(x, y))
tal queB(y, s) ⊂ B(x, r). Puesto que y ∈ E ′ existe z 6= y tal que z ∈ E∩B(y, s).
Luego z ∈ E ∩B(x, r) y z 6= x pues x /∈ B(y, s). Por tanto x ∈ E ′.
También tenemos que los puntos límite de una unión finita de conjuntos no
son más que la unión de los puntos límite de cada conjunto.
Proposición 1.2.17. Si (M,d) es un espacio métrico y E,F ⊂M entonces tene-
mos que (E ∪ F )′ = E ′ ∪ F ′.
Demostración. Veamos primero que si A ⊂ B ⊂ M entonces A′ ⊂ B′: En
efecto, si x ∈ A′ entonces para todo r > 0 tenemos que (B(x, r)\{x})∩A 6= ∅ por
lo que también (B(x, r)\{x})∩B 6= ∅. Esto implica que, si E,F ⊂M , entonces
E ′ ⊂ (E ∪F )′ y F ′ ⊂ (E ∪F )′ por lo que E ′ ∪F ′ ⊂ (E ∪F )′. Para la inclusión
contraria, tomemos x en el complemento de E ′ ∪ F ′, es decir, en (E ′)c ∩ (F ′)c,
lo cual implica que existen r1, r2 > 0 tales que (B(x, r1) \ {x}) ∩ E = ∅ y
(B(x, r2) \ {x}) ∩ F = ∅, por lo que B(x, r) \ {x}) ∩ (E ∪ F ) = ∅ para r =
mı́n(r1, r2), es decir, x está en el complemento de (E∪F )′, como queríamos.
Los cerrados y la cerradura de un conjunto también pueden caracterizarse por
medio de sucesiones:
Proposición 1.2.18. Sea (M,d) un espacio métrico.
1. E ⊂ M es cerrado ssi para cada sucesión (xn) ⊂ E que converge en M ,
el límite es un elemento de E.
CAPÍTULO 1. ESPACIO EUCLIDIANO 13
2. Dado E ⊂M , x ∈ E ssi existe una sucesión (xn) ⊂ E tal que xn → x.
Demostración. 1.⇒] Supongamos que E es cerrado. Sea (xk) ⊂ E una sucesión
que converge a x ∈ M . Entonces para todo � > 0 existe N(�) tal que para todo
n ≥ N(�), xn ∈ B(x,�). Observemos que si x = xn para algún n ≥ N(�) y para
algún � > 0, entonces x ∈ E, mientras que si x 6= xn para todo n ≥ N(�) y para
todo � > 0 entonces x ∈ E ′. En todo caso, x ∈ E ∪ E ′ = E.
1. ⇐] Supongamos que E no es cerrado. Entonces existe x ∈ E ′ \ E. Para
cada n ∈ N sea xn ∈ E ∩B(x, 1/n) 6= ∅. Entonces (xn) es una sucesión en E tal
que xn → x /∈ E.
2. ⇒] Si x ∈ E entonces x ∈ E ∪ E ′. En caso de que x ∈ E, tomemos
xn = x para todo n ∈ N, y en caso de que x ∈ E ′, para cada n ∈ N existe
xn ∈ E ∩B(x, 1/n). En ambos casos es claro que (xn) ⊂ E y que xn → x.
2. ⇐] Si existe (xn) ⊂ E tal que xn → x entonces (xn) ⊂ E donde E es
cerrado, así que por la parte 1 tenemos que x ∈ E.
Un concepto relacionado al de cerradura es el de frontera:
Definición 1.2.19. Dado un espacio métrico (M,d) y un subconjunto E de M , la
frontera de E se define como
bE = E ∩M \ E.
Los elementos de la frontera se caracterizan como sigue:
Proposición 1.2.20. Sea (M,d) un espacio métrico y sea E un subconjunto de
M . Tenemos que x ∈ bE ssi para todo r > 0, B(x, r) contiene puntos de E y de
M \ E.
Demostración. Usando la prueba de la Proposición 1.2.15, tenemos que
bE = E ∩M \ E
= {x ∈M : ∀r > 0, B(x, r) ∩ E 6= ∅} ∩ {x ∈M : ∀r > 0, B(x, r) ∩ (M \ E) 6= ∅}
= {x ∈M : ∀r > 0, B(x, r) ∩ E 6= ∅ y B(x, r) ∩ (M \ E) 6= ∅}
CAPÍTULO 1. ESPACIO EUCLIDIANO 14
La cerradura también aparece en la definición de los subconjuntos densos:
Definición 1.2.21. Dado un espacio métrico (M,d), decimos que E ⊂ M es un
subconjunto denso si E = M .
Definición 1.2.22. Un espacio métrico (M,d) es llamado separable si contiene
un subconjunto numerable denso.
Ejemplo 1.2.23. R con la métrica Euclidiana es separable, pues Q es denso en R.
Hablemos una vez más de la topología relativa, pero ahora enfocándonos en
los cerrados:
Definición 1.2.24. Si (M,d) es un espacio métrico y Y es un subconjunto de M ,
decimos que E ⊂ Y es cerrado relativo a Y si existe C cerrado en M tal que
E = C ∩ Y .
Proposición 1.2.25. Dados (M,d) un espacio métrico y Y un subconjunto de M ,
E ⊂ Y es cerrado en la topología relativa de M restringida a Y ssi E es cerrado
relativo a Y .
Demostración. ⇒] Si E es cerrado en la topología relativa de M restringida a Y ,
entonces E = Y \ V , donde V es abierto relativo a Y , es decir, V = Y ∩ U
para algún U abierto en M . Por tanto E = Y \ (Y ∩ U) = Y ∩ (Y ∩ U)c =
Y ∩ (Y c ∪ U c) = Y ∩ U c, donde U c es cerrado en M .
⇐] Si E es cerrado relativo a Y entonces E = C ∩ Y para algún C cerrado
en M . Luego U = M \ C es abierto en M , así que tomemos V = Y ∩ U abierto
relativo a Y . Entonces Y \ V = Y ∩ (Y ∩ U)c = Y ∩ U c = Y ∩ (M \ U) = E,
es decir, E es cerrado en la topología relativa de M restringida a Y .
Proposición 1.2.26. Si (M,d) es un espacio métrico y Y es un subconjunto ce-
rrado de M , entonces E ⊂ Y es cerrado relativo a Y ssi E es cerrado en M .
Demostración. ⇒] Si E es cerrado relativo a Y entonces E = Y ∩ C para algún
C cerrado en M , y como Y también es cerrado en M entonces Y ∩ C es cerrado
en M , es decir, E es cerrado en M .
⇐] Si E es cerrado en M , como E ⊂ Y tenemos que E = E ∩ Y , es decir, E
es cerrado relativo a Y .
CAPÍTULO 1. ESPACIO EUCLIDIANO 15
Además de la topología relativa, también es de interés estudiar la topología
producto, que resulta de la observación de que la intersección arbitraria de topo-
logías es una topología.
Si (X, τX) y (Y, τY ) son espacios topológicos, entonces la topología producto
en X × Y es la mínima topología que contiene a los conjuntos de la forma U ×V
con U ∈ τX y V ∈ τY .
Proposición 1.2.27. Si (X, dX) y (Y, dY ) son espacios métricos entonces X × Y
con la topología producto τ está inducida por una métrica, por ejemplo la métrica
d del máximo.
Demostración. Consideremos
d : (X × Y )× (X × Y )→ [0,∞)
((x1, y1), (x2, y2)) 7→ máx(dX(x1, x2), dY (y1, y2)).
Entonces para (x, y) ∈ X × Y y r > 0,
Bd((x, y), r) = {(x1, y1) ∈ X × Y : dX(x1, x) < r, dY (y1, y) < r}
= BdX (x, r)×BdY (y, r) ∈ τ,
de modo que τd ⊂ τ .
Y al revés, todo conjunto de la forma U × V con U ∈ τX y V ∈ τY satisface
que
U × V = (∪x∈UBdX (x, rx))× (∪y∈VBdY (y, ry))
= ∪(x,y)∈U×VBdX (x, rx)×BdY (y, ry)
= ∪(x,y)∈U×VBd((x, y),mı́n(rx, ry)) ∈ τd,
así que τ ⊂ τd.
Ahora nos enfocaremos en un concepto importante en topología llamado com-
pacidad, cuya importancia se clarificará cuando estudiemos funciones continuas:
Definición 1.2.28. Dado (X, τ) un espacio topológico, decimos que X es com-
pacto si siempre que (Ui)i∈I ⊂ τ satisfacen que X = ∪i∈IUi podemos hallar
i1, · · · , in ∈ I tales que X = ∪nj=1Uij .
CAPÍTULO 1. ESPACIO EUCLIDIANO 16
Observación 1.2.29. Si (M,d) es un espacio métrico y E ⊂ M , entonces E es
compacto (con la topología relativa τd restringida a E) ssi siempre que (Ui)i∈I
es una colección de abiertos en M tales que E ⊂ ∪i∈IUi se tiene que existen
i1, · · · , in ∈ I tales que E ⊂ ∪nj=1Uij . Es decir, E es compacto ssi toda cubierta
abierta de E tiene una subcubierta finita.
Los conjuntos compactos guardan las siguientes relaciones con los cerrados
en espacios métricos:
Proposición 1.2.30. Si (M,d) es un espacio métrico y E ⊂ M es compacto,
entonces E es cerrado.
Demostración. Basta probar que M \ E es abierto:
Sea x ∈M \E. ComoE ⊂M \{x} = ∪r>0(M \(B(x, r))), entonces existen
r1, · · · , rn positivos tales que E ⊂ ∪nj=1(M \ B(x, rj)) = M \ B(x, r0), donde
r0 = mı́n{r1, · · · , rn} > 0. Concluimos que B(x, r0) ⊂M \ E.
Proposición 1.2.31. Si (M,d) es un espacio métrico compacto y E es cerrado en
M , entonces E es compacto.
Demostración. Sea (Ui)i∈I una colección de abiertos enM tales queE ⊂ ∪i∈IUi.
Puesto que M \ E también es abierto en M , es claro que ∪i∈IUi ∪ (M \ E) es
una cubierta abierta de M , donde M es compacto, así que existen i1, · · · , in ∈ I
tales que M = ∪nj=1Uij ∪ (M \ E). Como E no tiene intersección con M \ E,
concluimos que E ⊂ ∪nj=1Uij . Por tanto E es compacto.
También vale la pena observar la siguiente propiedad de los puntos límite de
un conjunto infinito en un compacto.
Proposición 1.2.32. Si (M,d) es un espacio métrico compacto y E es un subcon-
junto infinito de M entonces E ′ 6= ∅.
Demostración. Supongamos queE ′ = ∅. Entonces ningún x ∈M pertenece aE ′,
así que para cada x ∈M hallamos rx > 0 tal que (B(x, rx)\{x})∩E = ∅. Como
M = ∪x∈MB(x, rx) yM es compacto, tenemos que existen x1, · · · , xn ∈M tales
que M = ∪ni=1B(xi, rxi). Luego,
E = M ∩E = (∪ni=1B(xi, rxi))∩E = ∪ni=1(B(xi, rxi)∩E) = {x1, · · · , xn}∩E,
que es finito, contradicción.
CAPÍTULO 1. ESPACIO EUCLIDIANO 17
La propiedad anterior caracteriza a los conjuntos compactos como sigue.
Teorema 1.2.33 (Bolzano-Weierstrass). Un espacio métrico (M,d) es compacto
si y sólo si todo subconjunto infinito E de M satisface que E ′ 6= ∅.
Demostración. ⇒] Esto lo probamos en la proposición anterior.
⇐] Supongamos que M = ∪α∈IUα donde cada Uα es abierto.
Veamos primero que existe r > 0 tal que, para cada x ∈ M , B(x, r) ⊂ Uα
para algún α ∈ I: de lo contrario, para cada n ∈ N existe yn ∈ M tal que
B(yn, 1/n) no está contenido en ningún Uα. En particularE = {yk}∞k=1 es infinito
pues de otro modo E = {yn1 , · · · , ynm}, donde cada yni pertenece a algún Uαi ,
así que existe n ∈ N tal que para cada i ∈ {1, · · · ,m}, B(yni , 1/n) ⊂ Uαi ,
es decir, B(yn, 1/n) ⊂ Uα′ para algún α′ ∈ I . Sea z ∈ E ′ ⊂ M , entonces
z ∈ Uα0 para algún α0 ∈ I así que existe n0 ∈ N tal que B(z, 1/n0) ⊂ Uα0 .
Luego, sea yn ∈ (B(z, 1/(2n0)) \ {z})∩E con n ≥ 2n0. Entonces B(yn, 1/n) ⊂
B(z, 1/n0) ⊂ Uα0 , que es una contradicción.
Sea r como en el párrafo anterior. Veamos ahora que existen x1, · · · , xn ∈
M tales que M = ∪ni=1B(xi, r): de lo contrario, tomamos y1 ∈ M , y como
B(y1, r) no cubre a todo M , existe y2 ∈ M \ B(y1, r), y nuevamente como
B(y1, r)∪B(y2, r) no cubre a todo M , tomemos y3 ∈M \ (B(y1, r)∪B(y2, r)),
y así sucesivamente. Luego, E = {yn}∞n=1 es un conjunto de puntos tales que
d(yn, ym) ≥ r para n 6= m, así que E es infinito y E ′ = ∅, que es una contradic-
ción.
Puesto que M = ∪ni=1B(xi, r),para cada i ∈ {1, · · · , n} sea αi ∈ I tal que
B(xi, r) ⊂ Uαi . Entonces M = ∪ni=1Uαi , como queríamos.
Una consecuencia importante del teorema de Bolzano-Weierstrass es la si-
guiente.
Proposición 1.2.34 (Propiedad de los conjuntos encajados). Si (M,d) es un es-
pacio métrico y (Kn)∞n=1 es una sucesión de subconjuntos compactos no vacíos
de M tales que K1 ⊃ K2 ⊃ · · · entonces ∩∞n=1Kn 6= ∅.
Demostración. Puesto que cada Kn es no vacío podemos tomar yn ∈ Kn para
todo n ∈ N, y sea E = {yn : n ∈ N}. Si E fuera finito existiría y ∈ M tal
que y = ynk ∈ Knk para una subsucesión (ynk)∞k=1 de (yn)∞n=1, y como para cada
CAPÍTULO 1. ESPACIO EUCLIDIANO 18
n ∈ N existe k ∈ N tal que n ≤ nk, es decir que Kn ⊃ Knk , obtenemos que
y ∈ Kn para todo n ∈ N. En el caso contrario E sería infinito, y como E ⊂ K1
donde K1 es compacto, obtenemos por el teorema de Bolzano-Weierstrass que
E ′ 6= ∅, donde E ′ ⊂ Kn para todo n ∈ N porque, para cada n ∈ N, E menos
un conjunto finito está contenido en el conjunto cerrado Kn; así obtenemos que
∩∞n=1Kn 6= ∅.
Los conjuntos compactos también satisfacen propiedades de acotamiento:
Si (M,d) es un espacio métrico, decimos que un subconjunto E de M es
acotado cuando existen p ∈M y R > 0 tales que E ⊂ B(p,R).
Observación 1.2.35. Ser acotado es invariante bajo métricas equivalentes.
Similarmente, decimos que E subconjunto de M (con M dotado con una mé-
trica) es totalmente acotado si para todo � > 0 existen x1, · · · , xn ∈M tales que
E ⊂ ∪ni=1B(xi, �).
Ser totalmente acotado también es invariante bajo métricas equivalentes.
Observación 1.2.36. Es claro que los conjuntos compactos son totalmente acota-
dos, porque {B(x, �) : x ∈ M} es una cubierta abierta de M para cada � > 0 así
que admite una subcubierta finita.
Ser totalmente acotado más completo también caracteriza a los conjuntos com-
pactos.
Teorema 1.2.37. Un espacio métrico es compacto ssi es completo y totalmente
acotado.
Demostración. ⇒] Si M es compacto entonces sabemos que M es totalmente
acotado. Para probar que M es completo, sea (xn)∞n=1 una sucesión de Cauchy en
M . Si la sucesión forma una conjunto finito es claro que hay un término que se
repite infinitas veces, por lo que hay una subsucesión (xnk)
∞
k=1 que es constante, y
como la sucesión es de Cauchy se sigue que toda la sucesión tiende a tal elemento.
De otro modo E = {xn}∞n=1 es infinito así que existen z ∈ E ′ y (xnk)∞k=1 que
converge a z, y como la sucesión es de Cauchy también en este caso se sigue que
z es el límite de (xn)∞n=1.
⇐] Supongamos que M es completo y totalmente acotado. Por el teorema
de Bolzano-Weierstrass, basta probar que todo conjunto infinito de M tiene al-
gún punto límite. Sea E un subconjunto infinito de M , y tomemos (yn)∞n=1 una
CAPÍTULO 1. ESPACIO EUCLIDIANO 19
sucesión de elementos distintos en E. Como M es totalmente acotado, para ca-
da n ∈ N existen x1n, · · · xNnn ∈ M tales que E ⊂ ∪Nni=1B(xin, 1/n). Como
(yn)
∞
n=1 es infinito, existe una subsucesión totalmente contenida en B(x
i1
1 , 1) pa-
ra algún i1 ∈ {1, · · · , N1}. A su vez, por el mismo argumento la subsucesión
admite otra subsucesión que está totalmente contenida en B(xi22 , 1/2) para algún
i2 ∈ {1, · · · , N2}, y así sucesivamente podemos seguir tomando subsucesiones.
La subsucesión diagonal resultante de entre estas subsucesiones sucesivas es de
Cauchy, por lo que converge a un punto de M , y en conclusión E ′ 6= ∅.
Veamos también lo siguiente.
Proposición 1.2.38. Si (M,d) es un espacio métrico y E es un subconjunto com-
pacto de M , entonces E es acotado.
Demostración. Puesto que E ⊂ ∪x∈EB(x, 1) y E es compacto, tenemos que
existen x1, · · · , xn ∈ E tales que E ⊂ ∪ni=1B(xi, 1). Tomemos entonces p = x1
y R = máx(d(p, x2), · · · , d(p, xn)) + 1, con lo que obtenemos que E ⊂ B(p,R)
porque si x ∈ E existe j ∈ {1, · · · , n} tal que d(x, xj) < 1 y así
d(p, x) ≤ d(p, xj) + d(xj, x) < R.
Concluimos que los conjuntos compactos son cerrados y acotados, pero el
recíproco es falso: SiM es un conjunto infinito con la métrica discreta d0 entonces
M es cerrado por ser el espacio total, y acotado por estar contenido en Bd0(x0, 2)
para cualquier x0 ∈ M , pero no es compacto porque {Bd0(x, 1/2) : x ∈ M} es
una cubierta abierta de M que no admite subcubierta finita.
Veamos que sin embargo el converso sí se cumple para subconjuntos de Rn.
Probemos primero que los intervalos cerrados y acotados en R son compactos.
Lema 1.2.39. Los intervalos cerrados y acotados [a, b] ⊂ R son compactos.
Demostración. Basta probar que [a, b] es completo y totalmente acotado. Como
R es completo y [a, b] es cerrado en R, también [a, b] es completo. Para probar que
[a, b] es totalmente acotado observemos que para cada � > 0 existe n ∈ N con
n > (b−a)
�
, así que [a, b] ⊂ ∪nk=0B(a+ k
(b−a)
n
, �).
La siguiente es una consecuencia inmediata de la propiedad de los conjuntos
encajados.
CAPÍTULO 1. ESPACIO EUCLIDIANO 20
Corolario 1.2.40 (Lema de Cantor). Si (In)∞n=1 es una sucesión de intervalos
cerrados y acotados en R tales que I1 ⊃ I2 ⊃ · · · entonces ∩∞n=1In 6= ∅.
Más aún, veremos que podemos generalizar el lema de Cantor a celdas en Rn:
Una celda I en Rn es el producto Cartesiano de n intervalos cerrados y acotados
reales, I =
∏n
i=1[ai, bi], donde el intervalo [ai, bi] es llamada la i-ésima proyección
de I , πi(I), para i = 1, · · · , n.
Veamos primero el siguiente resultado sobre la topología producto.
Proposición 1.2.41. Si (A, τ) y (B, σ) son espacios topológicos compactos en-
tonces A×B es compacto con la topología producto.
Demostración. Sea (Oi)i∈I una cubierta abierta de A × B. Para cada (a, b) ∈
A × B podemos escoger un i(a, b) ∈ I tal que (a, b) ∈ Oi(a,b). Como Oi(a,b) es
abierto, existen U(a,b) ∈ τ y V(a,b) ∈ σ tales que (a, b) ∈ U(a,b) × V(a,b) ⊂ Oi(a,b).
Supongamos que fijamos a y variamos b. Es claro que la colección de con-
juntos {V(a,b)}b∈B es una cubierta abierta de B. Puesto que por hipótesis B es
compacto, podemos hallar una subcubierta finita {V(a,bj(a))}
n(a)
j=1 de B.
Ahora sea Ua = ∩n(a)j=1U(a,bj(a)), el cual es abierto por ser intersección finita de
abiertos. Como A es compacto, existen a1, · · · , an ∈ A tales que A = ∪nk=1Uak .
Se sigue que la colección {Oi(ak,bj(ak))}
n(ak),n
j,k=1 es una cubierta abierta de A×B.
Teorema 1.2.42 (Heine-Borel). Si E es un conjunto cerrado y acotado en Rn
entonces E es compacto.
Demostración. Observemos primero que E está contenido en una celda I: en
efecto, como E es acotado entonces E está contenido en una bola en d∞, E ⊂
Bd∞(p,R) =
∏n
i=1(pi − R, pi + R), y en consecuencia E está contenido en la
celda I =
∏n
i=1[pi −R, pi +R] = Bd∞(p,R).
Basta probar que la celda I es compacta, pues de serlo, al ser E cerrado en I
(con la topología relativa a I donde I es cerrado), también E sería compacto por
la proposición 1.2.31.
Por la proposición anterior tenemos que I es compacto en la topología pro-
ducto, la cual está inducida por la métrica del máximo restringida a I . A su vez,
CAPÍTULO 1. ESPACIO EUCLIDIANO 21
en Rn la métrica del máximo es equivalente a la métrica Euclidiana, así que I es
compacto en la topología relativa de Rn con la métrica Euclidiana restringida a I .
Corolario 1.2.43 (Lema de Cantor para celdas). Si (Ij)∞j=1 es una sucesión de
celdas en Rn tales que I1 ⊃ I2 ⊃ · · · entonces ∩∞j=1Ij 6= ∅.
Ahora nos enfocaremos en los conceptos de conexidad y arco-conexidad. El
más simple de estos conceptos es el de arco-conexidad, por lo que comenzaremos
con éste.
Dados (M,d) un espacio métrico y φ : [0, 1] → M diremos que φ es un arco
continuo que une a x y y en M si φ satisface que φ(0) = x, φ(1) = y, y tk → t
en [0, 1] implica φ(tk)→ φ(t) en M . Si E es un subconjunto de M , decimos que
E es arco-conexo si cualesquiera dos puntos de E se pueden unir por medio de
un arco continuo con imagen contenida en E.
Es claro que el intervalo [0, 1] es arco-conexo, pues para cualquesquiera x, y ∈
[0, 1], digamos con y > x, la función φ(t) = (y− x)t+ x es un arco continuo con
imagen contenidaen [0, 1] que une x con y. Más aún, si φ : [0, 1]→M es un arco
continuo, entonces φ([0, 1]) es arco-conexo, pues dados x, y ∈ φ([0, 1]), digamos
x = φ(s), y = φ(t) y sin pérdida de generalidad con s < t, tomamos la función
ψ : [0, 1]→ φ([0, 1]) dada por ψ(t′) = φ(s+ (t− s)t′) que une x con y.
Dado (M,d) un espacio métrico, diremos queM es conexo si no existen abier-
tos U y V no vacíos en M tales que U ∪ V = M y U ∩ V = ∅. Y si E es un
subconjunto de M , decimos que E es conexo si lo es con la topología relativa de
M restringida aE, es decir, si no existen abiertosU y V enM tales queU∩E 6= ∅,
V ∩ E 6= ∅, E ⊂ U ∪ V y U ∩ V ∩ E = ∅.
Queremos ver que los conjuntos arco-conexos son conexos, más no al revés.
Para esto, probemos primero que los intervalos son conexos.
Lema 1.2.44. El intervalo [a, b] es conexo.
Demostración. Supongamos que [a, b] no es conexo, entonces existen abiertos U
y V en R tales que U∩[a, b] 6= ∅, V ∩[a, b] 6= ∅, [a, b] ⊂ U∪V y [a, b]∩U∩V = ∅.
Sin pérdida de generalidad, supongamos que b ∈ V . Sea c = sup(U ∩ [a, b]), que
existe porque U ∩ [a, b] es no vacío y acotado superiormente. El conjunto U ∩ [a, b]
es cerrado, pues su complemento en [a, b] es V ∩ [a, b] que es abierto relativo en
CAPÍTULO 1. ESPACIO EUCLIDIANO 22
[a, b], es decir, U ∩ [a, b] es cerrado relativo en [a, b]. Concluimos que entonces
c ∈ U ∩ [a, b]. Ahora, c 6= b pues b ∈ V ∩ [a, b] mientras c ∈ U ∩ [a, b]. Además
cualquier vecindad de c intersecta a V ∩ [a, b], pues, ninguna vecindad de c puede
estar totalmente contenida en U ∩ [a, b] ya que c = sup(U ∩ [a, b]). Entonces c es
un punto límite de V ∩ [a, b]. Pero V ∩ [a, b] es cerrado, al igual que U ∩ [a, b],
así que c ∈ V ∩ [a, b]. Concluimos que c ∈ [a, b] ∩ U ∩ V = ∅, lo cual es una
contradicción.
Corolario 1.2.45. No existen subconjuntos cerrados disjuntos no vacíos C y D
de [a, b] cuya unión sea [a, b].
Demostración. Se sigue del lema anterior, tomando U = R\D y V = R\C.
Teorema 1.2.46. Los conjuntos arco-conexos son conexos.
Demostración. Sea E arco-conexo y supongamos que E no es conexo. Entonces
podemos hallar dos conjuntos abiertosU y V que separan aE, es decir,E∩U 6= ∅,
E ∩ V 6= ∅, E ⊂ U ∪ V y E ∩ U ∩ V = ∅.
Sean x ∈ U∩E y y ∈ V ∩E. ComoE es arco-conexo, existe un arco continuo
φ : [0, 1] → E que une x con y. Sean C = φ−1(U ∩ E) y D = φ−1(V ∩ E), de
modo que C,D ⊂ [0, 1]. Veamos que C es cerrado: Sea {tk} ⊂ C tal que tk → t;
como φ es un arco continuo, tenemos que φ(tk)→ φ(t), donde {φ(tk)} ⊂ U ∩E,
así que también φ(t) está en U ∩ E, pues U ∩ E es un cerrado relativo en E, ya
que su complemento en E es el abierto relativo V ∩E. Análogamente obtenemos
que D es cerrado. Además 0 ∈ C y 1 ∈ D, y claramente C y D son conjuntos
disjuntos cuya unión es todo [0, 1]. Esto contradice el corolario anterior.
Ejemplos de conjuntos arco-conexos incluyen a los segmentos: Dado (V, ‖ ·‖)
un espacio normado y dados a, b ∈ V , el segmento ab está dado por
ab = {xt := (1− t)a+ tb : t ∈ [0, 1]}
que es claramente arco-conexo por ser la imagen del arco continuo φ : [0, 1]→ V
dado por φ(t) = a+ t(b− a).
Otro claro ejemplo lo constituyen los conjuntos convexos: Si (V, ‖ · ‖) es un
espacio normado, un subconjunto E de V es llamado convexo si para cada par de
elementos a, b ∈ E tenemos que el segmento ab está contenido en E.
CAPÍTULO 1. ESPACIO EUCLIDIANO 23
Además de los conjuntos que tienen a un solo punto, también las bolas (abier-
tas o cerradas) en un espacio normado (V, ‖ · ‖) son convexas, en efecto: si a, b
son puntos distintos de la bola B(p, r) en V , entonces, para todo t ∈ (0, 1),
d(xt, p) = ‖xt − p‖
= ‖(1− t)(a− p) + t(b− p)‖
≤ (1− t)‖a− p‖+ t‖b− p‖
< (1− t)r + tr = r,
y de manera similar se prueba que B(p, r) es convexa.
La intersección de conjuntos convexos sigue siendo convexo. Mientras tanto,
la unión de conjuntos convexos no necesariamente es un convexo, pero sí que será
conexo cuando tengan un punto en común, por el resultado siguiente.
Proposición 1.2.47. Sea (M,d) un espacio métrico y sea {Ei}i∈I una familia
de subconjuntos conexos de M tales que ∩i∈IEi 6= ∅. Entonces E = ∪i∈IEi es
conexo.
Demostración. Supongamos queE no es conexo, es decir, existen conjuntos abier-
tos U y V en M tales que U ∩E 6= ∅, V ∩E 6= ∅, E ⊂ U ∪ V y U ∩ V ∩E = ∅.
Entonces, para cada i ∈ I , tenemos que Ei ⊂ U ∪ V y U ∩ V ∩ Ei = ∅, lo cual
implica que Ei ⊂ U o Ei ⊂ V . Supongamos, sin pérdida de generalidad, que
Ei0 ⊂ U para algún i0 ∈ I . Entonces, para todo j ∈ I ,
∅ 6= ∩i∈IEi = (∩i∈IEi) ∩ Ei0 ⊂ (∩i∈IEi) ∩ U ⊂ Ej ∩ U,
de modo que U intersecta a cada Ej , y en consecuencia cada Ej ⊂ U , de lo cual
se sigue que E ⊂ U , lo cual contradice que E ∩ V 6= ∅.
Dado (V, ‖ · ‖) un espacio normado, un subconjunto E de V es llamado con-
junto con forma de estrella si existe p ∈ E tal que px ⊂ E para todo x ∈ E.
También decimos que E tiene forma de estrella relativa a p. Claramente todo con-
junto convexo E en V tiene forma de estrella relativa a cualquier punto p ∈ E,
pero existen conjuntos con forma de estrella que no son convexos, por ejemplo,
si a, b, c ∈ R2 no son colineales entonces el camino poligonal E = ab ∪ bc tiene
forma de estrella (relativa a b) pero no es convexo pues ac no contiene al punto
b ∈ E.
Proposición 1.2.48. Sea (V, ‖ · ‖) un espacio normado. Si E es un subconjunto
de V con forma de estrella entonces E es conexo.
CAPÍTULO 1. ESPACIO EUCLIDIANO 24
Demostración. Si E tiene forma de estrella relativa a p, entonces podemos escri-
bir E = ∪x∈Epx, donde los segmentos px son conexos y su intersección contiene
al punto p. Concluimos que E es conexo por la proposición 1.2.47.
Sean a1, · · · , an puntos distintos en el espacio normado (V, ‖ · ‖), con n ≥ 2.
El camino poligonal con vértices ai es la unión de los segmentos aiai+1 con
i ∈ {1, · · · , n− 1}, es decir,
∪n−1i=1 aiai+1
.
Proposición 1.2.49. Todo camino poligonal E en el espacio normado (V, ‖ · ‖) es
conexo.
Demostración. Si n = 2, E es un segmento, el cual es conexo. Procediendo por
inducción, supongamos que los caminos poligonales con n vértices son conexos
para algún n ≥ 2. Entonces, si E es un camino poligonal con n + 1 vértices
a1, · · · , an+1 obtenemos queE = F∪anan+1, donde F es el camino poligonal con
vértices a1, · · · , an, que es conexo por hipótesis, mientras que anan+1 es conexo
por ser un segmento, luego su unión es conexo porque an ∈ F ∩ anan+1.
Una condición suficiente para conexidad es la siguiente.
Proposición 1.2.50. Sea (M,d) un espacio métrico y sea E un subconjunto de
M . Supongamos que cada dos puntos de E pertenecen a un subconjunto conexo
de E. Entonces E es conexo.
Demostración. Fija a ∈ E. Para cada x ∈ E existe un subconjunto conexo Ex ⊂
E tal que a, x ∈ Ex. Como a ∈ ∩x∈EEx, concluimos que E = ∪x∈EEx es
conexo.
Como último ejemplo, veamos los conjuntos poligonalmente conexos: Dado
(V, ‖ · ‖) un espacio normado, un subconjunto E de V es poligonalmente conexo
si para cada par de puntos distintos a, b ∈ E existe un camino poligonal que los
une y que está totalmente contenido enE. Es claro que los conjuntos convexos son
poligonalmente conexos. Lo mismo se puede decir de los conjuntos con forma de
estrella, pues si E tiene forma de estrella relativa a p ∈ E entonces para cada par
de puntos distintos a, b ∈ E se tiene que el camino poligonal con vértices a, p, b
une a a y b y cae en E.
Un anillo abierto en R2 es claramente poligonalmente conexo pero no tiene
forma de estrella.
CAPÍTULO 1. ESPACIO EUCLIDIANO 25
Proposición 1.2.51. Sea (V, ‖ · ‖) un espacio normado. Si E es poligonalmente
conexo entonces es conexo.
Demostración. Cualesquiera dos puntos de un conjunto poligonalmente conexo
E pertenecen a un camino poligonal que los une y que cae dentro de E, y tal
camino es conexo. Por la proposición 1.2.50 tenemos que E es conexo.
No es difícil notar que los ejemplos que hemos visto son de hecho arco-
conexos. Esto se debe a una relación más estrecha entre conexidad y arco-conexidad,
que es la siguiente.
Proposición 1.2.52. Si A es un subconjunto conexoy abierto de Rn entonces A
es arco-conexo.
Demostración. Sea x0 ∈ A y tomemos
B = {y ∈ A : x0 y y se pueden unir mediante un arco continuo contenido en A}.
Es claro que x0 ∈ B, de modo que B 6= ∅. Veamos que B es abierto y cerrado
relativo a A. B es abierto porque, si y ∈ B, dado que A es abierto existe r > 0
tal que B(y, r) ⊂ A, luego podemos concatenar el arco continuo que existe de x0
a y con una recta de y a z para cada z ∈ B(y, r), es decir, B(y, r) ⊂ B. Ahora
supongamos que (yn)∞n=1 ⊂ B y que yn → y en A; entonces existe r > 0 tal
que B(y, r) ⊂ A y ésta contiene a algún yN ∈ B, así que concatenando el arco
continuo que une a x0 y yN con la recta que une a yN y y obtenemos un arco
continuo contenido en A que une a x0 y a y, es decir, y ∈ B. Puesto que B es
cerrado y abierto relativo a A, obtenemos que B es todo A, pues de otro modo
tendríamos que B y A \ B separan a A. Puesto que B es todo A obtenemos que
A es arco-conexo.
Capítulo 2
Continuidad
2.1. Continuidad
Para definir el concepto de continuidad primero vamos a definir el concepto
de límite de una función en un punto.
Definición 2.1.1. Sean (X, dX) y (Y, dY ) espacios métricos. Supongamos que
E ⊂ X , f : E → Y y que p es un punto límite de E. Decimos que f(x) converge
a q en Y (f(x) → q) conforme x → p si para cada � > 0 existe δ > 0 tal que
dY (f(x), q) < � cuando x ∈ E satisface dX(x, p) < δ.
Proposición 2.1.2. Sean (X, dX) y (Y, dY ) espacios métricos. Cuando existe el
límite de una función f : E ⊂ X → Y en un punto p ∈ E ′, éste es único.
Demostración. Supongamos que f(x) → q1 y f(x) → q2 conforme x → p.
Entonces, para cada � > 0, existen δ1 > 0 y δ2 > 0 tales que
dY (f(x), q1) < �/2 cuando x ∈ E y dX(x, p) < δ1,
y
dY (f(x), q2) < �/2 cuando x ∈ E y dX(x, p) < δ2.
Luego, por la desigualdad del triángulo, cuando x ∈ E y dX(x, p) < δ =
mı́n(δ1, δ2) tenemos que dY (q1, q2) ≤ dY (f(x), q1) + dY (f(x), q2) < �.
Como esto se vale para todo � > 0, tenemos que dY (q1, q2) = 0, es decir,
q1 = q2.
26
CAPÍTULO 2. CONTINUIDAD 27
Ahora presentamos un par de resultados de fácil verificación, con correspon-
dientes ejemplos.
Proposición 2.1.3. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
a) f(x)→ q conforme x→ p,
b) La sucesión (f(xn)) converge a q para cada sucesión (xn) ⊂ E convergiendo
a p,
c) ĺımx→p f |F (x) = q para cada F ⊂ E tal que p es un punto límite de F ,
d) ĺımx→p dY (f(x), q) = 0.
Ejemplo 2.1.4. Sea E = {(x, y) ∈ R2 : (x, y) 6= (0, 0)} con la métrica Euclidia-
na, y sea f : E → R dada por
f(x, y) =
2xy
x2 + y2
, (x, y) ∈ E.
Notemos que (0, 0) ∈ E ′, y (0, 0) también es punto límite de F1 = {(x, 0) :
x > 0} y de F2 = {(x, x) : x > 0}. Conforme (x, y) → (0, 0) tenemos que
f |F1(x, y) = 0 → 0 y f |F2(x, y) = 1 → 1. Como estos límites son distintos
concluimos que el límite de f conforme (x, y)→ (0, 0) no existe.
Proposición 2.1.5. Sean (X, d) un espacio métrico, (Y, ‖·‖) un espacio normado,
y f, g : E ⊂ X → Y . Sea p ∈ E ′, y supongamos que f(x) → q y g(x) → r
conforme x→ p. Entonces, conforme x→ p,
I) (f + g)(x)→ q + r, y para cualquier c ∈ R, cf(x)→ cq,
II) Si Y = Rn, (f · g)(x)→ q · r,
III) cuando Y = R, si g 6= 0 sobre E y r 6= 0 entonces (f/g)(x)→ q/r,
IV) cuando Y = Rn, f(x)→ q ssi f(x)i → qi para todo i ∈ {1, · · · , n}.
Ejemplo 2.1.6. Sea f : Rn \ {0} → R dada por
f(x) =
√
a2 + ‖x‖2 − a
‖x‖2
para a una constante positiva.
CAPÍTULO 2. CONTINUIDAD 28
Multiplicando numerador y denominador por el factor no nulo
√
a2 + ‖x‖2+a
obtenemos
ĺım
x→0
f(x) = ĺım
x→0
1√
a2 + ‖x‖2 + a
=
1
2a
.
Sean (X, dX) y (Y, dY ) espacio métricos, y sea E ⊂ X . Decimos que la fun-
ción f : E → Y es continua en el punto p ∈ E si para cada � > 0 existe
δ > 0 tal que dY (f(x), f(p)) < � para todo x ∈ E que cumple dX(x, p) < δ.
Equivalentemente, f es continua en p si p /∈ E ′ ó ĺımx→p f(x) = f(p).
Decimos que una función f : E ⊂ X → Y es continua en el conjunto B ⊂ E
ssi f es continua en cada punto de B. Si decimos que f es continua, nos referimos
a que f es continua en todo punto en su dominio E.
Ejemplo 2.1.7. Sea X un espacio normado y sea f : X → R dada por f(x) =
‖x‖. Tenemos que para todos x, y ∈ X , |f(x)− f(y)| = |‖x‖ − ‖y‖| ≤ ‖x− y‖,
así que dados p ∈ X y � > 0, la constante δ = � satisface que cuando dX(x, p) < δ
se tiene que |f(x)− f(p)| < �, así que la norma es una función continua en X .
El siguiente es un corolario de la proposición 2.1.5.
Proposición 2.1.8. Sean (X, d) un espacio métrico y (Y, ‖ · ‖) un espacio norma-
do. Supongamos que f, g : E ⊂ X → Y son continuas en p ∈ E. Entonces
a) f + g es continua en p,
b) cf es continua en p para cada constante real c,
c) Si Y = Rn entonces f · g es continua en p,
d) f = (f1, · · · , fn) : E → Rn es continua en p ssi sus funciones componentes
fi : E → R son continuas en p para todo i ∈ {1, · · · , n},
e) Si Y = R y g(p) 6= 0 entonces f/g está definida para todo x ∈ E en una
vecindad de p y es continua en p.
Ejemplo 2.1.9. Nota que las proyecciones x→ xi de Rn en R son continuas pues-
to que |xi−yi| ≤ ‖x−y‖. Por las propiedades descritas en la proposición anterior
tenemos que los polinomios en n variables son continuos, es decir, expresiones de
la forma
f(x) =
∑
cm1,··· ,mkx
m1
1 · · · xmnn
CAPÍTULO 2. CONTINUIDAD 29
donde la suma es finita y los coeficientes cm1,··· ,mk son reales.
Más aún, una función racional, es decir, el cociente f/g de tales polinomios,
es continuo en el complemento en Rn del conjunto de raíces del polinomio g.
Hemos visto que las operaciones algebraicas respetan continuidad. Veamos
también que la continuidad se preserva bajo composiciones.
Proposición 2.1.10. Sean (X, dX), (Y, dY ) y (Z, dZ) espacios métricos, E ⊂ X ,
f : E → Y y g : f(E)→ Z. Supongamos que f es continua en el punto p ∈ E, y
que g es continua en el punto q = f(p). Entonces g ◦ f es continua en p.
Demostración. Sea � > 0. Como g es continua en q, existe δ1 > 0 tal que
dZ(g(y), g(q)) < � para todo y ∈ f(E) tal que dY (y, q) < δ1. Además, como
f es continua en p, existe δ > 0 tal que dY (f(x), q) = dY (f(x), f(p)) < δ1 para
todo x ∈ E ta que dX(x, p) < δ. Recapitulando, si tomamos cualquier x ∈ E con
dX(x, p) < δ entonces dY (f(x), q) < δ1 y por tanto dZ(g ◦ f(x), g(q)) < �.
Ejemplo 2.1.11. Sea f : R2 → R dada por f(x, y) = x sen(y2/x) en E =
{(x, y) ∈ R2 : x 6= 0} y f = 0 en Ec. Puesto que seno es una función continua
en R, se sigue de las propiedades de continuidad que hemos probado que f es
continua en E. En cuanto a Ec, observemos que si (x, y) → (0, y0) entonces
|f(x, y)− f(0, y0)| = |f(x, y)| ≤ |x| → 0. Por tanto f es continua en R2.
2.2. Caracterización de continuidad
El siguiente resultado simplifica la verificación de que una función es continua
a cuestiones topológicas.
Proposición 2.2.1. Sea f : E ⊂ X → Y una función. Las siguientes afirmacio-
nes son equivalentes:
I) f es continua en E,
II) Para cada sucesión (xn) ⊂ E con xn → x0 ∈ E se tiene f(xn)→ f(x0),
III) Para cada conjunto abierto U en Y , f−1(U) es abierto relativo a E,
IV) Para cada conjunto cerrado U en Y , f−1(U) es cerrado relativo a E,
CAPÍTULO 2. CONTINUIDAD 30
Demostración. I)⇒II) es una consecuencia inmediata de la parte b) de la propo-
sición 2.1.3.
II)⇒IV) SeaU un subconjunto cerrado en Y . Supongamos que (xn) ⊂ f−1(U)
satisface que xn → x0 ∈ E. Entonces f(xn) → f(x0), donde (f(xn)) ⊂ U que
es cerrado, de modo que f(x0) ∈ U , o bien, x0 ∈ f−1(U).
IV⇒III) Es evidente pues si U es abierto en Y entonces Y \ U es cerrado en
Y , y f−1(Y \ U) = E \ f−1(U).
III)⇒I) Para p ∈ E y � > 0 el abierto U = B(f(p), �) satisface que f−1(U) es
abierto, donde p ∈ f−1(U), de modo que existe δ > 0 tal que B(p, δ) ⊂ f−1(U).
Es decir, siempre que dX(x, p) < δ se tiene que x ∈ f−1(U), lo que es lo mismo
que decir que dY (f(x), f(p)) < �.
2.3. Imágenes de conjuntos bajo funciones continuas
Ahora veamos que la continuidad respeta más propiedades topológicas: la
compacidad, la conexidad y la arco-conexidad.
Proposición 2.3.1. Sean (X, dX) y (Y, dY ) espacios métricos, ysea f : X → Y
una función continua. Si K ⊂ X es compacto entonces f(K) es compacto.
Demostración. Sea {Uα}α∈I una cubierta abierta de f(K). Entonces cada f−1(Uα)
es abierto en X , de modo que K tiene como cubierta abierta a {f−1(Uα)}α∈I , así
que existen α1, · · · , αn ∈ I tales que K ⊂ ∪ni=1f−1(Uαi). Entonces tenemos que
f(K) ⊂ ∪ni=1Uαi , es decir, hemos hallado una subcubierta finita.
Proposición 2.3.2. Sean (X, dX) y (Y, dY ) espacios métricos, y sea f : X → Y
una función continua. Si K ⊂ X es conexo entonces f(K) es conexo.
Demostración. Supongamos que f(K) ⊂ U ∪ V para U y V abiertos en Y tales
que U ∩ V ∩ f(K) = ∅. Entonces U1 = f−1(U) y V1 = f−1(V ) son abiertos en
X tales que K ⊂ U1 ∪ V1 y U1 ∩ V1 ∩K = ∅. Como K es conexo tenemos que
necesariamente U1 ∩K = ∅ o V1 ∩K = ∅, lo cual implica que U ∩ f(K) = ∅ o
V ∩ f(K) = ∅. Por tanto f(K) es conexo.
Proposición 2.3.3. Sean (X, dX) y (Y, dY ) espacios métricos, y sea f : X → Y
una función continua. Si K ⊂ X es arco-conexo entonces f(K) es arco-conexo.
CAPÍTULO 2. CONTINUIDAD 31
Demostración. Sean y1, y2 ∈ f(K), de modo que existen x1, x2 ∈ K tales que
f(xi) = yi, i = 1, 2. Como K es arco-conexo, existe φ : [0, 1] → K un arco
continuo tal que φ(0) = x1, φ(1) = x2. Entonces f ◦ φ : [0, 1] → f(K) es un
arco continuo tal que f ◦φ(0) = f(x1) = y1 y f ◦φ(1) = f(x2) = y2. Concluimos
que f(K) es arco-conexo.
Ahora veamos corolarios a estos primeros resultados de esta sección.
Corolario 2.3.4. Sean (X, dX) y (Y, dY ) espacios métricos, y sea f : X → Y
una función continua. Entonces f es acotada en subconjuntos compactos de X .
Demostración. Si K ⊂ X es compacto entonces f(K) es compacto por la pro-
posición 2.3.1. Luego, por la proposición 1.2.38, f(K) es acotado.
Corolario 2.3.5. Sea (X, dX) un espacio métrico y sea f : X → R una fun-
ción continua. Entonces para cada subconjunto compactoK deX , existen puntos
a, b ∈ K tales que f(a) = ı́nfx∈K f(x) y f(b) = supx∈K f(x).
Demostración. Por la proposición 2.3.1 tenemos que f(K) es compacto, y por la
proposición 1.2.30, tenemos que f(K) es cerrado. Luego, ı́nf f(K) y sup f(K)
pertenecen a f(K), es decir, existen a y b como buscábamos.
En cuánto al corolario anterior, es usual decir que una función continua toma
sus valores extremos (máximo y mínimo) en compactos.
Corolario 2.3.6. Sean (X, dX) y (Y, dY ) espacios métricos, con X compacto.
Supongamos que f : X → Y es una función continua y biyectiva. Entonces f
es un mapeo abierto, es decir, f(U) es abierto en Y cuando U es abierto en X .
Equivalentemente, g = f−1 es continua.
Demostración. Sea U abierto en X . Entonces U c es cerrado en X compacto, de
modo que también U c es compacto (proposición 1.2.31). Luego, como f es con-
tinua, f(U c) es compacto, y en particular es cerrado (proposición 1.2.30). Pero
como f es biyectiva tenemos que f(U c) = f(U)c, de modo que f(U) es abierto.
Equivalentemente, g−1(U) es abierto para cada abierto U en X , de modo que g es
continua.
Ahora probaremos el teorema de los valores intermedios.
Corolario 2.3.7. Sean (X, dX) un espacio métrico, E ⊂ X y f : E → R conti-
nua. Supongamos que K ⊂ E es conexo, y que x, y ∈ K. Para cada punto c entre
f(x) y f(y) existe z ∈ K tal que f(z) = c.
CAPÍTULO 2. CONTINUIDAD 32
Demostración. Como K es conexo tenemos que f(K) ⊂ R es conexo por la
proposición 2.3.2. Entonces f(K) es un intervalo, de modo que, suponiendo sin
pérdida de generalidad que f(x) < f(y), tenemos que para cada c ∈ (f(x), f(y)),
c ∈ f(K), por lo que existe z ∈ K tal que f(z) = c.
Por supuesto, el teorema de los valores intermedios se sigue cumpliendo si K
es arco-conexo.
2.4. Continuidad uniforme
Una forma más fuerte de continuidad es la continuidad uniforme, que introdu-
cimos a continuación.
Definición 2.4.1. Sean (X, dX) y (Y, dY ) espacios métricos, y sea f : E ⊂ X →
Y . Decimos que f es uniformemente continua si para cada � > 0 existe δ > 0 tal
que dY (f(x), f(y)) < � cuando x, y ∈ E satisfacen dX(x, y) < δ.
Ejemplo 2.4.2. La función x 7→ 1/x es continua en (0,∞) pero no es uniforme-
mente continua.
La continuidad uniforme se puede garantizar a partir de la continuidad cuando
el dominio es compacto:
Proposición 2.4.3. Sean (X, dX) y (Y, dY ) espacios métricos, y sea f : E ⊂
X → Y . Si E es compacto y f es continua, entonces f es uniformemente conti-
nua.
Demostración. Sea � > 0. Puesto que f es continua, para cada x ∈ E existe
δx > 0 tal que dY (f(y), f(x)) < �/2 siempre que y ∈ E satisfaga dX(y, x) <
δx. Ahora, {B(x, δx/2)}x∈E es una cubierta abierta del compacto E, por lo que
admite una subcubierta finita, es decir, existen x1, · · · , xn ∈ E tales que E ⊂
∪ni=1B(xi, δxi/2). Sea δ = mı́n1≤i≤n δxi/2.
Sean x, y ∈ E tales que dX(x, y) < δ. Como x ∈ E existe i ∈ {1, · · · , n}
tal que dX(x, xi) < δxi/2 < δxi , lo cual implica que dY (f(x), f(xi)) < �/2.
Además también dX(y, xi) ≤ dX(y, x) + δX(x, xi) < δ + δxi/2 ≤ δxi , de modo
que también dY (f(y), f(xi)) < �/2. En consecuencia,
dY (f(x), f(y)) ≤ dY (f(x), f(xi)) + dY (f(xi), f(y)) < �.
CAPÍTULO 2. CONTINUIDAD 33
Cuando el dominio no es compacto pero la función dada es diferenciable con
derivada acotada se puede garantizar la continuidad uniforme.
Proposición 2.4.4. Sea f : (a, b)→ R derivable, y supongamos que existeM > 0
tal que |f ′(x)| ≤M para todo x ∈ (a, b). Entonces f es uniformemente continua
en (a, b).
Demostración. Sean x, y ∈ (a, b). Por el teorema del valor medio existe c ∈ (a, b)
tal que f(x)− f(y) = f ′(c)(x− y), de modo que
|f(x)− f(y)| = |f ′(c)||x− y| ≤M |x− y|.
Esto implica que f es uniformemente continua pues, dado � > 0, tomando δ =
�/M , obtenemos que |f(x)− f(y)| < M · �/M = � cuando |x− y| < δ.
Proposición 2.4.5. Sean (X, dX) y (Y, dY ) espacios métricos tal que Y es com-
pleto, y sea f : E ⊂ X → Y una función uniformemente continua donde E es un
conjunto denso en X . Entonces f extiende a una función uniformemente continua
g en todo X .
Demostración. Dado � > 0 existe δ� > 0 tal que dY (f(x), f(y)) < � siempre
que x, y ∈ E satisfacen dX(x, y) < δ�. Dado x′ ∈ X , sea (xn) ⊂ E tal que
xn → x′. Entonces (xn) es una sucesión de Cauchy, lo cual implica que (f(xn))
también lo es, pues dado � > 0 sea N ∈ N tal que dX(xn, xm) < δ� cuando
n,m ≥ N , y se sigue que dY (f(xn), f(xm)) < � cuando n,m ≥ N . Define
g(x′) = ĺımn→∞ f(xn). Entonces g está bien definida pues si tomamos cualquier
otra sucesión (x′n) ⊂ E que converge a x′, dado � > 0 tenemos que para n mayor
o igual que cierto N , dX(xn, x′n) < δ� por lo que dY (f(xn), f(x
′
n)) < �. Luego
g también es uniformemente continua, pues dado � > 0 tenemos que si x′, y′ ∈
X satisfacen que dX(x′, y′) < δ�/3/3, tomemos (xn) ⊂ E que converge a x′ y
(yn) ⊂ E que converge a y′, así que si xN y yN cumplen que dX(xN , x′) < δ�/3/3,
dY (f(xN), g(x
′)) < �/3, dX(yN , y′) < δ�/3/3 y dY (f(yN), g(y′)) < �/3 tenemos
que
dX(xN , yN) ≤ dX(xN , x′) + dX(x′, y′) + dX(yN , y′) < 3δ�/3/3 = δ�/3
por lo que al ser f uniformemente continua
dY (f(xN), f(yN)) < �/3
CAPÍTULO 2. CONTINUIDAD 34
y en consecuencia
dY (g(x
′), g(y′)) ≤ dY (g(x′), f(xN)) + dY (f(xN), f(yN)) + dY (f(yN), g(y′))
< 3�/3 = �.
2.5. Funciones de Lipschitz
La proposición 2.4.4 inspira la definición de función de Lipschitz.
Definición 2.5.1. Dados (X, dX) y (Y, dY ) espacios métricos, una función f :
E ⊂ X → Y es llamada función de Lipschitz si existe M > 0 tal que
dY (f(x), f(y)) ≤MdX(x, y)
siempre que x y y son elementos de E. Si f es una función de Lipschitz para una
constante M < 1 decimos que f es una contracción.
Siguiendo la prueba de la proposición 2.4.4 se puede obtener que las funciones
de Lipschitz son uniformemente continuas.
El caso de las contracciones merece atención especial debido al siguiente re-
sultado.
Proposición 2.5.2. Si (X, dX) es un espacio métrico completo no vacío y f :
X → X es una contracción entonces f tiene un único punto fijo.
Demostración. Sea M ∈ (0, 1) una constante de Lipschitz de f , y sea x ∈ X .
Consideremos la sucesión xn = fn(x). Nota que para cada n ∈ N,dX(xn, xn+1) = dX(f(xn−1), f(xn)) ≤MdX(xn−1, xn),
de modo que por inducción uno deduce que dX(xn, xn+1) ≤ Mn−1dX(x1, x2).
Luego, si m > n ≥ N ∈ N tenemos que
dX(xn, xm) ≤
m−n−1∑
i=0
dX(xn+i, xn+i+1)
≤
m−n−1∑
i=0
Mn+i−1dX(x1, x2)
≤ M
N−1
1−M
dX(x1, x2),
CAPÍTULO 2. CONTINUIDAD 35
de modo que (xn) es una sucesión de Cauchy, así que converge, digamos a x′.
Luego, como f es continua,
f(x′) = ĺım
n→∞
f(xn) = ĺım
n→∞
f(fn(x)) = ĺım
n→∞
xn+1 = x
′
es decir, x′ es un punto fijo.
Ahora supongamos que x′′ es cualquier otro punto fijo, entonces
dX(x
′, x′′) = dX(f(x
′), f(x′′)) ≤MdX(x′, x′′),
y como M < 1 necesariamente dX(x′, x′′) = 0, es decir, x′′ = x′.
Capítulo 3
Diferenciabilidad
En este capítulo generalizaremos las propiedades de diferenciabilidad de fun-
ciones de una variable a varias variables.
3.1. Derivadas parciales
Recordemos que una función f : (a, b)→ R es diferenciable en x0 ∈ (a, b) si
existe el límite
L = ĺım
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
.
Esta expresión no tiene significado cuando f es una función de x ∈ Rn para n ≥
3. Por otro lado, aún podemos considerar la derivada de f en una dirección dada,
determinada por un vector unitario. Cualquier vector u ∈ Rn de norma uno es
llamado un vector unitario. En particular, los vectores unitarios ej (j = 1, · · · , n)
son los vectores cuyas entradas cumplen eji = δi,j . También se dice que e
j es el
vector unitario en la dirección del eje xj . En general, para cualquier vector unitario
u ∈ Rn y x ∈ Rn, el eje a través de x en la dirección de u es la recta dirigida con
representación paramétrica γ : t ∈ R 7→ γ(t) := x+ tu ∈ Rn.
Si f es una función R-valuada definida en una vecindad B(x, r) de x ∈ Rn,
entonces la función F = f ◦ γ, es decir, F (t) = f(x+ tu) está bien definida para
|t| < r. Claramente F es la restricción de f al segmento de recta dado. Puesto
que para t = 0 tenemos que γ(t) = x, cuando F ′(0) existe, ésta mide la tasa de
cambio de f en el punto x a lo largo del segmento de la recta γ, es decir, en la
dirección u. Lo que hemos discutido motiva la siguiente definición formal.
36
CAPÍTULO 3. DIFERENCIABILIDAD 37
Definición 3.1.1. Con la notación de arriba, si la derivada F ′(0) existe, a ésta se
le llama la derivada direccional de f en x en la dirección u, y se denota por
Duf(x) ó ∂f∂u(x):
∂f
∂u
(x) := F ′(0) = ĺım
t→0
F (t)− F (0)
t
= ĺım
t→0
f(x+ tu)− f(x)
t
.
En particular, si tomamos u = ej , denotaremos a la derivada direccional en x
de f en la dirección ej por ∂f
∂xj
(x), en vez de ∂f
∂ej
(x). También se usa la notación
fxj(x) ó Djf(x) (en vez de Dejf(x)). A esta derivada direccional se le llama la
derivada parcial en x de f con respecto a xj . Entonces
∂f
∂xj
(x) = ĺım
t→0
f(x1, · · · , xj + t, · · · , xk)− f(x1, · · · , xk)
t
.
Ésta es la derivada ordinaria de f como una función de la sola variable xj en el
punto xj , mientras que todas las otras variables xi (i 6= j) se mantienen fijas. Si
todas las derivadas parciales de f en x existen para j = 1, · · · , n, definimos el
gradiente de f en x como el vector
∇f(x) := ( ∂f
∂x1
(x), · · · , ∂f
∂xn
(x))
Ejemplo 3.1.2. Sea f(r, φ, θ) = r cos(φ) sen(θ), r ≥ 0, φ ∈ [0, 2π], θ ∈ [0, π].
Entonces ∇f(r, φ, θ) = (cos(φ) sen(θ),−r sen(φ) sen(θ), r cos(φ) cos(θ)) para
todos los puntos (r, φ, θ) ∈ [0,∞)× [0, 2π]× [0, π].
Para n = 1, la existencia de la derivada de f en x implica inmediatamente la
continuidad de f en x. Este hecho elemental no se extiende al caso n > 1, con la
derivada reemplazada por las derivadas parciales, como se ilustra en el siguiente
ejemplo.
Ejemplo 3.1.3. Sea f : R2 → R definida por f(0, 0) = 0 y f(x, y) = 2xy
x2+y2
para
(x, y) 6= (0, 0). Esta función no es continua en (0, 0). Sin embargo, para h 6= 0,
f(h, 0)− f(0, 0)
h
= 0,
y por tanto ∂f
∂x
(0, 0) = 0. Por simetría de f con respecto a sus variables, lo mismo
se puede decir de la derivada parcial con respecto a y en (0, 0).
CAPÍTULO 3. DIFERENCIABILIDAD 38
Impondremos entonces una condición adicional a la existencia de las derivadas
parciales en x para asegurar la continuidad de la función en x. Haremos uso del
teorema del valor medio, el cual recordamos a continuación.
Teorema 3.1.4 (del valor medio en una variable). Si f : [a, a + h] → R es
continua, y f ′ existe en (a, a+ h), entonces existe θ ∈ (0, 1) tal que
f(a+ h)− f(a) = hf ′(a+ θh)
.
Proposición 3.1.5. Sea f una función R-valuada definida en una vecindadB(x, r)
en Rn, donde n > 1. Supongamos que todas las derivadas parciales existen y es-
tán acotadas en B(x, r). Entonces f es continua en x.
Demostración. Para i = 1, · · · , n sea mi una cota para | ∂f∂xi | en la vecindad
B(x, r), y sea m = (m1, · · · ,mn). Sea h ∈ Rn con ‖h‖ < r. Define h0 = 0,
hn = h y
hj = (h1, · · · , hj, 0, · · · , 0), 1 ≤ j < n.
Es claro que para cada j ∈ {0, · · · , n}, ‖hj‖ ≤ ‖h‖ < r, por lo que x + hj ∈
B(x, r), así f(x+ hj) está bien definida, y
f(x+ h)− f(x) =
n∑
j=1
[f(x+ hj)− f(x+ hj−1)].
Ahora fija j ∈ {1, · · · , n}. Supongamos que hj 6= 0 y definamos
Fj(t) = f(x+ h
j−1 + tej)
para t entre 0 y hj (incluyendo los extremos). Por hipótesis, la derivada F ′j existe
en tal intervalo cerrado, y
F ′j(t) =
∂f
∂xj
(x+ hj−1 + tej).
Por el teorema del valor medio en una variable, existe θj ∈ (0, 1) tal que
Fj(hj)− Fj(0) = hjF ′j(θjhj)
CAPÍTULO 3. DIFERENCIABILIDAD 39
lo cual también es trivialmente cierto si hj = 0. Resumiendo, tenemos que
f(x+ h)− f(x) =
n∑
j=1
[Fj(hj)− Fj(0)] =
n∑
j=1
hj
∂f
∂xj
(x+ hj−1 + θjhje
j),
luego, por la desigualdad de Cauchy-Schwarz tenemos que
|f(x+ h)− f(x)| ≤
n∑
j=1
|hj|mj ≤ ‖m‖‖h‖.
Dado � > 0, sea δ ∈ (0,mı́n(r, �‖m‖+1)). Entonces si ‖h‖ < δ tenemos que
x+ h ∈ B(x, r), y
|f(x+ h)− f(x)| ≤ ‖m‖
‖m‖+ 1
� < �,
es decir, f es continua en x.
3.2. La derivada de Fréchet
Sea f una función R-valuada definida en una vecindad B(x, r) del punto
x ∈ Rn. Las funciones no constantes más simples son las funciones lineales.
Deseamos aproximar el cambio de f en un punto dado x ∈ Rn,
∆xf(h) = f(x+ h)− f(x)
por una función lineal de h.
Recordemos algunos hechos de álgebra lineal.
Definición 3.2.1. La función L : Rn → R es un funcional lineal si L(αx+βy) =
αL(x) + βL(y) para todos los escalares α, β ∈ R y todos los vectores x, y ∈ Rn.
Proposición 3.2.2. Dado un funcional lineal L sobre Rn existe un único a ∈ Rn
tal que Lh = h · a.
Demostración. Sea L : Rn → R un funcional lineal. Sea aj = Lej , j = 1, · · · , n,
y define a := (a1, · · · , an). Entonces para cada h ∈ Rn, tenemos por la linealidad
de L que
L(h) = L(
n∑
j=1
hje
j) =
n∑
j=1
hjLe
j =
n∑
j=1
hjaj = h · a.
CAPÍTULO 3. DIFERENCIABILIDAD 40
Ahora, si b ∈ Rn también satisficiera Lh = h · b para todo h ∈ Rn, tendríamos
que
0 = Lh− Lh = h · a− h · b = h · (a− b)
para todo h ∈ Rn, y en particular para h = a− b tendríamos (a− b) · (a− b) = 0,
de modo que a− b = 0 pues el producto interno es positivo definido.
Debido a la proposición anterior, un funcional lineal L sobre Rn es O(‖h‖),
es decir, el cociente |Lh|‖h‖ (h 6= 0) está acotado, y esto se debe a que si Lh = h · a
para todo h ∈ Rn, entonces, por la desigualdad de Cauchy-Schwarz,
|Lh|
‖h‖
=
|h · a|
‖h‖
≤ ‖a‖
para todo h ∈ Rn diferente de cero.
Que todo funcional lineal L sea O(‖h‖) implica que L es una función Lips-
chitz (y por tanto es uniformemente continua sobre Rn), pues si M ≥ ‖a‖ (a
como arriba) entonces para h, h′ ∈ Rn, |Lh− Lh′| = |L(h− h′)| ≤M‖h− h′‖.
Dada f como arriba, nos interesa un funcional lineal L (que depende de x)
que aproxima la tasa de cambio ∆xf(h) para ‖h‖ < r de tal modo que el error
φx(h) := ∆x(f)− Lh
sea o(‖h‖) conforme h→ 0, lo cual significa que
ĺım
h→0,h6=0
|φx(h)|
‖h‖
= 0.
En el caso de una función de una sola variable, f : (a, b)→ R es diferenciable
en x ssi existe L ∈ R tal que
ĺım
h→0,h 6=0
f(x+ h)− f(x)− Lh
h
= 0
lo cual sucede ssi existe L ∈ R tal que
ĺım
h→0,h6=0
|f(x+ h)− f(x)− Lh|
|h|
= 0.
CAPÍTULO 3. DIFERENCIABILIDAD 41
En general, una función f : A ⊂ Rn → Rm es llamada diferenciable(de
Fréchet) en x ∈ A si existe una función lineal L : Rn → Rm tal que
ĺım
h→0,h6=0
‖f(x+ h)− f(x)− L(h)‖
‖h‖
= 0,
y de existir tal L se le denota por Df(x), df(x) o df |x, y se le llama la diferencial
de f en x.
Observación 3.2.3. La definición anterior es equivalente a que para todo � > 0
exista δ > 0 tal que, si ‖h‖ < δ y x+ h ∈ A, entonces
‖f(x+ h)− f(x)−Df(x)h‖ ≤ �‖h‖,
lo cual indica que h 7→ f(x) + Df(x)h es la mejor aproximación afín a f cerca
de x.
Si f : A ⊂ Rn → Rm es diferenciable en todo a ∈ A, decimos que f es
diferenciable en A.
Proposición 3.2.4. Una función con dominio abierto tiene a lo más una derivada
en cada punto.
Demostración. Sea f : A ⊂ Rn → Rm una función con dominio abierto A, y sea
x ∈ A. Supongamos que L1 y L2 son diferenciales de f en x. Sea � > 0. Entonces
existe δ > 0 tal que, si ‖h‖ < δ, entonces
‖f(x+ h)− f(x)− L1(h)‖ ≤ �‖h‖
‖f(x+ h)− f(x)− L2(h)‖ ≤ �‖h‖
Si tuviéramos que L1 6= L2, existiría z ∈ Rn con ‖z‖ = 1 tal que 0 < ‖L1(z) −
L2(z)‖. Sea α ∈ R \ {0} tal que δ > |α| = ‖αz‖, y tomemos h = αz, entonces,
0 < |α|‖L1(z)− L2(z)‖ = ‖L1(αz)− L2(αz)‖
≤ ‖f(x+ h)− f(x)− L1(h)‖+ ‖f(x+ h)− f(x)− L2(h)‖
≤ 2�‖h‖ = 2�‖αz‖ = 2�|α|,
y en consecuencia 0 < ‖L1(z)−L2(z)‖ ≤ 2�, para todo � > 0. Contradicción.
CAPÍTULO 3. DIFERENCIABILIDAD 42
Ahora veamos que la existencia de la derivada de Fréchet en un punto implica
su continuidad en el mismo punto.
Proposición 3.2.5. Si f : A ⊂ Rn → Rm es diferenciable en x ∈ A, entonces
existen reales positivos δ y M tales que, si x′ ∈ A y ‖x′ − x‖ < δ, entonces
‖f(x′) − f(x)‖ ≤ M‖x′ − x‖ (y decimos que f es Lipschitz cerca de x). En
particular obtenemos que f es continua en x.
Demostración. Como f es diferenciable en x tenemos que para � = 1 existe δ > 0
tal que
x′ ∈ A, ‖x′ − x‖ < δ ⇒ ‖f(x′)− f(x)−Df(x)(x′ − x)‖ ≤ ‖x′ − x‖.
Luego, si x′ ∈ A y ‖x′ − x‖ < δ, tenemos que, por la desigualdad del triángulo,
‖f(x′)− f(x)‖ ≤ ‖x′ − x‖+ ‖Df(x)(x′ − x)‖
≤ ‖x′ − x‖+K · ‖x′ − x‖
≤ (1 +K)‖x′ − x‖,
así que δ como antes y M = 1 +K satsifacen lo deseado.
Hemos encontrado que la diferenciabilidad garantiza la continuidad, por lo
que si una función no es continua entonces no es diferenciable.
Ejemplo 3.2.6. Sea f : R2 → R definida por f(0, 0) = 0 y f(x, y) = 2xy
x2+y2
para (x, y) 6= (0, 0). Esta función no es continua en (0, 0), por lo que no es dife-
renciable. Sin embargo, vimos que tiene las derivadas parciales ∂f
∂x
y ∂f
∂y
en todo
punto.
Por el ejemplo anterior, una función puede tener derivadas parciales de primer
orden sin ser diferenciable de Fréchet. Sin embargo, si las derivadas parciales
de primer orden existen y son continuas, entonces la función sí es diferenciable.
Veamos la prueba para funciones R-valuadas.
Teorema 3.2.7. Sea f : A ⊂ Rn → R una función definida en el abierto A que
contiene a B(x, r). Supongamos que ∇f : B(x, r) → Rn existe y es continuo en
x. Entonces f es diferenciable en x, y la transformación Df(x) está dada por
Df(x)h = h · ∇f(x), h ∈ Rn.
CAPÍTULO 3. DIFERENCIABILIDAD 43
Demostración. Sea h = (h1, · · · , hn) ∈ Rn, y definamos los vectores
h0 = 0, h1 = (h1, 0, · · · , 0), h2 = (h1, h2, 0, · · · , 0), · · · , hn = h.
Entonces ‖hi‖ ≤ ‖h‖, así que f(x+hi) está bien definido para ‖h‖ < r y tenemos
que
f(x+h)−f(x) =
n∑
i=1
f(x+hi)−f(x+hi−1) =
n∑
i=1
f(x+hi−1+hie
i)−f(x+hi−1).
(3.2.1)
Sea Fi(t) = f(x + hi−1 + tei), 0 ≤ t ≤ hi, la cual es una función diferenciable
por hipótesis. Por el teorema del valor medio existe θi ∈ (0, 1) tal que
Fi(hi)− Fi(0) = hiF ′i (θihi) = hi
∂f
∂xi
(x+ hi−1 + θihie
i).
Sea
qi(h) =
∂f
∂xi
(x+ hi−1 + θihie
i)− ∂f
∂xi
(x),
i = 1, · · · , n, y sea q(h) = (q1(h), · · · , qn(h)). Por la ecuación (3.2.1) tenemos
que
f(x+ h)− f(x) =
n∑
i=1
hi
∂f
∂xi
(x+ hi−1 + θihie
i)
=
n∑
i=1
hiqi(h) + hi
∂f
∂xi
(x)
= h · q(h) + h · ∇f(x),
es decir, f(x + h) − f(x) − h · ∇f(x) = h · q(h), donde por la desigualdad de
Cauchy-Schwarz tenemos, para h 6= 0,
|f(x+ h)− f(x)− h · ∇f(x)|
‖h‖
=
|h · q(h)|
‖h‖
≤ ‖q(h)‖.
Finalmente, como hi−1 + θihiei → 0 conforme h → 0, y como ∇f es continua
en x, entonces cada qi(h)→ 0 para todo i, así que ‖q(h)‖ → 0 conforme h→ 0,
como queríamos.
Naturalmente, si una función es derivable de Fréchet, entonces f admite deri-
vadas parciales. Nuevamente, veamos la prueba para funciones R-valuadas.
CAPÍTULO 3. DIFERENCIABILIDAD 44
Teorema 3.2.8. Sea f : A ⊂ Rn → R una función diferenciable en x ∈ A con
A abierto. Entonces las derivadas direccionales ∂f
∂u
(x) existen para todo u ∈ Rn
vector unitario y ∂f
∂u
(x) = Df(x)(u). En particular las derivadas parciales de f
en x existen y ∂f
∂xi
(x) = Df(x)(ei).
Demostración. Observemos que, si u es vector unitario en Rn, si tomamos h = tu
para |t| > 0 y suficientemente pequeño, entonces
|f(x+ tu)− f(x)
t
−Df(x)u| = |f(x+ tu)− f(x)−Df(x)(tu)|
|t|
=
|f(x+ h)− f(x)−Df(x)(h)|
‖h‖
lo cual tiende a cero conforme h→ 0, y en este caso, esto pasa cuando t→ 0.
De los dos teoremas anteriores observamos que si f : B(x, r) ⊂ Rn → R es
una transformación tal que∇f : B(x, r)→ R existe y es continuo en x, entonces
las derivadas direccionales existen para todo vector unitario u ∈ Rn y están dadas
por
∂f
∂u
(x) = Df(x)u = u · ∇f(x), (3.2.2)
así que por la desigualdad de Cauchy-Schwarz:
|∂f
∂u
(x)| ≤ ‖u‖ · ‖∇f(x)‖ = ‖∇f(x)‖.
Por otro lado, si ∇f(x) 6= 0, podemos tomar el vector unitario u0 = ∇f(x)‖∇f(x)‖ , y
obtenemos por la ecuación (3.2.2) que
∂f
∂u0
(x) = u0 · ∇f(x) = ‖∇f(x)‖.
Entonces, de entre las derivadas direccionales de f en x, la de máximo valor ab-
soluto es la dirección del gradiente de f en x:
máx
‖u‖=1
|∂f
∂u
(x)| = ∂f
∂u0
(x).
Un ejemplo importante de función diferenciable lo constituyen las curvas di-
ferenciables, que son funciones diferenciables de la forma c : (a, b) ⊂ R → Rm,
CAPÍTULO 3. DIFERENCIABILIDAD 45
donde su derivada en t ∈ (a, b) está dada por la transformación lineal L : R→ Rn
cuya matriz en las bases canónicas está dada por la columna
c′1(t)
c′2(t)
...
c′m(t)

donde c(t) = (c1(t), · · · , cm(t)). Este vector columna se denota por c′(t), y se
llama el vector tangente o vector velocidad de la curva, pues
c′(t) = ĺım
h→0
c(t+ h)− c(t)
h
.
Veamos algunos ejemplos relevantes.
Ejemplo 3.2.9. Sea f : R2 → R3 dada por f(x, y) = (x2, x3y, x4y2). Pruebe que
f es diferenciable en cada punto y calcule Df .
Demostración. Es fácil ver que las derivadas parciales de f1, f2 y f3 existen, de
hecho, la matriz Jacobiana de f es
∂f1
∂x
∂f1
∂y
∂f2
∂x
∂f2
∂y
∂f3
∂x
∂f3
∂y
 =
 2x 03x2y x3
4x3y2 2x4y
 (3.2.3)
y como esta matriz es continua en x y y, f es diferenciable en cada punto (x, y) ∈
R2. Más aún, Df(x, y) es la transformación lineal cuya matriz en las bases canó-
nicas está dada por la ecuación (3.2.3).
El siguiente ejemplo ilustra que la mera existencia de las derivadas direccio-
nales no implica la diferenciabilidad, ni siquiera la continuidad.
Ejemplo 3.2.10. Sea f : R2 → R dada por f(x, y) =
{
1, si 0 < y < x2,
0, otros casos.
Entonces f se anula a lo largo de los ejes horizontal y vertical. Cualquier otra
línea que pase por el origen está eventualmente en la región donde f = 0, pues
si y = cx con c > 0 entonces, para x ∈ [0, c], cx ≥ x2; mientras que para
x ∈ (−∞, 0), cx < 0 (similarmente para c < 0). Esto muestra que la derivada
direccional en el origen en la dirección de una recta cualquiera es 0. Todas las
derivadas direccionales existen y se anulan en el origen, pero la función ni siquiera
es continua en el origen.
CAPÍTULO 3. DIFERENCIABILIDAD 46
Ejemplo 3.2.11. Sea f : R2 → R3 dada por f(x, y) = (x, y, x2 + y2). Sea
(x, y) ∈ R2, y calculemos la derivada direccional de f en (x, y) en la dirección de
u = (ux, uy) ∈ R2; para esto notemos que
f((x, y) + tu) = (x+ tux, y + tuy, (x+ tux)
2 + (y + tuy)
2),
f((x, y)) = (x, y, x2 + y2),
así que
ĺım
t→0
f((x, y) + tu)− f(x, y)
t
= ĺım
t→0
(tux, tuy, 2x · tux + t2u2x + 2y · tuy + t2u2y)
t
= (ux, uy, 2(xux + yuy))
= ux(1, 0, 2x) + uy(0, 1, 2y).
Alternativamente,notemos que las derivadas parciales de f1, f2 y f3 existen, y la
matriz Jacobiana de f está dada por 1 00 1
2x 2y
 ,
luego ∂f
∂u
(x, y) = Df(x, y)u =
 1 00 1
2x 2y
[ux
uy
]
= ux(1, 0, 2x) + uy(0, 1, 2y).
Ejemplo 3.2.12. Sea f(x, y) = x2 + y. Pruebe que f es diferenciable en (1, 2), y
calcula la ecuación del plano tangente a la gráfica de f en (1, 2).
Demostración. Observemos que ∇f(x, y) = (2x, 1) existe y es continuo en cada
punto de R2, así que Df(1, 2) existe y está dado por la matriz (2, 1), por lo que la
ecuación del plano buscado es
z = f(1, 2) +Df(1, 2)((x, y)− (1, 2))
= 3 + (2, 1)
[
x− 1
y − 2
]
= 3 + 2(x− 1) + (y − 2)
= 2x+ y − 1.
CAPÍTULO 3. DIFERENCIABILIDAD 47
Veamos ahora las propiedades básicas de la derivada:
Teorema 3.2.13. Si f, g : A ⊂ Rn → Rm son diferenciables en x ∈ A, y α, β ∈
R, así como φ : A ⊂ Rn → R es diferenciable en x, entonces
a) αf + βg es diferenciable en x, y D(αf + βg)(x) = αDf(x) + βDg(x),
b) f ·g es diferenciable en x yD(f ·g)(x)(h) = Df(x)(h)·g(x)+f(x)·Dg(x)(h),
c) φf es diferenciable es x y D(φf)(x)(h) = Dφ(x)(h)f(x) + φ(x)Df(x)(h).
Demostración. (a) Si � > 0 entonces existen δ1(�) y δ2(�) positivos tales que, si
‖h‖ < mı́n(δ1(�), δ2(�)) y x+ h ∈ A entonces
‖f(x+ h)− f(x)−Df(x)h‖ ≤ �‖h‖
‖g(x+ h)− g(x)−Dg(x)h‖ ≤ �‖h‖
en consecuencia
‖αf(x+ h) + βg(x+ h)− (αf(x) + βg(x))− (αDf(x)(h) + βDg(x)h)‖
≤ |α|‖f(x+ h)− f(x)−Df(x)(h)‖+ |β|‖g(x+ h)− g(x)−Dg(x)(h)‖
≤ |α|�‖h‖+ |β|�‖h‖
= (|α|+ |β|)�‖h‖
así que αf+βg es diferenciable en x yD(αf+βg)(x) es la transformación lineal
αDf(x) + βDg(x).
(b) Observemos que
f · g(x+ h)− f · g(x)− (Df(x)(h) · g(x) + f(x) ·Dg(x)(h))
=(f(x+ h)− f(x)−Df(x)h) · g(x+ h)
+Df(x)(h) · (g(x+ h)− g(x))
+f(x) · (g(x+ h)− g(x)−Dg(x)(h)),
y como Dg(x) existe, tenemos que g es continua en x, y que entonces además
podemos acotar g cerca de x. Es decir, dado � > 0, existen M , δ > 0 tales que, si
‖h‖ < δ y x+ h ∈ A, entonces
‖g(x+ h)‖ ≤M
‖g(x+ h)− g(x)‖ ≤ �
‖g(x+ h)− g(x)−Dg(x)(h)‖ ≤ �‖h‖
‖f(x+ h)− f(x)−Df(x)(h)‖ ≤ �‖h‖
CAPÍTULO 3. DIFERENCIABILIDAD 48
así que
‖f · g(x+ h)− f · g(x)− (Df(x)(h) · g(x) + f(x) ·Dg(x)(h))‖
≤ �‖h‖M + ‖Df(x)‖‖h‖�+ ‖f(x)‖�‖h‖
= (M + ‖Df(x)‖+ ‖f(x)‖)�‖h‖,
de modo que f · g es diferenciable en x y D(f · g)(x)(h) = Df(x)(h) · g(x) +
f(x) ·Dg(x)(h).
(c) Se prueba igual que la parte (b).
Teorema 3.2.14 (Regla de la cadena). Sean f : A ⊂ Rn → Rm y g : B ⊂
Rm → Rk funciones con dominio abierto. Supongamos que f es diferenciable en
x ∈ A y que g es diferenciable en f(x) ∈ B. Entonces la composición g ◦ f es
diferenciable en x y D(g ◦ f)(x) = Dg(f(x)) ◦Df(x).
Demostración. Sea � > 0. Como f es diferenciable en x y g es diferenciable en
f(x), tenemos que existe δ > 0 tal que
si ‖h‖ < δ y x+ h ∈ A entonces ‖f(x+ h)− f(x)−Df(x)(h)‖ ≤ �‖h‖,
(3.2.4)
si ‖v‖ < δ y f(x) + v ∈ B entonces ‖g(f(x) + v)− g(f(x))−Dg(f(x))(v)‖ ≤ �‖v‖.
(3.2.5)
Además, como f es diferenciable en x tenemos que f es Lipschitz cerca de x (en
particular, continua en x), es decir, existen números positivos δ0 y K0 > 1 tales
que
si ‖h‖ < δ0 entonces x+ h ∈ A, f(x+ h) ∈ B y ‖f(x+ h)− f(x)‖ ≤ K0‖h‖.
Entonces, si ‖h‖ < mı́n(δ0, δ/K0), por lo anterior tenemos que
f(x+ h) ∈ B y ‖f(x+ h)− f(x)‖ ≤ K0‖h‖ < δ
luego, sustituyendo en la ecuación (3.2.5),
‖g(f(x+h))−g(f(x))−Dg(f(x))(f(x+h)−f(x))‖ ≤ �‖f(x+h)−f(x)‖ ≤ �K0‖h‖,
mientras tanto
‖Dg(f(x))(f(x+ h)− f(x)−Df(x)h)‖ ≤ ‖Dg(f(x))‖‖f(x+ h)− f(x)−Df(x)h‖
≤ ‖Dg(f(x))‖�‖h‖,
CAPÍTULO 3. DIFERENCIABILIDAD 49
luego, sumando las últimas dos expresiones obtenemos que
‖g(f(x+ h))− g(f(x))−Dg(f(x))(Df(x)(h))‖ ≤ (K0 + ‖Dg(f(x))‖)�‖h‖,
así que g ◦ f es diferenciable en x y D(g ◦ f)(x) = Dg(f(x)) ◦Df(x).
Corolario 3.2.15. Sean f y g funciones R-valuadas diferenciables en x ∈ Rn. Si
g(x) 6= 0 entonces f/g es diferenciable en x y
D(
f
g
)(x) =
g(x)Df(x)− f(x)Dg(x)
g(x)2
.
Demostración. Sea φ : R \ {0} → R dada por φ(x) = 1/x. Notemos que 1/g =
φ ◦ g, así que por la regla de la cadena
D(1/g)(x) = D(φ◦g)(x) = Dφ(g(x))◦Dg(x) = φ′(g(x))Dg(x) = −1
g(x)2
Dg(x),
luego, por la regla del producto (o regla de Leibniz),
D(f/g)(x) = Df(x)/g(x) + f(x)D(1/g)(x) =
Df(x)
g(x)
− f(x)Dg(x)
g(x)2
.
Veamos un par de ejemplos del uso de la regla de la cadena.
Ejemplo 3.2.16. Supongamos que f : U ⊂ Rn → R y g : V ⊂ R→ R satisfacen
que f es diferenciable en x ∈ U y g es diferenciable en f(x) ∈ V . Prueba que
D(g ◦ f)(x)(h) = g′(f(x))(h · ∇f(x)).
Demostración. Puesto que f es diferenciable en x,∇f(x) existe y satisface que
Df(x)h =
n∑
i=1
hiDf(x)e
i =
n∑
i=1
hi
∂f
∂xi
(x) = h · ∇f(x),
luego por la regla de la cadena,
D(g◦f)(x)(h) = Dg(f(x))◦Df(x)(h) = g′(f(x))Df(x)(h) = g′(f(x))(h·∇f(x)).
CAPÍTULO 3. DIFERENCIABILIDAD 50
Ejemplo 3.2.17. Supongamos que c : U ⊂ R → Rn y f : V ⊂ Rn → R
satisfacen que c es diferenciable en x ∈ U y f es diferenciable en c(x) ∈ V .
Prueba que (f ◦ c)′(x) = ∇f(c(x)) · c′(x).
Demostración. Puesto que c es una curva diferenciable en x, tenemos que
Dc(x)h = hc′(x),
mientras que
Df(c(x))(v) = v · ∇f(c(x)),
luego
D(f ◦ c)(x)(h) = Df(c(x))(Dc(x)h) = Df(c(x))(hc′(x)) = hc′(x) · ∇f(c(x))
es decir, (f ◦ c)′(x) = c′(x) · ∇f(c(x)).
Otra consecuencia de la regla de la cadena es el teorema del valor medio para
funciones sobre dominios en Rn.
Teorema 3.2.18 (del valor medio). Sea f : A ⊂ Rn → R una función con
dominio convexo. Supongamos que a1 y a2 están en A y que f es diferenciable
en cada punto del segmento que une a1 con a2. Entonces existe un punto x en el
segmento que une a1 con a2 tal que
f(a2)− f(a1) = Df(x)(a2 − a1).
Demostración. Sea φ(t) = f((1 − t)a1 + ta2) para t ∈ [0, 1]. Observa que
φ(0) = f(a1) y φ(1) = f(a2), y que φ es diferenciable en cada t ∈ [0, 1] por
ser composición de la curva t 7→ (1 − t)a1 + ta2 con la función f diferenciable
en a1a2. Luego, por el ejemplo 3.2.17,
φ′(t) = ∇f((1− t)a1 + ta2) · (a2 − a1),
y por el teorema del valor medio de una variable, existe t0 ∈ [0, 1] tal que
φ(1)− φ(0) = φ′(t0),
así que para x = (1− t0)a1 + t0a2 ∈ a1a2 tenemos que
f(a2)− f(a1) = φ(1)− φ(0) = φ′(t0) = ∇f(x) · (a2 − a1) = Df(x)(a2 − a1).
CAPÍTULO 3. DIFERENCIABILIDAD 51
Por otro lado, si f toma valores en Rm con m ≥ 2, el teorema del valor medio
no se cumple:
Ejemplo 3.2.19. sea f : R→ R2 dada por f(x) = (x− x2, x− x3). Entonces
Df(x)(h) =
[
1− 2x
1− 3x2
]
h = ((1− 2x)h, (1− 3x2)h)
y además f(0) = 0 y f(1) = 0, pero no existe un punto x ∈ R tal queDf(x)(1) =
0, pues tendrámos que x = 1/2 y x =+− 1/
√
3 al mismo tiempo.
A pesar de que el teorema del valor medio para funciones con valores vecto-
riales no se cumple, para una curva diferenciable tenemos que al menos podemos
acotar una diferencia de valores de la curva por la diferencial de la curva en un
punto:
Proposición 3.2.20. Sea c : A ⊂ R → Rm una curva con dominio convexo.
Supongamos que a1 y a2 están en A y que c es diferenciable en cada punto del
segmento que une a1 con a2. Entonces existe un punto x en el segmento que une
a1 con a2 tal que
‖c(a2)− c(a1)‖ ≤ ‖c′(x)‖ |a2 − a1|.
Demostración. Sea v = c(a2)−c(a1) y define la función R-valuada φ : a1a2 → R
por φ(t) = v · c(t), la cual es diferenciable, así que por el teorema del valor medio
existe x ∈ a1a2 tal que
φ(a2)− φ(a1) = (a2 − a1)φ′(x) = (a2 − a1)v · c′(x)
por otro lado φ(a2) − φ(a1) = v · c(a2) − v · c(a1) = v · v = ‖v‖2 luego, por la
desigualdad de Cauchy-Schwarz tenemos que
‖v‖2 = |(a2 − a1)v · c′(x)| ≤ |a2 − a1| ‖v‖ ‖c′(x)‖
así que
‖c(a2)− c(a1)‖ = ‖v‖ ≤ ‖c′(x)‖ |a2 − a1|.
CAPÍTULO 3. DIFERENCIABILIDAD 52
3.3. Derivadas de orden mayor
Ahora queremos estudiar derivadas de orden superior. Para esto comenzamos
considerando derivadas parciales mixtas.
Sea D un subconjunto de Rn. Si f : D → R tiene derivadas parciales con
respecto a todas las variables xi en D, entonces estas derivadas son funciones
bien definidas sobre D. Si ahora sus respectivas derivadas parciales existen en D,
a éstas se les llama derivadas parciales de segundo orden, y se les denota por
∂2f
∂xj∂xi
:=
∂
∂xj
(
∂
∂xi
f)
o bien
fxixj = (fxi)xj