demostraciones de analisis 3

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Tarea 4
Anette Rachel Pinacho Mat́ıas
Análisis Matemático
May 6, 2023
Problem 1. (Calculando ráıces cuadradas) Sea x1 = 2, y define
xn+1 =
1
2
(
xn +
2
xn
)
Demuestra por inducción que x2n siempre es mayor o igual a 2, y entonces usa esto para probar que xn−xn+1 ≥
0.
Esto nos dice que el limxn existe, ya que la sucesión (xn) es monótona decreciente. Sea x = limxn, y observa
que x ̸= 0. Concluye que x =
√
2, usando que
x = limxn+1 = lim
1
2
(
xn +
2
xn
)
y el Teorema Algebraico de Ĺımites.
Demostración. Sabemos que x1 = 2, entonces x
2
1 ≥ 2. Por inducción
x2n+1 =
(
1
2
)2(
xn +
2
xn
)2
=
1
4
(
x2n + 2
xn
)2
=
1
4
((
x2n + 2
)2
x2n
)
≥ 1
4
((
x2n + 2
)2
2
)
Si x21 ≥ 2 =⇒ x21 + 2 ≥ 4 =⇒
(
x21 + 2
)2 ≥ 16, entonces
x2n+1 =
1
4
((
x2n + 2
)2
2
)
≥ 2
Ahora, provemos que xn − xn+1 ≥ 0, claramente xn ≥ 0
xn − xn+1 = xn −
1
2
(
xn +
2
xn
)
= xn −
1
2
xn −
1
xn
=
1
2
xn +
1
xn
≥ 0
Sabemos que (xn → x) converge por el Monotone Convergence Theorem, ahora probaremos que x =
√
2. Si
igualamos xn = xn+1, ya que |xn − xn+1| se va volviendo pequeño, enotnces
x =
1
2
(
xn +
2
xn
)
=⇒ x2 = 1
2
x2 + 1 =⇒ x2 − 1
2
x2 = 1 =⇒ 1
2
x2 = 1 =⇒ x2 = 2
Entonces x = ±
√
2, pero como xn es positivo, por lo tanto x =
√
2
Problem 2. Demuestra que
√
xy ≤ x+ y
2
, x, y reales positivos
Ahora sea 0 ≤ x1 ≤ y1 y define
xn+1 =
√
xnyn y yn =
xn + yn
2
1
Observa que por (9), xn+1 ≤ yn+1. Entonces,
yn+1 =
xn + yn
2
≤ yn + xn
2
= yn, xn+1 =
√
xnyn ≥
√
x2n = xn
Usa esto para demostrar que limxn y lim yn existen y son iguales.
Demostración. Demostraremos que
√
xy ≤ x+y2 , entonces, como x y y son números positivos, claramente
0 ≤ (x− y)2, por lo tanto
0 ≤ (x− y)2
0 ≤ x2 − 2xy + y2
2xy ≤ x2 + y2
2xy + 2xy ≤ x2 + y2 + 2xy
4xy ≤ (x+ y)2√
4xy ≤ (x+ y)
2
√
xy ≤ (x+ y)
√
xy ≤ x+ y
2
(1)
El único punto fijo es xn = yn, por lo que solo necesitamos mostrar que ambas secuencias convergen. La
desigualdad x1 ≤ y1 siempre es cierta ya que
√
xnyn ≤
xn + yn
2
=⇒ xn+1 ≤ yn+1
También xn ≤ yn =⇒ xn+yn2 = yn+1 ≤ yn, de manera similar
√
xnyn = xn+1 ≤ xn, lo que significa que
ambas secuencias convergen por el Monotone Convergence Theorem.
2