resumen topologia - Matias Morales

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Topología 
¿Que estudia la Topología? 
● La Topología es una rama de la Matemática en 
donde se estudian propiedades que no dependen 
de magnitudes, ni de medidas. Interviene la intuición 
geométrica.
● Topología Combinatoria
● Geometría del caucho
● Las propiedades cualitativas no dependen ni de 
magnitudes, ni de medidas.
 Teorema de Jordan
 Toda curva cerrada simple de Jordan contenida en el 
plano, divide al resto del plano en dos regiones, una 
interior y otra exterior.
Región exterior
Región interior
Cuando se tuerce una figura de caucho sin 
desgarramientos ni adherencias, se comprueba que:
● A todo punto de una figura corresponde un punto y solo 
uno de la otra. 
● A dos puntos vecinos de una corresponden dos puntos 
vecinos de la otra.
Homeomorfismo: es una función puntual biyectiva y 
bicontinua.
Homeomorfismos
Figuras topológicamente equivalentes
 u homeomorfas
Figuras no topológicamente 
equivalentes
 
Superficies biláteras 
Superficies uniláteras
Cinta de Moebius Botella de Klein
Cinta de Moebius
Botella de Klein
Aplicaciones al Diseño 
Praga
Logotipo del Partido 
Humanista Internacional 
 El símbolo gráfico
 internacional de reciclaje 
Logotipo de 
 US-OFEE 
Propiedades cualitativas o 
Invariantes topológicos
● Número cromático
● Número de regiones vecinas
● Número máximo de puntos
● Género
● Número de conexión
● Relación de Euler o de Descartes
Número cromático
● Es el número mínimo de colores que bastan 
para colorear todo mapa, de tal forma que 
dos regiones vecinas adyacentes tengan 
colores diferentes. 
Número de regiones vecinas
● Es el número máximo de regiones que 
pueden encontrarse sobre una superficie,de 
modo que dos cualesquiera de las mismas 
se toquen a lo largo de una curva, es decir 
sean adyacentes dos a dos. En el plano es 
cuatro.
Número máximo de puntos
● Es el número máximo que puede admitir un 
sistema de puntos de una superficie dada, 
tales que puedan unirse dos a dos por medio 
de curvas trazadas sobre la superficie, de 
modo que dos cualesquiera de ellas no se 
corten.
Número de conexión
● Es el número máximo de curvas de Jordan 
(disjuntas o no) que se pueden trazar sobre 
la superficie sin dividirla.
● El de la esfera es cero.
● El del toro es dos.
Género
● Es el número máximo de curvas cerradas de 
Jordan disjuntas dos a dos, que se pueden 
trazar sobre la superficie sin dividirla.
● El de la esfera es cero.
● El del toro es uno. 
Relación de Euler
 Para todo poliedro simple que tenga nv 
vertices, na aristas y nc caras, se tiene la 
siguiente fórmula:
 nv-na+nc= 2
nv = 8
na = 12
nc = 6
No se verifica para los poliedros con agujeros