Conjuntos numéricos y ecuaciones - Camila Sobejano

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Conjuntos numéricos y ecuaciones
1 Evolución de los números.
A lo largo de la historia el ser humano siempre ha tenido la necesidad de contar,
de expresar operaciones mercantiles y de resolver otros problemas que han ido
surgiendo en el desarrollo de las matemáticas. Analizaremos la evolución de los
diversos conjuntos.
I Los números naturales:
Desde el comienzo de la humanidad las diferentes culturas han empleado
diversas formas de contar, ya sea utilizando piedras, muescas en palos e incluso
los dedos de las manos y los pies. No obstante, en Europa hubo que esperar
hasta el siglo XIII para que los números naturales llegaran. Estableciéndose de
manera formal en el siglo XIX gracias a Peano, a quien debemos la de�nición
axiomática de los números naturales.
I Los números enteros:
La solución de ecuaciones del tipo x+a = b, donde a > b, no tenían cabida en
el cuerpo de los números naturales. Fue necesario ampliar el conjunto y de�nir
de esta forma los números negativos. Estos números surgieron por la necesidad
de operar con cantidades negativas, sobre todo en las operaciones comerciales.
Los primeros en introducir los números negativos fueron los hindúes. A Europa
llegaron a �nales del siglo s.XV gracias al matemático francés Nicolas Chuquet.
Si embargo, no fue hasta �nales del siglo XIX cuando Weierstrass per�ló el
modelo de los números enteros.
1
I Los números racionales:
A la hora de resolver la ecuación ax = b, tal que b no es múltiplo de a
(es decir, a no es divisor de b), no existía solución en los números enteros. La
necesidad de fraccionar la unidad llevó a la de�nición de las fracciones. Se
trabajó con ellas desde la antigüedad, pero con notaciones complicadas. Los
babilonios comenzaron a utilizar la notación decimal, dividiendo la unidad en
potencias sucesivas de 60. Pero fueron los árabes quien establecieron la barra
horizontal para separar el numerador y el denominador.
I Los números reales:
Apareció un nuevo obstáculo que hizo que el cuerpo de los números racionales
se quedara pequeño, como el de hallar lo que mide la diagonal de un cuadrado
de lado 1, es decir, el resultado de la ecuación x2 = 2. Este descubrimiento se
produjo gracias a la escuela pitagórica, y las soluciones de este tipo de ecuaciones
recibieron el nombre de inconmensurables. No obstante, no fue hasta la llegada
del Renacimiento, cuando los matemáticos europeos aprovecharon el sistema
decimal, para de�nir los números irracionales como aquellos números que tienen
in�nitas cifras decimales.
I Los números complejos:
Por último, nos encontramos con un nuevo problema, ¿Qué ocurre cuando
al resolver una ecuación de segundo grado o superior obtenemos una raíz par
negativa como por ejemplo x2 = �1? Hasta entonces, estas ecuaciones no tenían
solución (de hecho no tienen solución real). Aunque se comenzó a trabajar con
estos números como si se trataran de números normales, ya que cumplían una
serie de condiciones, el carácter esotérico de estos números se fue eliminando,
sobre todo con la obra de Cardano en 1545 �Arg Magna�. Sin embargo, fue
Euler el que estableció la notación que ahora conocemos, para denotar
p
�1
como i.
2 Ecuaciones
Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo igual.
2x+ 3 = 5x� 2
Una igualdad puede ser:
I Cierta
Ejemplo:
2x+ 2 = 2�(x+ 1) Quitamos paréntesis en el 2o miembro
2x+ 2 = 2x+ 2 Restamos en los dos miembros
2x� 2x+ 2 = 2x� 2x+ 2
2 = 2
I Falsa:
Ejemplo:
2x+ 1 = 2�(x+ 1) Quitamos paréntesis en el 2o miembro
2x+ 1 = 2x+ 2 Restamos 2x en los dos miembros
2
1 6= 2.
Una identidad es una igualdad que es cierta para cualquier valor de las
letras.
Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las
letras.
x+ 1 = 2x
Losmiembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen
a ambos lados del signo igual.
Los términos son los sumandos que forman los miembros.
Las incógnitas son las letras (variables) que aparecen en la ecuación.
Las soluciones son los valores que deben tomar las variables para que la
igualdad sea cierta.
Las soluciones siempre deben estar incluídas en el dominio de la variable
que es el conjunto de valores permisibles para que la ecuación tenga sentido.
Ejemplo:
El dominio de la variable de la ecuación x + 1 =
p
x� 3 es fx 2 R=x � 3g
porque la raíz par de números negativos no está de�nida en R:
3 Tipos de Ecuaciones
3.1 Ecuaciones polinómicas
I Las ecuaciones polinómicas son de la forma P (x) = 0 , donde P (x) es un
polinomio.
El grado de una ecuación polinómica es el mayor de los grados de los
monomios que forman sus miembros.
Las ecuaciones de primer grado o lineales son del tipo ax + b = 0 ,
con a 6= 0, o cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y
simpli�car adoptan esa expresión.
(x+ 1)2 = x2 � 2
x2 + 2x+ 1 = x2 � 2
2x+ 1 = �2
2x+ 3 = 0
En general, las ecuaciones de grado n son de la forma anxn+an�1xn�1+
:::+ a0 = 0, con an 6= 0:
I Las ecuaciones racionales son de la forma P (x)Q(x) = 0, donde P (x) y
Q(x) 6= 0 son polinomios.
3
3.2 Ecuaciones no polinómicas
I Las ecuaciones exponenciales son ecuaciones en la que la incógnita aparece
en el exponente.
2x+1 � 4x = 26
I Las ecuaciones logarítmicas son ecuaciones en la que la incógnita
aparece afectada por al menos un logaritmo.
log(2x) = 1� log(x+ 5)
I Las ecuaciones trigonométricas son las ecuaciones en las que la incóg-
nita está afectada por al menos una función trigonométrica. Como éstas son
periódicas, habrá por lo general in�nitas soluciones.
cos (2x) = 1 + 4sen (x)
I Las ecuaciones con valor absoluto sonaquellas en las que la incógnita
está afectada por al menos un valor absoluto.
jx+ 5j = 2
4 Ecuaciones equivalentes
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución.
2x� 3 = 3x+ 2 x+ 3 = �2
x = �5 x = �5
Criterios de equivalencia de ecuaciones
1. Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta una
misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada.
x+ 3 = �2
x+ 3� 3 = �2� 3
x = �5
2. Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o se les divide una
misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada.
5x+ 10 = 15
(5x+ 10) : 5 = 15 : 5
x+ 2 = 3
5 Planteo de ecuaciones.
Lista de expresiones algebraicas comunes:
El doble o duplo de un número: 2x
El triple de un número: 3x
El cuádruplo de un número: 4x
La mitad de un número: x=2.
Un tercio de un número: x=3.
Un cuarto de un número: x=4.
El cuadrado de un número: x2
4
El cubo de un número: x3
Dos números consecutivos: x y x+ 1.
Dos números consecutivos pares: 2x y 2x+ 2.
Dos números consecutivos impares: 2x+ 1 y 2x+ 3.
Descomponer 24 en dos partes: x y 24� x.
El producto de dos números es 24: x y 24=x.
El cociente de dos números es 24; x y 24�x
La distancia numérica entre un número y 24: jx� 24j :
Un número positivo: x > 0
Un número negativo: x < 0
El opuesto aditivo de un número: �x
El inverso multiplicativo de un número distinto de cero: x�1
6 Valor absoluto
El valor absoluto de un número real k se indica jkj y, por de�nición, es igual
a k si k � 0 y es igual al opuesto de k si k < 0:
Una manera equivalente de de�nir el valor absoluto de un número real k es
jkj =
p
k2
Por lo tanto, el valor absoluto siempre da como resultado un número positivo
o cero. La interpretación geométrica del valor absoluto es la siguiente:
jkj es la distancia entre el número real k y el número 0 (orígen) en la recta
numérica.
En realidad, se puede usar el valor absoluto para calcular la distancia en la
recta numérica entre el número real k y calquier otro número real z como sigue:
dist (k; z) = jk � zj = jz � kj :
Ejercicio: Calcular la distancia numérica entre �15 y el orígen y calcular la
distancia numérica entre �15 y �7.
Propiedades del valor absoluto: para todos los números reales a y b se
cumple
1) j�aj = jaj
2) ja:bj = jaj : jbj
3) ja+ bj � jaj+ jbj
6.1 Resolución de ecuaciones que involucran valor abso-
luto.
Para resolver una ecuación que involucra un valor absoluto, se puede preceder
como se muestra en el siguiente ejemplo:5 +
j3x� 2j
4
= x+ 11
5
1o. Despejamos la expresión dada por el valor absoluto
j3x� 2j
4
= x+ 11� 5
j3x� 2j = 4 (x+ 6)
2o. Desdoblamos la ecuación en los dos casos posibles y despejamos la vari-
able en cada uno de ellos
3x� 2 = 4 (x+ 6) 3x� 2 = �4 (x+ 6)
3x� 2 = 4x+ 24 3x = �4x� 24 + 2
3x� 4x = 26 3x+ 4x = �22
�x = 26 7x = �22
x = �26 x = �227
3o. Chequemos si alguno de los candidatos a solución hallados en el paso
anterior realmente satisfacen la ecuación. (Observemos que la igualdad no se
cumple para x = �26).
4o. Escribimos el conjunto solución: S =
��22
7
	
:
Atención! El paso 3 es imprescindible, de haberlo omitido habríamos llegado
a la conclusión errónea de que
��22
7 ;�26
	
es el conjunto de soluciones.�
7 Ecuaciones de segundo grado
Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma:
ax2 + bx+ c = 0 con a 6= 0:
Se resuelve mediante la siguiente fórmula:
�b�
p
b2 � 4ac
2a
La expresión b2 � 4ac se llama discriminante de la ecuación.
El discriminante permite averiguar en cada ecuación el número de soluciones.
Podemos distinguir tres casos:
I b2 � 4ac > 0
La ecuación tiene dos soluciones, que son números reales distintos.
Ejemplo: Aplique la fórmula resolvente a la ecuación x2 � 5x+ 6.
Soluciones = f3; 2g
I b2 � 4ac = 0
La ecuación tiene una solución real. La fórmula resolvente da como resultado
dos números reales repetidos.
Ejemplo: Aplique la fórmula resolvente a la ecuación x2 � 2x+ 1.
6
Soluciones = f1g
I b2 � 4ac < 0
La ecuación no tiene soluciones reales.
Ejemplo: Aplique la fórmula resolvente a la ecuación x2 + x+ 1.
7.1 Ecuaciones de segundo grado incompletas
Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando alguno de los coe�cientes:
b o c, o ambos, son iguales a cero. Se puede/n hallar la/s solucion/es de este
tipo de ecuaciones sin recurrir a la fórmula resolvente. Encontramos tres tipos
de ecuaciones de segundo grado incompletas.
I Primer caso: b = 0 y c = 0
ax2 = 0
La solución es siempre x = 0:
I Segundo caso: c = 0 y b 6= 0
ax2 + bx = 0
Las soluciones son: x = 0 y x = �ba
Veamos como se extraen las soluciones:
Extraemos factor común x:
x:(ax+ b) = 0
Como tenemos un producto igualado a cero o un factor es cero o el otro
factor es cero o los dos son cero.
Así, x = 0 o
ax+ b = 0
ax = �b
x = �ba
I Tercer caso: b = 0 y c 6= 0
ax2 + c = 0
Las soluciones son: x =
q
�c
a y x = �
q
�c
a : Observemos que si
�c
a < 0 (es
decir, si a y c tienen el mismo signo, dichas soluciones no son números reales)
Veamos como se extraen las soluciones:
ax2 + c = 0
ax2 = �c
x2 = �cap
x2 =
q
�c
a
jxj =
q
�c
a
Soluciones =
nq
�c
a ;�
q
�c
a
o
7
7.2 Ecuaciones bicuadradas
Las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones de cuarto grado sin términos de grado
impar:
ax4 + bx2 + c = 0
Para resolver ecuaciones bicuadradas, efectuamos el cambio de variable:
x2 = t
x4 = t2
Con lo que se genera una ecuación de segundo grado con la incógnita t:
at2 + bt+ c = 0
Por cada valor no negativo de t habrá dos valores de x que son soluciones
reales de la ecuación original:
x = �
p
t:
El mismo procedimiento utilizado en los ejemplos que se dan a continuación
puede usarse para para resolver las ecuaciones del tipo:
ax6 + bx3 + c = 0 ax8 + bx4 + c = 0 ax10 + bx5 + c = 0 etc.
x3 = t x6 = t2 x4 = t x8 = t2 x5 = t x10 = t2
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9
10