Sección 2-Aplicaciones f cuadratica_21 - Bianca Dambolena

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Sección II
Aplicaciones Función Cuadrática
Antes de comenzar con situaciones en las que se aplica función cuadrática, vamos a repasar las características de esta función cuya representación es una parábola.
Forma de la función cuadrática 
Donde;
a es un número que acompaña al término cuadrático. Si “” es negativo las ramas de la parábola están orientadas hacia abajo. Si es positivo, las ramas están orientadas hacia arriba.
b es un número que acompaña al término lineal. Si “b” tiene signo distinto al de “a”, la parábola está orientada hacia la derecha. Si tiene igual signo que “a”, está orientada hacia la izquierda.
c es un número también y es el punto de corte de la parábola con el eje y , u ordenada al origen. En este punto, la X vale 0.
Puntos de interés de una parábola
Vértice: punto máximo o mínimo de la parábola. 
Para encontrar sus coordenadas usamos la siguiente fórmula
Una vez que encontramos la coordenada x del vértice, debemos encontrar la coordenada , reemplazando la en la fórmula. 
Raíces: son los puntos de corte de la parábola con el eje x.
En caso que sean raíces reales se obtienen aplicando la fórmula
Todos los puntos anteriores van a ser necesarios para resolver situaciones como las que se plantean abajo.
Situación ejemplo 
Un malabarista lanza hacia arriba tres pelotas, cada una de ellas se desplaza siguiendo una trayectoria que cumple con la gráfica de la función cuadrática:
Donde y es la altura alcanzada por las pelotas (en cm) al cabo de x segundos de transcurrido el lanzamiento. Por lo tanto la variable independiente es el tiempo medido en segundos y la variable dependiente es la altura medida en centímetros.
Se plantean las siguientes preguntas:
· ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en alcanzar su altura máxima?
· ¿Cuál es la altura máxima a la que llegan?
· ¿Cuál es la altura que alcanzan a los 6 segundos?
Sabemos que para sacar valores máximos o mínimos de una parábola, debemos calcular el vértice de la misma. Primero obtendremos la coordenada x del vértice:
4 segundos es lo que tarda la pelota en alcanzar su altura máxima. 
Luego calculamos la coordenada y del vértice para obtener la altura máxima a la que llega
Para calcular la altura a la que se encuentra a los 6 segundos, hay que reemplazar el 6 en la ecuación
Resolver las siguientes situaciones problemáticas
1) Bajo ciertas condiciones, una compañía encuentra que la utilidad diaria en miles de pesos al vender “x” artículos de cierto tipo está dada por:
 U ( x ) = -x2 + 1000x
 a) ¿Cuál es la máxima utilidad?
 b) ¿Cuántos artículos deben fabricar en la compañía para que la utilidad sea igual a cero?
 c) Dibuje la gráfica de la función utilidad.
2) Una compañía armadora de netbooks, representa el costo anual, en pesos, con la función:
 C ( x ) = 90.000 + 500x + 0,01x2 
y el ingreso anual, en pesos, con la función de venta:
 V ( x ) = 1.000x - 0,04x2
 (x es la cantidad de netbooks producidos anualmente)
a) ¿Cuántas netbooks deben fabricarse para que la ganancia sea la máxima?
b) ¿Cuál es la ganancia máxima?
3) Un delfín realiza un salto tal, que su trayectoria parabólica está dada por la función cuadrática
 f ( t ) = -t2 + 6t 0 ≤ t ≤ 6 
donde t representa el tiempo en segundos y f ( t ) la altura en metros que alcanza el delfín en determinado instante. 
a) Grafique el salto del delfín.
b) Calcule la altura que alcanza el delfín a los 2 segundos de haber saltado.
c) Calcule la altura máxima que alcanza el delfín y en qué instante.
d) ¿A partir de qué instante el delfín comienza a caer?0
e) ¿Cuánto demora en caer desde que alcanza la altura máxima?