Derivadas Selectividad CCNN 2005

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Derivadas
Selectividad CCNN 2005
1. [ANDA] [JUN-A] De la función f: definida por f(x) = ax3+bx2+cx+d se sabe que tiene un máximo en x = -1, que su gráfica
corta al eje OX en el punto de abscisa x = -2 y tiene un punto de inflexión en el punto de abscisa x = 0. Calcula a, b, c y d
sabiendo, además, que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2 tiene pendiente 9.
2. [ANDA] [JUN-B] Sea f la función definida para x  0 por f(x) = x
2+1
x
.
a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f.
b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que
se obtienen y valores que alcanza la función).
c) Esboza la gráfica de f.
3. [ANDA] [SEP-A] Sea f: la función definida por f(x) = (x-1)2e-x.
a) Halla las asíntotas de la gráfica de f.
b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula, si existen, sus extremos relativos o locales y sus
extremos absolutos o globales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función).
c) Esboza la gráfica de f.
4. [ARAG] [JUN-A] Sea la función f(x) = 4x+sen2x
sen3x
. Determinar el dominio de f e indicar si f tiene límite finito en algún punto que
no sea del dominio.
5. [ARAG] [JUN-A] Calcular los extremos y los puntos de inflexión de la función f(x) = exsenx en el intervalo [0,2].
6. [ARAG] [JUN-B] Queremos construir un marco rectangular que encierre una superficie de un metro cuadrado. Sabemos que el
coste de cada centímetro en los lados horizontales es de 2 euros, mientras que en los lados verticales es de 8 euros. Determinar
las dimensiones que hemos de elegir para que el marco nos resulte lo más barato posible.
7. [ARAG] [SEP-A] Sea la función f(x) = exsenx. Determinar sus extremos y sus puntos de inflexión en el intervalo [-,].
8. [ASTU] [JUN] Se dispone de una tela metálica de 100 metros de longitud para vallar una
región como la de la figura. ¿Cuáles son los valores de x e y que hacen que el área encerrada
sea máxima?
9. [ASTU] [SEP] Se dispone de una tela metálica de 100 metros de longitud para vallar una región
rectangular. ¿Cuáles son los valores de x e y, dimensiones del rectángulo, que hacen que el área del
romboide, formado por la unión de los puntos medios de los lados, sea máxima?
10. [ASTU] [SEP] Dibuja aproximadamente la gráfica de la función f(x) = x
x2-4
 calculando su dominio de definición, sus asíntotas, sus
intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus máximos y mínimos, sus intervalos de concavidad y convexidad y sus puntos de
inflexión.
11. [C-LE] [JUN-A] Calcúlese lim
x+
x·ln(x)
ex
12. [C-LE] [JUN-A] Aplicando el teorema de Lagrange de los incrementos finitos, demuéstrese que para x > 0 se verifica:
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arctg(2x)-arctg(x) < x
1+x2
.
13. [C-LE] [JUN-B] Sea f(x) = ex+ln(x), x (0,+).
(a) Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f y sus asíntotas.
(b) Pruébese que f tiene un punto de inflexión en el intervalo 1
2
,1 y esbócese la gráfica de f.
14. [C-LE] [SEP-A] Calcúlense los valores de   0 para los cuales lim
x0
 sen x
2
cos2(x) -1
 = -1.
15. [C-LE] [SEP-B] Calcúlese lim
x0
ln(x)·sen(x).
16. [C-MA] [JUN] Una imprenta recibe el encargo de diseñar un cartel con las siguientes características: La zona impresa debe
ocupar 100 cm2, el margen superior debe medir 3 cm, el inferior 2 cm, y los márgenes laterales 4 cm cada uno. Calcula las
dimensiones que debe tener el cartel de modo que se utilice la menor cantidad de papel posible.
17. [C-MA] [JUN] a) Enuncia la regla de L'Hôpital.
b) Resuelve el siguiente límite: lim
x0
 x - sen x
tg x - sen x
.
18. [C-MA] [SEP] De todos los prismas rectos de base cuadrada y tales que el perímetro de una cara lateral es de 30 cm, halla las
dimensiones del que tiene volumen máximo.
19. [C-MA] [SEP] Estudia el crecimiento y la concavidad de la función f:(0,+) definida por f(x) = Lx
x
(L=Logarimo neperiano).
20. [C-MA] [SEP] a) Halla los valores de los coeficientes b, c y d para que la gráfica de la función y = x3+bx2+cx+d corte al eje OY en
el punto (0,-1), pase por el punto (2,3) y, en ese punto, tenga tangente paralela al eje OX.
b) Una vez hallados esos valores, halla los máximos y mínimos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la
citada función.
21. [CANA] [JUN-A] Una empresa ha decidido mejorar su seguridad instalando 9 alarmas. Un especialista en el tema señala que dada
la estructura de la empresa sólo puede optar por dos tipos de alarmas, de tipoA o de tipo B; además asegura que la seguridad dela
empresa se puede expresar como la décima parte del producto entre el número de alarmas de tipo A instaladas y el cuadradodel
número de alarmas instaladas de tipo B. ¿Cuántas alarmas de cada tipo se deben instalar en la empresa para maximizar la
seguridad?
22. [CANA] [SEP-A] a) Determinar la abscisa de los puntos en los que la recta tangente a la función dada f(x) = Ln x+1
x-1
 es paralela a
la recta de ecuación 2x+3y = 4.
b) Obtener la ecuación de la recta tangente a la función dada en el apartado anterior en el punto de abscisa x = 3.
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23. [CANA] [SEP-A] Dada la gráfica de h'(x), deduce la monotonía y extremos
relativos de h(x), así como la curvatura y sus puntos de inflexión, explicandocómo
lo haces.
24. [CANA] [SEP-B] Dada la función f(x) = 1
x2-1
, determinar razonadamente:
a) El dominio.
b) Los puntos de corte con los ejes de coordenadas.
c) Las ecuaciones de sus asíntotas, si las tiene.
d) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos relativos.
e) Su representación gráfica.
25. [CATA] [JUN] Halle los máximos y mínimos relativos de la función f(x) = 6x5-15x4+10x3
26. [CATA] [JUN] Sea la parábola y = 2x2+x+1 y sea A el punto de la parábola de abscisa 0.
a) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábola en el punto A.
b) ¿En qué punto de la parábola la recta tangente es perpendicular a la recta que ha hallado en el apartado anterior?
27. [CATA] [SEP] Considere la función f(x) = 3-x2 y un punto de su gráfica, M, situado en el primer cuadrante x  0, y  0 . Si por el
punto M trazamos paralelas a los ejes de coordenadas, su intersección con OX y OY determina dos puntos A y B respectivamente.
a) Haz un gráfico de los elementos del problema.
b) Halle las coordenadas del punto M para el cual el rectángulo OAMB tenga el área máxima.
28. [EXTR] [JUN-A] Hallar la derivada en x = 0 de la función f f(x) , donde f(x) = (1+x)-1.
29. [EXTR] [JUN-B] Representar gráficamente la función f(x) = x-2senx en el intervalo - < x < , determinando sus extremos
(máximos y mínimos relativos).
30. [EXTR] [SEP-A] Enunciar el teorema del Valor medio del cálculo diferencial. Usarlo para demostrar que para cualesquiera
números reales x < y se verifica que cosy - cosx  y-x.
31. [EXTR] [SEP-B] Hallar la derivada en el punto x = 0 de la función f f(x) , donde f(x) = sen x.
32. [MADR] [JUN-B] Calcular los siguientes límites:
a) lim
x
x2+x - x2-x .
b) lim
x
x arctg ex - 
2
.
33. [MADR] [SEP-A] Dada la función f(x) = 1
x
, se pide:
a) Hallar la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto a,f(a) , para a > 0.
b) Hallar los puntos de corte de la recta tangente hallada en a) con los dos ejes coordenados.
c) Hallar el valor de a > 0 que hace que la distancia entre los dos puntos hallados en b) sea mínima.
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34. [MADR] [SEP-B] Dada la función f(x) = ln x
2
x-1
 donde ln significa logaritmo neperiano, definida para x > 1, hallar un punto a,f(a) tal
que la recta tangente a la gráfica de f(x) en ese punto sea paralela al eje OX.
35. [MURC] [JUN] Se considera la curva definida por la función y= x
3
x2+1
. Se pide:
a) Dominio de definición, cortes a los ejes y simetrías.
b) Asíntotas.
c) Intervalos de crecimiento de la función. ¿Tiene extremos la función?
d) Representación aproximada de la curva.
e) ¿Cuál será la gráfica de la curva y = x
3
x2+1
 +1?
36. [MURC] [JUN] De entre todos los números reales positivos x,y tales que x+y = 10, encontrar aquellos para los que el producto
p = x2y es máximo.
37. [MURC] [SEP] La curva de ecaución y = x3+ax2+bx+c pasa por los punto (1,0) y (0,-1) y tiene un mínimo para x = 2. Se pide:
(a) Encontrar a, b y c.
(b) Representar de forma aproximada dicha curva.
38. [MURC] [SEP] De entre todos las rectángulos de diagonal 6 2, encontrar las dimensiones del de perímetro máximo.
39. [RIOJ] [SEP] Estudia y representa la función y = e-x4.
40. [VALE] [JUN-A] Probar que el volumen de cualquier cono recto inscrito en una esfera es menor que el 30% del volumen de la
misma.
41. [VALE] [JUN-B] Hallar las constantes reales a y b para que f(x) = 
xlnx+a si x > 0
b si x = 0
senx
x
si x < 0
 sea una función continua para todo valor de
x.
42. [VALE] [JUN-B] La concentración en sangre de un fármaco después de su toma es: 
C(t) = 0'29483t+0'04253t2-0'00035t3 mg/ml,
donde t es el tiempo transcurrido en minutos. Se pide:
a) Calcular el período de tiempo durante el cual el fármaco actúa.
b) Determinar en qué instante la concentración del fármaco es máxima.
43. [VALE] [SEP-A] a) El perímetro de un sector circular de radio R es 4 m. ¿Cuántos radianes  debe medir su ángulo central para
que su área sea máxima? Nota: Perímetro = 2R+R. Área = 1
2
R2 .
b) El área de otro sector circular es 1 m2. ¿Para qué radio es mínimo su perímetro?
44. [VALE] [SEP-B] En el plano se tiene la curva y = x2+2x-1. Encontrar razonadamente las ecuaciones de las rectas que passan por el
punto (2,3) y son tangentes a dicha curva.
45. [VALE] [SEP-B] El trazado de dos canales navegables en un mapa discurre según las rectaf y = x e y = -x. Dos lanchas motoras A
y B salen al mismo tiempo de puntos situados sobre cada uno de los canales a distancias de 20 y 15 kilómetros, respectivamente,
del punto P de confluencia de ambos. La lancha A se dirige a P con velocidad de 30 km/h y la lancha B se dirige a ese mismo punto
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P con velocidad de 60 km/h. Se considera despreciable la anchura de los canales y la longitud de las lanchas y se pide calcular:
a) La distancia entre las lanchas en función del tiempo desde que inician su recorrido.
b) La distancia mínima a la que pueden estar las lanchas.
 Soluciones
1. 1, 0, -3, 2 2. a) x=0, y=x b) Creciente: -,-1  1,+ . Max: -1,-2 , min: 1,2 . c) 
1 3-1-3
1
3
-3
X
Y
 3. a) y=0 b) Creciente: 1,3 . Max: 3, 4
e3
, min: 1,0 c)
1 2 3 4
X
Y
 4. D: - 
3
k / kZ ; lim
x0
f(x) = 2 5. Max: 3
4
 ; min: 7
4
 : p.i: 
2
 y 3
2
 6. horiz: 2 m; vert: 0,5 m. 7. Max: 3
4
; min: - 
4
; p.i: 
2
 8. 23,43 ; 14,86 9.
x=y=25 10. 
1 2 3-1-2-3
1
2
-2
X
Y
 11. 0 13. (a) Creciente: (0,+); as. vert: x = 0 (b) 
1 2-1
1
-1
X
Y
 14. 1 15. 0 16. 20,65 cm de largo x 12,9 cm de alto
17. 1
3
 18. lado base: 10 cm, altura: 5 cm 19. Creciente: (0,e). Cóncava: 0,e e 20. a) -5, 8, -1 b) max: 4
3
; min: 2; Creciente: -,4
3
(2,+) 21. 3 de A y 6 de B
22. a) 2 b) y = - 1
4
x+ 3
4
 +Ln2 23. Creciente: (-3,2)(6,7)(7,+) ; Max: 2 ; Min: 3, 6 ; Cóncava: (0,4)(7,+) ; P.i: 0, 4 24. a) -{-1,1} b) (0,-1) c) y = 0; x = -1; x = 1 d)
creciente: (-,0); max: (0,-1) e) 
1 2 3-1-2-3
1
2
-2
X
Y
 25. no tiene 26. a) y = x+1 b) -1
2
,1 27. b) (1,2) 28. 1
4
 29. 
1 2 3-1-3
1
-2
X
Y
 31. 1 32. a) -1 b) no 33.
a) x+a2y-2a = 0 b) 2a,0 , 0,2
a
 c) 1 34. (2,ln4) 35. a) , (0,0), simétrica respecto al origen b) A. oblicua: y = x c) Creciente en . Sin extremos d)
1-1
-1
X
Y
 e) 
1 2-1-2
1
2
-1
X
Y
 36. 20
3
, 10
3
 37. (a) -4, 4, -1 (b) 1 2 3
1
-1
-2
X
Y
 38. Cuadrado de lado 6. 39. 
1-1
1
X
Y
 41. a = b =  42. a)
128 b) 84 43. a) 2 rad b) 1 m. 44. y =2x-1; y = 10x-17 45. a) 5 180t2-120t+25 b) 5 5
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