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Colecciones de ejercicios
Derivadas
Selectividad CCNN 2003
1. [ANDA] [JUN-B] Considera la función f: definida por f(x) = (x+3)e-x.
(a) Halla las asíntotas de la gráfica de f.
(b) Determina los extremos de f y los puntos de inflexión de su gráfica.
(c) Esboza la gráfica de f.
2. [ANDA] [SEP-A] Calcula lim
x0
ln(1+x) - senx
x·senx
, siendo ln(1+x) el logaritmo neperiano de 1+x.
3. [ANDA] [SEP-A] Sea f: la función definida por f(x) = e
x
3.
(a) ¿En qué punto de la gráfica de f la recta tangente a ésta pasa por el origen de coordenadas? Halla la ecuación de dicha recta
tangente.
(b) Calcula el área del recinto acotado que está limitado por la gráfica de f, la recta tangente obtenida y el eje de ordenadas.
4. [ANDA] [SEP-B] Estudia la derivabilidad de la función f: definida por: f(x) = 
x
1 - |x|
si x  -1 y x  1,
0 si x = -1 o x = 1.
5. [ARAG] [JUN-A] Determinar un polinomio de tercer grado sabiendo que pasa por los puntos (0,0) y (-1,1) y que los dos son
extremos y analizar la naturaleza de ambos extremos, es decir, si son máximos o mínimos.
6. [ARAG] [JUN-B] Sea la parábola f(x) = ax2+bx+c. Determinar sus coeficientes, sabiendo que:
a) Pasa por el origen de coordenadas tangencialmente a la bisectriz del primer cuadrante y tiene un extremo en x = -0,5.
b) Determinar la naturaleza del extremo anterior.
7. [ARAG] [SEP-A] Determinar el dominio, ceros y extremos de la función f(x) = xlnx.
8. [ARAG] [SEP-B] Sea la función f(x) = x·senx y sea T la recta tangente a su gráfica en x = . Determinar:
a) La ecuación de T.
b) El área encerrada entre T y los ejes coordenados.
9. [ASTU] [JUN] Sea la función y = 2 2
x
 -1.
a) Indicar su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos de inflexión y asíntotas.
b) Realizar una representación gráfica aproximada de la misma.
10. [C-LE] [JUN-A] Calcular lim
x0
ex-x-cosx
sen2x
11. [C-LE] [JUN-B] a) Halla a y b para que la función siguiente sea continua en x = 0: f(x) = 
ln(e+senx) si x < 0
x3+ax+b si x  0
.
b) Hallar a y b para que f(x) sea derivable en x = 0.
c) Calcular f' - 
2
.
12. [C-LE] [SEP-A] Calcular lim
x
x ln(x+1)-lnx
13. [C-LE] [SEP-A] Hallar los puntos de la gráfica de f(x) = x3-3x2+x en los que la tangente a la curva es paralela a la recta y = x.
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14. [C-LE] [SEP-B] Utilizando la definición de derivada, estudiar la derivabilidad de la función f(x) = x|x-1| en x = 1.
15. [C-MA] [JUN] El perímetro de la ventana del dibujo mide 6 metros. Los lados superiores forman entre sí un
ángulo de 90º.
Calcular la longitud de los lados a y b para que el área de la ventana sea máxima.
16. [C-MA] [JUN] Enuncia la regla de L'Hôpital.
Calcula el siguiente límite: lim
x0
1
L(x+1)
 - 1
x
. (L = Logaritmo neperiano)
17. [C-MA] [JUN] Determina las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal (recta perpendicular a la tangente) en el punto
de abscisa 0, a la gráfica de la función dada por f(x) = 2xex+ x
3-2
x2+4
 .
18. [C-MA] [SEP] En un semicírculo de radio 10 m se quiere inscribir un rectángulo, uno de cuyos lados esté sobre el
diámetro y el opuesto a él tenga sus extremos en la parte curva. Calcula las dimensiones del rectángulo para que su
área sea máxima.
19. [C-MA] [SEP] Dada la función f: definida por f(x) = x3-6x2+5x:
a) Halla las coordenadas del punto de inflexión.
b) Halla las coordenadas de los puntos de corte con el eje de abscisas.
c) Determina las ecuaciones de las rectas tangentes a f(x) en el punto de inflexión y en el origen de coordenadas.
20. [C-MA] [SEP] Sea la función f: dada por f(x) = x
2-4x+3 si x  3
2x-4 si x > 3
a) Define continuidad de una función en un punto.
b) ¿En qué puntos es continua la función f(x)?
c) ¿En qué puntos es derivable la función f(x)?
d) Si una función no es continua en un punto, ¿puede ser derivable en él?
21. [CANA] [JUN-A] Se pide trazar razonadamente la gráfica de una cierta función f(x) que tiene las siguientes propiedades:
a) Está definida para todo valor de x, excepto x = -4 y x = 4.
b) Es decreciente cuando x < 0 y creciente cuando x > 0.
c) La gráfica pedida es simétrica respecto al eje vertical.
22. [CANA] [JUN-B] La gráfica que aparece en la figura representa la derivada deuna
cierta función g(x).
Describir a partir de ella los intervalos de concavidad y convexidad, así como sus
puntos de inflexión y máximos y mínimos.
23. [CANA] [SEP-A] Hacer un esquema de la gráfica de una función f(x) que cumpla las siguientes propiedades:
a) Tiene dos asíntotas verticales: x = -3 y x = 3.
b) Para x   , se cumple f(x)  0.
c) f(-4) = f(4) = 25
16
.
d) Es creciente en (-,-3)(-3,0) y decreciente en (0,3)(3,+).
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e) f(0) = 0 y f'(0) = 0.
24. [CANA] [SEP-A] De todos los triángulos rectángulos cuyos catetos suman 15 cm, halla las dimensiones del que tiene área máxima.
25. [CANA] [SEP-B] De la función f(x) definida por f(x) = 
sen x , x < 0
-x2+ax+b , x  0
 determianr los valores de a y b para que resulte
derivable en todos los puntos donde esté definida.
26. [CATA] [JUN] Queremos unir el punto M en un lado de una callede
3 m de ancho con el punto N situado en el otro lado de la calle y9m
más abajo mediante dos cables rectos, uno desde M hasta unpunto
P situado al otro lado de la calle y otro desde P hasta N siguiendoel
mismo lado de la calle, según el esquema.
El coste de la instalación del cable MP es de 12 euros por metro y
el del cable PN de 6 euros por metro. ¿Qué punto P tendremos que
escoger de maneraque la conexión de M con N sea lo más
económica posible? ¿Cuál será este coste mínimo?
27. [CATA] [JUN] Calcule las ecuaciones de las dos rectas del plano que pasan por el punto P = (1,-1) y que son tangentes a la curva de
ecuación y = (x-1)2.
28. [CATA] [SEP] Un campo tiene forma de trapecio rectángulo, de bases 240 m y 400
m, y el lado perpendicular a las bases también de 400 m. Se quiere dividir tal como
indica la figura para hacer dos campos rectangulares C1 y C2. Llamemos x e y a los
catetos de uno de los triángulos rectángulos que se forman.
a) Compruebe que y = 5
2
x.
b) Utilizando la igualdad anterior, escriba la suma de las áreas de los dos campos en
función de x.
c) El campo C1 se quiere sembrar con maíz y el campo C2 con trigo. Con el maíz se
obtiene un beneficio de 0,12 euros por m2 y con el trigo un beneficio de 0,10 euros
por m2. Determine las medidas de cada uno de los campos para obtener el beneficio
máximo.
29. [CATA] [SEP] Calcule el punto de la curva y = 2+x-x2 en el que la tangente es paralela a la recta y = x.
30. [EXTR] [JUN-A] Representar gráficamente la función f(x) = ex-ex, determinando sus extremos (máximos y mínimos relativos).
¿Existe algún valor de x en que f(x) sea negativo?
31. [EXTR] [JUN-B] Determinar una recta tangente a la parábola y = 2-x2 que sea paralela a la recta de ecuación 2x+y = 4.
32. [EXTR] [SEP-A] Con un alambre de 2 metros se desea formar un cuadrado y un círculo. Determinar el lado del cuadrado y el radio
del círculo para que la suma de sus áreas sea mínima.
33. [EXTR] [SEP-B] Determinar en qué puntos es negativa la derivada de la función f(x) = exx-2.
34. [MADR] [JUN-A] Calcular los siguientes límites (donde "ln" significa logaritmo neperiano):
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a) lim
x0
 ln cos(3x)
ln cos(2x)
b) lim
x0
4+x - 4-x
4x
35. [MADR] [JUN-B] a) Dibujar la gráfica de la función g(x) = ex-x.
b) Calcular el dominio de definición de f(x) = 1
ex-x
 y su comportamiento para x 8 y x -8.
c) Determinar (si existen) los máximos y mínimos absolutos de f(x) en su dominio de definición.
36. [MURC] [JUN] Para la fabricación de determinado producto se necesita invertir dinero en contratar empleados y comprar
máquinas. El dueño de la fábrica haestimado que si compra x máquinas y contrata y empleados, el número de unidades deproducto
que podría fabricar vendría dado por la función f(x,y) = 90xy2. Cada máquina le supone una inversión de 2500 euros ycada
contrato de un nuevo empleado otra de 1500 euros. Si el empresario solo dispone de un presupuesto de 22500 euros paraeste fin,
determine el número de obreros que debe contratar y el número de máquinas que debe comprar para maximizar la producción.
37. [MURC] [JUN] Se considera la curva definida por la función f(x) = x
2
x2-4
. Se pide:
a) Dominio de definición y cortes con los ejes.
b) Simetrías.
c) Asíntotas.
d) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
e) Extremos de la función.
f) Hacer una representación aproximada de la curva.
38. [MURC] [SEP] a) Si f es una función derivable en x = a y f'(a) = 0, ¿es seguro que f representa a un extremo relativo? Justifique
la respuesta.
b) Determine dos números no negativos cuya suma sea 100 y tales que la suma de sus cuadrados sea:
i) Mínima.
ii) Máxima.
39. [MURC] [SEP] a) Definición de derivada de una función en un punto.
b) Interpretación geométrica de la derivada.
c) Encuentre las ecuaciones de las tangentes a la curva y = x3-3x+2 que son paralelas a la recta y = 9x.
40. [RIOJ] [JUN] Calcula lim
x0
(cosx+senx)1/x.
41. [RIOJ] [JUN] UNa caja con tapa y base cuadrada debe tener un volumen de 160 cm3. El precio del material utilizado para la base
es de 3 euros por cm2 y el utilizado para los lados y la tapa es de 2 euros por cm2. Calcular las dimensiones de la cja para que
resulte lo más económica posible.
42. [RIOJ] [SEP] Estudia la derivabilidad de la función f(x) = 
senx si x > 0
x2-x si x  0
43. [RIOJ] [SEP] Calcula las dimensiones del triángulo isósceles, inscrito en una circunferencia de radio 1, que tiene área máxima.
44. [VALE] [JUN-B] Sea T un triángulo de perímetro 60 cm. Uno de los lados del triángulo T mide x cm y los otros dos lados tienen la
misma longitud.
a) Deducir razonadamente las expresiones de las funciones A y f tales que:
A(x) = Área del trinángulo T ; f(x) = {A(x)}2.
Indicar, además, entre qué valores puede variar x.
b) Obtener, razonadamente, el valor de x para el que f(x) alcanza el valor máximo.
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45. [VALE] [SEP-A] En una gran pradera se tiene que vallar una zona de 400 m2, que debe tener forma de rectángulo. Cada metro de
valla cuesta 100 euros. Si x es la medida en metros de uno de sus lados, se pide:
a) Obtener razonadamente la función f tal que f(x) sea el coste de la valla, indicando entre qué valores puede variar x.
b) Deducir razonadamente el valor de x para el que la función f(x) alcanza el valor mínimo.
 Soluciones
1. Máximo en -2,e2 . Punto de inflexión en (-1,2e). 
1 2 3 4-1-3-5
1
3
5
7
X
Y
 2. -1
2
 3. (a) Punto de la gráfica: (3,e)
Recta tangente: 3y - ex = 0
 (b) 3e - 6
2
 4.  - {-1,1} 5. P(x) = 2x3+3x2; -1:
max; 0: min. 6. a) f(x) = x2+x b) mínimo 7. Dom: (0,+). Cero: x=1. Min: 1
e
,-1
e
 8. a) y = -x+2 b) 
3
2
 9. a) Dom: (0,2]; decreciente en ; p.i: 1; a.v: x = 0 b)
1 2 3 4-1
1
3
X
Y
 10. 1 11. a) b = 1, a b) b = 1; a = 1
e
 c) 0 12. 1 13. (0,0), (2,-2) 14. no 15. 3 2
1+2 2
, 6
1+2 2
 16. 1
2
 17. y = 2x- 1
2
 ; y = -1
2
x- 1
2
 18. base: 5 2;
altura: 5 2
2
 19. a) (2,-6) b) (0,0), (1,0), (5,0) c) y = -7x+8; y = 5x 20. b) -{3} c) -{3} d) no 22. cóncava en (-2,-1'5)(0'25,1'5); p.infl: -1'5; 0'25; min: -1; max: 1
24. catetos de 7,5 cm. 25. 1, 0 26. 1,73 m de la perpendicular desde M; 85,18 euros 27. y = -2x+1 ; y = 2x-4 28. b) A = -5x
2+800x+96000
2
 c) C1: 300x250; C2:
240x150 29. (0,2) 30. 
1 2 3-1
1
2
X
Y
 31. y = -2x+3 32. r = 1
+4
; l = 2
+4
 33. (0,2) 34. a) 9
4
 b) 1
8
 35. a) 
1 2-1-2
1
2
3
X
Y
 b) ; 1
e8-8
; 1
e-8+8
 c) max: (0,1) 36.
3 máquinas y 10 trabajadores. 37. a) -{-2,2} ; (0,0) b) eje OY c) y = 0; x = -2; x = 2 d) crec: (0,+) e) max: (0,0) f) 
2-2
2
-2
X
Y
 38. a) no b) 50, 50 ; 0, 100
39. c) y = 9x+18; y = 9x-14 40. e 41. 5 cm x 5 cm x 6,4 cm 42. -{0} 43. equilátero de 3 de lado 44. a) A(x) = 15x(30-x); f(x) = 225x2(30-x)2; 0< x <30 b) 15
45. f(x) = 200x+80000
x
; x > 0 b) 20
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