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Colecciones de ejercicios
Derivadas
Selectividad CCNN 2004
1. [ANDA] [JUN-A] Considerar la función f:  definida por f(x) = (x+1)(x-1)(x-2).
(a) Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1.
(b) Determinar los intervalos de concavidad y de convexidad de f. ¿Tiene puntos de inflexión la gráfica de f?
2. [ANDA] [JUN-B] Se sabe que la función f:(-1,+), definida por f(x) = 
x2-4x+3 si -1 < x < 0
x2+a
x+1
si x  0
 es continua en (-1,+).
(a) Hallar el valor de a. ¿Es f derivable en x = 0?
(b) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.
3. [ANDA] [SEP-A] Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 80 cm3. Para la tapa y la superficie
lateral se usa un material que cuesta 1 euro/m2 y para la base se emplea un material un 50% más caro. Halla las dimensiones de la
caja para que su coste sea mínimo.
1 2 3 4
1
X
Y4. [ANDA] [SEP-B] De una función f:[0,4] se sabe que f(1) = 3 y que la gráfica de su
función derivada es la que aparece en el dibujo.
(a) Halla la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1.
(b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. ¿En qué punto alcanza
la función su máximo absoluto?
c) Estudia la concavidad y convexidad de f.
5. [ARAG] [JUN-A] Tenemos que hacer dos chapas cuadradas de dos distintos materiales. Los dos materiales tienen precios
respectivamente de 2 y 3 euros por centímetro cuadrado. ¿Cómo hemos de elegir los lados de los cuadrados si queremos que el
coste total sea mínimo y si además nos piden que la suma de los perímetros de los dos cuadrados ha de ser un metro?
6. [ARAG] [JUN-B] Sea la función f(x) = exsenx. Determinar:
(a) El máximo de la función en el intervalo (0,).
(b) Ecuación de las tangentes a la gráfica en los extremos del intervalo anterior.
7. [ARAG] [SEP-A] Descomponer el número e en dos sumandos positivos de forma que la suma de los logaritmos neperianos de los
sumandos sea máxima. Calcular dicha suma.
8. [ARAG] [SEP-B] Sea el polinomio x3+bx2+cx+d.
a) Determinar los coeficientes b, c y d sabiendo que tiene extremos en x = -1 y en x = 1 y que pasa por el origen de coordenadas.
b) Estudiar la naturaleza de ambos extremos.
9. [ASTU] [JUN] Dadas las funciones f(x) = (x+1)2, g(x) = (x-1)2 y h(x) = sen x, calcula los siguientes límites:
a) lim
x0
f(x)-1
h(x)
b) lim
x0
 f(x)-1
g(x)-1
c) lim
x0
f(x)+g(x)-2
[h(x)]2
10. [ASTU] [JUN] Dibuja aproximadamente la gráfica de la función f(x) = 1- 1
x+1
 calculando su dominio de definición, sus asíntotas,
sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus máximos y mínimos, sus intervalos de concavidad y convexidad y sus puntos de
inflexión.
11. [ASTU] [SEP] Con 60 cm de alambre se construyen dos triángulos equiláteros cuyos lados miden
x e y. ¿Qué valores de x e y hacen que la suma de las áreas de los triángulos sea mínima?
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12. [C-LE] [JUN-B] Calcúlese lim
x0
1
x
 - 1
sen x
.
13. [C-LE] [SEP-A] Sea f la función dada por f(x) = x2-3|x|+2, x.
a) Estúdiese la derivabilidad de f en x = 0 mediante la definición de derivada.
b) Determínense los intervalos de monotonía de f y sus extremos relativos.
c) Esbócese la gráfica de f.
14. [C-LE] [SEP-A] Calcúlese el valor de lim
x/2
 tg(2x)
tg(6x)
.
15. [C-MA] [JUN] Un alambre de 100 metros de largo se divide en dos trozos. Con uno de los trozos se forma un cuadrado y con el
otro una circunferencia. Halla la longitud de los trozos para que la suma de las áreas del cuadrado y del círculo sea mínima.
16. [C-MA] [JUN] Dada la curva y = x
2-1
x2+1
 se pide:
a) Dominio de definición de la función y puntos de corte con los ejes, si los hay.
b) Asíntotas, si las hay.
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d) Máximos y mínimos, si los hay.
e) Una repesentación gráfica aproximada de la misma.
17. [C-MA] [JUN] Determina b y c para que la función f(x) = x
3 si x  2
-x2+bx+c si x > 2
a) Sea derivable en todos los puntos de R.
b) Calcula la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa 1.
18. [C-MA] [SEP] Considera la función siguiente: f(x) = x
3-x2 si x  1
ax+b si x > 1
a) Determina los valores de a y b para que sea derivable en todos los puntos.
b) Esboza la gráfica de la curva representativa de la función para los valores de a y b calculados.
19. [C-MA] [SEP] Expresa el número 60 como suma de tres números positivos de forma que el segundo sea doble del primero. Si el
producto de los tres es máximo, determina el valor de dicho producto.
20. [CANA] [JUN-B] Hallar las dimensiones de un depósito abierto superiormente, en forma de prisma recto de base
cuadrada, de 50 m3 de volumen, que tenga superficie mínima.
21. [CANA] [SEP-A] Discutir según los valores de m la continuidad y derivabilidad de la función f(x) = 
3-mx2 si x  1
2
mx
si x > 1
2 4 6-2-4-6
2
4
-2
-4
X
Y22. [CANA] [SEP-B] La siguiente gráfica corresponde a la función f'(x), derivada de la función f(x).
Estudiar la monotonía, concavidad-convexidad, extremos relativos y puntos de inflexión de la
función f(x) interpretando dicha gráfica.
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23. [CATA] [JUN] Considere la función f(x) = x3-3x2+2x+2.
a) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa x = 3.
b) ¿Existe alguna otra recta tangente a la gráfica de f(x) que sea paralela a la que ha hallado? Razone la respuesta y, en caso
afirmativo, halle su ecuación.
24. [CATA] [JUN] Considere la función f(x) = 1+ a
x
 + 6
x2
 donde a es un parámetro.
a) Calcule el valor del parámetro a sabiendo que f(x) presenta un extremo relativo en el punto de abscisa x = 3.
b) Este extremo relativo, se trata de un máximo o un mínimo? Razone la respuesta.
25. [CATA] [SEP] Considere la función polinómica de tercer grado f(x) = ax3+bx2+cx+d (a0).
a) Halle los valores de a, b, c y d para los cuales la función f(x) corta al eje OX en los puntos x = 0 y x =1 y presenta un mínimo
relativo en el punto x = 0.
b) Haga un esbozo de la gráfica de la función hallada y acabe de calcular los elementos necesarios para dibujarla.
26. [CATA] [SEP] La siguiente gráfica corresponde a una función f:[2,6] derivable y con derivada
continua. Haga un esbozo de la gráfica de f':(2,6) y justifique el porqué.
27. [EXTR] [JUN-A] Determinar el mayor área que puede encerrar un triángulo rectángulo cuyo lado mayor mida 1 metro.
28. [EXTR] [JUN-B] Si la gráfica de la función f(x) es: 
1 2-1-2
1
-1
X
Y
Representar aproximadamente la gráfica de la derivada f'(x).
29. [EXTR] [SEP-A] Se desea construir un paralelepípedo rectangular de 9 litros de volumen y tal que un lado
de la base sea doble que el otro. Determinar las longitudes de sus lados para que el área total de sus 6
caras sea mínima.
30. [EXTR] [SEP-B] Determinar los puntos de la curva plana y3 = 2x en que la recta tangente es perpendicular a la recta y+6x = 0.
31. [MADR] [JUN-A] Calcular la base y la altura del triángulo isosceles de perímetro 8 y área máxima.
32. [MADR] [JUN-B] Dada la función f(x) = 1-x2, se pide:
a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto a,f(a) , donde 0 < a < 1.
b) Hallar los puntos A y B en los que la recta hallada en el apartado a) corta a los ejes vertical y horizontal respectivcamente.
c) Determiar el valor de a  (0,1) para el cual la distancia entre el punto A y el punto P a,f(a) es el doble de la distancia entre el
punto B y P a,f(a) .
33. [MADR] [SEP-A] Sabiendo que una función f(x) tiene como derivada f'(x) = (x-4)2 x2-8x+7 :
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a) Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.
b) Hallr los máximos y mínimos relativos de f.
c) ¿Es el punto x = 4 un punto de inflexiónde f? Justificar razonadamente la respuesta.
34. [MURC] [JUN] De la curva de ecuación y = x
2-1
x2+2
 se pide:
a) Dominio de definición y cortes a los ejes.
b) Simetrías.
c) Asíntotas.
d) Posibles extremos de la función que define la curva.
e) Con los anteriores datos obtener una representación gráfica aproximada de la curva.
35. [MURC] [JUN] Se dispone de un hilo matélico de longitud 140 m. Se quiere dividir dicho hilo en tres trozos de forma que uno de
ellos tenga longitud doble de otro y tal que al construir con cada uno de ellos un cuadrado, la suma de las áreas de los tres
cuadrados sea mínima. Encontrar la longitud de cada trozo.
36. [MURC] [SEP] a) Definición de derivada de una función en un punto.
b) Encontrar, usando la definición, la derivada de la función f(x) = x
x2+1
 en el punto x0 = 2.
c) Encontrar la tangente a la curva y = x
x2+1
 en el punto 2,2
5
.
37. [MURC] [SEP] De entre todos los rectángulos cuya diagonal mide 10 m, encontrar las dimensiones del de área máxima.
38. [RIOJ] [JUN] De una función f:(0,2), se sabe que f'(x) = cos(x)
-x
. Obtén los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así
como los extremos relativos de f.
39. [RIOJ] [JUN] Se considera la función f: definida por: f(x) = 
-1 si x < -4
x+2 si -4  x < 2
8
x
si 2  x
. Se pide:
a) Representar gráficamente la función.
b) Estudiar la continuidad y derivabilidad de f(x).
40. [RIOJ] [JUN] Halla los extremos relativos de la función f(x) = x4-2x2+2.
Calcula también los extremos absolutos de dicha función en el intervalo [-2,2].
41. [RIOJ] [SEP] Calcula lim
x0
senx - x
tan x
.
42. [RIOJ] [SEP] Representa la gráfica de la función f(x) = 3
5
x5-x3. Para ello calcula asíntotas, intervalos de crecimiento, extremos
relativos y puntos de inflexión.
43. [VALE] [JUN-A] Encontrar razonadamente el punto de la curva y = 1
1+x2
 en el que la recta tangente a la curva tiene pendiente
máxima y calcular el valor de esa pendiente.
44. [VALE] [JUN-B] Desde un punto N de la orilla del mar, un nadador debe alcanzar una boya que flota a 3 kilómetros de la costa y
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dista 3 5 kilómetros del punto N. Si recorriendo la orilla (que se supone recta y plana), su velocidad media es de 5 kilómetros por
hora y nadando, de 3 kilómetros por hora, ¿cuánto tiempo deberá camionar hasta lanzarse al mar, para alcanzar la boya en el
menor tiempo posible?
45. [VALE] [SEP-B] Determinar razonadamente la longitud del lado de un cuadrado de área mínima cuyos vértices están situados
sobre los lados de otro cuadrado de lado 16 cm.
 Soluciones
1. (a) tangente, 2x+y-2 = 0
normal, x-2y-1 = 0
 (b) 
convexa en 2
3
 , +
cóncava en - , 2
3
 
punto de inflexión para x = 2
3
 2. (a) 3. No (b) creciente en (1,+) 3. Base: 4 cm. Altura: 5 cm 4. a) y = x+2 b) Creciente en 0,4 .
Max. abs: 4 c) Convexa: 0,1  3,4 . P. inflexión: 1 y 3. 5. 15 y 10 cm 6. (a) 3
4
 (b) y = x ; y = -ex+ex 7. e
2
 y e
2
. Suma:2-2ln2 8. a) 0, -3, 0 b) max. min. 9. a) 2
b) -1 c) 2 10. 
1 2 3-1-3
1
3
-2
X
Y
 11. 10 cm y 10 cm 12. 0 13. a) no b) Creciente: -3
2
,0  3
2
,+ ; max: (0,2); min: -3
2
,-1
4
, 3
2
,-1
4
 c) 
1 2 3-1-2-3
1
2
X
Y
 14.
1
3
 15. 56 m para el cuadrado. 16. a) Dominio: . Cortes: (-1,0), (1,0), (0,-1) b) A. horizontal: y = 1 c) Creciente en (0,+). d) Mínimo en (0,-1) e) 1 2-1
1
-2
X
Y
 17.
a) 16, -20 b) y = 3x-2. 18. a) 1, -1 b) 
1
1
-1
X
Y
 19. x, 2x, 60-3x; 64000
9
 20. base 3 50, altura 50 21. continua: m{1,2} derivable: m = 1 22. Creciente:
(-,4). Cóncava: . Máximo: x = 4. P. inflex.: no 23. a) y = 11x+25 b) y = 11x+7 24. a) -4 b) mínimo 25. a) f(x) = ax3-ax2 (a<0) 26. 2 4 6
X
Y
 27. 1
4
 28.
1 2-1
X
Y
 29. 3 3, 3 3
2
, 2
3
 30. (-4,-2), (4,2) 31. 8
3
, 4 3
3
 32. a) 2ax+y-a2-1 = 0 b) A 0,a2+1 , B a
2+1
2a
,0 c) 2
2
 33. a) crec: (-,1)(7,+) b) max: 1; min:
7 c) si 34. a) ; (-1,0),(1,0), 0,-1
2
 b) OY c) y=1 d) min: 0,-1
2
 e) 
1 2-1-2
1
-1
X
Y
 35. 30, 50, 60 36. b) -3
25
 c) 3x+25y-16 = 0 37. cuadrado de 5 2m de lado
38. creciente en 
2
,3
2
; min: 
2
; max: 3
2
 39. a) 
2 4 6-2-6
2
-4
X
Y
 b) cont: -{4}; deriv: -{-4,2} 40. min. rel. y abs: (-1,1), (1,1); max. rel: (0,2); max.abs: (-2,10), (2,10).
41. 0 42. crec: (-,-1)(1,+); p.i: 0; max: -1; min: 1; 
1-1
1
-1
X
Y
 43. - 3
3
,3
4
; 3 3
8
 44. 45 min 45. 8 2
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