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CAMPO GRAVITATORIO 
CONCEPTO 
DE CAMPO 
CONCEPTO FÍSICO DE CAMPO 
 Es una región del espacio afectada por una determinada 
magnitud que cambia con la posición. Ésta puede ser, por 
ejemplo una Tª, una fuerza… 
 
 En todos los campos “los espacios se deforman” debido a las 
fuerzas que le son introducidas. 
TIPOS DE CAMPO 
a)ESCALAR 
Si la magnitud física asociada a cada punto del 
espacio es escalar. Por ejemplo la temperatura. 
 
b) VECTORIAL 
Si la magnitud física asociada a cada punto es 
vectorial. Por ejemplo una fuerza. 
 
REPRESENTACIÓN DE UN CAMPO 
a) CAMPO ESCALAR 
Se representa mediante líneas 
equipotenciales, que son líneas 
que unen los puntos donde la 
magnitud física asociada al campo 
tiene el mismo valor. 
 
Temperatura → Isotermas 
Presión → Isobaras 
 
También se las conoce como curvas de nivel y no se cortan nunca. 
REPRESENTACIÓN DE UN CAMPO 
b) CAMPO VECTORIAL 
Se representa mediante líneas de campo, que son 
líneas que representan en cada punto la dirección 
del campo e indican la trayectoria que sigue el 
movimiento de una partícula colocada en ese 
punto del campo. 
Las líneas de campo 
(o líneas de fuerza) 
no se cortan nunca 
REPRESENTACIÓN DE UN CAMPO 
b) CAMPO VECTORIAL 
Si los campos vectoriales son conservativos podemos 
definir un potencial que es una magnitud que sólo 
depende de la posición (escalar). 
Podemos representarlas. 
 
Van a ser siempre 
perpendiculares a las 
líneas de campo. 
CAMPO 
GRAVITATORIO 
CAMPO GRAVITATORIO 
• Es una propiedad de la masa material de las partículas 
que se manifiesta como fuerza de atracción sobre otras 
partículas con masa. 
 
• Es un campo vectorial porque alrededor de la masa, lo 
que se distribuye es una magnitud vectorial (𝐹 ). 
Intensidad de Campo: (𝒈) 
 
Es la fuerza ejercida por unidad de masa. 𝑔 =
𝐹 
𝑚
 
𝑔 =
−𝐺·𝑀
𝑟2
𝑢𝑟 
𝑁
𝐾𝑔
 Vector de campo gravitatorio 
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN 
Para calcular la intensidad de campo gravitatorio creado por 
varias masas, se calcula la intensidad creada por cada una 
de ellas como si las otras no existirán. 
 
La intensidad total será la suma vectorial de las intensidades 
de cada masa. 
𝒈𝑻 = 𝒈𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
 
 
𝒈𝒊 = −
𝑮 · 𝒎𝒊
𝒓𝒊
𝟐
𝒖𝒓 
ACELERACIÓN EN UN CAMPO GRAVITATORIO 
𝐹𝐶 = 𝐺 ·
𝑀 · 𝑚
𝑅2
 
𝐹 = 𝑚 · 𝑎 
𝑚 · 𝑎 = 𝐺 ·
𝑀 · 𝑚
𝑅2
 
 
𝑎 = 𝐺 ·
𝑀
𝑅2
 
 
→ 𝑔 = 𝐺 ·
𝑀
𝑅2
 
 
LÍNEAS DE CAMPO GRAVITATORIO 
Para una sola masa, las líneas 
de campo acaban en ella. 
Para dos masa las líneas de 
campo se complican porque se 
tuercen un poco por la 
existencia de la otra masa. 
CARÁCTER CONSERVATIVO 
El trabajo que realiza una fuerza para producir un 
desplazamiento entre dos puntos A y B no depende de 
la trayectoria seguida, sólo de la posición inicial y final. 
 
(¡¡¡Gracias a Dios!!! si no las integrales serían terribles 
y mucho más habituales) 
𝑾𝑨𝑩
𝟏 = 𝑾𝑨𝑩
𝟐 
 
𝑾𝑨𝑩 = 𝑭 · 𝒅𝒓
𝑩
𝑨
 y 𝑭 =
−𝑮𝑴𝒎
𝒓𝟐
𝒖𝒓 
CARÁCTER CONSERVATIVO 
𝑾𝑨𝑩 = 𝑭 · 𝒅𝒓 · 𝐜𝐨𝐬 𝝅 = −
𝑮𝒎𝟏𝒎𝟐
𝒓𝟐
𝑩
𝑨
𝑩
𝑨
· 𝒅𝒓 = −𝑮𝒎𝟏𝒎𝟐 
𝒅𝒓
𝒓𝟐
𝑩
𝑨
 
 
𝑾𝑨𝑩 = −𝑮𝒎𝟏𝒎𝟐 ·
−𝟏
𝒓
 
𝑩
𝑨
= 𝑮𝒎𝟏𝒎𝟐 ·
𝟏
𝒓
 
𝑩
− 𝑮𝒎𝟏𝒎𝟐 ·
𝟏
𝒓
 
𝑨
 
Recordamos cómo se calcula el producto escalar de dos vectores y tenemos 
en cuenta que 𝑭 𝒚 𝒅𝒓 son siempre paralelos. 
𝑾𝑨𝑩 = 𝑮𝒎𝟏𝒎𝟐
𝟏
𝒓𝑩
−
𝟏
𝒓𝑨
 
Como el trabajo realizado por la fuerza sólo depende de 𝒓𝑨(posición 
inicial) y 𝒓𝑩(posición final) puedo decir que es CONSERVATIVO. 
VARIACIONES 
DE LA 
INTENSIDAD DE CAMPO 
CON LA 
ALTURA 
Vamos a estudiar el campo gravitatorio 
creado por una masa esférica. 
 
El estudio sirve tanto para esferas huecas 
como macizas. Se comporta como si toda la 
masa estuviera concentrada en el centro. 
1. En la superficie: 
𝒈𝟎 = −
𝑮 · 𝑴
𝑹𝟐
𝒖𝒓 
2. Lejos de la superficie, a una altura “h”: 
𝒈 = 𝑮
𝑴
𝒓𝟐
 𝒚 𝒓 = 𝑹 + 𝒉 
 
𝒈 =
𝑮𝑴
𝒓𝟐
·
𝑹𝟐
𝑹𝟐
=
𝑮𝑴
𝑹𝟐
·
𝑹𝟐
𝒓𝟐
= 𝒈𝟎 ·
𝑹𝟐
𝒓𝟐
 
𝒈 = 𝒈𝟎 ·
𝑹𝟐
𝑹 + 𝒉 𝟐
 
Como 𝑹𝟐 < 𝑹 + 𝒉 𝟐 ⇒
𝑹𝟐
𝑹+𝒉 𝟐
< 𝟏 obtenemos que siempre se cumple: 
𝒈 < 𝒈𝟎 
EJEMPLO 
¿Qué relación existe entre la intensidad del campo gravitatorio creado 
por una esfera de radio 10 m en la superficie y a una altura de 100 m? 
R = 10 m h = 100 m 
 
𝑔 = 𝑔0 ·
𝑅2
𝑅 + 𝑕 2
= 𝑔0 ·
10 𝑚 2
10 𝑚 + 100 𝑚 2
= 
= 𝑔𝑜 ·
100 𝑚2
12100 𝑚2
= 𝑔𝑜 ·
1
121
 
𝑔 =
𝑔𝑜
121
 
𝑕′ = −27′32𝑚 
EJEMPLO 
Calcular a qué altura 𝑔 =
𝑔𝑜
3
: 
𝑔 =
𝑔𝑜
3
 
𝑔 = 𝑔0 ·
100 𝑚2
100𝑚 + 20𝑕 + 𝑕2
 
1
3
𝑔𝑜 = 𝑔𝑜 ·
100 
100 + 20𝑕 + 𝑕2
 
300 = 100 + 20𝑕 + 𝑕2 𝑕 = 7′32 𝑚 
ENERGÍA 
POTENCIAL 
GRAVITATORIA 
ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA 
Como hemos demostrado que el campo 
gravitatorio es una fuerza conservativa podemos 
definir una energía potencial gravitatoria. 
 
Es una magnitud escalar cuyo valor está 
relacionado con la posición que ocupa una masa 
respecto a la masa que genera el campo. 
 
En un campo conservativo, la E. potencial es una 
magnitud cuya variación indica el trabajo que hay 
que realizar para llevar una masa de un punto a 
otro. 
ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA 
Recordamos que ya definimos que 𝑾𝑨𝑩 = 𝑮𝒎𝟏𝒎𝟐
𝟏
𝒓𝑩
−
𝟏
𝒓𝑨
 
 
y como 𝑬𝒑𝑩 = −𝑮𝒎𝟏𝒎𝟐
𝟏
𝒓𝑩
 y 𝑬𝒑𝑨 = −𝑮𝒎𝟏𝒎𝟐
𝟏
𝒓𝑨
: 
𝑾𝑨𝑩 = 𝑬𝒑𝑨 − 𝑬𝒑𝑩 = −∆𝑬𝒑 
ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA 
Diferencia de la energía potencial (¡¡¡es absurdo decir que la energía potencial en un 
punto vale x si no se pone antes un valor de referencia!!!) 
𝑬𝒑 = 𝟎 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒓 → ∞ 
donde la masa no tiene influencia sobre ningún objeto que se coloque. 
 
𝑾𝑩∞ = −∆𝑬𝒑𝑩∞ = −(𝑬𝒑∞ − 𝑬𝒑𝑩) = 𝑬𝒑𝑩 
Vamos a demostrar esta afirmación con mayor rigurosidad matemática: 
 
𝑾𝑩∞ = 𝑭
∞
𝑩
𝒅𝒓 = 𝑮𝒎𝟏𝒎𝟐 ·
𝟏
𝒓
 
∞
𝑩
= 𝑮𝒎𝟏𝒎𝟐 𝟎 −
𝟏
𝒓𝑩
= −𝑮
𝒎𝟏𝒎𝟐
𝒓𝑩
; 
𝑾𝑩∞ = 𝑬𝒑𝑩 𝒄. 𝒒. 𝒅. 
 
𝑬𝒑 = −𝑮
𝒎𝟏 · 𝒎𝟐
𝒓
; 𝑱 
ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA 
Algo que no podemos dejar de tener en cuenta es que la 
energía potencial en un punto es, por definición, negativa. 
 
Por lo tanto 𝑾𝑩∞ = 𝑬𝒑𝑩 < 𝟎 En este caso el trabajo es 
negativo, porque el objeto se mueve desde B → ∞, quiere 
salir del campo y eso tiene un coste de energía que se debe 
hacer desde fuera para conseguir mover al objeto. 
 
El caso de 𝑾∞𝑩 = −𝑬𝒑𝑩> 𝟎 En este caso el trabajo es 
positivo, porque el objeto, que se mueve desde ∞ → B, lo 
hace sólo, a favor del campo y sin necesidad de aporte 
externo de energía. 
 
ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA 
A parte de la energía potencial, que tendrá cualquier 
masa por el mero hecho de estar situada en un punto 
del campo, si la masa se mueve tendrá también tendrá 
ENERGÍA CINÉTICA: 
𝑬𝑴 = −𝑮
𝑴𝒎
𝑹
+
𝟏
𝟐
𝒎𝒗𝟐 
EN LA TIERRA 
Vamos a calcular el incremento de energía potencial gravitatoria desde 
la superficie terrestre hasta una altura “h”. 
∆𝑬𝒑𝟎→𝒉 = −
𝑮𝑴𝑻𝒎
𝑹𝑻 + 𝒉
−
−𝑮𝑴𝑻𝒎
𝑹𝑻
= 𝑮𝑴𝑻𝒎
𝟏
𝑹𝑻
−
𝟏
𝑹𝑻 + 𝒉
= 
 
Obtenemos el denominador común y simplificamos: 
 
= 𝑮𝑴𝑻𝒎
𝑹𝑻 +𝒉 − 𝑹𝑻
𝑹𝑻 𝑹𝑻 + 𝒉
= 𝑮𝑴𝑻𝒎
𝒉
𝑹𝑻
𝟐 + 𝑹𝑻𝒉
= 
 
Sacamos del paréntesis un 𝑹𝑻
𝟐 dividiendo y tenemos en cuenta que 𝒈𝟎 =
𝑮𝑴𝑻
𝑹𝑻
𝟐 : 
 
=
𝑮𝑴𝑻𝒎
𝑹𝑻
𝟐
𝒉
𝟏 + 𝒉𝑹𝑻
= 𝒈𝟎𝒎 ·
𝒉
𝟏 + 𝒉𝑹𝑻
 
EN LA TIERRA 
Podemos aproximar diciendo que la altura “h” es mucho más pequeña 
que el radio terrestre (𝑹𝑻 = 𝟔. 𝟑𝟕𝟖 𝒌𝒎), por lo tanto 
𝒉
𝑹𝑻
 → 𝟎. 
∆𝑬𝒑 = 𝒎 · 𝒈𝟎 · 𝒉 donde 𝒈𝟎 = 𝟗
′𝟖 𝒎/𝒔𝟐 
POTENCIAL 
GRAVITATORIO 
(DIFERENCIA DE POTENCIAL) 
POTENCIAL GRAVITATORIO 
El Potencial Gravitatorio (V) se define en un punto de un campo 
gravitatorio como la 𝑬𝒑 que tendrían el sistema formado por la 
masa creadora del campo y la unidad de masa situadaen ese 
punto. 
𝑽 = −𝑮
𝑴
𝑹
; 
𝑱
𝒌𝒈
 
El Potencial Gravitatorio (V) en un punto es el trabajo que 
realizan las fuerzas del campo para trasladar la unidad de masa 
desde un punto al infinito. 
POTENCIAL GRAVITATORIO 
Para una masa “m”: 
𝑬𝒑 = 𝒎 · 𝑽 
Por lo tanto, el trabajo podemos escribirlo como: 
 
𝑾𝑨𝑩 = −∆𝑬𝒑 = −∆𝑽 · 𝒎 
𝑾𝑨𝑩 = −𝒎 · 𝑽𝑩 − 𝑽𝑨 ; 𝑱 
POTENCIAL GRAVITATORIO 
Si tengo varias masas, el potencial en un punto es la suma 
escalar de los potenciales debidos a cada masa. 
En el punto p calculo el 
potencial de cada una de las 
masas (𝑽𝟏, 𝑽𝟐, … 𝑽𝒊). 
𝑽𝒑 = 𝑽𝒏
𝒊
𝒏=𝟏
 
SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES 
Las superficies equipotenciales 
son aquellas superficies en las 
cuales todos sus puntos se 
caracterizan por tener el mismo 
potencial. 
 
Para el caso de una masa “m” las 
superficies equipotenciales son 
ESFERAS CONCÉNTRICAS 
perpendiculares a las líneas de 
campo. (Lógico, ya que el campo 
gravitatorio es un campo central) 
SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES 
El sentido del campo siempre apunta hacia potenciales 
decrecientes. 
 
¡¡¡OJO!!! El valor del potencial es definido negativo, por lo que 
el valor “cero” del potencial en el infinito es el mayor valor que 
puede tomar el potencial. 
 
Es interesante observar que, ya que el campo gravitatorio es 
conservativo, cuando me muevo sobre una superficie 
equipotencial no hago ningún trabajo. 
 
𝑊 = −𝑚 · ∆𝑉 = −𝑚 · 0 = 0 
GRADIENTE DE POTENCIAL 
• Como el campo gravitatorio es perpendicular a las superficies 
equipotenciales, al movernos en dirección radial un ∆𝑟 
atravesamos superficies equipotenciales. 
 
• El gradiente de potencial entre dos puntos es una medida del 
campo gravitatorio que describe la rapidez de variación del campo 
al desplazarnos desde un punto en dirección radial. (Es como la 
pendiente de una cuesta). 
𝐺𝑟𝑎𝑑 𝑉 = 𝛻 · 𝑉 = −
∆𝑉
∆𝑟
 ⇒ 𝑔 = −
∆𝑉
∆𝑟
 
MOVIMIENTO DE 
PLANETAS Y 
SATÉLITES 
PERIODO DE REVOLUCIÓN 
a) Las órbitas son elípticas, cerradas y planas. (Radio medio a). 
Aproximamos a órbitas circulares de radio R = a. 
 
b) Los satélites están sometidos a una fuerza de atracción 
gravitatoria. Esta es una fuerza centrípeta que mantiene al 
satélite girando. 
𝐹𝑔 = 𝐹𝑐 ⇒ 𝐺
𝑀 · 𝑚
𝑅2
=
𝑚𝑣2
𝑅
 
𝑣 =
𝐺𝑀
𝑅
; 
𝑚
𝑠
 
Observamos que la velocidad del satélite no depende de la masa del 
mismo, sólo de la masa del planeta y la distancia al mismo. 
SATÉLITES GEOESTACIONARIOS 
Es un satélite que gira en el plano del ecuador terrestre. Está siempre en la 
misma posición sobre la Tierra. Es decir, el periodo de rotación de la Tierra 
y el periodo de traslación del satélite coinciden. 
 
𝑇𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑎𝑡é𝑙𝑖𝑡𝑒 = 𝑇𝑟𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 = 24 𝑕 
 
Vamos a calcular el radio de estos satélites: 
 
𝑇 = 2𝜋𝑅
𝑅
𝐺𝑀
 
 
𝑇2 =
4𝜋2𝑅3
𝐺𝑀
 
𝑅 =
𝐺𝑀𝑇2
4𝜋2
3
≈ 42300 𝑘𝑚 (∼ 36000 𝑘𝑚 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒) 
CUESTIÓN PARA LA CLASE 
Estos son tres tipos de órbitas 
 
¿puede haber más? 
VELOCIDAD DE 
ESCAPE 
VELOCIDAD DE ESCAPE 
• Es la velocidad mínima que hay que proporcionar a un cuerpo o masa que 
está sometida a un campo gravitatorio para que escape del mismo. 
• La condición de escape es que la energía total del cuerpo (una vez ha 
escapado del campo gravitatorio) sea cero. 
 
• Es decir, la velocidad de escape es aquella que anula la energía mecánica 
de un cuerpo. 
𝐸 = 𝐸𝐶 + 𝐸𝑝 =
1
2
𝑚𝑣2 − 𝐺
𝑀𝑚
𝑅
= 0 
 
1
2
𝑚𝑣2 = 𝐺
𝑀𝑚
𝑅
 
 
𝑣2 =
2𝐺𝑀
𝑅
 
𝑣𝑒 =
2𝐺𝑀
𝑅