CUARTILES DECILES Y PERCENTILES - vera palmera blanco

Vista previa del material en texto

CAPÍTU LO fRES
MEDIDAS DE POSICIÓN Y DE TENDENCIA CENTRAL 121
cEH §"§a{} §a§,c{}*.*.É** cs
Esta medida poca utllizada, se define como la media aritmética de los valores extremos que toma la
variable-
(Datos sin agrupad (Variable discreta) (Variable continua)
Ejemplo 1. Supongamos que se tiene la siguiente información, correspondiente a datos sin agrupar:
x,:2 6 5 4 6 8 12 7 6 10 Sucentrorecor:ridoserá:
¡a .V*^-* X*¡n 12 + 2 a
LP:-'22
Ejemplo 2. Su aplicación tanto en la variable discreta como en la continua, se puede observar a
continuación.
u) i"-§'ii,:"ffi
ffiL*ffi
+.:{ñ@¿r€}§*§Bwffi}
I
2
J
4
6
4
5
7
8
6
6+1C,=a1l-3,5 Cr=,2
94+46
46,1* 54 50
54"1- 62 58
62,1- 70 66
7A.1* 78 14
78,1 * 86 g2
86.r - 94 90 ,
3
B
ll
1
I
2
:70
En ninguno de los dos casos se tiene en cue*ta,
el valor que 1ofllen las frecuencias absolutas.
122 CIRO MARTÍ NÉZ BENCARDIT{OESTADÍSTICA Y MT'F§TRFO
Cájé.KY§L§§- &EC§LE§ Y á}fl &CE§Yá§,g§
Cuando la distribución está constituida por un número grande de intervalos o de marcas de clase,
haciéndose necesario calcular un promedio sobre una parte de ella, en estos casos, la distribución puede
ser distribuida en cuatro, et diez o en cien partes. En el primer caso nos referiremos a Cuartiles, en el
segundo a Deciles y en el tercero a Percentiles o Centiles.
En el primero o sea los cuartiles, se podrá obtener: Q, como primer cuartil, Qrsegundo cuartil y Q,
correspondiente al tercer cuartil.
F'7 primer cuartil, es aquel valor de la variable que supera al25oA de las observaciones y a la vez es
superado por el75oA.
El segundo cuartil, es aquel valor de la variable que supem al 50Yo de las observaciones y alavez
es superado por el 50%. Es decir, corresponde a la Mediana
En 1os deciles, el séptimo decil, es aquel valor de la variable que supera al7\Yo de las observaciones
y alavez es superado por el3}o6.
Y en los percentiles, el percenfil cuarenta, es aquel valor de la variable que supera al 40Yo de las
observaciones y a la vez es superado por el 600A.
Tal como lo mencionamos, el segundo cuafiil, el quinto decil y el percentil cincuenta, en una misma
distribución presenta el mismo resultado, siendo en los tres casos igual al de la mediana.
Datos no agrupados
Ejemplo 1. Con los siguientes datos: 16 10 4 8 12 10 8 20 4 13 12 22 16 26 20,
se pide calcular a) Primer y tercer cuartil. b) Cuarto y sexto decil y c) el 30 y 90 percentil.
a) Lo primero que se hace, es ordenar los datos de menor a mayor o viceversa.
448810 10 12 12 13 16 1620202226 n:15
a) Para el primer cuartil, aplicamos el siguiente procedimiento, muy parecido al calcular la
mediana^ es decir: I(rt l) - l(15+ l)4 T = 4" Posición Q, = tr = 8
para el tercer cuurtil: 3(¡t : 1) _ 3(l 5"+ l) :12^ posición et = x, = 2044
b) Cuarto decí{ : a@:* - a(l5 + }) = 6.4' po,sición. obseivemos que ei proceso corespondienre al'10
resultado obtenido es diferente a los dos anteriores. pues aparece con la posición de 6,4. es decir. que
debe estar e¡rtre la sexta y 1a séptima posición. siendo el valor de i0 la sexta pasición y la diferencia entre
la 7' y 6" es 1 2- I 0:2" esie resultado se mulliplica por Ia fracción 0,4, así 2(0,4):ü,8 y se 1o agregamos al
valoranteriorde 10^siendot Dq= xr= 10.8
El sexta decil, será: 
u(13 - 6(15-+ 1) = 9,6u posición. El valor correspondiente a la novenal0 l0
posición es I3 y se tiene además, 0.60i16- 13) = 0,6(3) : 1,8. Por lo tanto 4 = 14,8
cl Percetúili0 será: :0(t j t) :o(tIJ l) :A,Be posic.ión.Elvalor de la cuarta posiciór: es B,100 r00
además se tiene que, 0,8{ l0 * 8) : 1.6. Por lo tanto P,n = 9,6
CAPfTULOTRES
MEDIDAS DE POSICIóN Y DETENDENCIA CENTRAL 123
El Percentil 90 será:90({ + I) - 90(ll-+ t) =14,4o pasición.Elvalor en la posición 14 es de zz,100 t00
además, *,4(26 -72): 1,6. se tendrá q*e Prr:73,6
Datos agrupados
Etr cálculc da1*scnariiÍes, deci{es 
,2, 
percentiles es bastalrte parecido al
procedin:iei:t* qus se había utilizado para calcular la i,ledi¿tna. salv*
una peq*eña variación, al establecer la p*sición do*de se debe ubicar
l;r respectiva medida.
7.1
1. 1u.l
lü,1
l4,l
1 8,1
11 t;-. r,.;
iffiE
]t,- I
-OJJ+
-10 12 15 I
- 1,3 1* 25 1:
*18 18 43 i6
*22 10 53 :0
-16 ó 59 :4
-10 m 7s 3s
*34 B 87 32
-38 3 q* :]6
Se pide calcular:
a) Cuartil tres.Laposición se da así: lP =3(q,-0) = 61.5u posició¡t. Obseruemos que este valor44
no aparece en la columna de las frecuencias absolutas acumuladas, por tal tazón, seleccionamos
el valor inmediatamente anterior (59) como N,, y al valor inmediatamente superior teniendo a
79 como 1/. Ahora veamos las formulas a aplicar dependiendo de la variable.
Variable Discreta -Qr: yj:28. Como se observa, se toma el valor de y al frente de N.si
consideramos a las marcas de clase como variable discreta.
Variable continua. En este caso nos ubicamos al frente de los intervalos y aplicamos la fórmula
parecida alaúllizada al calular la Mediana, con una ligera modiflcación:
fln.-u I r .l
et: !, t-.1--{-Jr' |= ru* +l6t's^ ss | =ru* 1.7 =27,7I n, J L 20 I -"
Observemos que el valor de 26 fue seleccionado en el intervalo correspondiente a N
b) Decil seisDeterminamos la posiciór, u.i, §(') : ry$ : 54' Cómo este valor no aparece en la10 l0
columna de las frecuencias absolutas acumuladas, se toma a N, ,:53 y a N :59.
Ahora observemos el procedimiento a seguir en ambas variables.
YariabÍe Discrelu + Du = !, =24 {.Marcas de cl*se\.
[g_¡j = 22+ 0,66 =22,66Variable Continua --* Du = 22 + 4 L6l
c) Percentilil 80. La posición es: gg - ry$ : J2aposición. Al igual que en los dos casosl0t) r00
N -'79anteriores, se deberán aplicar los mismos procedimientos para esta tabla. N, ,= 59 y para
124 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINoESTADISTICA Y MUESTREO
Yüviable Discret{r
Varisbie Continua
* 
-yr = 2B tMsrc*s de cl*se).
lrr - sql: 26+- 
L r-] = 26 +2.6 =28,6
DrRo
4o
EJERCICIOS MISCELÁNNOS PARA RESOLVER
La gran mayoría de los ejercicios de este libro, se encuentran resueltos en el SIL.
68. Una compañía de aviación que ofrece un vuelo diario a una determinada región del país no cumplió
con el horario de llegada en los últimos 10 días de abril, con los siguientes minutos de retardo o de
anticipación (número negativo) :
Si la compañía contratara un especialista en
serían las medidas que :utilizaría?
Si el objetivo fuese mosfrar que ofrece
úllizana?
estadística pam mostrar el cumplimiento, ¿cuáles
un buen servicio (cumplimiento), ¿qué medida
Si el objetivo es mostrar un mal servicio de una compañía con la que él desea competir ¿qué
medida ttllizaria para lograrlo?
Explique brevemente:
a) Tres ventajas de la media b) Dos desventajas de la mediana
c) Dos ventajas de la moda d) ¿En qué condiciones serán iguales la media, mediana y moda?
Con los siguientes datos, se pide calcular:
a)
b)
69.
70.
1?
t)
1^
28.
36
4A
1
5l
a,J:
:1
:1ó:
n:J:
a) Media aritmética
b) Iltediana
c) Moda
d) T*rcer decil
e) Segundo suartil
l) Percentil sesenta
7r. Un grupo de 400 empleados, que tiene una compañía, se dividen en operarios y técnicos con un
salario promedio de $ 1.260.960. Los salarios promedio para cada uno de 1os grupos son de $857.300
y $ 1.320.856 respectivamente.
a) ¿Cuántos operarios y cuántos técnicos tiene la cornpañia?
b) Si el gerente establece una bonificación de S30.000 para los operarios y del 8%opara los técnicos,
¿cuál será el salario promedio para los 400 empleados de la compañía?
¿Qué es un promedio?. ¿cuáles podría mencionar?; ¿qué condiciones debe tener el promedio para
cumplir su cometido, mencione tres?
Con los datos del ejercicio N" 45, so pide oalcular: la msdia ouadrátioa, la oúbica y ol séptimo decil.
12.
CAPfTU LO ÍRES
MEDIDAS DE POSICIóN Y DETENDENCIA CENTRAL
74. Con los siguientes datos:
a) ComprobarqueM, .Mo.Mr <M2<M3
b) Suponga que al calcular la mediana, media aritmética y moda, estos resultados provienen de una
distribución de frecuencias. ¿Cuál sería su relación, es decir, simétrica o asimétrica?
Suponga que los salarios pagados a los empleados de una compañía, son como se representa a
continuación:Se pide:
a) Calcular la media, mediana y moda.
b) En su opinión. ¿Cuál de estos promedios considera más representativo?
En una fábrica de tres secciones se sabe que en la sección A, con I 20 obreros la asistencia promedio
es de 240 días al año; en la sección B, que tiene 180 operarios, la asistencia media es de 216 días al
año. Si la asistencia media en toda la fábrica es de 226,70 días. ¿cuántos obreros hay en la sección
C, donde la asistencia promedio es de 230 días al año?
Durante diez días se observó en un almacén de autos, el número de estos vendidos por su empleado
estrellá.
Cada auto vale $18.500.000 y al empleado se le paga un sueldo de $270.000 básico mensual más
el0,5oA del valor de cada auto vendido. ¿Cuál será el sueldo promedio para el vendedor estrella en
este lapso de 10 días?
Se sabe que el salario mensual promedio de los empleados de una empresa es de $1.052.000. El
total de los empleados se aumenta en20oA con relación a los que babiahasta la fecha. Los nuevos
empleados tienen salario mensual promedio igual al 36,8yo de salario promedio de los antiguos.
Un año después se hace un aumento de $57.600 a todos los empleados de la empresa. ¿Cuál será el
salario promedio de la empresa actualmente?
La siguiente es la población de 3 zonas de un Departamento en que se encuentra dividido el país
según los censos de 2001 y de 20ll
12s
75.
76.
77.
78.
79.
126 CIRO MARTf NEZ BENCARDINOESTADÍSTICA Y MUESTREO
1
2
1
.1
322.e67
2*4.9*3
345.6ü4
24*.7't6
26?.358
575.864
Calc*le la pobl*cién tatal de las tres z*nas de lDeparfamenfo para
una f,echa equidistante entrc los dos censos, suponiend* que:
a) El porcentaje {tasa} de aumentc pcbla*lonal es constante en
todo el Deparlamento.
tr) §l porcentaje (tasai de aurxento es constante en cada zo*a del
Ilepa:lamento.
Con la siguiente distribución, calcular:
a) La media, mediana y modo.
b) La media cúbica, ctadrática, armónica y geométrica.
80
8{i0 * 1.00*
1.ü00 * 1.2SS
1.200 - i.4ü*
1..10ü * i .s{}{}
x "6s0 -- 1.8{iü
5
t3
L7:
I
7
8r. Contestar verdadero si el enunciado es verdadero. En caso contrario, la palabra subrayada debe
sustituirse por una expresión con la cual el enunciado sí sea válido.
a. La media de una muestra divide los datos en dos mitades iguales: la mitad mayores y la mitad
menores que su propio valor.
b. La media armónica eslaraiz enésima del producto de los valores que toma la variable.
c. El decil ocho representa aquel valor de la variable que supera el 80% de las observaciones y es
superado por el resto 2002.
d. Una distribución o un conjunto de datos, permite el cálculo de varias medidas de tendencia
central.
e. Un promedio aplicado o calculado en un conjunto de datos provenientes de una muestra, se
denomina parámetro.
Explique brevemente los siguientes puntos:
a. Cuatro condiciones paru que los promedios puedan cumplir su cometido.
b. cuatro reglas que deben ser tenidas en cuenta para el uso de 1os promedios.
Se sabe que la media aritmética de dos números es igual a 5 y lamedia geométrica de los mismos
es igual a 4. ¿ouál es la media cúbica?
En una empresa constructora de vivienda, los jornales semanales tienen una media de $169.000.
Como una solución al conflicto laboral surgido, se proponen dos soluciones al conflicto: (a) un
aumento del 60A en el salario semanal; (b) un aumento del 4Yo, más unabonificación semanal de
$5.800 a cada obrero. ¿cuál de las dos altemativas mejora la situación del obrero?
Dos empresas tienen ocupados 600 obreros, distribuidos así, e1 30Yo enA y el resto en la empresa
B. Se sabe que el promedio de salario en esta última es de $860.000 y en A es del 200lo menos que
de B. ¿Cuál es el promedio de salarios pam el total de obreros?
Se tienen dos cursos A y B, donde el primero tiene un promedio de calificaci ón de 3o4,mientras que
en el B es de 4,2. Diga qué porcentaje de alumnos tiene A y B, si el promedio de calificación para
la suma de los dos cursos es de 3-7.
82.
83.
84.
85.
86.
CAPiTULOTRES
MEDIDAS DE POSICIóN Y DETENDENCIA CENTRAL
8'1. Se tiene que
Se pide calcular la media armónica y cúbica
88. Decir si son ciertos o falsos y por qué:
Dados los números 8,12,16,20, encontrar la media armónica, la media geométrica, la mcdia cúbica
y la media cuadrática.
Contestar ver¡ladero si el enunciado siempre es verídico. Si no 1o es, la palabra en negrilla deberá
sustituirse por una expresión con la cual el enunciado si sea válido.
a) A un grupo de valores se le puede calcular más de un promedio.
b) Un grupo de valores puede tener más de una media aritmética.
c) La media cúbica eslaraíz enésima del producto de los valores de la variable.
d) La suma de las desviaciones con respecto al origen de trabajo es igual a cero.
e) En una serie sencilla (datos sin agrupar) cuando el valor de n es impar, la mediana es igual al
valor central.
0 La media divide a los datos de una distribución en dos mitades: la mitad mayores y la mitad
menores que su propio valor.
g) La moda es el valor de la variable que más se repite.
91. Un industrial tiene dos fábricas, la primera con 200 trabajadores y la segunda con 300, además se
sabe que enpromedio el salario mensual es de $1.026.328y que los trabajadores de la segunda
fáhrica garran $86.400 menos que los de la primera fábrica.'¿Cuál es el salario promedio en cada
fá.}lrica?
92. Con los siguientes datos, n:200, con frecuencias relativas y acumuladas diferentes, ya que se trata
de dos problemas (A y B), se pide:
127
89.
90.
15,1 * 25
25,1 - 35
35,1- 45
¿§1-§§.r).
55,1 * 65
65"1 * 75
r l),*4
*,1*
n"lt
*-3*
*,21
0.r s
6
¿3
57
il*
19*
Primero trabajar con la col*mna de las frecuencias relativas (A) y
Iuego ccn las frecuencias absolut*s acumuladas. {B)
Nats: Son das ptcblemas d"i{brentes, dor.¡de las fi.ecue*cias
relativas nc correspo*den a las frecuencias absolutas scumuÍ.ctdas.
(A) {B}
75.1 - 85 *ü4 7-${"}
128 CIRO MARTfNEZBENCARDIilOESIADISTICA Y MUESTREO
93.
a) Calcular la media aritmética utilizando las fórmulas ya conocidas.
b) Calcular la mediana (variable continua). Obtener las marcas de clase y calcular la mediana.
c ) Calcular el modo (aplicando la fórmula general y las establecidas para variables continuas).
Con los datos del punto anterior se pide calcular:
a) La media geométrica
b) El modo mediante la aplicación de la siguiente formula: Mn:3M"- 2M,
c) Las medias: arménica, cuadrática y cúbica.
De tres números se sabe que su media cúbica es i657 su media aritmética es 7 y su mediana es 6.
Se pide calcular 1os valores de esos tres números.
Se sabe que la media aritmética de dos números es igual a 5 y la media geométrica de los mismos
es igual a 4. ¿Cuál es su media armónica?
Con los siguientes datos sin agrupar) calcular la media cuadrática.
97. Hallar la media ctadrática de la siguiente distribución
94.
95.
96.
98. Con los siguientes datos, calcular el
a) Yari*hle discret«
.-.--.-d" ', ¿" -":' !* :"'
23Á.+t)
ó t)
:.88
,102
'122,
t4 t*
primer cuartil, tercer cuarlil, sexto decil y el percentil 80
b) l4rriahÍe cr¡ntint¡*
3,1* g
8.t - t3
l3"l - 18lR.¡ - ?1
23.1 - 28
28.1 * 33
14
l5
I
6
7
tü