Descarga la aplicación para disfrutar aún más
Vista previa del material en texto
Elementos de Matemática y Estadística CUADERNILLO 5 UNIDAD 2: MATEMÁTICA FINANCIERA Unidad 2 – Cuadernillo 5 Contenido a. Interés compuesto......................................................................................................................3 i. Definición...................................................................................................................................3 ii. Fórmula general y fórmulas derivadas...............................................................................3 iii. Equivalencia de tasas en interés compuesto...................................................................4 iv. Tasas nominales y efectivas de interés............................................................................4 v. Descuento compuesto...........................................................................................................8 vi. Capitalización de pagos periódicos...................................................................................9 vii. Aplicación del principio de equivalencia de capitales.................................................10 viii. Cálculo de cuotas iguales................................................................................................13 2 Elementos de Matemática y Estadística UNIDAD 2: MATEMÁTICA FINANCIERA a. Interés compuesto i. Definición En este régimen, los intereses obtenidos se van su- mando al capital. Por ejemplo, tomemos un capital inicial de $20000 y una tasa del 1% mensual de interés compuesto, con capitalización mensual. Que la capitalización sea mensual significa que la operación de sumar los intereses al capital se realiza una vez por mes. El esquema es el siguiente: bit.ly/3xmwU4B Presentación Mes Capital inicial Interés Monto 0 20000 200 20200 1 20200 202 20402 2 20402 204,02 20606,02 La diferencia con el régimen simple es que, en este caso, los intereses se van sumando al capital, por lo que en cada período son mayores. 3 https://youtu.be/dBWfNqYWd7o Unidad 2 – Cuadernillo 5 ii. Fórmula general y fórmulas derivadas La fórmula general para el régimen de interés compuesto es: Cn=C0⋅(1+ i100 ) n A partir de la misma se deducen las siguientes: iii. Equivalencia de tasas en interés compuesto En este régimen no hay proporcionalidad entre las tasas periódicas y subperiódicas. En primer lugar, debemos tener en cuenta su el interés se paga en forma anticipada (al comenzar el periodo) o en forma vencida (al finalizar el mismo). La equivalencia entre las tasas de interés adelantada ia y de interés vencida iv son: ia= iv 1+ iv iv= ia 1−ia 4 Cn=C0⋅(1+ i100 ) n C0= Cn (1+ i100 ) n i=(n√CnCo−1)⋅100 n= log(C nC o) log (1+ i100) Elementos de Matemática y Estadística iv. Tasas nominales y efectivas de interés La tasa efectiva anual (TEA) aplicada una sola vez, produce el mismo efecto nominal en el período de capitalización. La tasa nominal es el interés que capitaliza más de una vez por año. Es una tasa de inte - rés simple en la que no se toma en cuenta la frecuencia de capitalización de los intereses. La tasa efectiva es aquella a la que realmente está depositado el capital. La relación entre la tasa nominal anual (TNA) y una tasa efectiva subperiódica viene dada por: TEA 100 =(1+ TNA100⋅n ) n −1 TNA 100 =n⋅[(1+TEA100 ) 1 n−1 ] TEA : tasa efectiva anual TNA : tasa nominal anual n : número de capitalizaciones en el año Las relaciones entre la TEA y la TNA con las tasas periódicas se expresan como: TNA=n⋅i 1+TEA 100 =(1+ i100 ) n i 100 = n√1+TEA100 −1 Ejemplo 1 Se realiza un plazo fijo de $51000 por 21 meses con una TEA del 14% y capitalización tri - mestral. Calcular el monto obtenido. Primero calculamos la tasa trimestral. 5 Unidad 2 – Cuadernillo 5 Datos: {TEA=14%n=123 =4 1+ 14 100 =(1+ it100) 4 it=( 4√1,14−1).100 it=3,33% Calculamos el monto, teniendo en cuenta que el tiempo debe expresarse como períodos de capitalización (en este caso, trimestres): Datos: { C0=51000n=21meses3meses =7 it=3,33% Cn=51000⋅(1+3,33100 ) 7 =64144 Ejemplo 2 Se realiza un depósito de $38000 durante 7 meses a un régimen de capitalización bimes- tral, y se obtiene un monto de $41430. Calcular la TEA aplicada. Primero calculamos la tasa bimestral: Datos: { C0=38000Cn=41430n=7meses 2meses =3,5 41430=38000⋅(1+ ib100) 3,5 3,5√4143038000=1+ ib100 ib=(1,025−1)⋅100 ib=2,5% 6 Elementos de Matemática y Estadística Calculamos la TEA: 1+ TEA 100 =(1+ ib100) 6 1+ TEA 100 =(1+ 2,5100) 6 TEA=16 bit.ly/3QI85XF Recurso Multimedia 1 Ejemplo 3 Se toma un préstamo de $48000 a una TEA del 18% con capitalización cuatrimestral, y se devuelven $61200. ¿Cuál fue el plazo del préstamo? Calculamos primero la tasa cuatrimestral: Datos: {TEA=18%n=124 =3 1+ 18 100 =(1+ ic100 ) 3 ic=( 3√1,18−1)⋅100 ic=5,67% Calculamos el tiempo: Datos: {C0=48000Cn=61200ic=5,67% 7 https://youtu.be/mLHsMubslik https://youtu.be/mLHsMubslik https://youtu.be/kX5DJXlGGgY Unidad 2 – Cuadernillo 5 Reemplazando en la fórmula general de interés compuesto, nos queda: 61200=48000⋅(1+ 5,67100 ) n 61200 48000 =(1,0567 )n Para despejar n aplicamos logaritmos en ambos miembros: Utilizando una de las propiedades de los logarit- mos, pasamos el exponente n como factor: log(6120048000)=n⋅log(1,0567) n= log(6120048000 ) log(1,0567) n=4,4 cuatrimestres n≈528 días bit.ly/3djOoHI Recurso Multimedia 2 v. Descuento compuesto El concepto es el mismo que para el régimen de interés simple: si un pago se adelanta, se descuentan los intereses correspondientes al periodo de adelantamiento: VA= VF (1+ i100 ) n 8 https://youtu.be/H7emiMAv844 Elementos de Matemática y Estadística Ejemplo Se descuenta un pagaré por $17400 con fecha 30/11, cuatro meses antes de su venci- miento. Se cobra una TEA del 24% con capitalización mensual, más el 2,8% de gastos. ¿Cuál es el importe que se recibe? Cálculo de la tasa mensual Datos: { TEA=24%n=12meses1mes =12 1+ 24 100 =(1+ im100) 12 im=( 12√1,24−1).100 im=1,81% Cálculo del valor actual Datos: { Cn=17400im=1,81%n=4 meses C0= 17400 (1+1,81100 ) 4 =16195 Cálculo del descuento por gastos: G=174000⋅2,8 100 =487,2 El importe a cobrar será: V=16195−487,2=15707,8 9 Unidad 2 – Cuadernillo 5 vi. Capitalización de pagos periódicos Cuando se depositan cantidades iguales durante periodos iguales a lo largo de un lapso determinado, el valor final obtenido se calcula como: Cn=c⋅ [(1+ i100 ) n −1] i 100 Cn = Monto acumulado c = cuota i = tasa de interés n = número de períodos Ejemplo Se realiza un ahorro de $200 por mes durante 4 años, a una TEA del 12%. Calcular el monto reunido. Calculamos la tasa mensual: im 100 =12√1+ 12100−1 im=0,95% Calculamos el monto acumulado: Datos: { im=0,95%c=200n=4años=48meses Cn=200 . (1+ 0,95100 ) 48 −1 0,95 100 Cn=12092 10 Elementos de Matemática y Estadística vii. Aplicación del principio de equivalencia de capitales El principio se aplica del mismo modo que en el régimen simple. Ejemplo (sustitución de capitales) Una empresa tiene las siguientes deudas con una entidad crediticia: Monto Fecha de vencimiento D1 76000 10/5 D2 32000 26/8 D3 59000 9/11 Se decide cancelar las tres deudas el día 15 de octubre. Si la TEA es del 17% con capitali - zación bimestral, calcular el monto del pago único, tomando como fecha focal 15/10. Calculamos la tasa bimestral ib=(6√1+ 17100−1)=2,65% Ubicamos los datos en una línea de tiempo: (En todos los casos consideramos que los meses tienen 30 días) 11 Unidad 2 – Cuadernillo 5 155 60 =2,583 bimestres 49 60 =0,817 bimestres 24 60 =0,4 bimestres D1 y D2 deben capitalizarse, y D3 debe des- contarse: VF1=76000⋅(1+2,65100 ) 2,583 =81312 VF2=32000⋅(1+2,65100 ) 0,817 =32691 El importe del pago único será de: V=81312+32691+58386=172389bit.ly/3xotezf Recurso Multimedia 3 Ejemplo (vencimiento común) Una empresa toma un préstamo en un banco el 1 de abril, por el cual se acuerdan dos cuotas de pago: una de $8600 el 1 de agosto y una de $12400 el 1 de diciembre. Si se sustituyen ambos pagos por uno solo de $20100, ¿cuándo se realizará el mismo? (TNA=18%; capitalización bimestral) Como tenemos dato la TNA, es muy sencillo calcular la tasa bimestral: TNA=i⋅n n=12 2 =6 18=i⋅6 ib=3% 12 https://youtu.be/AXjEFToKZSQ Elementos de Matemática y Estadística Ubicamos los datos en una línea de tiempo: Calculamos el valor original de la deuda: C01= 8600 (1+ 3100 ) 2 =8016,3 C02= 12400 (1+ 3100) 4 =11017,2 El valor original de la deuda es de: C0=8016, 3+11017,2=19033,5 Ahora calculamos cuanto tiempo transcurre para que dicho valor actual sea equivalente al importe de pago único: 13 Unidad 2 – Cuadernillo 5 20100=19033,5⋅(1+ 3100 ) n 20100 19033,5 =1,03n 1,056=1,03n log (1,056)=log(1,03n) log(1,056)=n⋅log (1,03) n= log(1,056) log(1,03) n=1,84 bimestres n≈110 días bit.ly/3QI6YHd Recurso Multimedia 4 El pago único deberá realizarse el 20 de julio. viii. Cálculo de cuotas iguales Un problema muy común es el cálculo del valor de las cuotas para la compra de un de- terminado bien. Supongamos que un artículo tiene un precio de $16.000 al contado. Se ofrece la compra en cuatro cuotas de igual valor, con un interés mensual del 0,9%. Si bien el valor nominal de las cuotas va a ser el mismo, cada una tendrá una proporción diferente de capital e interés. La condiciones que deben cumplirse son: • Todas las cuotas tienen el mismo valor nominal • Su actualización debe sumar el valor al contado del bien. Para resolverlo, planteamos la actualización de las cuatro cuotas 14 https://youtu.be/InyMVbHaKm0 Elementos de Matemática y Estadística 16000= c (1+ 0,9100) + c (1+ 0,9100) 2 + c (1+ 0,9100 ) 3 + c (1+ 0,9100) 4 16000=0,9911c+0,9822 c+0,9735 c+0,9648 c 16000=3,9116 c c=$ 4090 Es decir, por un bien cuyo valor al contado es $16.000, se abonan $4090 . 4 = $16360. Las cuotas tienen un interés de $360. Este interés está distribuido de manera desigual entre las cuotas, la que se paga primero tiene menor proporción de interés que la que se paga última. bit.ly/3eOYErS Recurso Multimedia 5 15 https://youtu.be/pJwArWwDiKA
Compartir