Taller 2 - Juan Felipe Martín - Juan Felipe Martín Martínez (1)

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Taller 2 
DISEÑO MECATRÓNICO 
Juan Felipe Martín Martínez 
Ing. Jersson Xavier León Medina PhD 
Universidad de San Buenaventura sede Bogotá 
 
Realice el desarrollo matemático de acuerdo con la formulación Euler Lagrange para llegar al 
sistema de ecuaciones mostrado como resultado en el siguiente péndulo doble. 
 
 
 
 
 
 
 
Realice un informe describiendo el código proporcionado en el aula virtual y realice las siguientes 
variaciones: 
a) tres conjuntos diferentes de condiciones iniciales (dejando fijos los parámetros) 
b) tres conjuntos diferentes de parámetros (dejando fijas las condiciones iniciales) 
 
DESARROLLO MATEMÁTICO 
 
Del ejercicio se nos da los valores de las componentes de la velocidad para así obtener la energía 
cinética 
 
𝑥𝑥1 = 𝐿𝐿1 sin(𝜃𝜃1) �̇�𝑥1 = 𝐿𝐿1�̇�𝜃1 cos(𝜃𝜃1) 
 
𝑦𝑦1 = −𝐿𝐿1 cos(𝜃𝜃1) �̇�𝑦1 = 𝐿𝐿1�̇�𝜃1 sin(𝜃𝜃1) 
 
Se derivan 
 
𝑥𝑥2 = 𝐿𝐿1 sin(𝜃𝜃1) + 𝐿𝐿2 sin(𝜃𝜃2) �̇�𝑥2 = 𝐿𝐿1�̇�𝜃1 cos(𝜃𝜃1) + 𝐿𝐿2�̇�𝜃2 cos(𝜃𝜃2) 
 
𝑦𝑦2 = −𝐿𝐿1 cos(𝜃𝜃1) − 𝐿𝐿2 cos(𝜃𝜃2) �̇�𝑦2 = 𝐿𝐿1�̇�𝜃1 sin(𝜃𝜃1) + 𝐿𝐿2�̇�𝜃2 sin(𝜃𝜃2) 
 
Para así obtener el valor de la componente de la velocidad 
 
�̇�𝑟12 = �𝐿𝐿1�̇�𝜃1 cos(𝜃𝜃1)�
2 + �𝐿𝐿1�̇�𝜃1 sin(𝜃𝜃1)�
2
 
 
�̇�𝑟12 = 𝐿𝐿12�̇�𝜃1
2 cos2(𝜃𝜃1) + 𝐿𝐿12�̇�𝜃1
2 sin2(𝜃𝜃1) 
 
Siendo la del primer sistema: 
�̇�𝑟12 = 𝐿𝐿12�̇�𝜃1
2
 
 
�̇�𝑟22 = �𝐿𝐿1�̇�𝜃1 cos(𝜃𝜃1) + 𝐿𝐿2�̇�𝜃2 cos(𝜃𝜃2)�
2 + �𝐿𝐿1�̇�𝜃1 sin(𝜃𝜃1) + 𝐿𝐿2�̇�𝜃2 sin(𝜃𝜃2)�
2
 
 
�̇�𝑟22 = 𝐿𝐿12�̇�𝜃1
2 cos2(𝜃𝜃1) + 2𝐿𝐿1𝐿𝐿2�̇�𝜃1�̇�𝜃2 cos(𝜃𝜃1) cos(𝜃𝜃2) + 𝐿𝐿22�̇�𝜃2
2 cos2(𝜃𝜃2) + 𝐿𝐿12�̇�𝜃1
2 sin2(𝜃𝜃1)
+ 2𝐿𝐿1𝐿𝐿2�̇�𝜃1�̇�𝜃2 sin(𝜃𝜃1) sin(𝜃𝜃2) + 𝐿𝐿22�̇�𝜃2
2 sin2(𝜃𝜃2) 
 
�̇�𝑟22 = 𝐿𝐿12�̇�𝜃1
2(cos2(𝜃𝜃1) + sin2(𝜃𝜃1)) + 2𝐿𝐿1𝐿𝐿2�̇�𝜃1�̇�𝜃2(cos(𝜃𝜃1) cos(𝜃𝜃2) + sin(𝜃𝜃1) sin(𝜃𝜃2))
+ 𝐿𝐿22�̇�𝜃2
2(cos2(𝜃𝜃2) + sin2(𝜃𝜃2)) 
 
La del segundo sistema: 
 
�̇�𝑟22 = 𝐿𝐿12�̇�𝜃1
2 + 2𝐿𝐿1𝐿𝐿2�̇�𝜃1�̇�𝜃2 cos(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2) + 𝐿𝐿22�̇�𝜃2
2
 
 
Con estos valores se procede a hallar la energía cinética, sabiendo que esta se compone de la suma 
entre los dos sistemas 
 
𝑇𝑇 = 𝑇𝑇1 + 𝑇𝑇2 
 
Siendo la del primer sistema: 
 
𝑇𝑇1 =
1
2
𝑚𝑚1�̇�𝑟12 =
1
2
𝑚𝑚1 �𝐿𝐿12�̇�𝜃1
2� 
 
La del segundo sistema: 
 
𝑇𝑇2 =
1
2
𝑚𝑚2�̇�𝑟22 =
1
2
𝑚𝑚2 �𝐿𝐿12�̇�𝜃1
2 + 2𝐿𝐿1𝐿𝐿2�̇�𝜃1�̇�𝜃2 cos(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2) + 𝐿𝐿22�̇�𝜃2
2� 
 
Y la energía total igual a 
 
𝑇𝑇 =
1
2
𝑚𝑚1 �𝐿𝐿12�̇�𝜃1
2�+
1
2
𝑚𝑚2 �𝐿𝐿12�̇�𝜃1
2 + 2𝐿𝐿1𝐿𝐿2�̇�𝜃1�̇�𝜃2 cos(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2) + 𝐿𝐿22�̇�𝜃2
2� 
 
Como el ejercicio ya da la energía potencial, se procede a obtener la ecuación de Lagrange 
 
𝑉𝑉 = 𝑚𝑚1𝑔𝑔𝐿𝐿1(1 − cos(𝜃𝜃1)) + 𝑚𝑚2𝑔𝑔�𝐿𝐿1(1− cos(𝜃𝜃1)) + 𝐿𝐿2(1 − cos(𝜃𝜃2))� 
 
Conociendo que esta se escribe de la forma 
 
𝐿𝐿 = 𝑇𝑇 − 𝑉𝑉 
 
Dando como resultado 
 
𝐿𝐿 =
1
2
𝑚𝑚1 �𝐿𝐿12�̇�𝜃1
2�+
1
2
𝑚𝑚2 �𝐿𝐿12�̇�𝜃1
2 + 2𝐿𝐿1𝐿𝐿2�̇�𝜃1�̇�𝜃2 cos(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2) + 𝐿𝐿22�̇�𝜃2
2� − 𝑚𝑚1𝑔𝑔𝐿𝐿1(1− cos(𝜃𝜃1))
−𝑚𝑚2𝑔𝑔�𝐿𝐿1(1− cos(𝜃𝜃1)) + 𝐿𝐿2(1− cos(𝜃𝜃2))� 
 
Se realizan las siguientes derivadas 𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
� 𝛿𝛿𝛿𝛿
𝛿𝛿�̇�𝜃1
� − 𝛿𝛿𝛿𝛿
𝛿𝛿𝜃𝜃1
= 𝑄𝑄𝑗𝑗1 para obtener la solución para 𝜃𝜃1 
 
𝛿𝛿𝐿𝐿
𝛿𝛿�̇�𝜃1
= 𝑚𝑚1𝐿𝐿12�̇�𝜃1 + 𝑚𝑚2𝐿𝐿12�̇�𝜃1 + 𝑚𝑚2𝐿𝐿1𝐿𝐿2�̇�𝜃2 cos(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2) 
 
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑 �
𝛿𝛿𝐿𝐿
𝛿𝛿�̇�𝜃1
� = 𝑚𝑚1𝐿𝐿12�̈�𝜃1 + 𝑚𝑚2𝐿𝐿12�̈�𝜃1 + 𝑚𝑚2𝐿𝐿1𝐿𝐿2�̈�𝜃2 cos(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2) −𝑚𝑚2��̇�𝜃1 − �̇�𝜃2�𝐿𝐿1𝐿𝐿2�̇�𝜃2 sin(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2) 
 
𝛿𝛿𝐿𝐿
𝛿𝛿𝜃𝜃1
= −𝑚𝑚2𝐿𝐿1𝐿𝐿2�̇�𝜃1�̇�𝜃2 sin(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2) −𝑚𝑚2𝑔𝑔𝐿𝐿1 sin(𝜃𝜃1) −𝑚𝑚1𝑔𝑔𝐿𝐿1 sin(𝜃𝜃1) 
 
Se unen las ecuaciones obtenidas y se simplifican 
 
𝑚𝑚1𝐿𝐿12�̈�𝜃1 + 𝑚𝑚2𝐿𝐿12�̈�𝜃1 +𝑚𝑚2𝐿𝐿1𝐿𝐿2�̈�𝜃2 cos(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2)−𝑚𝑚2��̇�𝜃1 − �̇�𝜃2�𝐿𝐿1𝐿𝐿2�̇�𝜃2 sin(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2)
+ 𝑚𝑚2𝐿𝐿1𝐿𝐿2�̇�𝜃1�̇�𝜃2 sin(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2) +𝑚𝑚2𝑔𝑔𝐿𝐿1 sin(𝜃𝜃1) +𝑚𝑚1𝑔𝑔𝐿𝐿1 sin(𝜃𝜃1) = 𝑄𝑄𝑗𝑗1 
 
𝑚𝑚1𝐿𝐿12�̈�𝜃1 + 𝑚𝑚2𝐿𝐿12�̈�𝜃1 + 𝑚𝑚2𝐿𝐿1𝐿𝐿2�̈�𝜃2 cos(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2)−𝑚𝑚2𝐿𝐿1𝐿𝐿2�̇�𝜃1�̇�𝜃2 sin(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2)
+ 𝑚𝑚2𝐿𝐿1𝐿𝐿2�̇�𝜃2
2 sin(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2) + 𝑚𝑚2𝐿𝐿1𝐿𝐿2�̇�𝜃1�̇�𝜃2 sin(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2) + 𝑚𝑚2𝑔𝑔𝐿𝐿1 sin(𝜃𝜃1)
+ 𝑚𝑚1𝑔𝑔𝐿𝐿1 sin(𝜃𝜃1) = 𝑄𝑄𝑗𝑗1 
 
Dando como resultado la siguiente ecuación 
 
(𝑚𝑚1 + 𝑚𝑚2)𝐿𝐿12�̈�𝜃1 + (𝑚𝑚1 + 𝑚𝑚2)𝑔𝑔𝐿𝐿1 sin(𝜃𝜃1) + 𝑚𝑚2𝐿𝐿1𝐿𝐿2 sin(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2) �̇�𝜃2
2 + 𝑚𝑚2𝐿𝐿1𝐿𝐿2�̈�𝜃2 cos(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2)
= 𝑄𝑄𝑗𝑗1 
 
La ecuación se iguala a 0 
 
𝐿𝐿1 �(𝑚𝑚1 + 𝑚𝑚2)𝐿𝐿1�̈�𝜃1 + (𝑚𝑚1 + 𝑚𝑚2)𝑔𝑔 sin(𝜃𝜃1) +𝑚𝑚2𝐿𝐿2 sin(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2) �̇�𝜃2
2 + 𝑚𝑚2𝐿𝐿2�̈�𝜃2 cos(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2)� = 0 
 
(𝑚𝑚1 + 𝑚𝑚2)𝐿𝐿1�̈�𝜃1 + (𝑚𝑚1 + 𝑚𝑚2)𝑔𝑔 sin(𝜃𝜃1) + 𝑚𝑚2𝐿𝐿2 sin(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2) �̇�𝜃2
2 + 𝑚𝑚2𝐿𝐿2�̈�𝜃2 cos(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2) = 0 
 
Se realiza el mismo procedimiento, ahora para 𝜃𝜃2, conociendo que el resultado final se escribirá de la 
forma 𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
� 𝛿𝛿𝛿𝛿
𝛿𝛿�̇�𝜃2
� − 𝛿𝛿𝛿𝛿
𝛿𝛿𝜃𝜃2
= 𝑄𝑄𝑗𝑗2 
 
𝛿𝛿𝐿𝐿
𝛿𝛿�̇�𝜃2
= 𝑚𝑚2𝐿𝐿1𝐿𝐿2�̇�𝜃1 cos(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2) + 𝑚𝑚2�̇�𝜃2𝐿𝐿22 
 
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑 �
𝛿𝛿𝐿𝐿
𝛿𝛿�̇�𝜃2
� = 𝑚𝑚2𝐿𝐿1𝐿𝐿2�̈�𝜃1 cos(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2)−𝑚𝑚2𝐿𝐿1𝐿𝐿2�̇�𝜃1��̇�𝜃1 − �̇�𝜃2� sin(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2) + 𝑚𝑚2�̈�𝜃2𝐿𝐿22 
 
𝛿𝛿𝐿𝐿
𝛿𝛿𝜃𝜃2
= 𝑚𝑚2𝐿𝐿1𝐿𝐿2�̇�𝜃1�̇�𝜃2 sin(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2)−𝑚𝑚2𝑔𝑔𝐿𝐿2 sin(𝜃𝜃2) 
 
Se unen las ecuaciones obtenidas y se simplifican 
 
𝑚𝑚2𝐿𝐿1𝐿𝐿2�̈�𝜃1 cos(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2) −𝑚𝑚2𝐿𝐿1𝐿𝐿2�̇�𝜃1��̇�𝜃1 − �̇�𝜃2� sin(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2) + 𝑚𝑚2�̈�𝜃2𝐿𝐿22
− 𝑚𝑚2𝐿𝐿1𝐿𝐿2�̇�𝜃1�̇�𝜃2 sin(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2) + 𝑚𝑚2𝑔𝑔𝐿𝐿2 sin(𝜃𝜃2) = 𝑄𝑄𝑗𝑗2 
 
Dando como resultado la siguiente ecuación 
 
𝑚𝑚2𝐿𝐿22�̈�𝜃2 + 𝑚𝑚2𝐿𝐿1𝐿𝐿2�̈�𝜃1 cos(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2)−𝑚𝑚2𝐿𝐿1𝐿𝐿2 sin(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2) �̇�𝜃1
2 + 𝑚𝑚2𝑔𝑔𝐿𝐿2 sin(𝜃𝜃2) = 𝑄𝑄𝑗𝑗2 
 
La ecuación se iguala a 0 
 
𝐿𝐿2 �𝑚𝑚2𝐿𝐿2 + 𝑚𝑚2𝐿𝐿1�̈�𝜃1 cos(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2)−𝑚𝑚2𝐿𝐿1 sin(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2) �̇�𝜃1
2 + 𝑚𝑚2𝑔𝑔 sin(𝜃𝜃2)� = 0 
 
𝑚𝑚2𝐿𝐿2 + 𝑚𝑚2𝐿𝐿1�̈�𝜃1 cos(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2)−𝑚𝑚2𝐿𝐿1 sin(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2) �̇�𝜃1
2 + 𝑚𝑚2𝑔𝑔 sin(𝜃𝜃2) = 0 
 
DESCRIPCIÓN EL CÓDIGO 
 
Primero se verificó que las ecuaciones obtenidas sean las mismas a las dadas por la guía de 
formulación del código, siendo las obtenidas 
 
(𝑚𝑚1 + 𝑚𝑚2)𝐿𝐿1�̈�𝜃1 + (𝑚𝑚1 + 𝑚𝑚2)𝑔𝑔 sin(𝜃𝜃1) + 𝑚𝑚2𝐿𝐿2 sin(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2) �̇�𝜃2
2 + 𝑚𝑚2𝐿𝐿2�̈�𝜃2 cos(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2) = 0 
 
𝑚𝑚2𝐿𝐿2 + 𝑚𝑚2𝐿𝐿1�̈�𝜃1 cos(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2)−𝑚𝑚2𝐿𝐿1 sin(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2) �̇�𝜃1
2 + 𝑚𝑚2𝑔𝑔 sin(𝜃𝜃2) = 0 
 
 
Como se observa que las ecuaciones obtenidas y las dadas por la guía, por lo cual, se procede a 
describir el código de Matlab dado. Empezando con la función que se encuentra al final del código, 
en donde se describen las ecuaciones halladas anteriormente 
 
 
Como se puede ver, es una función en donde entran los valores deseados que hayan sido puestos en 
𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑑𝑑(𝑑𝑑, 𝑦𝑦) y sale en una matriz llamada [𝑦𝑦𝑝𝑝𝑟𝑟𝑦𝑦𝑚𝑚𝑝𝑝]. También se puede visualizar las distintas letras 
que se detallaron en la guía del código “𝑎𝑎 = (𝑚𝑚1 + 𝑚𝑚2)𝐿𝐿1,𝑏𝑏 = 𝑚𝑚2𝐿𝐿2 cos(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2) , 𝑐𝑐 =
𝑚𝑚2𝐿𝐿1 cos(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2) ,𝑑𝑑 = 𝑚𝑚2𝐿𝐿2, 𝑝𝑝 = −𝑚𝑚2𝐿𝐿2��̇�𝜃2�
2 sin(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2)− 𝑔𝑔(𝑚𝑚1 + 𝑚𝑚2) sin(𝜃𝜃1) ,𝑓𝑓 =
𝑚𝑚2𝐿𝐿2��̇�𝜃2�
2 sin(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2)−𝑚𝑚2𝑔𝑔𝑔𝑔𝑦𝑦𝑝𝑝(𝜃𝜃2)”. Esto con el fin de declarar las variables 𝑦𝑦𝑝𝑝𝑟𝑟𝑦𝑦𝑚𝑚𝑝𝑝(𝑝𝑝) que 
serán las igualaciones dadas en la guía 
 
𝑑𝑑𝑢𝑢1
𝑑𝑑𝑑𝑑
= 𝑢𝑢2(𝑑𝑑) 
 
𝑑𝑑𝑣𝑣1
𝑑𝑑𝑑𝑑
= 𝑣𝑣2(𝑑𝑑) 
 
𝑑𝑑𝑢𝑢2
𝑑𝑑𝑑𝑑
=
𝑝𝑝𝑑𝑑 − 𝑏𝑏𝑓𝑓
𝑎𝑎𝑑𝑑 − 𝑐𝑐𝑏𝑏
 
 
𝑑𝑑𝑣𝑣2
𝑑𝑑𝑑𝑑
=
𝑎𝑎𝑓𝑓 − 𝑐𝑐𝑝𝑝
𝑎𝑎𝑑𝑑 − 𝑐𝑐𝑏𝑏
 
 
Con la función realizada, se procede a escribir las condiciones iniciales del sistema en otra sección del 
código, fuera de la función antes realizada 
 
 
 
Estos valores, se usarán en la función [𝑑𝑑,𝑦𝑦] = 𝑜𝑜𝑑𝑑𝑝𝑝45(@𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑑𝑑, [0 , 𝑑𝑑𝑔𝑔𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝], [𝑦𝑦0]), la cual se encarga 
deresolver la función, en donde se encuentran las distintas ecuaciones obtenidas, en un rango de 
𝑑𝑑𝑔𝑔𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝 = [0 50], es decir evalúa las posiciones y velocidades en un tiempo de 0 a 50, teniendo como 
condiciones iniciales, los ángulos dados. 
 
 
 
 
En esta sección del código, se calcula la posición inicial en 𝑋𝑋 y en 𝑌𝑌. Luego está la sección de las 
gráficas del movimiento, siendo la primera gráfica, la muestra del recorrido que hace el péndulo 
doble al largo del tiempo dado 
 
 
 
La siguiente gráfica, es una muestra de los valores que toma cada brazo del péndulo doble, 
demostrando que, en este sistema, el brazo que está anclado a la base, toma valores más constantes 
de posición, que en brazo anclado al punto móvil 
 
 
 
Por último, se simula el movimiento del brazo, con el cual se puede corroborar las anteriores 
gráficas. Estos datos se obtuvieron con las condiciones 𝐿𝐿1 = 1, 𝐿𝐿2 = 2,𝑚𝑚1 = 2,𝑚𝑚2 = 1,𝑔𝑔 = 9.8, 𝜃𝜃1 =
1.6, �̇�𝜃1 = 0, 𝜃𝜃2 = 2.2, �̇�𝜃2 = 0 
 
 
 
-3 -2 -1 0 1 2 3
X
-3
-2
-1
0
1
2
Y
Chaotic Double Pendulum
0 500 1000 1500
time
-10
0
10
20
30
40
50
th
et
a
1 (t=0)=2.5 and 2 (t=0)=1.0
1
2
-3 -2 -1 0 1 2 3
X
-3
-2
-1
0
1
2
3
Y
Chaotic Motion
VARIACIÓN DE PARÁMETROS 
 
Ahora se procede a realizar la variación de los parámetros, dejando las condiciones iniciales 𝜃𝜃1 =
1.6, �̇�𝜃1 = 0, 𝜃𝜃2 = 2.2, �̇�𝜃2 = 0 sin variar, y se presentará los resultados obtenidos 
 
• 𝐿𝐿1 = 4, 𝐿𝐿2 = 2,𝑚𝑚1 = 8,𝑚𝑚2 = 4,𝑔𝑔 = 9.8 
 
 
 
Con las condiciones dadas, se visualiza un sistema no tan caótico, en donde la masa 1 y la masa 2 se 
mueven sobre el mismo rango de posición, es decir un movimiento no tan caótico, tomando similitud 
a una parábola 
 
• 𝐿𝐿1 = 5, 𝐿𝐿2 = 5,𝑚𝑚1 = 6,𝑚𝑚2 = 6,𝑔𝑔 = 9.8 
 
 
 
Con estas condiciones, en donde la masa 1 y 2 valen lo mismo al igual que sus longitudes, se puede 
visualizar un movimiento caótico en donde la masa 2 tiene una posición mayoritariamente debajo 
del punto de anclaje. 
 
• 𝐿𝐿1 = 5, 𝐿𝐿2 = 10,𝑚𝑚1 = 6,𝑚𝑚2 = 10,𝑔𝑔 = 9.8 
 
 
 
-6 -4 -2 0 2 4 6
X
-6
-4
-2
0
2
Y
Chaotic Double Pendulum
0 200 400 600 800 1000
time
-3
-2
-1
0
1
2
3
th
et
a
1 (t=0)=2.5 and 2 (t=0)=1.0
1
2
-10 -5 0 5 10
X
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
Y
Chaotic Double Pendulum
0 200 400 600 800 1000
time
-40
-30
-20
-10
0
10
th
et
a
1 (t=0)=2.5 and 2 (t=0)=1.0
1
2
-15 -10 -5 0 5 10 15
X
-15
-10
-5
0
5
10
Y
Chaotic Double Pendulum
0 200 400 600 800 1000
time
-15
-10
-5
0
5
th
et
a
1 (t=0)=2.5 and 2 (t=0)=1.0
1
2
 
En este sistema, se puede visualizar que la masa 1 logra dar una vuelta completa debido a la 
interacción con la masa 2, además esta misma tiene movimientos mucho más amplios que en 
condiciones anteriores. También se puede visualizar que la masa 1 supera su zona de movimiento en 
la gráfica, llegando a valores negativos. 
 
VARIACIÓN DE CONDICIONES 
INICIALES 
 
Ahora se procede a realizar la variación de las condiciones iniciales, dejando como parámetros 𝐿𝐿1 =
1, 𝐿𝐿2 = 2,𝑚𝑚1 = 2,𝑚𝑚2 = 1,𝑔𝑔 = 9.8 sin variar, y se presentará los resultados obtenidos 
 
• 𝜃𝜃1 = 0, �̇�𝜃1 = 1.6, 𝜃𝜃2 = 0, �̇�𝜃2 = 2.2 
 
 
 
Se puede visualizar que el sistema inicia en posición 0 como se deseaba, y debido a que, si tiene una 
velocidad, el sistema logra dar círculos, sin embargo, luego de cierto tiempo, la masa 1 y la masa 2 
tienden a frenar o alterar su movimiento, debido a la diferencia de longitudes y masa. 
 
• 𝜃𝜃1 = 1.6, �̇�𝜃1 = 1.6, 𝜃𝜃2 = 1.6, �̇�𝜃2 = 1.6 
 
 
 
Al tener las dos masas la misma posición de inicio y mismas velocidades, se consigue un sistema casi 
armónico, debido a la diferencia de masa y longitud, la masa 2 tiende a frenarse o balancearse 
debido a la masa 1. 
 
-15 -10 -5 0 5 10 15
X
-15
-10
-5
0
5
10
15
Y
Chaotic Double Pendulum
0 200 400 600 800 1000 1200
time
0
20
40
60
80
100
th
et
a
1 (t=0)=0 and 2 (t=0)=0
1
2
-15 -10 -5 0 5 10 15
X
-15
-10
-5
0
5
10
15
Y
Chaotic Double Pendulum
0 200 400 600 800
time
0
20
40
60
80
th
et
a
1 (t=0)=0 and 2 (t=0)=0
1
2
 
• 𝜃𝜃1 = 3, �̇�𝜃1 = 0, 𝜃𝜃2 = 1, �̇�𝜃2 = 0 
 
 
 
Debido a la gran altura con la que comienza la masa 1, y la cercanía de la masa 2 en comenzar desde 
el reposos, se ve una “estabilidad” en la zona de movimiento de la masa 2, debido a que no llega a 
realizar rotaciones completas, sin embargo, la masa 1 si lo hace gracias a la masa 2. 
0 200 400 600 800 1000
time
-20
-15
-10
-5
0
5
th
et
a
1 (t=0)=0 and 2 (t=0)=0
1
2
-15 -10 -5 0 5 10 15
X
-15
-10
-5
0
5
10
Y
Chaotic Double Pendulum