Problemario_Calculo-49 - Eduardo Gonzalez Garcia

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Integración de funciones racionales mediante fracciones parciales 
 
Caso 1: El denominador Q(x) es un producto de factores lineales distintos. 
1.- Resuelva la siguiente integral 
∫
𝑥 + 1
𝑥3 + 𝑥2 − 6𝑥
𝑑𝑥 . . . (1) 
 
Solución: Ya que el grado del numerador es menor que el del denominador, no 
necesitamos dividir, en su lugar factorizamos el denominador como sigue 
𝑥3 + 𝑥2 − 6𝑥 = 𝑥(𝑥2 + 𝑥 − 6) = 𝑥(𝑥 + 3)(𝑥 − 2) 
Como el denominador tiene tres factores finales distintos entonces la 
descomposición en fracciones parciales del integrando posee la siguiente forma 
𝑥 + 1
𝑥3 + 𝑥2 − 6𝑥
 =
𝐴
𝑥
 + 
𝐵
 𝑥 + 3
 + 
𝐶
𝑥 − 2
 . . . (2) 
 
Para encontrar los valores de A, B y de C vamos a multiplicar ambos lados de la 
ecuación (1) por el factor x(x+3) (x-2) para obtener 
𝑥 + 1 = 𝐴(𝑥 + 3)(𝑥 − 2) + 𝐵𝑥(𝑥 − 2) + 𝐶𝑥(𝑥 + 3) 
𝑥 + 1 = (𝐴 + 𝐵 + 𝐶)𝑥2 + 𝑥(𝐴 − 2𝐵 − 3𝐶) − 6𝐴 
Esta última expresión también la podemos escribir así 
0(𝑥2) + 𝑥 + 1 = (𝐴 + 𝐵 + 𝐶)𝑥2 + (𝐴 − 2𝐵 + 3𝐶)𝑥 − 6𝐴 . . . (3) 
Como dos polinomios del mismo grado son iguales si y solo si son iguales 
coeficiente a coeficiente, entonces obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones 
en A, B y C. 
{ 
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 0
𝐴 − 2𝐵 + 3𝐶 = 1
−6𝐴 = 1
 
Al resolver este sistema obtenemos 
{
 
 
 
 𝐴 = −
1
6
 𝐵 = −
2
15
𝐶 =
3
10
 
145 
 
 Al sustituir estos valores podemos reescribir la integral (1) de la siguiente manera 
∫
𝑥 + 1
𝑥3 + 𝑥2 − 6𝑥
 𝑑𝑥 = ∫{
−
1
6
𝑥
 + 
−
2
15
𝑥 + 3
 + 
3
10
𝑥 − 2
}𝑑𝑥 
= −
1
6
∫
1
𝑥
 𝑑𝑥 −
2
15
∫
1
𝑥 + 3
𝑑𝑥 +
3
10
∫
1
𝑥 − 2
𝑑𝑥 
= −
1
6
ln|𝑥| −
2
15
ln|𝑥 + 3| +
3
10
ln|𝑥 − 2| + 𝐶. 
 
Caso II: El denominador Q(x) es un producto de factores lineales algunos de los 
cuales se repiten. 
Resuelve la siguiente integral 
∫
x4
(𝑥 − 1)3
𝑑𝑥 
Solución: Como el grado del numerador es más grande que el denominador, 
podemos efectuar la división entre estos factores para obtener 
𝑥4
(𝑥 − 1)3
=
𝑥4
𝑥3 − 3𝑥2 + 3𝑥 − 1
= (𝑥 + 3) +
6𝑥2 − 8𝑥 + 3
𝑥3 − 3𝑥2 + 3𝑥 − 1
 
= (𝑥 + 3) +
6𝑥2 − 8𝑥 + 3
(𝑥 − 1)3
 . . . (1). 
Y ahora aplicamos la descomposición en fracciones parciales a la fracción 
resultante 
6𝑥2 − 8𝑥 + 3
(𝑥 − 1)3
= 
𝐴
𝑥 − 1
 + 
𝐵
(𝑥 − 1)2
 + 
𝐶
(𝑥 − 1)3
 . . . (2). 
Para encontrar los valores de A, B y C vamos a multiplicar ambos lados de la 
ecuación (2) por el factor (𝑥 − 3)3 para obtener 
6𝑥2 − 8𝑥 + 3 = 𝐴(𝑥 − 1)2 + 𝐵(𝑥 − 1) + 𝐶 
= 𝐴𝑥2 + 𝑥(−2𝐴 + 𝐵) + 𝐴 − 𝐵 + 𝐶. 
Al igualar coeficiente a coeficiente en esta igualdad de polinomios de grado dos, 
obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones en A, B y C. 
{
𝐴 = 6
 −2𝐴 + 𝐵 = −8
 𝐴 − 𝐵 + 𝐶 = 3
. 
146 
 
Al resolver este sistema de ecuaciones obtenemos 
{
 𝐴 = 6
 𝐵 = 4
 𝐶 = 1
 
Al sustituir estos valores en la expresión (2) nos queda 
6𝑥2 − 8𝑥 + 3
(𝑥 − 1)3
=
6
𝑥 − 1
+
4
(𝑥 − 1)2
+
1
(𝑥 − 1)3
 . . . (3). 
Finalmente sustituimos la expresión (3) en la (1) con lo cual obtenemos la 
descomposición en fracciones parciales de integrando 
∫
𝑥4
(𝑥 − 1)3
𝑑𝑥 = ∫{(𝑥 + 3) +
6
𝑥 − 1
+
4
(𝑥 − 1)2
+
1
(𝑥 − 1)3
} 𝑑𝑥 
= ∫(𝑥 + 3)𝑑𝑥 + 6∫
1
𝑥 − 1
𝑑𝑥 + 4∫
1
(𝑥 − 1)2
𝑑𝑥 + ∫
1
(𝑥 − 1)3
𝑑𝑥 
=
1
2
𝑥2 + 3𝑥 + 6 ln|𝑥 − 1| −
4
𝑥 − 1
−
2
(𝑥 − 1)2
+ 𝐶. 
Caso III: El denominador Q(x) contiene factores cuadráticos irreducibles, ninguno 
de los cuales se repite. 
Resuelve la siguiente integral 
∫
𝑥4 − 2𝑥3 + 3𝑥2 − 𝑥 + 3
𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥
𝑑𝑥 
Solución: Como el grado del numerador es mayor que el gado del denominador, 
primero efectuaremos la división, con lo cual obtenemos lo siguiente 
𝑥4 − 2𝑥3 + 3𝑥2 − 𝑥 + 3
𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥
= 𝑥 −
𝑥 − 3
𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥
 
𝑥 −
𝑥 − 3
𝑥(𝑥2 − 2𝑥 + 3)
 . . . (1). 
Puesto que el factor cuadrático 𝑥2 − 2𝑥 + 3 es irreducible entonces a la fracción 
resultante se le aplican fracciones parciales (caso I y III). 
𝑥 − 3
𝑥(𝑥2 − 2𝑥 + 3)
=
𝐴
𝑥
+
𝐵𝑥 + 𝐶
𝑥2 − 2𝑥 + 3
 . . . (2). 
Para obtener los valores de A, B y C vamos a multiplicar la expresión (2) por el 
factor 𝑥(𝑥2 − 2𝑥 + 3) para obtener 
𝑥 − 3 = 𝐴(𝑥2 − 2𝑥 + 3) + 𝑥(𝐵𝑥 + 𝐶)