Problemario_Calculo-22 - Eduardo Gonzalez Garcia

Vista previa del material en texto

63 
 
Aplica el Teorema 1 para determinar los siguientes límites 
 
1.- lim
𝑥→1
(𝑥 + 1)(2𝑥 + 3) 
 
Solución. Por la parte (i), (ii) y (iii) del Teorema 1 nos queda 
 
 lim
𝑥→1
(𝑥 + 1)(2𝑥 + 3) = lim
𝑥→1
(𝑥 + 1)lim
𝑥→1
(2𝑥 + 3) 
= {lim
𝑥→1
 𝑥 + lim
𝑥→1
(1)} {lim 
𝑥→1
2𝑥 + lim
𝑥→1
(3)} 
= (1 + 1)(2 + 3) = 10 
 
2.- lim
𝑥→1
𝑥2−4
3𝑥−6
; 𝑥 ∈ ℝ 
 
Solución. Si hacemos 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4 y 𝑔(𝑥) = 3𝑥 − 6 para 𝑥 en ℝ, entonces no se 
puede usar la parte (iv) del Teorema 1 para evaluar a este límite porque 
 
 lim
𝑥→2
ℎ(𝑥) = lim
𝑥→2
(3𝑥 − 6) = 3lim
𝑥→2
𝑥 − 6 = 0 
 
Sin embargo, si 𝑥 ≠ 2, entonces se sigue que 
 
𝑥2 − 4
3𝑥 − 6
=
(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
3(𝑥 − 2)
=
𝑥 + 2
3
 
Y por lo tanto 
 
 lim
𝑥→1
𝑥2 − 4
3𝑥 − 6
= lim
𝑥→1
𝑥 + 2
3
=
1
3
lim
𝑥→1
(𝑥 + 2) =
1
3
(2 + 2) =
4
3
 
 
 
3.- lim
𝑥→1
√𝑥−1
𝑥−1
; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 0 
 
Solución. Nuevamente observamos que si hacemos 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1 y 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 1 
para 𝑥 > 0, entonces no se puede usar la parte (iv) del Teorema 1 para evaluar a 
este límite porque 
 
 lim
𝑥→1
ℎ(𝑥) = lim
𝑥→1
(𝑥 − 1) = 0 
 
Sin embargo, si 𝑥 ≠ 1, entonces 
 
64 
 
√𝑥 − 1
𝑥 − 1
=
√𝑥 − 1
(√𝑥 + 1)(√𝑥 − 1)
=
1
√𝑥 + 1
 
Y por lo tanto 
 
 lim
𝑥→1
√𝑥 − 1
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
1
√𝑥 + 1
=
lim
𝑥→1
(1)
lim
𝑥→1
(√𝑥 + 1)
=
1
2
 
4.- lim
𝑥→0+
𝑥+1
𝑥2+2
 
 
Solución. 
 
Para 𝑥 > 0 se tiene que 
 lim
𝑥→0+
𝑥 + 1
𝑥2 + 2
=
lim
𝑥→0+
(𝑥 + 1)
 lim
𝑥→0+
 (𝑥2 + 2)
= 
lim
𝑥→0+
(𝑥) + lim
𝑥→0+
(1)
lim
𝑥→0+
 (𝑥2) + lim
𝑥→0+
 (2)
=
1
2
 
 
Los siguientes ejercicios hacen uso del siguiente límite trigonométrico importante: 
 
 lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 (𝑥)
𝑥
= 1 ⇔ lim
𝑥→0
𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
= 1 
 
5.- Utilizando el hecho de que lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 (𝑥)
𝑥
= 1, prueba que lim
𝑥→0
1−𝑐𝑜𝑠 (𝑥)
𝑥
= 0. 
 
Prueba. Como 
 
1 − 𝑐𝑜𝑠 (𝑥)
𝑥
= (
1 − 𝑐𝑜𝑠 (𝑥)
𝑥
) (
1 + 𝑐𝑜𝑠 (𝑥)
1 + cos (𝑥)
) =
𝑠𝑒𝑛2(𝑥)
𝑥(1 + cos (𝑥))
= (
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥
)(
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
1 + cos (𝑥)
) 
 
 Entonces por la propiedad (ii) y (iv), las siguientes igualdades entre límites de 
funciones son equivalentes 
 
 lim
𝑥→0
1 − 𝑐𝑜𝑠 (𝑥)
𝑥
= lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛2(𝑥)
𝑥(1 + cos (𝑥))
 
 
= lim
𝑥→0
(
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥
) lim
𝑥→0
(
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
1 + cos (𝑥)
) = (1) (
0
2
) = 0 
65 
 
6.- lim
𝑥→0
{
𝑠𝑒𝑛(5𝑥)−𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
𝑥
} 
 
Solución. Observemos que este límite es de la forma indeterminada 0/0. Sin 
embargo, la expresión fraccionaria puede escribirse como 
 
 lim
𝑥→0
{
𝑠𝑒𝑛(5𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
𝑥
} = lim
𝑥→0
{
𝑠𝑒𝑛(5𝑥)
𝑥
−
𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
𝑥
} 
 
= lim
𝑥→0
{
5 𝑠𝑒𝑛(5𝑥)
5𝑥
} − lim
𝑥→0
{
3 𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
3𝑥
} 
= 5 lim
𝑥→0
{
 𝑠𝑒𝑛(5𝑥)
5𝑥
} − 3 lim
𝑥→0
{
𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
3𝑥
} 
 
Luego, si se hace 𝑢1 = 5𝑥 y 𝑢2 = 3𝑥, veremos que 𝑥 → 0 implica que 𝑢1 → 0 y 
𝑢2 → 0. En consecuencia 
 
 lim
𝑥→0
{
𝑠𝑒𝑛(5𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
𝑥
} 
= 5 lim
𝑥→0
{
 𝑠𝑒𝑛(5𝑥)
5𝑥
} − 3 lim
𝑥→0
{
𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
3𝑥
} 
= 5 lim
𝑢1→0
{
 𝑠𝑒𝑛(𝑢1)
𝑢1
} − 3 lim
𝑢2→0
{
𝑠𝑒𝑛(𝑢2)
𝑢2
} = 5 − 3 = 2 
 
7.- Evalúa el siguiente límite 
lim
𝑥→0
{
𝑥2
sec(𝑥) − 1
} 
Solución. Puesto que lim
𝑥→0
sec(𝑥) − 1 = 0, entonces nuevamente se tiene que este 
límite es de la forma indeterminada 0/0, pero podemos la fracción de un modo 
más manejable si la escribimos como 
 
𝑥2
sec(𝑥) − 1
=
𝑥2
sec(𝑥) − 1
(
sec(𝑥) + 1
sec(𝑥) + 1
) =
𝑥2(sec(𝑥) + 1)
sec2(𝑥) − 1
=
𝑥2(sec(𝑥) + 1)
tan2(𝑥)
 
 
De donde: 
 
𝑥2(sec(𝑥) + 1)
tan2(𝑥)
=
𝑥2𝑐𝑜𝑠2(𝑥)(sec(𝑥) + 1)
sen2(𝑥)
= (
𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
)
2
𝑐𝑜𝑠2(𝑥)(sec(𝑥) + 1)