Problemario_Calculo-21 - Eduardo Gonzalez Garcia

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A partir de su tabla de valores correspondientes para valores de 𝑥 cercanos a 5 
pero no iguales a 5 notamos que cuando 𝑥 se aproxima a 5 por la izquierda: 
lim
𝑥→5−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→5−
(𝑥 + 2) =7. 
Luego, cuando 𝑥 tiende a 5 por la derecha, se observa lo siguiente 
lim
𝑥→5+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→5+
(10 − 𝑥) =5. 
Y puesto que 
lim
𝑥→5−
𝑓(𝑥) ≠ lim
𝑥→5+
𝑓(𝑥) 
Entonces por la propiedad (d) podemos concluir que lim
𝑥→5
𝑓(𝑥) no existe. 
 
 𝐺𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑓(𝑥) = {
𝑥 + 2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 5
10 − 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 5
 
3. La función 
𝑓(𝑥) =
1
𝑥
; 𝑥 ≠ 0 
No está definida en 𝑥 = 0, aunque de acuerdo a nuestra definición intuitiva de 
límite de una función en un punto, esto no tiene ninguna consecuencia cuando se 
considera lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) pues sólo se toman en cuenta los valores de 𝑥 cercanos a 0, 
pero no iguales a 0. A partir de las siguientes tablas de valores, 
x 4.9 4.99 4.999 5 5.001 5.01 5.1
fx 6.9000 6.9900 6.9990 4.9990 4.9900 4.9000
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Podemos observar que los valores de la función 𝑓(𝑥) crecen sin límite en valor 
absoluto cuando 𝑥 tiende a cero. En otras palabras, cuando el valor de 1 en el 
numerador, queda dividido entre una cantidad por la izquierda del número cero, 
que es negativa y que se va haciendo cada vez más pequeña, se concluye que 
lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→0−
1
𝑥
= −∞ 
Y por lo tanto lim
𝑥→0−
1
𝑥
 no existe. 
Por otra parte, cuando el valor de 1 en el numerador, queda dividido entre una 
cantidad a la derecha del número cero, que es positiva y que se va haciendo cada 
vez más pequeña, se concluye que 
lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→0+
1
𝑥
= ∞ 
Y por lo tanto, también en este caso concluimos que lim
𝑥→0+
1
𝑥
 no existe. Finalmente, 
por la propiedad (c) para límites laterales se concluye que lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→0
1
𝑥
 no 
existe. 
 
 
 
 
 
 
x 0.1 0.01 0.001 0 0.001 0.01 0.1
fx 10 100 1000 1000 100 10
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2.2 Técnicas para determinar límites 
Álgebra de límites 
En esta sección nuestro enfoque del concepto fundamental del límite será más 
analítico, es decir, usaremos métodos algebraicos para calcular el valor del límite 
de funciones. Los Teoremas que se consideran en esta sección establecen tales 
mecanismos 
Teorema 1. Límites de una suma, producto y cociente de funciones. 
Supongamos que 𝑎 es un número real y que 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿1 𝑦 lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿2 
Entonces 
(i) lim
𝑥→𝑎
{ 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) } = lim 𝑓(𝑥) + lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿1 + 𝐿2 
(ii) lim
𝑥→𝑎
{𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)} = lim𝑓(𝑥) ∙ lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿1 ∙ 𝐿2 
(iii) lim
𝑥→𝑎
{𝛼𝑓(𝑥)} =𝛼 ∙ 𝐿1 para toda 𝛼 ∈ ℝ. 
(iv) lim
𝑥→𝑎
{𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥)} = lim𝑓(𝑥)/ lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿1/𝐿2; 𝐿2 ≠ 0 
El Teorema 1 puede plantearse coloquialmente de la siguiente manera 
 Si ambos límites existen, entonces 
 
(i) El límite de la suma es la suma de los límites 
(ii) El límite del producto es el producto de los límites 
(iii) El límite de un cociente es el cociente de los límites, en el supuesto de 
que el límite del denominador no es cero. 
 
 Observación. Si todos los límites existen, entonces el Teorema 1 también 
es válido para límites laterales; es decir, la notación 𝑥 → 𝑎 en este Teorema 
puede sustituirse por 𝑥 → 𝑎− o por 𝑥 → 𝑎+.