Problemario_Calculo-57 - Eduardo González

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𝟐.− 5𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 2 = 0 
Solución. Esta ecuación se puede factorizar así 
(cos 𝑥 + 1)(5 cos 𝑥 − 2) = 0 
Ahora buscamos los valores de 𝑥 ∈ [0,2𝜋] para los cuales 
{
𝑐𝑜𝑠 𝑥 = −1 ∗∗∗ (1)
𝑐𝑜𝑠 𝑥 =
2
5
∗∗∗ (2)
 
Como la función 𝑠𝑒𝑛 𝑥 tiene periodo 2𝜋, entonces podemos hallar todas las 
soluciones de estas ecuaciones al sumar múltiplos de 2𝜋 a las soluciones que 
están en el intervalo [0, 2𝜋]. 
Si 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = −1, el ángulo de referencia es de 𝑥 = 𝜋 ó 𝑥 = 2𝜋 − 𝜋 = 𝜋. Por otra 
parte, si 𝑐𝑜𝑠 𝑥 =
2
5
 , entonces 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 (
2
5
) ≈ 66𝑜 por lo cual el ángulo de 
referencia es 𝑥 =
11
30
𝜋 ó 𝑥 = 2𝜋 −
11
30
𝜋 =
49
30
𝜋. Por lo tanto, las soluciones de la 
ecuación dada son las siguientes 
𝑥 = 𝜋 + 2𝑛𝜋; 𝑥 =
11
30
𝜋 + 2𝑛𝜋 ó 𝑥 =
49
30
𝜋 + 2𝑛𝜋; 𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜. 
 
 
 
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𝟑.− El interés por los números críticos está relacionado con la búsqueda de 
valores extremos que puede alcanzar una función 𝑓 en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] y 
se definen de la siguiente manera. 
Dada una función 𝑓, los números 𝑐 en el dominio de 𝑓 para los cuales 𝑓′(𝑐) = 0 o 
bien 𝑓′(𝑐) no existe se denominan números críticos de 𝑓. 
Encuentra los puntos críticos de la siguiente función. 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) − 𝑠𝑒𝑛2(𝑥); 𝑥 ∈ [0,2𝜋] 
Solución. La derivada de la función 𝑓 es 
𝑓′(𝑥) = cos𝑥 − 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 = cos 𝑥 (1 − 2𝑠𝑒𝑛 𝑥) 
Debido a que 𝑓’ está bien definida para toda 𝑥 ∈ [0, 2𝜋] entonces para obtener los 
números críticos de 𝑓, resolvemos la ecuación 𝑓’(𝑥) = 0, o sea, 
cos 𝑥 (1 − 2𝑠𝑒𝑛 𝑥) = 0 ∗∗∗ (1). 
Esto se verifica cuando 
{
𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 0 ∗∗∗ (2)
1 − 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0 ∗∗∗ (3)
. 
La ecuación (2) se verifica cuando 𝑥 =
𝜋
2
 y 𝑥 =
3
2
𝜋; y cuando 𝑠𝑒𝑛 𝑥 =
1
2
, que da 𝑥 =
1
6
𝜋 y 𝑥 =
5
6
𝜋. Por lo tanto, los números 
1
6
𝜋,
1
2
𝜋,
5
6
𝜋 y 
3
2
𝜋 son números críticos de la 
función 𝑓 en el intervalo abierto (0, 2𝜋). A partir de la gráfica de la función 𝑓, 
podemos observar que los extremos 0 y 2𝜋 también son números críticos que 
corresponden a un valor mínimo 𝑓(0) = 0 y un valor máximo local 𝑓(2𝜋) = 0 en 
los extremos del intervalo. 
 
 
 
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Integración por sustitución trigonométrica 
Directrices para las sustituciones trigonométricas para integrales que contienen 
∙ √𝑎2 − 𝑢2 , 𝑎 > 0 , hacemos 𝑢 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜃 donde −
𝜋
2
 ≤ 𝜃 ≤ 
𝜋
2
 
∙ √𝑎2 + 𝑢2 , 𝑎 > 0, hacemos 𝑢 = 𝑎 tan 𝜃 donde −
𝜋
2
< 𝜃 < 
𝜋
2
 
∙ √𝑎2 − 𝑢2, 𝑎 > 0, hacemos 𝑢 = 𝑎 sec 𝜃 
Donde {
0 ≤ 𝜃 < 
𝜋
2
 𝑠𝑖 𝑢 ≥ 𝑎
 
𝜋
2
< 𝜃 ≤ 𝜋 𝑠𝑖 𝑢 ≤ −𝑎
 
Como podemos observar en cada caso, la restricción impuesta sobre la variable 𝜃 
es precisamente la que acompaña a la funcion trigonométrica inversa 
correspondiente, por ejemplo, si queremos escribir 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (
𝑢
𝑎
), etcétera. 
Después de llevar a cabo la integración en 𝜃 es necesario volver a la variable 
original x. Si se construye en triángulo rectángulo de referencia, uno donde 
𝑠𝑒𝑛𝜃 = 
𝑢
𝑎
 , 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 
𝑢
𝑎
 ó sec = 
𝑢
𝑎
 
Como se muestra en la figura, entonces las otras expresiones trigonométricas 
pueden expresarse fácilmente en términos de 𝑢. 
 
Evalúa las integrales indefinidas que se indican a continuación por medio de una 
sustitución trigonométrica 
1.− ∫
1
(𝑥2 + 6𝑥 + 13)2
𝑑𝑥 
Solución. Vamos a reescribir a esta integral así 
∫
1
[(𝑥 + 3)2 + 4]2
𝑑𝑥.