Problemario_Calculo-10 - Eduardo Gonzalez Garcia

Vista previa del material en texto

27 
 
Solución. Para que √𝑥 − 3 sea un número mayor o igual a cero, se debe tener 
que 𝑥 − 3 ≥ 0, o sea que se debe tener que 𝑥 ≥ 3 con lo cual se garantiza que 
√𝑥 − 3 ≥ 0 
Y en consecuencia 
4 + √𝑥 − 3 ≥ 4. 
El menor valor de 𝑓(𝑥) ocurre en 𝑥 = 3 y es 𝑓(3) = 4 + √0 = 4. Además, debido a 
que √𝑥 − 3 aumenta cuando el valor de x aumenta, se concluye que 𝑓(𝑥) ≥ 4. Por 
consiguiente se concluye que el rango de 𝑓 es 𝑅(𝑓) = [4,∞) y que el dominio de 
𝑓 es como 𝐷(𝑓) = [3,∞). 
 
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 14. 𝐺𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑦 = 4 + √𝑥 − 3 
Funciones polinomiales 
Una función 𝑓(𝑥) se llama función polinomial o polinomio si 𝑓 es de la forma 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0. 
En donde 𝑛 es un entero no negativo y los números 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛−1, … , 𝑎2, 𝑎1, 𝑎0 son 
constantes llamadas coeficientes del polinomio. El dominio de todo polinomio es el 
conjunto de los números reales ℝ. Si el coeficiente 𝑎𝑛 ≠ 0, entonces el grado del 
polinomio es 𝑛; por ejemplo, la siguiente función es un polinomio de grado 4. 
𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 16𝑥2 + √2. 
Una función polinomial de grado 1 tiene la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏; y se denomina 
función lineal porque su gráfica es la recta 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, cuya pendiente es 𝑎 y su 
ordenada al origen es 𝑏. Por ejemplo, la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 es una línea recta 
con pendiente 2 y ordenada al origen 𝑦 = −1. (Figura 15) 
x fx
3 4
5 5. 41
10 6. 64
15 7. 46
20 8. 12
25 8. 69
30 9. 19
28 
 
 
 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 15. 𝑦 = 2𝑥 − 1 
Una función polinomial de grado 2 posee la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐; y se llama 
función cuadrática. La gráfica de una función cuadrática es siempre una parábola 
que se obtiene mediante una transformación de la parábola 𝑦 = 𝑎𝑥2. Por ejemplo, 
𝑦 = 𝑥2 y la función 𝑦 = 𝑥2 + 6𝑥 + 10. (Figura 16) 
 
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 16. 𝐺𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑦 = 𝑥2 𝑦 𝑦 = 𝑥2 + 6𝑥 + 10 
Una función polinomial de grado 3 es de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑. Y se 
conoce como función cúbica. La figura 17 muestra la gráfica de una función 
cúbica. 
 
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 17 
 
 
x fx
3 7
2 5
1 3
0 1
1 1
2 3
3 5
29 
 
Funciones Racionales 
Una función racional 𝑓 es un cociente entre dos polinomios: 
𝑓(𝑥) =
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
 
Donde 𝑃 y 𝑄 son funciones polinomiales. El dominio consiste en todos los valores 
de 𝑥 tales que 𝑄(𝑥) ≠ 0; por ejemplo la función 
𝑓(𝑥) =
2𝑥4 − 𝑥2 + 1
𝑥2 − 4
 
Es una función racional con dominio 𝐷(𝑓) = {𝑥: 𝑥 ≠ ±2}. 
Su gráfica se indica en la figura 18. 
 
Figura 18. Grafica de la función f(x) 
 
Las funciones racionales son más difíciles de analizar y de representar 
gráficamente que las polinómicas. Por ejemplo, es importante analizar el 
comportamiento de una función racional 𝑓 = 𝑃/𝑄 en las proximidades de un cero 
de 𝑄, también lo es para valores grandes de 𝑥, tanto positivos como negativos. Si 
𝑃 y 𝑄 no tienen factores comunes, entonces los ceros de 𝑄 corresponden a 
asíntotas verticales de la gráfica de 𝑓; la existencia de asíntotas horizontales 
depende del comportamiento de 𝑓 para valores grandes de 𝑥 (esto es, cuando 𝑥 →
±∞). En la unidad temática 2 se definen y estudian en detalle ejercicios de 
asíntotas verticales y horizontales. 
En la figura 19 se muestra la gráfica de 
𝑓(𝑥) =
1
𝑥2 − 4𝑥 + 4
=
1
(𝑥 − 2)2