H-Apunte_ITE - gabriela Ruiz

Vista previa del material en texto

Taller de Enseñanza de F́ısica — Año 2005
Pablo F.J. de Leon
La intención de estas notas es introducir las herramientas necesarias para estudiar los cam-
bios de estado de un sistema. Dichos cambios de estado van a ser el tema central del curso a
partir de este momento. En dinámica, estas herramientas están relacionadas con los conceptos
de impulso, trabajo y enerǵıa de un sistema. Primero definiremos estos conceptos en un marco
general, útil para varios modelos y luego nos restringiremos al modelo de part́ıcula.
Otra cosa que haremos es empezar a trabajar con el modelo sistema de part́ıculas, el cual
será definido en la sección 7. Además, a partir de estas notas vamos a utilizar como sinónimos
las palabras objeto de estudio y sistema en estudio o, más simplemente, sistema.
Para presentar los conceptos empleados para estudiar cambios de estado es necesario emplear
una herramienta matemática conocida como función primitiva o integral. Comenzaremos estas
notas definiéndola.
1. Función primitiva
Al inicio del curso hemos revisado ciertas herramientas matemáticas (vectores, funciones,
etc.) y a medida que fuimos avanzando en la materia vimos la forma en que estas herramientas
son utilizadas en f́ısica.
Las funciones con las que hemos trabajado corresponden a dos tipos: funciones escalares y
funciones vectoriales de una variable real, y funciones de funciones. Entre las primeras repa-
samos, entre otras, a las funciones polinómicas y a las funciones trigonométricas y, entre las
segundas, sólo estudiamos una: la derivada.
Al estudiar la derivada observamos que ésta nos da información sobre la forma en que la
función se comporta, es decir, sobre cómo va cambiando respecto de la variable independiente.
Tal es aśı que identificamos a la derivada con la idea de cambio.
Nuestro problema ahora es al revés: si conocemos la forma en que se comporta una dada
función, ¿podremos encontrar la función que presenta dicho comportamiento? La respuesta a
esta pregunta es afirmativa: dada la función de una variable f(x), la función F(x) que buscamos
resulta ser la función primitiva o integral y se la encuentra por medio de una operación
conocida como integración. Esta operación se representa:
F(x) =
∫
f(x)dx+ c
Dada, entonces, la función f(x) decimos que F(x) es su primitiva si se verifica:
F(x) =
∫
f(x)dx+ c ⇔ dF(x)
dx
= f(x)
A la función aśı encontrada se la denomina primitiva o integral indefinida debido a la
presencia de la constante de integración c. Esta constante aparece debido a que, como vimos
al estudiar la derivada, cualquier familia de funciones que difieren sólo en una constante tienen
la misma función derivada1. Definida en esta forma, la integración no es función2, ya que no
cumple con la condición de unicidad, de alĺı que la función encontrada se denomina integral
1Recordar que la derivada de una constante es cero.
2Una dada relación es función si cumple con las condiciones de existencia y unicidad.
1
indefinida. Este problema se soluciona calculando el valor de la constante de integración c, lo
que se puede hacer a partir del valor de la función F(x) en un punto.
Relacionada con esta función está la integral definida3, cuyo resultado es un número:
F =
∫ x=b
x=a
f(x)dx =
∫ b
a
f(x)dx = [F(x)]ba = F(b)−F(a).
En esta expresión a y b son los denominados extremos de integración.
Por último, podemos decir que para realizar una integración se utiliza una tabla, que no es
otra que la tabla de derivar, pero léıda al revés.
2. El concepto de estado
Muchas veces, al leer un texto espećıfico de una determinada disciplina, habremos notado
que el uso que se hace de algunas palabras no es el mismo que el que se hace en el hablar
cotidiano4. Esto es, el significado de una palabra puede tener poco o nada que ver con el que
uno le suele dar; interpretar correctamente qué pretende significar depende fuertemente del
contexto en el que se encuentra. En general, en ciencias, el significado de una determinada
palabra o expresión está ligada a una definición que es muy precisa y que indica, entre otras
cosas, el contexto en que se debe usar dicha palabra. Tal es el caso de la palabra estado.
En el uso diario de esta palabra, entre otros significados, podemos estar referiéndonos a una
determinada estructura poĺıtica organizada de cierta forma, o bien, a un dado modo de estar.
Ejemplos de esto último están dados por las frases “estoy bien”, “estoy alegre”, “estoy enfermo”,
etc. Resulta claro, además, que la definición de enfermedad depende del tipo de médico que
la diagnostique. Para un médico cĺınico una persona puede estar en perfecto estado de salud,
mientras que para un psiquiatra, la misma persona, no sólo no está saludable, sino que tal vez
debeŕıa estar reclúıda en un establecimiento especializado. En este último ejemplo vemos que
las variables que determinan el estado de salud no son las mismas para los dos especialistas que
observaron al paciente. Por otro lado, cuando hablamos de tener gripe, estar engripados significa
hablar de un cuadro cĺınico caracterizado por una elevada temperatura corporal, generalmente
acompañada por sudor fŕıo, mareos, dolor de cabeza, etc.
En f́ısica, cuando usamos el término estado, le damos un significado similar al de este
último ejemplo: nos referimos a un conjunto de variables que caracterizan completamente a
un determinado sistema. A estas variables las llamamos variables de estado. Como en el cita-
do ejemplo de los médicos, la elección de las variables de estado apropiadas para el estudio
de un determinado sistema depende de lo que se esté estudiando. Por ejemplo, cuando se
está realizando un estudio cinemático del movimiento de un sistema, las variables apropiadas
serán la posición y la velocidad, siendo irrelevante la cantidad de movimiento.
Por último, cuando se hable de estado de un sistema hay que tener en cuenta el contexto,
ya que es muy común confundir estado con estado de agregación. Si bien este empleo de la pala-
bra estado tiene una acepción similar a la que le damos, al hablar de estado de agregación sólo
estamos especificando la forma en que se encuentra un determinado material (sólido, ĺıquido,
gaseoso o plasma), sin agregar nada respecto de si está en equilibrio, movimiento, reposo u otro
estado f́ısico. Como vemos, el empleo, en f́ısica, del término estado es mucho más amplio que
el sólo describir su estado de agregación.
3Los detalles de esta definición y su relación con la integral indefinida se pueden encontrar en cualquier texto
de cálculo diferencial e integral.
4Por ejemplo, la operación de derivar no es la misma para alguien que está resolviendo problemas de cálculo
que para alguien que está piloteando un velero.
2
3. Procesos
Durante el curso, hemos estudiado algunos sistemas, especificando las variables de estado
correspondientes: posición y velocidad en el caso de cinemática, y posición y cantidad de mo-
vimento en el caso de dinámica. Esto nos permitió definir los estados de reposo, movimiento y
equilibrio. Llegó el momento, entonces, de estudiar los cambios de estado de un sistema.
Estos cambios de estados se producen debido a que se lleva a cabo un proceso entre el
entorno y el sistema en estudio. En otras palabras, proceso es todo aquello que hace que un
sistema cambie de estado.
Ahora bien, cuando un sistema cambia de estado ocurren ciertas modificaciones, tanto en
el sistema en estudio como en el entorno. También se denomina proceso a la totalidad de las
modificaciones que se producen cuando un sistema cambia de estado.
Durante un proceso, entonces, el sistema pasa desde un estado inicial a uno final atravesando
una sucesión ordenada de estados intermedios que pueden o no ser de equilibrio. Al estudiar
un proceso, centramos nuestra atención a lo que le pasa al sistema en estudio.
En estas notas vamos a estudiar dos procesos particulares: impulso y trabajo.
3.1. Impulso
Es el primer procesoque vamos a estudiar y lo haremos a partir de lo visto en dinámica. Al
presentar la segunda ley de Newton,
dp
dt
= F, (1)
que relaciona la variación temporal de la cantidad de movimiento p de un sistema con el accionar
del entorno (a través de la fuerza resultante F), hicimos notar varias cosas:
el sistema de referencia elegido debe ser inercial;
el sistema en estudio está separado del entorno o medio ambiente por medio de una
frontera, elegida a conveniencia, que puede o no coincidir con el ĺımite f́ısico del objeto
que se estudia;
dicha frontera está representada, en f́ısica, por el signo igual de la expresión matemática5
anterior; y
los cambios de estado del sistema se deben a la acción del entorno sobre el mismo.
En el caso que nos atañe ahora, estas consideraciones también son válidas y deberemos tener
en cuenta (como siempre) que no todos los signos igual van a representar fronteras.
Consideremos, por ejemplo, a un objeto A que interacciona con otro B, durante un determi-
nado tiempo. Es fácil calcular el cambio de estado de B, que está caracterizado por un cambio
en su cantidad de movimiento p. De la segunda ley:
dp = Fdt∫ pf
pi
dp =
∫ tf
ti
Fdt
∆p = I =
∫ tf
ti
Fdt (2)
5En estas notas vamos a respetar la convención de mantener las variables del sistema a la izquierda del signo
igual que representa la frontera.
3
Aqúı los sub́ındices i y f indican que los valores de las variables subindicadas se deben
tomar en los estados iniciales y finales respectivamente. Decimos entonces que el cambio de
estado del sistema B, dado por el cambio en la cantidad de movimiento (∆p) del mismo, es
producido por el impulso I que ejerce el entorno (objeto A) sobre dicho sistema. Nótese que el
primer signo igual de (2) representa la frontera del sistema, mientras que el segundo signo de
igualdad corresponde a una definición (la de impulso como una integral).
3.2. Trabajo
Otra situación en la cual se presenta un cambio de estado tiene que ver con objetos que
realizan acciones sobre el sistema mientras éste se está desplazando. En este caso introducimos
una nueva magnitud que permite calcularlo, llamada trabajo (L) y que se define:
L =
∫ rf
ri
F · dr =
∫ rf
ri
F dr cos(F̂dr) (3)
Como se puede observar, en esta definición está involucrado el producto escalar entre dos
vectores que forman un ángulo F̂dr entre śı: la fuerza F que actúa sobre el sistema y el des-
plazamiento infinitesimal dr llevado a cabo por el punto de aplicación de la fuerza F sobre
el sistema. Si el sistema es modelado como part́ıcula el punto de aplicación de la fuerza es la
misma part́ıcula y, entonces, el desplazamiento considerado es el del sistema.
Es fácil ver, a partir de la definición (3), que:
el trabajo es una magnitud escalar;
sólo realiza trabajo sobre el sistema la componente de la fuerza paralela al desplazamiento;
si la fuerza es normal al desplazamiento, el trabajo realizado por la misma es nulo; y
dependiendo del ángulo entre la fuerza actuante y el desplazamiento, el trabajo puede ser
positivo o negativo. Si es negativo (L < 0), el sistema realizó trabajo sobre el entorno; en
cambio, si es positivo (L > 0), fue el entorno el que hizo trabajo sobre el sistema.
Vale en este momento aclarar que la definición, muy común en textos de escuelas de en-
señanza media–secundarias–EGB–polimodal, que establece que el trabajo de una fuerza es el
producto de la fuerza por la distancia en la que actúa no es del todo correcta y, además, pierde
información aún cuando la fuerza y el desplazamiento sean colineales. En efecto, como se puede
demostrar fácilmente a partir de (3) esta definición sólo es válida para el caso en el cual el
desplazamiento es rectiĺıneo y la fuerza es constante y paralela al mismo.
Por otro lado, debemos tener siempre presente que, cuando nos referimos a fuerzas que
realizan un trabajo o ejercen un impulso, lo que produce el cambio de estado es la acción de
objetos sobre nuestro sistema en estudio. Por esto, no debemos olvidarnos que las fuerzas son
los elementos con los cuales modelamos la interacción y no los que generan el cambio de estado.
3.3. Potencia
Históricamente, el concepto de potencia se desarrolló antes que el de trabajo, con el fin de
determinar qué tipo de máquinas eran más eficientes para desarrollar una dada tarea.
Tales determinaciones se realizaban comparando el tiempo en que dos máquinas realizaban
el mismo trabajo, o bien, cuál máquina desarrollaba un mayor trabajo en el mismo intervalo
de tiempo. La máquina más eficiente era la que desarrollaba mayor potencia.
4
De lo dicho, se puede definir a la potencia como el trabajo realizado en un dado intervalo
de tiempo. Esto es, durante un intervalo de tiempo ∆t en el que se realizó un trabajo ∆L, se
puede calcular la potencia media P según:
P = ∆L
∆t
Ahora bien, si consideramos un trabajo infinitesimal dL hecho sobre el objeto en estudio en
el intervalo infinitesimal dt, la expresión matemática que define potencia instantánea P es:
P = dL
dt
, (4)
es decir, la potencia instantánea P que desarrolla un objeto es la “rapidez” con la cual este
objeto realiza un dado trabajo sobre nuesto sistema.
A partir de su definición, también podemos calcular la potencia instantánea de la siguiente
forma:
P(t) = dL
dt
= F(t) · dr
dt
= F(t) · v(t), (5)
en la cual habremos de reemplazar t por el instante en el cual queramos conocer la potencia
que se desarrolló.
4. Fuerzas conservativas
Habiendo definido trabajo, vamos a hacer ahora una distinción entre dos tipos de fuerzas:
las conservativas y las no conservativas. La distinción entre estos dos tipos de fuerzas y la razón
de estos nombres va a quedar clara cuando desarrollemos la sección 6.
Hay varias formas de definir o caracterizar a las fuerzas conservativas, todas ellas equiva-
lentes. Nosotros vamos a dar tres de estas formas.
La primera forma de identificar si una fuerza es conservativa es calculando el trabajo que
realiza sobre un sistema a lo largo de una trayectoria cerrada. Si este trabajo es nulo la fuerza
es conservativa.
Por ejemplo, analicemos el trabajo que se rea-
Figura 1: Resorte en (a) posición de
equilibrio natural y (b) comprimido.
liza sobre un resorte, con uno de sus extremos fijo a
una pared y con un bloque en su otro extremo, como
lo muestra la figura 1. Para hacer esto utilizamos un
sistema de referencia inercial, fijo junto a la pared, en
la esquina que forman la pared con el piso. Sobre este
punto ubicamos el origen de un sistema de coordena-
das con un solo eje (el eje x), con dirección paralela al
piso y sentido hacia afuera de la pared, representan-
do (x̂) al versor correspondiente al eje x. El resorte es
comprimido por el bloque una cierta distancia ξ desde
su posición de equilibrio natural x0 (mostrada en la
figura 1 (a)) hasta una posición comprimida xc (mos-
trada en la figura 1 (b)) y luego extendido hasta la
posición inicial. Este proceso se lleva a cabo mediante
estados de equilibrio. Para este sistema no es válido
el modelo de part́ıcula pero esto no tiene importancia, ya que el cálculo del trabajo de una
fuerza que un objeto hace sobre otro es independiente del modelo empleado para describir al
5
objeto que se estudia. Para un resorte deformado y en equilibrio, la expresión de la fuerza que
otro objeto realiza sobre el mismo es:
F(ξ) = −k ξ,
con k la constante del resorte y ξ = (x0 − x)(x̂) la elongación, esto es, el vector que representa
la deformación lineal desde la posición de equilibrio hasta la extensión (compresión) en que
se encuentra. Teniendo en cuenta que el resorte está en reposo y equilibrio en el sistema de
referencia inercial indicado, con uno de sus extremos sobre la posición x0 (posición de equilibrio
natural), la fuerza ejercida por el bloque sobre este resorte es F = k(x0 −x)(x̂). Al comprimirlo
desde x0 hasta xc (siendo x0 − xc menor que la longitud del resorte), el trabajo que realiza el
bloque sobre el resorte es:Lcompresión =
∫ rf
ri
F(x) · dr =
∫ xc
x0
k (x0 − x)dx = −
[
1
2
k(x0 − x)2
]xc
x0
Lcompresión = −1
2
k(x0 − xc)2
Al extenderlo hasta la posición original, el trabajo será:
Lextensión =
∫ rf
ri
F(x) · dr =
∫ x0
xc
k (x0 − x)dx = −
[
1
2
k(x0 − x)2
]x0
xc
Lextensión = 1
2
k(x0 − xc)2
El trabajo total es la suma de estos dos trabajos:
Ltotal = Lcompresión + Lextensión = −1
2
k(x0 − xc)2 + 1
2
k(x0 − xc)2 = 0
Como vemos en este sencillo ejemplo, el trabajo realizado en una trayectoria cerrada resulta
nulo, por lo que la fuerza que ejerce el resorte es conservativa.
La segunda definición de fuerza conservativa que vamos a ver está relacionada con el opera-
dor gradiente6. Si para una dada fuerza F es posible encontrar una función ϕ, llamada potencial
o función potencial, tal que cumpla:
F = −∇(ϕ),
la fuerza es conservativa. Usando nuevamente el ejemplo del resorte, ϕ(x) = 1
2
k(x0 − x)2, ya
que:
∇(ϕ) = d
dx
[
1
2
k(x0 − x)2
]
(x̂) +
d
dy
[
1
2
k(x0 − x)2
]
(ŷ) +
d
dz
[
1
2
k(x0 − x)2
]
(ẑ),
∇(ϕ) = −k(x0 − x)(x̂),
y la fuerza es F = k(x0 − x)(x̂), que es la que vimos previamente.
La última definición que vamos a ver involucra el trabajo de la fuerza F, a lo largo de
cualquier trayectoria comprendida entre dos posiciones ri y rf , y la función ϕ(r). Si este trabajo
es igual a la variación ∆ϕ(r) = ϕ(rf) − ϕ(ri), entre las dos posiciones indicadas, tomada con
signo negativo:
L = −∆ϕ(r) = − [ϕ(rf)− ϕ(ri)] ,
6Para saber qué es el gradiente van a tener que leer las notas de la cátedra o algún libro/apunte/nota donde
se lo defina.
6
entonces la fuerza es conservativa. Para el resorte:
Lcompresión = − [∆ϕ]xcx0 = − [ϕ(xc)− ϕ(x0)]
Lcompresión = −1
2
k(x0 − xc)2.
Este es el resultado que se esperaba.
Como veremos más abajo y a lo largo del curso, las fuerzas conservativas y las funciones
potenciales cumplen un rol muy importante en f́ısica. En particular, los potenciales son funciones
que dependen de las caracteŕısticas particulares del sistema en estudio, de las caracteŕısticas de
la interacción y de la configuración. En este contexto se entiende por configuración a una dada
distribución geométrica, tanto del sistema como entre el sistema y el entorno.
5. Enerǵıa
En la sección 3.2 definimos el trabajo de una fuerza sobre un sistema y mencionamos que la
realización de un trabajo produce un cambio de estado en el sistema, sin relacionar al trabajo
con alguna variable de estado, cosa que haremos en este punto. La variable de estado que
está relacionada con el trabajo es la enerǵıa que, como las demás variables f́ısicas, es también
un ente abstracto.
La enerǵıa es una variable escalar, lo que resulta en una simplificación a la hora de resolver
problemas.
5.1. Enerǵıa cinética
Usando la segunda ley (1) en la definición (3) de trabajo:∫ rf
ri
dp
dt
· dr =
∫ rf
ri
F · dr
∫ rf
ri
dp
dt
· dr =
∫ rf
ri
dp · dr
dt
=
∫ pf
pi
dp · v =
∫ pf
pi
d
(
p2
2m
)
=
[
p2
2m
]pf
pi
,
Siendo los dos términos finales de esta última igualdad múltiple válidos en el caso en que la
masa sea constante. Al término p
2
2m
se lo conoce como enerǵıa cinética (Ec) de la part́ıcula. Con
esta nueva definición podemos escribir:∫ rf
ri
dp
dt
· dr = p
2
f
2m
− p
2
i
2m
= ∆Ec, (6)
Combinando (3) con (6) llegamos a:
∆Ec = L, (7)
que es la expresión matemática de la relación entre el trabajo mecánico y la enerǵıa cinética:
“El cambio en la enerǵıa cinética de una part́ıcula es producido por el trabajo que
el entorno realiza sobre la misma.”
Como se puede apreciar claramente, en esta última relación también está presente la frontera
del sistema, representada por el signo igual, quedando las variables del sistema a la izquierda
7
y las del entorno a la derecha7. Otra cosa evidente en esta última relación es que el trabajo
que produce el cambio de estado del sistema, caracterizado por la enerǵıa cinética, es el debido
a la componente, en la dirección del desplazamiento, de la resultante de todas las fuerzas que
realiza el entorno sobre el sistema.
Por último, es conveniente aclarar que si bien la definición del cambio en la enerǵıa cinética
de una part́ıcula viene dada por la expresión:
∆Ec =
∫ pf
pi
v · dp = ∆
(
p2
2m
)
,
siendo válido el último término si la masa es constante, es común expresar al cambio en la
enerǵıa cinética en función de la velocidad, esto es:
∆Ec =
∫ vf
vi
p · dv = ∆
(
1
2
mv2
)
,
también válido el último término en el caso de que la masa sea constante. Esta última expresión,
Ec =
1
2
mv2, es la que se encuentra en forma más frecuente en los libros de texto habituales. En
los problemas que vamos a resolver (en general dentro del marco newtoniano) ambas expresiones
son equivalentes; elegiremos una u otra de acuerdo a los datos que dispongamos y a las incógnitas
que tendremos que responder. Estas expresiones pierden su equivalencia cuando la part́ıcula
viaja a velocidades muy grandes, o sea fuera del marco newtoniano, donde la masa es una
función de la velocidad y es necesario tener en cuenta la teoŕıa de la relatividad de Einstein.
5.2. Enerǵıa potencial y enerǵıa mecánica
En esta subsección avanzaremos un poco más respecto de la subsección anterior, y lo haremos
empleando el concepto de fuerzas conservativas.
Dado que el trabajo al que se refiere la relación entre el trabajo mecánico y la enerǵıa cinética
es el trabajo de la resultante del accionar del entorno sobre el sistema, podemos expresar este
trabajo como la suma de dos términos: el trabajo Lnc realizado por las fuerzas no conservativas
Fnc y el trabajo Lc realizado por las fuerzas conservativas Fc:
L = Lnc + Lc
=
∫ rf
ri
Fnc · dr+
∫ rf
ri
Fc · dr
Como vimos en la sección 4, el trabajo de las fuerzas conservativas se puede escribir como
menos la variación de una función potencial ϕ(r). Suponiendo que hay n fuerzas conservativas
distintas Fcj actuando sobre el sistema, relacionadas cada una de ellas con su correspondiente
función potencial ϕj(r), la expresión anterior queda:
L = Lnc −
n∑
j=1
∆ϕj(r).
Reemplazando esta última expresión en (7) llegamos a:
∆Ec = Lnc −
n∑
j=1
∆ϕj(r).
7En esta subsección las únicas ecuaciones cuyo signo igual representa la frontera del sistema son la primera
y la última.
8
Ahora bien, al introducir las funciones potenciales asociadas a fuerzas conservativas dijimos
que los potenciales son funciones que dependen de las caracteŕısticas de la interacción y de la
configuración del sistema en estudio. Teniendo esto en cuenta, el signo igual de la expresión
matemática anterior no representa la frontera del sistema, ya que a la derecha del mismo hay
funciones que pertenecen al sistema. Para que el signo igual vuelva a representar la frontera,
realizamos el correspondiente pasaje de términos, con lo que la última expresión matemática
queda:
∆Ec +
n∑
j=1
∆ϕj(r) = Lnc. (8)
A cada uno de los términos de la sumatoria se lo denomina enerǵıa potencial asociada a
la interacción que es representada por la fuerza conservativa correspondiente. A partir de esta
expresión matemática se define la enerǵıa mecánica del sistema Em:
Em = Ec +
n∑
j=1
ϕj(r),
con lo cual el primer término de (8) es la variación de la enerǵıa mecánica del sistema.
Estamos en condiciones de presentar la relación entre el trabajo y la enerǵıa mecánica:
“El cambio en la enerǵıa mecánica de una part́ıcula es producido por el trabajo de
las fuerzas no conservativas que actúan sobre la misma.”
Matemáticamente:
∆Em = Lnc. (9)
Para finalizar con esta serie de definiciones sólo nos resta nombrar a la enerǵıa potencial
gravitatoria, que es la relacionada con el trabajo realizado sobre la part́ıcula por la fuerza peso.
En efecto, a esta fuerza es posible asignarle la función potencial ϕg(r) = ϕg(y) = mgy, siendo y
la componente vertical de la posición r del sistema, respecto de un sistema de referencia ubicado
en el piso, m lamasa de la part́ıcula y g la aceleración de la gravedad.
6. Conservación
Muchas veces hemos óıdo expresiones tales como “la enerǵıa se conserva”, o, “se conserva
la cantidad de movimiento”. En esta sección vamos a aclarar el significado de estas expresiones.
En f́ısica, vamos a decir que una dada magnitud se conserva cuando no cambia con el tiempo.
A partir de (1) es fácil ver que la cantidad de movimiento se va a conservar cuando el entorno
no realiza una fuerza neta sobre el sistema. Con respecto a la enerǵıa mecánica, la expresión (9)
indica que se va a conservar sólo si el trabajo de las fuerzas no conservativas es nulo. He aqúı la
razón por la cual las fuerzas conservativas reciben este nombre: si sólo ellas realizan trabajo, la
enerǵıa mecánica del sistema se conserva.
De lo dicho anteriormente también sigue que la enerǵıa y la cantidad de movimiento se
conservan si el sistema en estudio está aislado.
Finalmente, podemos escribir lo dicho anteriormente en forma matemática:
dp
dt
= 0, ∆Em = 0. (10)
Es preciso recalcar que, de acuerdo con esto y al contrario de lo que aparece en la mayoŕıa
de los textos de f́ısica, son estas relaciones y no las (1) y (9) las expresiones matemáticas de la
conservación de la cantidad de movimiento y de la enerǵıa respectivamente.
9
7. El modelo sistema de part́ıculas
Este nuevo modelo considera a un conjunto de objetos, modelados como part́ıculas, como
elementos constitutivos del sistema. Estas part́ıculas pueden interaccionar entre śı y también
con el entorno. En la mayoŕıa de los casos es conveniente establecer la frontera del sistema de
forma tal que éste resulte ser un sistema aislado.
Para este sistema se pueden definir, respecto de algún sistema de referencia inercial, tanto
el impulso total pt como la variación de enerǵıa mecánica total Emt , que para un sistema
compuesto por n part́ıculas adoptan la forma:
pt =
n∑
j=1
pj y (11)
Emt =
n∑
j=1
Emj , (12)
siendo pj y Emj el momentum lineal (cantidad de movimiento) y la enerǵıa mecánica respectivas
de la j-ésima part́ıcula del sistema.
Dentro del sistema de part́ıculas existe un punto, conocido como centro de masas, que se
puede encontrar a partir de la siguiente relación:
rCM =
∑n
j=1 mjrj∑n
j=1 mj
, (13)
donde rCM es la posición del centro de masas respecto de algún sistema de coordenadas re-
lacionado con un sistema de referencia inercial, mj la masa de la part́ıcula j-ésima y rj su
posición respecto del mismo sistema de coordenadas utilizado para rCM . Su velocidad vCM y
su cantidad de movimiento pCM pueden calcularse:
vCM =
drCM
dt
, y pCM =
(
n∑
j=1
mj
)
vCM = MvCM ,
donde M representa la suma de las masas de todas las part́ıculas que forman al sistema.
Este punto presenta la particularidad de comportarse como si todo el sistema se concentrara
en el mismo. Por lo tanto, para el mismo pueden plantearse las relaciones de conservación
correspondientes y se pueden calcular el trabajo y el impulso realizados por un objeto exterior
al sistema de part́ıculas en estudio. Esto es, el movimiento del centro de masas es afectado por
la resultante de todas las fuerzas que interaccionan con el sistema.
Otra caracteŕıstica importante de este punto es que el movimiento del sistema de part́ıculas
puede referirse al mismo. Obviamente, no siempre podremos establecer un sistema de referencias
inercial sobre el centro de masas, ya que puede no estar en un movimiento con velocidad
constante respecto de otro sistema de referencia inercial.
Si el sistema está aislado, esto es, si la resultante de las fuerzas que el entorno ejerce sobre
el sistema es nula, se puede adoptar al centro de masas como sistema de referencia inercial.
En este sistema de referencia las relaciones de conservación de cantidad de movimiento y de
conservación de la enerǵıa mecánica del sistema quedan expresadas en una forma muy simple,
quedando para el lector el planteo de las mismas. Cabe acotar que este sistema de referencia
en particular es muy útil en la resolución de problemas relacionados con la sección 8.
Por último, podemos agregar que este modelo es la base de otros modelos, como el modelo
de cuerpo elástico y de cuerpo ŕıgido, que estudiaremos más adelante.
10
8. Choque
Consideremos un sistema compuesto por varios objetos. Definiremos choque, colisión o im-
pacto a la interacción que se produce entre los objetos que conforman ese sistema; interacción
que es tal que dura un intervalo de tiempo muy pequeño respecto del cual se lleva a cabo el
estudio y resulta en un cambio en el estado de dichos cuerpos. Esta interacción debe conside-
rarse en un sentido amplio, es decir, no es necesario la existencia de contacto directo entre los
objetos para que el choque tenga efecto; basta que se aproximen lo suficiente como para que
la interacción entre ellos modifique el estado de los mismos. Además, dado que un choque se
produce durante un muy pequeño intervalo de tiempo, se puede considerar que ninguna fuerza
externa al sistema formado por los objetos que chocan modifica el estado del sistema compues-
to por los mismos, por lo que, en virtud de la relación 2 aplicada al sistema de part́ıculas en
estudio, el momentum del sistema en estudio se conserva.
De acuerdo con la naturaleza de la interacción, los choques se pueden clasificar en inelásticos,
elásticos y plásticos.
8.1. Choques inelásticos
Dentro de esta categoŕıa entran la mayoŕıa de los choques que ocurren en la vida cotidiana.
Como resultado de los mismos, los objetos que interaccionan sufren modificaciones estructurales
permanentes, por lo que no se pueden modelar como part́ıculas.
Aunque el momentum total se conserva, durante el proceso de deformación hay fuerzas no
conservativas internas al sistema de estudio que realizan trabajo, por lo que la enerǵıa mecánica
del sistema no se conserva.
8.2. Choques elásticos
Se dice que un choque es elástico cuando los cuerpos involucrados pueden o no deformarse
durante el mismo, siendo la forma de estos cuerpor la misma antes y después del evento. En
este caso los cuerpos se pueden modelar como part́ıculas y, por lo tanto, el modelo a utilizar es
el de sistema de part́ıculas.
Para un choque elástico tanto la enerǵıa mecánica como el momentum se conservan, esto
es, son válidas las ecuaciones:
dpt
dt
= 0, ∆Emt = 0.
Más aún: como antes y después del choque los cuerpos intervinientes no interaccionan, no hay
variación de enerǵıas potenciales y, por lo tanto, podemos decir que se conserva la enerǵıa
cinética. Por esto se dice también que un choque elástico es aquel para el cual se conserva la
enerǵıa cinética del sistema.
Las ecuaciones válidas en este caso forman un sistema de cuatro ecuaciones escalares (la
de conservación de enerǵıa cinética y las tres correspondientes a la conservación de las compo-
nentes del momentum), por lo que para poder resolver un problema de estas caracteŕısticas las
incógnitas no deben ser más que cuatro.
Es frecuente encontrar este tipo de choque, por ejemplo, entre part́ıculas atómicas y suba-
tómicas. Además, a pesar de que muchos de los choques que se producen cotidianamente son
inelásticos, se puede hacer una estimación bastante exacta del proceso de choque si se considera
elástico a un choque que es inelástico.
11
8.3. Choques plásticos
A este tipo de choque se lo conoce también como choque totalmente inelástico y se produce
cuando, luego del choque, los cuerpos intervinientes quedan adheridos entre śı.
Un ejemplo de este tipo de choque es el péndulo baĺıstico.
9. Comentarios finales
Al igual que como señalamos en el caso de la definición que establece que el trabajo de una
fuerza es el producto de la fuerza por la distancia, hay algunas otras cuestiones que debemos
aclarar. Estas son:
El hecho de que se hable de enerǵıa mecánica, enerǵıa cinética y enerǵıa potencial no
significa que existan distintas formas de enerǵıa. Esto resulta claro si tenemospresente
que la enerǵıa es una variable de estado y, por lo tanto, un número que caracteriza al
sistema. Vale recordar una vez más que la enerǵıa, al igual que las demás magnitudes
utilizadas en f́ısica, es un ente abstracto y no una cosa que posea existencia real. Una
excelente discusión al respecto se encuentra en el caṕıtulo 4 del libro Feynman—F́ısica.
Volumen I: mecánica, radiación y calor, Richard P. Feynman, Robert Leighton y Matthew
Sands, Addison–Wesley Iberoamericana (1987).
Al contrario de lo que aparece en numerosos textos, la enerǵıa no es puede reducirse a la
definición dada como la capacidad de un sistema de realizar trabajo. Esto quedará bien
en claro cuando veamos termodinámica.
La enerǵıa, al igual que la cantidad de movimiento, dependen del sistema de referencia en
el que se las calcula. Por esto, no es posible asignarle a estas funciones un valor absoluto,
hecho que carece de importancia, puesto que las magnitudes relevantes son los incrementos
o decrementos de estas funciones.
En estas notas, a la enerǵıa, algunas veces se la consideró variable y otras función. Esto
no fue arbitrario, ya que depende del contexto en que se la utilizó el hecho que aparezca
como variable o como función.
Una última palabra acerca de los potenciales y su relación con la configuración: en gene-
ral, como se mencionó anteriormente, los potenciales son funciones que dependen de las
caracteŕısticas particulares de la interacción y de algún parámetro geométrico establecido
entre los cuerpos que interaccionan. Este parámetro geométrico viene dado por la distri-
bución espacial del sistema y del entorno y, en particular, de las posiciones relativas entre
el sistema en estudio y el sistema cuya interacción es descripta por medio de un poten-
cial. A tal distribución geométrica nos referimos cuando hablamos de configuración. Por
ejemplo, la enerǵıa potencial gravitatoria, definida para objetos cercanos al suelo como
ϕg(y) = mgy, depende de la masa del sistema en estudio, la altura a la que se encuentra
el sistema (habiendo tomado como sistema de referencia al piso) y de la aceleración de la
gravedad. En este caso, la configuración está representada por la altura y, mientras que
el sistema lo está por su masa m y la interacción por la aceleración de la gravedad g.
12