Enredamiento-en-sistemas-de-qubits-y-su-evolucion-ante-decoherencia--teora-y-experimento

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POSGRADO EN CIENCIAS FÍSICAS
 
T E S I S 
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE:
DOCTOR EN CIENCIAS (FÍSICA)
PRESENTA:
 OSVALDO JIMÉNEZ FARÍAS
DIRECTOR DE TESIS: DR. LUIZ DAVIDOVICH
CODIRECTOR DE TESIS: DR. PAULO HENRIQUE SOUTO RIBEIRO 
MIEMBRO DE COMITÉ TUTORAL: DR. JORGE HIRSCH GANIEVICH
MÉXICO, D.F. 2012
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA
DE MEXICO
 “Enredamiento en sistemas de qubits y su 
evolución ante decoherencia: teoría y 
experimento”
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
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reproducción, edición o modificación, será perseguido y sancionado por el 
respectivo titular de los Derechos de Autor. 
 
 
 
Agradecimientos
Dada la serie de eventos maravillosos, idas y venidas, subidas y bajadas, y todo el
esfuerzo que dieron origen a la realización de esta tesis, esta parte de este documento
debeŕıa ser la mas extensa. Enumerar a todas las personas que directa o indirectamente
fueron parte de esta aventura de 5 años no es una tarea fácil y de antemano me disculpo
por aquellos que me puedan estar faltando.
Me parece justo comenzar por agradecer a toda la gente del grupo de Ôptica e
Informacão Quântica de la Universidad Federal do Rio de Janeiro por la confianza y el
apoyo que me brindaron durante el tiempo que formé parte de este. Particularmente
a Luiz Davidovich de quien no solo yo si no muchos de los que compartimos con el,
aprendemos y valoramos la entrega, el profesionalismo, interés genuino por entender y
sobre todo la calidad humana con la que hacer ciencia básica vale la pena. En la misma
linea, agradezco a Paulo H. Souto Ribeiro y Stephen Walborn pues a ellos debo casi
todo lo que mis manos aprendieron hacer de f́ısica experimental hasta este momento.
Gracias a mis profesores fue fácil entender que en nuestros tiempos es posible hacer
ciencia de punta en cualquier lugar de nuestra America Latina.
También le debo un agradecimiento especial al Gabo, mi compañero de laboratorio
futbol y vida durante este periodo. La cantidad de “pecho” que le metimos codo a
codo, no fue poca y todo pudo haber sido menos agradable sin escuchar sus gritos y
risas en el laboratorio.
Muchos entenderán el sentido literal cuando diga que fundão no habŕıa sido lo
mismo sin la existencia de gente tan maravillosa como Gabi Barreto, Adriana, Malena,
Saboia, Rafael Morais, Rafael Planet, Dany Xneider, B. Escher, B. Taketani, Andrea,
DJ Diney, Steve, Fabricio, Nicim, Ruynet, Paulão, Camile, Alejo. Es una cosa para
agradecer el encontrar verdaderos amigos en el trabajo.
Agradezco a las personas de Campinas con las que tuve el placer de colaborar y
aprender: Douglas G., Felipe Fanchini., Marcio Cornelio, Marcus de Oliveira y Amir
Caldeira.
Del lado de la UNAM, agradezco mucho a Rocio Jauregui, Pablo Barbieris, Carlos
Pineda, A. U’Ren y Victor Velazquez, por la paciencia con mi portunhol y sus aportes
en la correción de esta tesis. Particularmente le agradecere hoy y siempre a mi amigo
Jorge Hirsch por “bancarme” ,en muchos sentidos de la palabra, a lo largo de todo mi
proceso de formación como f́ısico. Un agradecimiento especial a Yanalte Herrero por
su disposición y ayuda sin las cuales no habŕıa sobrevivido a las dificultades adminis-
trativas en las que me met́ı...
En la parte menos académica debo agradecer a toda mi familia por la fe, a veces
ciega, que siempre me han tenido, especialmete a mi Jefa, sin su amor yo nunca habŕıa
sido capaz de sentir amor por algo o por alguien en esta vida. También a mi hermana
y primos pues al pensar en ellos cuando estoy lejos, encuentro fuerzas para seguir
adelante.
Casi por último agradezco a todo el pueblo latinoamericano del cual soy tan feliz de
pertenecer. Evidentemene, o povo brasileiro merece destaque pois desde o dia que eu
cheguei no Rio, senti uma extranha e agradavel familiaridade que me fez querer ficar
um monte de tempo lá. Cada uno de mis d́ıas en el doctorado en Brasil confirmaba que
mi decisión habia sido correcta pues de otra forma nunca habŕıa conocido, disfrutado
y aprendido de La Cesi, Dê, Vicky, Ju, Tainah, Raquel, Santi y Mariana, Seba y Ana,
Flavio, Bayão y Jordana, Cristian y Ariel, Maxi Dr. Muerte, Lore, Hugo Nati y toda la
banda chilena, Mart́ı, la Vale, Javier y toda la banda mexicarioca, a galera de nuestro
internacional fuchibol y todos los que puedan haberme faltado por falta de espacio y
memoria. Agradezco a todos ellos por ser parte de la realización de mi sueño americano
en donde todos nos volvimos hermanos y vimos cosas titánicas suceder a todo momento.
Por último quiero agradecer a Florencia, por tooooooooooodo infinito y maravilloso,
con quien tantas veces me di cuenta que lo único que necesitaba era amor. Gracias
por ser mi compañera, a ella le debo los momentos mas felices durante el doctorado
que empezó casi al mismo tiempo que nosotros pero que a diferencia de nosotros, el
doctorado se acabo.
ii
Índice
1 Introducción 1
1.1 Estructura de esta tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 El objeto de estudio 7
2.1 Haces de luz polarizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Luz clásica polarizada: ondas planas y parámetros de Stokes . . 7
2.1.2 Parámetros de Stokes para luz cuántica . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.3 Operaciones sobre qubits de polarización y medición de su estado
cuántico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.4 Tomograf́ıa de qubits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Fuente de pares de fotones postseleccionados . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Dinámica de sistemas abiertos 23
3.1 Ecuación maestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.1 Operadores de Kraus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Una aplicación: El canal de decaimiento de la amplitud . . . . . . . . . 29
3.3 Implementación experimental de canales cuánticos . . . . . . . . . . . . 30
4 Enredamiento 35
4.1 Enredamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2 Cuantificadores de enredamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2.1 Monótonas para estados puros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2.2 Monótonas de enredamiento para estados mixtos: Extensión con-
vexa y concurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
iii
ÍNDICE
5 Dinámica del enredamiento 47
5.1 Muerte súbita del enredamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2 Ley de evolución para la concurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6 Enredamiento en sistemas de tres qubits 57
6.1 Invariantes del enredamiento bipartito en el canal de decaimiento de
amplitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2 Distribución del enredamiento bipartito, surgimiento del enredamiento
tripartito: una propuesta experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.2.1 Monogamı́a de enredamiento y tritangle . . . . . . . . . . . . . . 66
6.3 Dinámica y distribución del enredamiento en el laboratorio . . . . . . . 68
7 Conclusiones 77
8 Apéndices 79
8.1 Apéndice 1: Tomograf́ıa de proceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.2 Apéndice 2: Dualidad canal-estado y fidelidad entre canales . . . . . . . 81
Bibliograf́ıa 83
iv
1
Introducción
A lo largo de los años en el desarrollo de la ciencia,los cient́ıficos van definiendo con-
ceptos y cantidades que han de entrar en una teoŕıa que tiene como finalidad describir
el mundo que se observa con las herramientas de las cuales se dispone en la época.
Por ejemplo, en el desarrollo de la teoŕıa newtoniana del movimiento de los cuerpos,
se identifica el momento de un objeto ~p = m~v como una cantidad de gran relevancia
al grado de que la evolución temporal de esta cantidad hace parte de una de las leyes
fundamentales de la teoŕıa. A partir de esta cantidad se definen otras como la enerǵıa
y el momento angular.
Posteriormente a comienzos del siglo XX, con instrumentos de observación más
sofisticados, aparecen por todos lados resultados experimentales que son inexplicables
dentro de la teoŕıa clásica. De esta forma surge la necesidad de una nueva teoŕıa donde
las viejas cantidades de la mecánica newtoniana exigen una descripción diferente. Las
leyes que rigen la dinámica de estas cantidades también han de ser modificadas. Se
desarrollan aśı las teoŕıas cuántica y relativista de los objetos.
La mecánica cuántica y la relatividad también trajeron consigo nuevas cantidades
necesarias para describir algunas caracteŕısticas de los objetos, por ejemplo el esṕın de
las part́ıculas cuyo tratamiento resulta indispensable para entender nuevos estados de
la materia hasta entonces desconocidos como el estado condensado de Bose-Einstein.
Aunque el concepto de esṕın o momento angular intŕınseco era inexistente antes de
las nuevas teoŕıas, no costó mucho incluir su descripción en términos de operadores y
estados cuánticos.
1
1. INTRODUCCIÓN
En este contexto de la mecánica cuántica, fue observado que al intentar describir
sistemas con más de una part́ıcula y como consecuencia del concepto de superposición
de los estados, nuevos fenómenos deb́ıan ser considerados sin importar el grado de
libertad en cuestión. Tal vez la observación principal es que, sin importar la distancia
entre dos o más objetos, es posible que la descripción que estos requieran sea más que
la descripción de cada una de estas partes. Los efectos observables de esta propiedad
aparecen como fuertes correlaciones en los resultados de las medidas hechas en este tipo
de sistemas.
A lo largo del continente americano, esta propiedad es conocida hoy en d́ıa con
nombres como entrelazamiento, enredamiento, enlazamiento, emaranhamento
o entanglement1 todos ellos referentes a una caracteŕıstica intrincada en el sistema
como un todo. De aqúı en adelante, nosotros usaremos la palabra enredamiento para
referirnos a esta propiedad de los sistemas cuánticos. Su definición y estudio son los
principales objetivos de esta tesis.
Aunque muchos trabajos de los propios fundadores de la mecánica cuántica se ocu-
paron de estudiar esta propiedad de los sistemas cuánticos con el objetivo de enten-
der los fundamentos de esta nueva teoŕıa (1, 2, 3), pasaron más de 50 años desde el
surgimiento de la mecánica cuántica hasta que una definición formal de enredamiento
existiera (4). La razón para tal demora está asociada quizás a que no existe hasta la
fecha un operador asociado a esta caracteŕıstica igual que lo hay para el momento, la
posición o cualquier otra propiedad que caracteriza a los sistemas f́ısicos.
La motivación para que después de más de 50 años esta cuestión no quedase en el
olvido y que sea un campo de investigación con mucha actividad hoy en d́ıa, fue tal
vez que dentro del formalismo de la mecánica cuántica existe la posibilidad de mejorar
muchas tareas tecnológicas que ya exist́ıan tales como la transmisión de información
de un lugar a otro(5), procesos criptograf́ıcos(6), búsqueda en un banco de datos(7),
factorización de números (8) , etc. El estudio del papel de la mecánica cuántica en estas
tareas constituye hoy en d́ıa toda una área de investigación conocida como información
cuántica (9). Algunas de estas tareas en información cuántica han resultado ser sor-
prendentes al ser demostrada su posibilidad teóricamente seguida de su implementación
1Los primeros tres nombres vienen del idioma castellano, el tercero del portugués y el cuarto del
inglés. No obstante la palabra en inglés es el más usado en el mundo, aqúı usaremos la palabra
enredamiento de aqúı en adelante por consistencia lingúıstica
2
1.1 Estructura de esta tesis
experimental poco tiempo después, tal es el caso de la teleportación cuántica (5, 10) .
Todas estas tareas parecen estar ligadas directa o indirectamente con el enredamiento
y por esta razón es muchas veces considerado como un recurso precursor de la mejora
de estas tareas.
No obstante, como mencionamos anteriormente, no hay una forma operacional cono-
cida para el enredamiento y los esfuerzos por cuantificar la cantidad de enredamiento
presente en un sistema distan mucho de ser conclusivos pues existen formas de medir el
enredamiento solo para algunos casos en los cuales la dimensión del sistema es pequeña.
Inclusive para los casos en los que existe una medida del enredamiento, no existe una
ley general que prediga la evolución de esta cantidad (11, 12, 13). Este hecho representa
un est́ımulo para el estudio de la dinámica del enredamiento en śı mismo. En adición y
desde un punto de vista práctico, si acaso esta cantidad ha de ser considerada como un
recurso, saber cual será el comportamiento del enredamiento en el tiempo en situaciones
realistas, se vuelve imperativo.
En este contexto se encuentra situado el estudio de esta tesis y como se puede
percibir, aún existen muchas cuestiones en abierto al respecto, inclusive algunas muy
básicas como es el entender si el enredamiento tiene un significado f́ısico que lo coloque
al mismo nivel que otras cantidades como la enerǵıa, por ejemplo.
Es curioso que la teoŕıa con mayor éxito en la descripción del mundo al que tenemos
acceso en la actualidad, aún tenga tanto camino abierto a la investigación y represente
un reto para el entendimiento desde sus fundamentos. Es probablemente esta la mayor
motivación del autor de esta tesis.
Presentaremos pues un estudio de la dinámica del enredamiento para algunos casos
en los que este es cuantificable. El estudio contiene resultados experimentales en los
cuales se usa el grado de libertad de polarización de la luz, de un par de haces enredados.
Este sistema tiene la bondad de hacer tangibles los conceptos aqúı tratados pues aquella
cosa que llamamos enredamiento deja pistas de su realidad en el d́ıa a d́ıa en los
resultados de las medidas que sobre este se realizan.
1.1 Estructura de esta tesis
Antes de iniciar de lleno con el desarrollo de esta tesis es bueno hacer un comentario
acerca de la terminoloǵıa que será usada a lo largo de la exposición. Esta tesis con-
3
1. INTRODUCCIÓN
tiene resultados experimentales en un sistema óptico espećıfico sin embargo se estudian
situaciones que podŕıan acontecer en otros sistemas cuánticos, por ejemplo sistemas
atómicos.
Por otro lado, el estudio del enredamiento se encuentra frecuentemente relacionado
a estudios de procesamiento de información cuántica en donde la unidad básica de
información es el famoso qubit1 que, independientemente de su realización f́ısica, se
refiere a un sistema cuántico de dos niveles. Por esta razón frecuentemente estaremos
haciendo uso indistinto de la palabra qubit para referirnos a los sistemas cuánticos de
dos niveles que usaremos: la polarización de fotones individuales y un par de modos
espaciales ocupados por un fotón individual.
Comenzaremos entonces definiendo el qubit fotónico de polarización, y posterior-
mente el sistema f́ısico del cual se extraen estos qubits, conocido como conversión
paramétrica descendente (CPD). Mostraremos, también en el caṕıtulo 2, la forma en
la que una transformación unitaria general es implementada en este qubit aśı como los
métodos empleadospara tener acceso al estado del sistema.
Más relevante en términos de evolución del enredamiento será el estudio de la
dinámica de sistemas abiertos que producen decoherencia con el objetivo de ver como
esta afecta el enredamiento inicialmente contenido entre dos qubits, pues este tipo de
situaciones son las más comunes cuando de implementaciones realista se trata. En
esta sección veremos como ejemplos de dinámicas emblemáticas en el estudio de deco-
herencia pueden ser implementadas de forma controlada en el laboratorio. De esto nos
ocuparemos en el caṕıtulo 3.
En el caṕıtulo 4 nos ocuparemos de la definición formal del enredamiento intentando
hacer tangibles estos conceptos en términos del sistema f́ısico presentado en el caṕıtulo
2. Aqúı mismo introduciremos brevemente las condiciones aceptadas para una medida
de enredamiento en el estatus actual del arte.
Continuaremos en el caṕıtulo 5 estudiando una ley de evolución para la concurrencia,
una medida del grado de enredameinto entre dos qubits. Aqúı veremos como fue usado
nuestro aparato experimental para demostrar por primera vez la validez de esta ley.
Mientras que esta ley fue originalmente demostrada para estados puros de pares de
qubits, veremos como es posible hacer una extensión de este resultado para estados
mixtos.
1del ingles quantum bit
4
1.1 Estructura de esta tesis
En el capitulo 6 ampliaremos nuestra discusión para estados de tres qubits. Lo
haremos considerando un par de qubits enredados de los cuales uno de ellos comienza a
interactuar con un tercero. Estudiaremos como para un tipo de interacción particular
entre estos dos qubits el enredamiento va siendo transferido al ambiente, en nuestro
caso un tercer qubit, de tal forma que el enredamiento bipartito contenido en el sistema
se mantiene invariante.
En esta misma linea, estudiaremos otros dos ejemplos de dinámica en los cuales se
puede observar el surgimiento de varios tipos de enredamiento tripartito genuino, es
decir enredamiento que no puede ser visto como enredamiento entre cualesquiera dos
partes que conforman el sistema.
Por último las conclusiones globales de este trabajo de doctorado que en su mayoŕıa
fue desarrollado en la Universidad Federal de Rio de Janeiro como parte de una linda
colaboración entre estas dos magńıficas instituciones en América Latina: la UNAM y
la UFRJ .
5
2
El objeto de estudio
2.1 Haces de luz polarizada
En esta sección se describe el grado de libertad de la luz usado como codificador de
qubits haciendo una breve descripción del formalismo en la teoŕıa clásica del electro-
magnetismo y su analoǵıa quantica.
2.1.1 Luz clásica polarizada: ondas planas y parámetros de Stokes
De acuerdo con la teoŕıa electromagnética condensada en las ecuaciones de Maxwell
(14), los campos eléctrico y magnético producidos por una fuente distante y en ausencia
de medios materiales, satisface la ecuación de onda
∇2 ~E − 1
c2
∂2 ~E
∂t2
= 0, (2.1)
una ecuación idéntica obedece el campo ~B. Soluciones particulares a esta ecuación
están dadas por ondas planas de la forma
~E(x, t) = ~Ee~k·~x−ωt, (2.2)
donde ~k es el vector de onda que indica la dirección de propagación, ~x el vector de
posición y ω la frecuencia de oscilación de la onda. El caracter vectorial de estas ondas
electromagnéticas está contenido en ~E y según las ecuaciones de Maxwell, dicho vector
se encuentra restringido a un plano ortogonal al vector de onda ~k, o sea
7
2. EL OBJETO DE ESTUDIO
~k · ~E = 0. (2.3)
En otras palabras, las ondas electromagnéticas son transversales. De esta forma es
posible descomponer las componentes del campo electromagnético en dos vectores que
expandan el plano sobre el cual oscila el campo electromagnético. Llamamos ê1 y ê2 a
dichos vectores, de tal forma que podemos escribir
~E(x, t) = (E1ê1 + E2ê2)e
~k·~x−ωt. (2.4)
Recordando que las amplitudes E1, E2 pueden ser complejas podemos ver que,
para una onda plana, el vector de campo eléctrico (lo mismo para el campo magnético)
se descompone en dos oscilaciones armónicas que se suman coherentemente, pudiendo
diferir únicamente en la fase de oscilación y la amplitud sobre cada una de las direcciones
êi. Es facil ver (15) que la punta del vector de campo eléctrico en estas condiciones se
moverá sobre elipses que, en algunos casos, deforman en rectas otros en ćırculos. Al
especificar el tipo de elipse que describe el vector de campo eléctrico estamos definiendo
el estado de polarización de una onda plana. El estado de polarización de una
onda plana puede ser determinado i.e medido por medio de los parámetros de Stokes
introducidos a continuación.
Considérese el conjunto de vectores {ê1, ê2, ê+ = ê1 + ê2, ê− = ê1− ê2, êL = ê1 +iê2,
êR = ê1 − iê2}. Se definen los 4 parámetros de Stokes como
S0 = | ~E · ê1|+ | ~E · ê2| = E∗1E1 + E∗2E2,
S1 = | ~E · ê1| − | ~E · ê2| = E∗1E1 − E∗2E2,
S2 = | ~E · ê+| − | ~E · ê−| = E∗1E2 − E∗2E1,
S3 = | ~E · êL| − | ~E · êR| = i(E∗1E2 − E∗2E1).
(2.5)
Una propiedad importante de los parámetros de Stokes aśı definidos es que están
relacionados mediante la ecuación S20 = S
2
1 + S
2
2 + S
2
3 , o sea, la ecuación de una esfera
centrada en el origen del espacio tridimensional de radio S0 conocida como Esfera de
Poincaré. Cada punto sobre esta esfera representa un estado de polarización de una
onda plana como se puede ver en la figuras (2.1a)) y (2.1 b)).
Es importante hacer notar que todo lo hecho hasta ahora vale sólamente para ondas
planas monocromáticas. En el caso en el que tenemos más frecuencias conformando
8
2.1 Haces de luz polarizada
Figure 2.1: Representación clásica de los estados de polarización de una onda
plana. Cada punto en la esfera de Poincaré b) corresponde con una elipse a).
También se muestran los estados de polarización lineal, circular eĺıptica en el
plano de polarización c). -
9
2. EL OBJETO DE ESTUDIO
un dado tren de ondas, los parámetros de Stokes deben ser promediados temporal-
mente diluyendo la igualdad que define la esfera de Poincaré. En este último caso los
parámetros de Stokes son relacionados mediante la desigualdad S20 ≤ S12 + S22 + S23 y
de hecho la discrepancia con la igualdad es considerado frecuentemente como el grado
de polarización comúnmente definido como
P =
√
〈S1〉2 + 〈S2〉2 + 〈S3〉2
〈S0〉
, (2.6)
P ∈ [0, 1] (15).
El tratamiento de luz parcialmente polarizada escapa de la ĺınea de investigación de
este trabajo. No obstante las bases del estudio de haces clásicos polarizados permiten
desarrollar el formalismo cuántico y será suficiente para nosotros.
2.1.2 Parámetros de Stokes para luz cuántica
De acuerdo con la teoŕıa cuántica del campo electromagnético (16, 17, 18) debemos
asociar al campo un operador estad́ıstico ρ̂, el operador densidad. Las cantidades
observables como el campo eléctrico y la intensidad de este, tienen asociados operadores
hermitianos Ô y el resultado de una medición de una cantidad observable es el valor
medio de este operador dada la matriz densidad y matemáticamente está dado por
〈Ô〉 = Tr[ρ̂Ô].
Para el campo eléctrico oscilando en la dirección i hacemos la asociación operacional:
Ei → âi, E∗i → â†, (2.7)
donde la conjugación compleja se convierte en conjugación hermitiana.
La diferencia fundamental entre la descripción clásica y la cuántica surge de la no
conmutabilidad de los operadores del campo cuántico, expresada por [âi, â
†
j ] = δij .
Estas relaciones de anticonmutación reflejan la naturaleza bosónica de la luz.
De mayor importancia en nuestra exposición es el resultado de escribir la versión
cuántica de los parámetros de Stokes en la ecuación (2.5) mediante la sustitución directa
de los campos cuánticos en (2.7), de donde obtenemos (19)
10
2.1 Haces de luz polarizada
Ŝ0 = â
†
1â1 + â
†
2â2,
Ŝ1 = â
†
1â1 − â
†
2â2,
Ŝ2 = â
†
1â2 − â
†
2â1,Ŝ3 = i(â
†
1â2 − â
†
2â1).
(2.8)
La correspondencia de estas expresiones con los parámetros de Stokes en (2.5) se
obtiene tomando el valor medio 〈Ŝi〉 .
El interés en escribir de esta forma los operadores de Stokes es claro cuando notamos
la estructura algebráica de momento angular que {Ŝ1, Ŝ2, Ŝ3} satisfacen
[Ŝi, Ŝj ] = 2~�ijkŜk, (2.9)
mientras que Ŝ0 = n̂1 + n̂2 = N̂ cuenta el número total de excitaciones o dicho de otra
forma, el número total de fotones. Es posible mostrar que Ŝ21 + Ŝ
2
2 + Ŝ
2
1 =
~2
2 N(
N
2 + 1).
Esta representación de operadores de momento angular en términos de dos os-
ciladores armónicos desacoplados es conocida como representación de Schwinger
(20) y la hemos elegido como una forma interesante de hacer la conexión entre la de-
scripción clásica y cuántica de la polarización de la luz.
La interpretación f́ısica de estos operadores aśı definidos es más clara si tomamos
el caso particular de N = 1 que hace analoǵıa con part́ıculas de momento angular
intŕınseco 12 al mismo tiempo de definir el qubit fotónico de polarización . Cuando
nos restringimos a este espacio, la representación matricial de los operadores de Stokes
(2.8) está dada por las matrices de Pauli
S0 =
(
1 0
0 1
)
, S1 =
(
1 0
0 −1
)
S2 =
(
0 1
1 0
)
S3 =
(
0 −i
i 0
)
. (2.10)
Una base comúnmente usada para describir los estados de este subespacio es aque-
lla formada por los autoesados del operador Ŝ1, que llamaremos a partir de ahora
{|H〉, |V 〉}. La nomenclatura anterior viene de llamar a la dirección ê1 la dirección
horizontal y ê2 dirección vertical. Los estado puros asociados a este subespacio de di-
mension 2 son de la forma |Ψ〉 = 1√
2
(cos( θ2)|H〉) + e
iφsen( θ2)|V 〉) y son frecuentemente
representados como puntos en la Esfera de Bloch en la figura (2.2). Estados mixtos
en general, pueden ser escritos como
11
2. EL OBJETO DE ESTUDIO
ρ̂ =
1
2
(Ŝ0 + p1Ŝ1 + p2Ŝ2 + p3Ŝ3), (2.11)
y pueden ser visualizados como puntos dentro de la esfera de Bloch.
Figure 2.2: Representación geométrica de los estado puros de polarización de
un fotón -
En general, si nos restringimos a espacios con N fijo, estaremos definiendo sistemas
cuánticos de N + 1 niveles, conocidos en información cuántica como qudits. Una
visión geométrica para sistemas de más de dos niveles no suele ser de tanta ayuda
como en el caso de qubits dado que involucraŕıa superficies de dimensión mayor a dos.
Sin embargo la representación en la esfera de Poincaré es comúnmente usada para
representar la polarización de un haz cuántico para tratamiento de otros fenómenos
como la compresión de ruido en esta variable (21, 22).
2.1.3 Operaciones sobre qubits de polarización y medición de su es-
tado cuántico
Una vez definido el qubit de polarización revisaremos brevemente cuales son los ele-
mentos ópticos que permiten su manipulación y medición.
Para la manipulación i.e transformación de un estado en otro requerimos de ma-
teriales que respondan a la polarización y que al mismo tiempo no absorban tanto la
luz. En respuesta a esta necesidad, es común usar placas de cristal birrefringente que
12
2.1 Haces de luz polarizada
presentan un ı́ndice de refracción en una dirección y otro para otra perpendicular a la
anterior. Cuando estos dos ejes se colocan transversales a la dirección de propagación
del haz de luz, una componente de polarización tiene un atraso del orden la longitud de
onda de la luz en relación a la otra (23). Estos elementos son conocidos como placas de
onda y cuando el atraso es λ2 , se le denomina placa de media onda y usaremos HWP
1,
por sus siglas en ingles, para referirnos a este elemento óptico. Si el atraso es de λ4
esta es una placa de cuarto de onda (QWP). Al escoger los ejes de las placas de atraso
alineados con las direcciónes de cuantización ~e1, ~e2 el efecto de las placas cristalinas
sobre estados de polarización esta dado por ,
UHWP =
(
1 0
0 e−i
π
2
)
, UQWP =
(
1 0
0 e−i
π
4
)
. (2.12)
El rodadarlas en torno al eje de propagación por un ángulo θ, es equivalente a
rodar el sistema de referencia de la luz, lo que puede representarse matricialmente
con la matriz M =
(
cosθ sen(θ)
−sen(θ) cos(θ)
)
. Con esto podemos componer la fase que
introducen las placas de onda junto con la rotación del sistema de referencia para
obtener las matrices de las placas de onda rodadas:
UHWP (θ) =
(
cos(2θ) −sen(2θ)
−sen(2θ) −cos(2θ)
)
, UQWP (φ) = 1√2
(
i− cos(2φ) sen(2φ)
sen(2φ) i+ cos(2φ)
)
(2.13)
Estas matrices son unitarias y como es bien sabido, puede obtenerse cualquier trans-
formación unitaria 2x2 como composición de una placa de cuarto de onda seguida de
una de media y otra de cuarto de onda (24).
Otros elementos ópticos que son representados fácilmente son los polarizadores lin-
eales por ejemplo aquel que solo deja pasar luz con polarización horizontal PH =(
1 0
0 0
)
. Un polarizador comúnmente usado es un conocido como divisor de haz
polarizador (PBS) que transmite únicamente polarización horizontal y refleja la verti-
cal.
Esto es de utilidad pues mezclando polarizadores y placas de onda uno puede
construir proyectores en una dada polarización, por ejemplo, un proyector en polar-
ización diagonal puede ser obtenido con una placa de onda a π8 y un PBS. La expresión
1Del ingles Half Wave Plate. Se decidió continuar usando las siglas en ingles debido a que frecuente-
mente se hace referencia a estas dentro de figuras y texto. Lo anterior se hace pretendiendo facilitar la
lectura
13
2. EL OBJETO DE ESTUDIO
matemática está dada por
|D〉〈D| = UHWP (
π
8
)PHUHWP (−
π
8
) = UHWP (
π
8
)|H〉〈H|UHWP (−
π
8
). (2.14)
De esta forma es posible proyectar sobre cualquier estado puro de polarización |Ψ〉
lo que será de gran utilidad al intentar determinar el estado cuántico de un qubit de
polarización.
Con los dispositivos ópticos recién descritos, seguidos de un detector sensible a fo-
tones individuales, tales como fotodetectores de avalancha (APD), se consigue un pulso
eléctrico que puede ser registrado por una computadora que registra tal proyección.
2.1.4 Tomograf́ıa de qubits
La tomograf́ıa de estado cuántico es una técnica experimental donde un ensamble
de part́ıculas idénticamente preparadas es caracterizado mediante una secuencia de
mediciones en diferentes bases permitiendo la reconstrucción de la matriz densidad del
ensamble (25, 26, 27).
En conexión con la sección anterior podremos ver como la determinación de los
parámetros de Stokes cuánticos está diréctamente relacionada con la reconstrucción de
la matriz densidad.
Consideremos un operador densidad de dimensión finita d expandido en un conjunto
de operadores base {Γ̂α} de la siguiente forma
ρ̂ =
∑
α
rαΓ̂α, (2.15)
donde Tr[Γ̂αΓ̂β] = δαβ y los coeficientes rα son números reales. Habremos determinado
el operador ρ̂ en el momento en el que consigamos determinar los coeficientes rα. Para
eso necesitamos un número muy grande de copias del sistema sobre los cuales podamos
considerar que los resultados de nuestras medidas son suficientes para considerarlas
como promedios de la observable en cuestión. Para determinar el conjunto de coefi-
cientes en la expansión seŕıa suficiente medir el promedio de las observables Γ̂α que, en
el caso de qubits fotónicos, equivale a medir los parámetros de Stokes. No obstante, es
probable que medir ese conjunto de operadores sea poco accesible para un dado arreglo
experimental. Por ese motivo se investiga la posibilidad de obtener los coeficientes de
14
2.1 Haces de luz polarizada
la expansión de ρ̂ usando un conjunto de medidas alternativas que puedan ser más
accesibles experimentalmente. En nuestro caso empleamos un conjunto de medidas
proyectivas |ψσ〉〈ψσ| de las cuales obtendremos experimentalmente un resultado
sσ = 〈ψσ|ρ̂|ψσ〉. (2.16)
Sustituyendo (2.15) en (2.16) obtenemos que
sσ =∑
α
Bσαrα, (2.17)
donde Bσα = 〈ψσ|Γα|ψσ〉, obteniendo a partir de nuestras medidas
rν =
∑
µ
(B−1)νµsµ. (2.18)
Por supuesto, todo esto será posible siempre que las matrices Bσα sean invertibles,
en ese caso diremos que nuestro conjunto de medidas |ψσ〉〈ψσ| es un conjunto to-
mográficamente completo y podremos usarlo para determinar la matriz densidad
del sistema.
Sin embargo, debido a que nuestro conjunto de medidas tiene una incertidumbre
asociada e inevitables fluctuaciones estad́ısticas, la matriz de densidad reconstruida con
el método que acabamos de presentar, puede no ser positiva o tener traza 1 haciéndola
una matriz no f́ısica. Por esta razón, para garantizar que la matriz de densidad que re-
construimos es f́ısicamente aceptable, necesitamos restringirla a un espacio de matrices
definidas semipositivas y de traza 1. Una forma de hacer esto es haciendo uso de teoŕıa
de estimación de parámetros que, apartir de poblaciones estad́ısticas que vienen de
datos experimentales, estima parámetros desconocidos en este caso la matriz densidad
(28). Incluyendo las restricciones que mantienen f́ısica la matriz densidad podemos
definir formalmente un problema de estimación de parámetros con restricciones que
puede ser formulado de la siguiente forma:
maxρ [P (n|ρ)]
sujeto a Trρ = 1 y ρ ≥ 0,
(2.19)
15
2. EL OBJETO DE ESTUDIO
donde P (n|ρ) es la probabilidad de obtener las salidas experimentales n dado el parámetro
ρ. Formulado de esta forma, el problema de recuperación de una matriz densidad f́ısica
se vuelve muy dif́ıcil computacionalmente y por esta razón se recurre a métodos que
parametrizan la matriz densidad a estimar, donde se satisface por definición las condi-
ciones de semipositividad y traza unitaria.
Una parametrización frecuentemente usada se basa en el hecho de que todo operador
hermiteano positivo puede siempre ser escrito como  = T̂ †T̂ , donde la semipositividad
se manifiesta diréctamente pues
〈Ψ|T̂ †T̂ |Ψ〉 = 〈Ψ′|Ψ′〉 ≥ 0. (2.20)
Entonces, dividiendo por la traza del operador  es posible obtener uno nuevo
que satisface normalización y positividad por definición. Para el caso de qubits, por
ejemplo, es natural escoger T como.
T (t) =
(
t1 t3 + it4
0 t2
)
. (2.21)
La elección de este formato está motivada en el hecho de que, para un sistema de
1 qubit, es necesario determinar 4 parámetros para estimar por completo la matriz
densidad. En general para sistemas de n qubits se necesitan determinar 4n parámetros.
Se puede ver que para toda matriz hermiteana positiva existe una descomposición
adecuada, parecida a la que acabamos de presentar para 1 qubit conocida como de-
scomposición de Cholesky (29). De esta forma, la matriz densidad parametrizada puede
escribirse como:
ρ(t) =
T †(t)T (t)
Tr[T †(t)T (t)]
. (2.22)
Usando esta parametrización, las condiciones sobre la matriz densidad son sat-
isfechas. Esta vez debemos maximizar la función P (n|ρ(t)) con respecto a los nuevos
parámetros t. La estructura de la función a optimizar dependerá del tipo de distribución
que se asuma acerca de los datos experimentales.
La función P (n|ρ(t)) es conocida como función de máxima verosemejanza (MLH-F)
y para un sistema de n qubits, depende de 4n parámetros.
16
2.1 Haces de luz polarizada
El problema de maximización (2.19) para esta función de MLH requiere una opti-
mización numérica, pues en general esta función es muy complicada y de por lo menos
4 variables. Los métodos numéricos existentes presentan dificultades para garantizar
que un mı́nimo o máximo global ha sido encontrado o pueden extraviarse en puntos
cŕıticos no globales. En varios trabajos en la literatura se apunta a este hecho como
posible fuente de errores haciendo de este método menos confiable. Respecto a esto y
como parte del proceso de investigación en el asunto de esta tesis, ha sido demostrado
que propiedades generales de la MLF permiten confiar en métodos computacionales
de optimización y por tanto, este método de reconstrucción puede ser confiable por lo
menos en este punto (30).
Hasta aqúı hemos descrito brevemente como tener acceso al estado de un sistema
cuántico por medio de mediciones proyectivas bien definidas. Otro tipo de medición
tomográfica permite tener acceso a la medida directa de las operaciones que afectan un
sistema cuántico: la Tomograf́ıa de proceso. Dejaremos una explicación detallada
como apéndice a este trabajo.
En la figura (2.3) se muestran matrices de densidad correspondiente a sistemas de
uno y dos qubits fotónicos.
Figure 2.3: Matrices densidad reconstruidas en el laboratorio por medio del
método de Máxima verorosemejanza para a) estado de un fotón y b) de dos
fotones -
17
2. EL OBJETO DE ESTUDIO
2.2 Fuente de pares de fotones postseleccionados
En las secciones anteriores vimos el origen del comportamiento discreto de la luz cuando
el grado de libertad de polarización es considerado y nos restringimos a un número
de fotones fijo. Un número de fotones igual a 1 define el qubit fotónico y algunas
herramientas para la manipulación y medición de su estado también fueron presentadas.
En esta sección revisaremos un sistema f́ısico del cual se obtienen este tipo de estados.
De hecho la producción y medición de estados de fotónes individuales representa
todo un reto tecnológico. Los detectores comerciales de fotones individuales del tipo
”on/off” arrojan un click siempre que hay uno o más fotones incidiendo en una ventana
temporal dada y trabajan con eficiencias por abajo del 70%. La incursión de elementos
ópticos aśı como acoplamiento a fibras ópticas, etc, dejan como resultado eficiencias de
detección aun más pequeñas.
Fuentes de luz emitiendo números de fotones muy bajos suelen funcionar por un
mecanismo de decaimiento espontáneo y por tanto acontecen a tiempos aleatorios.
Un tipo de fuente que ha sido muy usada desde su primera implementación en la
decada de los años 80′s (31, 32, 33) es aquella que se obtiene del bombeo con un haz
de luz láser sobre un cristal que presenta una respuesta no lineal a un campo eléctrico
incidente. Un arreglo t́ıpico de este experimento se muestra en la figura (2.4a). La
respuesta no lineal de la polarización dipolar causada por un haz de campo eléctrico E
es expresada por
Pi(E) =
∑
j
χ
(1)
ij Ej +
∑
jk
χ
(2)
ijkEjEk +
∑
jkl
χ
(3)
ijklEjEkEl + ... (2.23)
Los cristales no lineales más usados para estos fines presentan la contribución im-
portante hasta términos cuadrático.
La cuantización del campo electromagnético dentro del cristal no lineal para una
dada geometŕıa permite describir el campo que se genera en este proceso (34). Este
tratamiento también permite ver el mecanismo por medio del cual el campo de salida
está siendo producido: Un fotón del láser de bombeo es absorbido en el sistema de
niveles de enerǵıa del cristal para después decaer espontáneamente en un proceso de
“cascada” en el cual se emiten dos fotones simultáneamente satisfaciendo conservación
de enerǵıa y momento(35).
18
2.2 Fuente de pares de fotones postseleccionados
Una foto t́ıpica de la luz emitida en este proceso se muestra en la figura (2.4b) donde
se puede ver la estructura de la distribución de la energá emitida. Dicha distribución
obedece la conservación de momento y enerǵıa en este proceso, conocido como con-
versión paramétrica descendente espontánea (CPDE). La probabilidad con la
que un fotón del láser es absorbido por el cristal para después emitir un par de fotones
es muy baja y esta es la razón por la cual esta fuente emite solo unos cuantos fotones
a la vez. Un calculo detallado permite ver que, de los tres fotones involucrados en el
proceso (uno de bombeo y dos generados), uno de ellos debe presentar una polarización
ortogonal a la de los otros dos. Si uno de los fotones generados es ortogonal en polar-
ización al fotón de bombeo y al segundo generado sedice que la emisión es del tipo I. Si
el fotón de bombeo es ortogonal en polarización a los generados se dice que la emisión
es del tipo II.
Figure 2.4: A la izquierda se presenta un arreglo experimental t́ıpico de gen-
eracion de pares de fotones. En este, un láser confrecuencias cercanas a la de
la luz ultravioleta incide sobre un cristal que presenta no linealidades tipo χ(2).
Una foto t́ıpica de la emisión de cristales no lineales tipo 1 se presenta en el
lado derecho -
La estructura de la función de onda asociada al estado de la luz emitida en este
proceso es compleja e involucra una distribución ancha en frecuencias y contiene toda
la información acerca de la distribución espacial. El estudio y manipulación de los
grados de libertad espaciales de la luz emitida en CPDE continúa siendo un campo de
investigación muy activo en la actualidad y una exposición detallada sobre este asunto
puede encontrarse en (36).
Sin embargo nosotros enfocaremos nuestra atención a una parte de la emisión en
donde la conservación del momento lineal acontece al mismo tiempo que la enerǵıa es
19
2. EL OBJETO DE ESTUDIO
conservada de forma degenerada. Lo anterior quiere decir que colocaremos dos detec-
tores d1 y d2 mirando a regiones en las cuales la frecuencias de la luz observada es igual
en los dos detectores y al mismo tiempo el momento lineal es conservado. Lo anterior
lo logramos colocando filtros espectrales iguales enfrente de cada detector. Junto con
la conservación del momento, la condición anterior define dos modos espaciales que
escogemos, por ejemplo, usando fibras monomodo para colectar la luz a ser detectada.
La parte del estado total que de esta forma seleccionamos puede ser escrita como:
1
N
(|0〉a|0〉b + η|1〉a|1〉b + η2|2〉a|2〉b + ...), (2.24)
donde η es el parámetro de interacción efectiva entre el láser y el cristal que es pro-
porcional a la susceptibilidad χ(2). Dentro de los kets, aparece el número de ocupación
de los modos a, b que hab́ıamos seleccionado, estos modos incluyen la polarización de
la luz observada. El parámetro η es normalmente muy pequeño y entonces, hasta una
muy buena aproximación, el estado producido es
|Ψab〉 = |0〉a|0〉b + η|1〉a|1〉b. (2.25)
Esta función de onda contiene una componente de dos fotones, uno en cada modo,
que en comparación con la componente de vacio, es muy pequeña pero lo suficiente-
mente relevante para ser detectada. Sobre esta función de onda, se seleccionan aquellos
eventos de la detección en los cuales dos fotones son detectados “simultaneamente” o
en coincidencia1.
De esta forma, usando la CPDE, el grado de libertad de polarización y el proceso
de postselección presentado, tenemos 2 qubits fotónicos a nuestra disposición.
Recalcamos que esta fuente está basada en el decaimiento espontáneo, lo que hace
que los eventos de producción de pares aleatorios en el tiempo además de que nosotros
no sabemos que ocurrieron si no hasta después de haber sido detectados, i.e. absorbidos
irreversiblemente por el detector. Este proceso de postselección es considerado en
algunos casos como un elemento propenso a cŕıticas a los experimentos que da origen a
los llamados “loopholes” en la demostración o negación absoluta de teoŕıas de variables
ocultas, por ejemplo, pero a la fecha no existe una fuente determinista accesible de dos
1Aqúı simultaneamente significa tener una conteo en coincidencia dentro de una ventana temporal
predeterminada que normalmete es de 5 nano segundos
20
2.2 Fuente de pares de fotones postseleccionados
fotones (37, 38). Solo recientemente han existido dos pruebas de primeros principio
de que este tipo de fuentes son posibles, pero requieren eventos cuya probabilidad de
acontecer son aun más bajos que la generación de pares de fotones (39) .
Concluimos esta sección mencionando que todos los experimentos en esta tésis
fueron realizados en un proceso de CPDE del tipo 1, en el cual un láser con polar-
ización alineada con el eje óptico del cristal no lineal, produce pares de fotones con
polarización perpendicular a la del fotón de bombeo. Es decir, si alineamos el eje
óptico del cristal no lineal en la posición vertical, un fotón en el láser de bombeo con
polarización vertical y frecuencia ω, produce pares de fotones con frecuencia ω/2 los
dos con polarización horizontal, cuyo estado es aproximadamente
|V, ω〉 → |H1,
ω
2
〉|H2,
ω
2
〉, (2.26)
donde hemos hecho un cambio de notación que resulta más conveniente pues de ahora
en adelante estarémos restringidos al espacio de polarización de un fotón en cada modo
espacial que hemos denotado por i = 1, 2. El estado (2.26) es, evidentemente, una
idealización que aqúı usamos para facilitar la discusión pues como se puede ver en la
figura (2.4b) la estructura espectral de este proceso es mucho mas complicada y los
filtros de frecuencias no son perfectos. Un estudio de las condiciones para manipular
la parte de frecuencias de la CPDE para la producción de estados como (2.26) puede
encontrarse en (40).
La generación de pares enredados en polarización a partir de esta fuente es tratado
más adelante en el caṕıtulo 4.
21
3
Dinámica de sistemas abiertos
En el caṕıtulo anterior describimos el mecanismo de la CPDE y el grado de libertad de
polarización de la luz con el que estaremos trabajando. También vimos como medir el
estado de polarización y como implementar las operaciones necesarias para esta tarea.
En este proceso vimos como se pueden implementar transformaciones unitarias
generales mediante el uso de placas de onda y también como proyectar en un dado estado
de polarización puro. En esta sección ampliaremos nuestra discusión a transformaciones
que más generales que pueden llevar estados puros en estados mixtos. Para esto será
necesario hacer una revisión de la dinámica de los sistemas cuánticos cuando estos se
encuentran acoplados a otros sistemas sobre los cuales no se tiene control. En muchos de
los casos, el efecto neto sobre el sistema de interés, es un decaimiento en las propiedades
f́ısicas que permiten ver interferencia debido a efectos cuánticos. Debido a esto, este
tipo de estudio también es llamado decoherencia cuántica.
Los procesos de decoherencia representan una rama importante del conocimiento
pues es por medio de estos procesos que se intenta explicar el paso del mundo cuántico,
microscópico al clásico macroscópico.
El objetivo principal de esta tesis es observar la dinámica de las correlaciones
cuánticas medidas por el enredamiento en estas circunstancias y este es nuestro punto
de partida en la siguiente sección. Un tratamiento de la relación del decaimiento de
las correlaciones cuánticas con el surgimiento del mundo clasico puede encontrarse en
(41).
23
3. DINÁMICA DE SISTEMAS ABIERTOS
3.1 Ecuación maestra
Para llevar a cabo el estudio de sistemas cuánticos interactuando con un ambiente,
consideramos que el objeto sistema-ambiente forma un sistema cerrado en total que
podemos modelar mediante un hamiltoniano del tipo (9, 42, 43, 44) :
H = HS ⊗ IE + IS ⊗HE + λVInt, (3.1)
donde HS y HE son los hamiltonianos del sistema y del ambiente, respectivamente
y VInt es el término de acoplamiento entre ellos con constante de acoplamiento λ.
La evolución del sistema S + E como un todo es unitaria pero debido al término de
acoplamiento λ, el sistema y el ambiente se enredan y un estado inicialmente puro del
sistema S evoluciona a un estado mixto, en general.
En óptica cuántica, la forma tradicional de tratar la dinámica de sistemas débilmente
acoplados ( λ � 1) a ambientes con muchos grados de libertad es por medio de una
ecuación maestra descrita brevemente continuación. El tratamiento parte de la ecuación
de movimiento para el estado del sistema S
˙̂ρS = −
i
~
TrE [H, ρ̂SE ], (3.2)
donde ρ̂SE es la matriz densidad del sistema S + E. La diferencia entre los sistemas
S y E viene delas caracteŕısticas que se asumen a cerca del sistema E que le dan el
carácter de baño o reservorio. Sobre el estado del sistema E dado por
σ̂E(t) = TrS [ρ̂SE(t)], (3.3)
se supone que este se encuentra en un estado estacionario y que de hecho no se verá
afectado a lo largo de la evolución debido al acoplamiento con el sistema S pues este
último es muy pequeño en comparación con E como para afectar su estado. Las con-
sideraciones anteriores imponen que
[σ̂, HR] = 0, (3.4)
al mismo tiempo que
ˆ̃σE(t) ≈ ˆ̃σE(0) (3.5)
24
3.1 Ecuación maestra
donde ˆ̃σE es el estado del sistema E en el esquema de interacción tomando como el
término de interacción a λVInt de la ecuación (3.1). La condición de ser estacionario es
particularmente valido y familiar si pensamos en un baño térmico.
El término de interacción en (3.1) se toma como siendo el producto entre una
observable Ŝ del sistema S y una observable R̂ del sistema E osea λVInt = λŜR̂. Es
posible ver (44) que las condiciones arriba establecidas sobre el sistema E se reflejan en
la dinámica de las fluctuaciones de la observable R̂ haciendo que las autocorrelaciones
en el sistema E decaigan rápidamente en el tiempo: el tiempo t́ıpico de decaimiento
de las correlaciones en el sistema E, τc, define un orden de magnitud en la interacćıon
entre los sistemas S y E.
Adicionalmente se considera que el estado inicial del sistema global está descorrela-
cionado, esto es
ρ̂SE(0) = σ̂E(0)⊗ ρ̂S(0) (3.6)
Una de las observaciones mas relevantes en la derivación de la ecuación maestra es
notar que existen dos escalas de tiempo diferentes, la primera asociada a las fluctua-
ciones en el sistema E y la otra la escala t́ıpica de evolución del sistema S, dado por
un tiempo TS satisfaciendo
τc � ∆t� TS (3.7)
donde ∆t es un intervalo de tiempo pequeño en comparación con TS . Entre estas dos
escalas de tiempo estamos interesados en construir la evolución del estado ρ̂S(0). Esta
aproximación se refleja en una baja definición temporal 1 en en el calculo en teoŕıa de
perturbaciones de la evolución del sistema S. Las aproximaciones antes mencionadas
permiten escribir a ecuación 3.2 como
dˆ̃ρS
dt
= − 1
~2
∫ t
0
dt′TrE{[VInt(t), [VInt(t′), ˆ̃ρS(t′)⊗ ˆ̃σE ]}. (3.8)
Sobre esta última ecuación es realizada otra aproximación de mucha importancia
f́sica: la aproximación markoviana. Esta consiste en hacer ˆ̃ρS(t′) = ˆ̃ρS(t) que
f́ısicamente equivale a decir que conocer ˆ̃ρS(t) a un tiempo t = t0 dado es suficiente
para determinar ˆ̃ρS(t) para todo t > t0. Junto con al aproximación de baja fidelidad
1en ingles es conocida como “cross grained variation”
25
3. DINÁMICA DE SISTEMAS ABIERTOS
temporal permite hacer el limite de integracion tender a infinito en la ecuación (3.8)
y un cambio de variable conveniente explcado en(45), permite escribir la ecuación
maestra
dˆ̃ρS
dt
= − 1
~2
∫ ∞
0
dτTrE{[VInt(t), [VInt(t− τ), ˆ̃ρS(t)⊗ ˆ̃σE ]}. (3.9)
Una forma mas apropiada de esta ecuación maestra que se obtiene a partir de la
integración y manipulación de (3.9) es conocida como ecuación maestra en la forma de
Linblad
dρ̃S
dt
= −
∑
k
ρSL
†
kLk + LkL
†
kρS − 2LkρSL
†
k. (3.10)
Los Lk’s son conocidos como operadores de Lindblad. Esta ecuación describe la evolución
no unitaria dependiendo únicamente de operadores actuando en S
En esta exposición no hemos presentado los detalles de la derivación de la ecuación
maestra pues este asunto escapa de los intereses principales de esta tesis, sin embargo
se presentan los ingredientes empleados en esta: las caracteŕısticas del sistema E que
lo hacen un reservorio y la existencia de dos escalas temporales muy distintas en la
evolución del sitema compuesto de la que se extrae una resolución temporal baja que
lleva a la aproximación markoviana en la evolución del sistema S.
No obstante, existe un formalismo para el estudio de sistemas abiertos que facilita
su estudio experimental y en la sección siguiente es presentado de manera breve.
3.1.1 Operadores de Kraus
Como sugiere la ecuación (3.2) de la sección anterior, la evolución de un sistema
acoplado a un ambiente, puede ser visto como una dinámica unitaria en un sistema
de dimensión mayor. Un tratamiento exauustivo y comprensible puede encontrarse en
(9, 46). Aqui presentamos un tratamiento alternativo al que se toma al derivar una
ecuación maestra que facilita la visualización de diferentes mecanismos de decoherencia.
Bajo la hipotesis de que el sistema está inicialmente descorrelacionado del ambiente,
la evolución total, puede ser escrita como:
26
3.1 Ecuación maestra
USE(ρS ⊗ |0〉E〈0|)U †SE , (3.11)
con USE el operador de evolución del sistema S + E, |0〉E representa, sin pérdida de
generalidad, el estado inicial del ambiente. De esta forma, si nosotros solo estamos
interesados en la evolución del sistema S, lo que tenemos que hacer es trazar sobre los
grados de libertad del ambiente. La evolución efectiva, en general no unitaria está dada
por:
$(ρS) = TrE [USE(ρS ⊗ |0〉E〈0|)U †SE ] =∑
µ
〈µ|USE(ρS ⊗ |0〉E〈0|)U †SE |µ〉E . (3.12)
En la ecuación anterior {|µ〉E} es una base ortogonal para el sistema E y el super-
operador $ es usado para denotar la evolución del sistema S. En general a la transfor-
mación de una matriz densidad en otra se le conoce como canal cuántico en analoǵıa
con la teoŕıa de comunicación clásica, en particular $ es un tipo de canal cuántico y
usaremos este término frecuentemente.
Finalmente podemos expresar esta evolución solo en términos de operadores ac-
tuando en S, de la siguiente forma:
$(ρS) =
∑
µ
KµρSK
†
µ. (3.13)
Los operadores Kµ =E 〈µ|US−E |0〉E son llamados operadores de Kraus. Dada
la definición de los operadores de Kraus podemos ver que se cumple∑
µ
K†µKµ = 1, (3.14)
lo que hace que sea satisfecho que Tr[$(ρS)] = 1 siendo esta una operación que preserva
la traza. Otras propiedades que pueden ser fácilmente verificadas son:
• $(ρS) es hermiteano
• $(ρS) es positivo
27
3. DINÁMICA DE SISTEMAS ABIERTOS
Es posible resumir el tratamiento aqúı descrito en una frase comúnmente léıda
en la literatura que condensa la idea central de este argumento: Dada una repre-
sentación unitaria de la evolución temporal en un espacio producto tensorial,
se obtiene una representación por suma de operadores del superoperador
asociado a la evolución temporal del operador densidad reducido, corre-
spondiente a uno de los subespacios 1.
Inversamente, es posible mostrar que, dada una representación por suma de oper-
adores de un superoperador, es siempre posible construir una representación unitaria
correspondiente en un espacio producto tensorial. Otra cosa que es importante notar es
que esta representación por suma de operadores no es única ya que fue definida a partir
de una elección arbitraria de base en el espacio de E. La elección de una base distinta
solo hará que el conjunto de operadores Kµ esté relacionada con otra representación
correspondiente a otra elección de base por medio de una transformación unitaria (la
misma que lleva una base a la otra), esto es
• En la base {E〈µ|}, Kµ =E 〈µ|US−E |0〉E
• En la base {E〈ν| =
∑
µ U
′
νµ〈µ|}
$(ρS) =
∑
ν NνρSN
†
ν , donde Nν =
∑
µ U
′
νµKµ
Por último, pero no menos importante, es preciso mencionar que adicionalmente a
las propiedades del super operador $ que ya han sido mencionadas, una representación
por suma de operadores debe satisfacer la propiedad de ser una operación completa-
mente positiva:
Considere todas las extensiones posibles de HS (Hi denota el espacio de Hilbert
del sistema i ) para el producto tensorial HS ⊗HE , se dice que $S es Completamente
Positivo (CP) sobre HS si $S ⊗ I es positivo para todas esas extensiones.
Podemos interpretar esta condición como sigue: Si el sistema S evoluciona y el
sistema E (desacoplado de S) no, la matriz densidad inicial del sistema conjunto evolu-
ciona para otra matriz densidad.Un ejemplo de una operación positiva, que no es CP
es la transposición parcial. La operación de transpuesta parcial es importante en el con-
texto de la detección del enredamiento. Aqúı remitimos simplemente como referencia
al trabajo (12).
1Es conveniente leer esta frase varias veces para comprobar que tiene sentido
28
3.2 Una aplicación: El canal de decaimiento de la amplitud
Concluimos esta sección haciendo mención, sin demostración al teorema de Kraus
que dice que toda operación que satisfaga las propiedades arriba mencionadas tiene una
representación por suma de operadores $S(ρS) =
∑
µKµρSK
†
µ donde la suma va, a lo
más, hasta N2 siendo N la dimensión de HS , y satisface que
∑
µK
†
µKµ = 1.
3.2 Una aplicación: El canal de decaimiento de la ampli-
tud
El formalismo de los operadores de Kraus presenta grandes ventajas en el área de
información cuántica porque ofrece la posibilidad de considerar errores, por ejemplo
en la implementación de un algoritmo de factorización, sin la necesidad de tener un
modelo f́ısico espećıfico.
Para ver las ventajas que ofrece el formalismo de los operadores de Kraus en el
estudio de sistemas abiertos estudiaremos el caso del canal de decaimiento de la
amplitud.
Este canal representa la interacción entre un qubit y su ambiente. Un escenario
f́ısico posible es la emisión espontánea de un fotón por un átomo de dos niveles en un
ambiente de modos electromagnéticos a temperatura cero. Otro escenario posible será
tratado con detalle más adelante
Una forma simple de descripción de este proceso es a través del correspondiente
mapa cuántico en la representación unitaria:
|0〉S |0〉E → |0〉S |0〉E ,
|1〉S |0〉E →
√
1− p|1〉S |0〉E +
√
p|0〉S |1〉E .
Los opreradores de Kraus asociados son:
K1 =
(
1 0
0
√
1− p
)
,K2 =
(
0
√
p
0 0
)
,K3 = K4 = 0, (3.15)
donde podemos comprobar fácilmente la condición de normalización (3.14)
El operador K2 induce un “salto cuántico” mientras que K1 describe la evolución
del estado cuando no hay saltos cuánticos. Esta evolución se ve en la matriz densidad
de la siguiente forma:
29
3. DINÁMICA DE SISTEMAS ABIERTOS
$(ρS) =
(
ρ00 + pρ11
√
1− pρ01√
1− pρ10 (1− p)ρ11
)
. (3.16)
Ahora supongamos que nuestro átomo pasa por el canal de amplitud una vez, de
tal forma que la probabilidad de decaimiento por unidad de tiempo es Γ y el intervalo
temporal de interacción con el ambiente que produce el canal es ∆t, de tal forma
que se satisface p = Γ∆t � 1. Entonces podemos construir la evolución durante un
tiempo t = n∆t1 por medio de sucesivas aplicaciones del mismo canal, denotado por
$n. Entonces la probabilidad de encontrar al átomo en el estado excitado evolucionará
como sigue:
ρ11 → ρ11(1− p)n, (3.17)
que cuando t → ∞ decaerá como (1 − Γtn )
n → e−Γt. De esta forma hemos modelado
el decaimiento exponencial de un átomo. También notamos que las coherencias decaen
a la mitad del ritmo que la población. Otra observación importante es notar que el
átomo siémpre termina en el estado fundamental lo que nos permite concluir que un
superoperador puede evolucionar un estado inicialmente mixto a un estado puro.
En la próxima sección veremos cómo es que el canal de amplitud y varios otros
canales emblemáticos en información cuántica, tienen realidad f́ısica en óptica cuántica
y cómo estos pueden ser implementados de manera controlada. En lo siguiente em-
plearemos los grados de libertad de polarización como qubit.
3.3 Implementación experimental de canales cuánticos
Un interferómetro de Sagnac modificado como se muestra en la figura (3.1) es usado
en la implementación de las dinámicas sobre qubits de polarización.
Un fotón que incide y pasa a través de un divisor de haz polarizador PBS (por sus
siglas en ingles “Polarizing Beam Spliter”), separa las componentes horizontal (H) y
vertical (V), causando su propagación en sentidos opuestos dentro del interferómetro.
1Tomar p = Γ∆t� 1 es equivalente a aplicar la regla de oro de Fermi y es posible demostrar que las
aproximaciones realizadas en la derivación de la ecuación maestra 3.10 conducen a esta aplicación. El
hecho de que t = n∆t implica que las sucesivas aplicaciones del canal de amplitud son independientes
y por lo tanto equivalen a la aproximación markoviana.
30
3.3 Implementación experimental de canales cuánticos
Figure 3.1: Implementación experimental de canales cuánticos - El interferómetro
de Sagnac por medio del cual se acopla el grado de libertad de polarización de un fotón
con los modos espaciales 0 y 1. Placas de onda y un cubo polarizador en la recombinación
de los modos permiten hacer tomograf́ıa del estado de polarización de la luz después de
pasar por la implementación del canal cuántico
31
3. DINÁMICA DE SISTEMAS ABIERTOS
El interferómetro está hecho de tal forma que la trayectoria H y la trayectoria V están
un poco separadas, lo que permite insertar diferentes elementos ópticos en cada uno de
los caminos. Las dos trayectorias son recombinadas en el mismo PBS y son reflejadas
o transmitidas en los modos 0 y 1 dependiendo de las polarizaciones. La razón por la
cual se uso el interferómetro de Sagnac es la estabilidad que presenta ante pequeñas
fluctuaciones mecánicas de los espejos y el PBS ( fotones en las dos trayectorias se
reflejan en los mismos componentes ópticos).
HWP (θV ) y HWP (θH) son placas de media onda que rotan las polarizaciones de
las componenetes H y V del fotón incidente. Si estas placas son posicionadas de tal
forma que no rotan polarización, el fotón deja el interferómetro de Sagnac en el modo
0. Con las placas de onda alineadas a los angulos θH y θV el interferómetro de Sagnac
implementa la transformación:
|H〉|0〉 → cos(2θH)|H〉|0〉+ sen(2θH)|V 〉|1〉,
|V 〉|0〉 → cos(2θV )|V 〉|0〉+ sen(2θV )|H〉|1〉 (3.18)
En analoǵıa con la sección anterior, asociamos las componentes de polarización H
y V , con el estado base y excitado de nuestro qubit. Los modos de salida 0 y 1 los
asociamos a estados del ambiente.
Escogiendo θH = 0 y p = sen2(θV ) el interferómetro implementa exactamente el
mapa unitario del cual se obtiene el canal de decaimiento de amplitud.
Para estudiar decoherencia usando este interferómetro, es necesario recombinar in-
coherentemente los modos 0 y 1 , lo que equivale experimentalmente a trazar sobre
los grados de libertad del ambiente. Esto fue hecho recombinando incoherentemente
los dos puertos de salida del PBS para considerar únicamente el grado de libertad de
polarización para tomograf́ıa como se muestra en la figura (3.1). La recombinación
incoherente de los dos modos es garantizada ya que la diferencia de caminos ópticos es
mayor que la longitud de coherencia del fotón 1.
1Como mencionamos anteriormente, aún cuando nosotros escribimos el estado de un fotón que
proviene de la CPDE como una onda plana, este tiene una estructura en frecuencias. Longitudes de
coherencia t́ıpicas de estos fotones, cuando son detectados con filtros espectrales de ancho de banda
∆λ ≈ 5, son de 100µm que es mucho menor que la diferencia de camino óptico en la recombinación
que es de aproximadamente 2cm.
32
3.3 Implementación experimental de canales cuánticos
La tomograf́ıa de estado cuántico es realizada usando una placa de cuarto de onda
(QWP), una placa de media onda (HWP), un PBS seguido de un detector de fotones
individuales que es un fotodiodo de avalancha de Silicio, como describimos en el caṕıtulo
2. El conjunto tomográfico que se usó para determinar el estado de polarización de un
fotón es: {|H〉, |V 〉, 1√
2
(|H〉+ i|V 〉), 1√
2
(|H〉+ |V 〉)}.
Para una dada configuración del interferómetro de Sagnac hacemos tomograf́ıa de
proceso para caracterizar el canal cuántico siendo implementado. Esta tarea es con-
seguida usando un conjunto adicional de placas de onda y PBS colocados en la trayec-
toria del fotón antes del interferómetro. Estados purosde un fotón son preparados y
mandados al interferómetro, después del cual se hace el analisis de polarización. Los
estados preparados para la tomograf́ıa de proceso son el mismo conjunto tomográfico
usado para tomograf́ıa de estado.
La figura (3.1) resume el arreglo experimental para preparar estados, implementar
un canal cuántico y detectar estados. La figura (3.2) muestra los operadores de Kraus
reconstruidos para diferentes valores de p en la implementación del canal de amplitud.
Se puede ver que los elementos de matriz siguen de cerca aquellos en la ecuación (3.15).
33
3. DINÁMICA DE SISTEMAS ABIERTOS
Figure 3.2: Operadores de Kraus - El resultado de la reconstrucción de la transfor-
mación que implementa el interferómetro de Sagnac modificado. La fidelidad media del
proceso experimental con el canal de amplitud teórico es 0.96. En el apéndice 8.2 se expone
la forma en la que esta fidelidad fue calculada.
34
4
Enredamiento
Hasta ahora hemos hablado de sistemas compuestos en los cuales uno de ellos representa
nuestro objeto de estudio mientras que el segundo interactúa con el primero. La difer-
encia prinicipal entre estos dos es que aquel al que llamamos ambiente, normalmente
es un sistema incontrolable e inaccesible a medidas.
A continuación definiremos el concepto de enredamiento e intentaremos ilustrar esta
definición con ejemplos del laboratorio. Se estudia como las correlaciones cuánticas
existentes en un sistema de dos qubits, se ven afectadas cuando trasformaciones locales
no unitarias son efectuadas sobre uno de los qubits. Esto nos llevará a la definición
axiomática de cantidades que midan el enredamiento.
El abordaje que presentamos no pretende ser muy riguroso matemáticamente, en
cambio intenta ser ilustrativo con ejemplos f́ısicos que puedan hacer mas tangible este
concepto. Existen muchas referencias donde se desarrolla formalmente la teoŕıa del
enredamiento y de forma muy clara, aqúı remitimos al lector interesado a estas (12, 13,
47) donde se expone extensa y claramente la teoŕıa del enredamiento.
4.1 Enredamiento
La caracteŕıstica cuántica del enredamiento tiene su origen en el principio de super-
posición. En esto se basa la primer definición que daremos para el caso de estados
puros.
Consideremos un sistema S multipartito i. e. compuesto por N part́ıculas. Según la
descripción cuántica, el espacio total de estados es un espacio de Hilbert H, resultante
35
4. ENREDAMIENTO
del producto tensorial de los N espacios de Hilbert individuales de cada subsistema:
H = H1 ⊗ ... ⊗HN donde Hi con 1 ≤ i ≤ N , es el espacio del Hilbert de dimensión
di asociado al i−esimo subsistema. La dimensión D del espacio H es D = ΠNi di. La
estructura del espacio producto tensorial es tal que no necesariamente todos sus
elementos son producto de otros dos. En otras palabras el principio de superposición
permite que, si llamamos |ji〉 con 0 ≤ ji ≤ di − 1 al j−esimo elemento de una base
conveniente de HI , escribir el estado más general del sistema N−partito como:
|Ψ〉 =
∑
j1,...,jN
Ψj1,...jN |ji〉 ⊗ ...⊗ |jN 〉. (4.1)
Este estado no puede, en general, ser escrito como un producto de estados individuales
de los subsistemas: |Ψ〉 = |Ψ1〉⊗ ...⊗|Ψ1〉. En otras palabras no es posible, en general,
atribuir un vector de estado a cada subsistema individual y de aqúı nuestra definición
formal de enredamiento para estados puros:
Definicion 1: Un estado puro es enredado si y solo si, no es un estado
producto.
C1 C2
t1 t2
V1,t1
V2,t1
H2,t2
H1,t2
..
Figure 4.1: En este arreglo experimental, detectando luz proveniene de los
dos cristales no tenemos un estado enredado en polarización aun cuando la luz
detectada se encuentra correlacionada en polarización. -
Hemos elegido ilustrar esta definición con el ejemplo del sistema experimental usado,
la PDC. Aqúı veremos como es que el principio de superposición es el origen de esta
cantidad.
Considerese entonces la CPDE degenerada Tipo I (33) donde un fotón con frecuencia
ω con polarización vertical es convertido, dentro de un cristal no lineal C1, al tiempo
36
4.1 Enredamiento
t1, en un par de fotones con la mitad de la frecuencia cada uno
|Vb〉t1 → |V1〉t1 |V2〉t1 , (4.2)
donde b denota el fotón del haz de bombeo, 1 y 2 los fotones generados. El resultado
es evidentemente un estado producto de dos fotones, por definición no enredado en el
grado de libertad de polarización. Para generar un estado enredado en polarización
usamos un segundo cristal C2 con el eje óptico perpendicular al cristal C1 transversal
al haz que produce pares de fotónes en el primer cristal como se ve en la figura (4.1)
de tal forma que acontece el proceso
|Hb〉t2 → |H1〉t2 |H2〉t2 . (4.3)
Variando la distancia entre los dos cristales estamos variando la diferencia de tiempo
al que estos procesos se llevan a cabo. Por tanto, según la mecanica cuántica, un fotón
con frecuencia ω con polarización α|V 〉 + β|H〉 tendrá asociadas las amplitudes de
probabilidad de generar una pareja de fotones dada por
α|H1H2〉t1 + β|V1, V2, 〉t2 (4.4)
Estas dos amplitudes son distinguibles por los tiempos a los que fueron generados
y entonces, si solo vemos a los grados de polarización de estos fotones i.e. trazamos
sobre el grado de libertad temporal, el resultado sera un estado también factorizable y
mixto de dos fotones. Esta situación es mostrada en la figura (4.1)
Si en cambio acercamos lo suficiente los cristales conseguiremos indistinguibilidad
temporal. Esto es, si hacemos t1 = t21 de tal forma que sea posible factorizar la parte
temporal de la función de onda podremos escribir
(|H1H2〉+ |V1, V2〉)t, (4.5)
Esta situación es ejemplificada en la figura (4.2) El resultado es un estado que no
1El proceso de generación de pares acontece dentro de un intervalo de tiempo dado ∆t que obedece
el principio de incertidumbre en frecuencia tiempo ∆ω∆t ≥ ~
4
y cuando decimos que los dos tiempos
son indistinguibles estamos diciendo que |t1 − t2| ≤ ~∆ω , donde ∆ω es el ancho de banda del haz de
bombeo.
37
4. ENREDAMIENTO
C1 C2
t2=t1
H1,H2+V1,V2
..
H0+V0
Figure 4.2: En este arreglo se consigue indistinguibilidad temporal dando ori-
gen a un estado enredado en polarización -
puede ser decompuesto en factores en el grado de libertad de polarización. Este es un
ejemplo que involucra únicamente dos partes pero que ilustra muy bien la forma en la
que se superponen f́ısicamente dos amplitudes en un sistema bipartido.
No obstante, esta definición no abarca la gran mayoŕıa de los casos pues en los
resultados experimentales dentro de los laboratorios, uno siempre recupera estados
mixtos por lo cual es conveniente hacer la siguiente definición
Definicion 2: Decimos que un estado de N partes es enredado śı, y solo śı,
no puede ser escrito como combinación convexa de estados producto
de todos los sistemas que lo conforman i.e .
ρ̂ 6=
∑
µ
pµρ̂1µ ⊗ ρ̂1µ ⊗ ρ̂2µ...⊗ ρ̂Nµ, (4.6)
donde el subndice µ se refiere a la µ-ésima realización del estado y
∑
µ pµ =
1 y pµ ∈ [0, 1] (4).
Como podemos ver esta definición es en negativo, esto es, para definir un estado
enredado de hecho se definen los estado separables que son aquellos que satisfacen
la igualdad (4.6): Los estados enredados son aquellos que no son separables.
Para entender mejor esta última definición, es útil enunciar una tercera
Definición 3: Los estado enredados son aquellos cuyas correlaciones no pueden
ser simuladas por correlaciones clásicas (48)
38
4.1 Enredamiento
Para entender mejor estas definiciones en términos f́ısicos, pensemos en la siguiente
situación del laboratorio: Dos laboratorios A y B se encuentran muy distantes uno
del otro. Cada uno de ellos dispone de toda la tecnoloǵıa para generar haces de fo-
tones individuales con estados de polarización arbitrarios dentro de cada laboratorio.
Cualquier cosa que ellos puedan hacer dentro de su laboratorio lo llamaremos una op-
eración local(OL). Inclusive pueden entrar en contacto por teléfono o tener un sistema
electrónico que coordine los dos laboratorios. A cualquier sistema clásico que coordine
las operaciones de preparación de estado le llamaremos comunicación clásica (CC).
Haciendo uso de comunicación clásica estos dos laboratorios pueden crear correlaciones
entre sus dos fotones.
Por medio de OL, cada uno de ellos producirá estados ρ̂A y ρ̂B y el estado total
de estos dos fotones será ρ̂A ⊗ ρ̂B. Cualquier correlación entre los estados A y B
está incluida en el peso estad́ıstico que, por medio de CC, se acuerde dar a una dada
realización del sistema ρ̂Aµ⊗ ρ̂Bµ. O sea, cualquier estado que se pueda generar en estas
condiciones será descrito por
∑
µ pµρ̂Aµ ⊗ ρ̂Bµ, que es exáctamente lo que la definición
2 nos dice que NO es un estado enredado.
Situándonos en nuestro sistema f́ısico, supongamos que, usando OLyCC, se busca
crear un estado de dos fotones que con probabilidad 12 , estos tengan polarizaciones
ortogonales |H1, V2〉 y con el resto de la probabilidad |V1, H2〉, al igual que el estado en
(4.5). A lo más, usando OLyCC, es posible generar este tipo de correlación que esta
descrita por el estado
ρ̂ = p1|H1, V2〉〈H1, V2|+ p2|V1, H2〉〈V1, H2|, (4.7)
con p1 = p2 = 12 . Mientras el estado en (4.5) es enredado, el estado en (4.7) no lo
es. No obstante estos presentan las mismas correlaciónes cuando miramos a las polar-
izaciones {|H〉, |V 〉} de cada uno de los fotones. Los efectos de interferencia debidos
a la superposición coherente en (4.5) pueden ser observados cambiando de base de
análisis. Supongamos, por ejemplo, que medimos uno de los fotones en polarización
diagonal |D1〉 = |H1〉 + |V1〉 y conjuntamente medimos en alguna otra polarización
lineal |ψ2〉 = cos(ψ2 )|H2〉+ sen(
ψ
2 )|V2〉 sobre los estados (4.5, 4.7). El resultado de esta
medida estará dado por
Tr[|φ+〉〈φ+|D1, ψ2〉〈D1, ψ2|] = 14(1 + sen(ψ)),
T r[ρ̂|D1, ψ2〉〈D1, ψ2|] = 14 ,
(4.8)
39
4. ENREDAMIENTO
Mientras el resultado de esta medición sobre el estado |φ+〉 depende sinusoidalmente en
ψ debido a los términos de interferencia en el estado de dos fotones, la misma medida
sobre el estado ρ̂ es constante.
Es interesante notar lo que pasa con un observador que mide uno de los fotones
de los estados |φ+〉, sin importar lo que el otro mide. Matemáticamente, esto significa
trazar parcialmente sobre el sistema que está siendo ignorado. En los dos casos se
observa que, individualmente, cada haz de luz no tiene polarización alguna o sea, la
matriz reducida es proporcional a la identidad. Por tanto, mirando solo una de las
partes, desconocemos completamente la estructura del estado global de los dos fotones
pero las medidas conjuntas revelan la estructura del estado global. En el caso del estado
(4.5), el estado global es un estado puro que puede ser medido y aśı obtener el mayor
conocimiento del estado. Esto recuerda a la frase que Schrödinger usó para referirse a
esta observación: “ El mejor conocimiento posible del todo no incluye el mejor
conocimiento de sus partes” (2).
Hasta aqúı hemos definido el concepto de enredamiento y también hemos visto como
estas definiciones toman forma en el contexto de qubits fotónicos en el laboratorio. Sin
embargo, los ejemplos discutidos hasta aqúı distan mucho de ser generales. De hecho,
entre los estados máximamente enredados y los separables, existe una infinidad de
estados. El problema de decidir qué estado se encuentra más enredado que otro recae
en el problema de cuantificar las correlaciones cuánticas en forma de enredamiento que,
como veremos en la siguiente sección, es un problema muy complicado que a la fecha
no tiene solución general.
4.2 Cuantificadores de enredamiento
Si el enredamiento es considerado como correlaciónes entre sistemas, ¿por qué no simple-
mente calcular funciones de correlación asociadas a las variables cuánticas en cuestión?
La respuesta es simple, pues como vimos en la sección anterior, hay estados que pre-
sentan correlaciones aun siendo separables. El problema es distinguir entre las cor-
relaciones asociadas a mecanismos puramente cuánticos de las que pueden crearse por
mecanismos clásicos.
De hecho existen desigualdades que combinan funciones de correlación que pre-
tenden delimitar las propiedades “no locales” de los estados cuánticos: las famosas
40
4.2 Cuantificadores de enredamiento
desigualdades de Bell (49). Pero es bién sabido que el tipo de correlaciones que
detectan las desigualdades de Bell son diferentes al enredamiento, por ejemplo, existen
estados que no violan ninguna desigualdad de Bell y al mismo tiempo no son separables.
En el intento por capturar el carácter cuántico de las correlaciones que presentan los
estados de sistemas compuestos, otro tipo de correlaciones diferentes a la no localidad
y al enredamiento han sido propuestas. Estas pretenden resaltar la diferencia entre
propiedades clásicas y cuánticas a través funciones entrópicas de los estados heredando
conceptos de la teoŕıa de información clásica. En este contexto surge la llamada dis-
cordia cuántica como un intento de identificar y de hecho cuantificar correlaciones
cuánticas (50). Una caracteŕıstica que vale la pena mencionar es que esta cantidad,
cuando es calculada para estados puros, coincide con el enredamiento. Para estados
mixtos en general es sabido que hay estado separables que tienen discordia diferente de
cero. La identificación de este tipo de correlaciones es una tarea, en general, muy com-
plicada no obstante, para sistemas de dos quibits, han sido recientemente propuestos
métodos para su detección comprobados experimentalmente (51).
El problema de cuantificar el enredamiento ha sido aproximado por medio de ax-
iomas que debe satisfacer una función del espacio de estados que pretenda cuantificar
el enredamiento.
En la sección anterior, justificamos el hecho de que cualquier correlación que uno
pueda generar entre dos estados usando OLyCC, es un tipo de correlación que por
definición NO llamamos enredamiento. Es notable el hecho de que la respuesta de
un estado ante OLyCC sea considerada como el punto de partida al intentar definir
cuantificadores de enredamiento, como veremos a continuación.
Axioma 1: El enredamiento no puede aumentar debido a operaciones lo-
cales asistidas por comunicación clásica. Esto es, si E(ρ̂) cuantifica el
enredamiento del sistema ρ̂
E(ρ̂) ≥ E(ΛOLyCC(ρ̂)), (4.9)
donde ΛOLyCC(ρ̂) es cualquier trasformación que una matriz ρ̂ pueda
sufrir mediante OLyCC
41
4. ENREDAMIENTO
Este axioma es conocido como monotońıa bajo OLyCC por razones obvias.
Aquellas funciones que satisfacen el axioma de monotońıa, son llamadas monótonas
de enredamiento.
Una condición requerida comunmente para una medida de enredamiento llamada
monotońıa fuerte bajo OLyCC nos dice que el enredamiento no puede aumentar
en promedio, debido a OLyCC:
E(ρ̂) ≥
∑
α
pαE(σ̂α), (4.10)
donde {pα, σα} es el ensamble obtenido a partir de ρ̂ por medio de OLyCC.
Axioma 2: El enredamiento de cualquier estado separable es nulo. Es decir,
si ρ̂ es separable, entonces E(ρ̂) = 0
Este axioma, tiene su origen en el hecho de que todo estado separable puede ser
transformado en cualquier otro estado separable por medio de operaciones locales, lo
que indica que el enredamiento de cualquier estado separable es una constante. Es
razonable fijar esta constante igual a 0.
Existen otras condiciones que son usualmente pedidas a una medida de enredamiento,
por ejemplo, continuidad, convexidad, etc, no entanto no son requeridas para la presente
discusión.
Más importante para el presente trabajo es enunciar los casos para los cuales existe
una medida de enredamiento que satisface los axiomas enunciados. Tal es el caso de
los estados puros.
4.2.1 Monótonas para estados puros
Para estados puros de sistemas conformados por 2 partes, es posible cuantificar el
enredamiento