2006_Diploma_Matera

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Condensación de Bose Einstein en
trampas de iones
Efectos de la forma del potencial confinante y de las
interacciones entre las part́ıculas
Autor: Juan Mauricio Matera
Director: Dr Osvaldo Civitarese
Codirector: Dra Marta Reboiro.
Trabajo de Diploma
Licenciatura en F́ısica
Universidad Nacional de La Plata
Facultad de Ciencias Exactas
Departamento de F́ısica.
Octubre de 2006
Caṕıtulo 1
Introducción
1.1. Motivación del trabajo
La condensación de Bose Einstein(BEC) fue observada por primera vez en el labora-
torio en 1995, en una serie de experimentos realizados sobre vapores de rubidio y sodio
confinados mediante trampas magnéticas y enfriados a temperaturas extremadamente
bajas, del orden de fracciones del milikelvin. Este fenómeno hab́ıa sido predicho 70 años
antes en los trabajos del matemático indio Satyendra Nath Bose y del f́ısico alemán Albert
Einstein. Ellos dedujeron que en un gas ideal cuántico, al bajar la temperatura los áto-
mos del sistema no detienen su movimiento gradualmente, hasta detenerse por completo
a temperatura cero, como es de esperar en un gas ideal clásico, sino que a partir de una
cierta temperatura finita, todos los átomos se acomodan en el estado de menor enerǵıa
del sistema siempre y cuando las part́ıculas no cumplan el principio de exclusión de Pauli.
En este trabajo estudiaremos sistemas formados por bosones, esto es, por part́ıculas que
no cumplen este principio. La pertenencia a una de estas dos familias es una propiedad
intŕınseca de las part́ıculas a la que llamamos estad́ıstica.
En la práctica, la mayoŕıa de los gases reales no se comportan de ninguna de estas
maneras. Al bajar suficientemente la temperatura, las interacciones entre las part́ıculas
que forman un gas real tienden a detener su movimiento relativo cuando alcanzan alguna
temperatura finita, de manera que el gas comienza a formar gotas o cristales, de acuerdo
a cuanto y en que manera se lo enfŕıe. A esto es lo que podemos llamar condensación. La
condensación localiza de esa manera al gas en las posiciónes donde se forman las gotas.
Este proceso de condensación constituye una transición de fase en el sentido que la define
la teoŕıa de Yang y Lee.
La Condensación de Bose Einstein, por otro lado, se trata de un fenómeno puramente
1
Caṕıtulo 1 Introducción
estad́ıstico: un gas sin interacciones puede formar un condensado de Bose Einstein siempre
que la estad́ıstica de las part́ıculas que lo formen y la geometŕıa del sistema lo permitan.
Otra diferencia importante consiste en que esta condensación deslocaliza en vez de loca-
lizar las part́ıculas, por lo que no ocurre algo como la formación de gotas en el espacio
de coordenadas. Más adelante daremos más precisión al concepto de estad́ıstica de un
sistema de part́ıculas.
A principios del siglo veinte se conoćıan dos fenómenos a los que la condensación de
Bose Einstein pod́ıa dar explicación; uno de ellos era la superconductividad y el otro, la
superfluidez.
La superconductividad es un fenómeno que se observa en algunos materiales al enfriar-
los por debajo de cierta temperatura, que consiste en pérdida abrupta de su resistencia
eléctrica. Un superconductor puede sostener una corriente sin sufrir pérdidas de enerǵıa
por efecto Joule, como en un conductor convencional.
La superfluidez, por otro lado, es un fenómeno que se observa en el helio ĺıquido. A una
temperatura suficientemente baja, el helio ĺıquido pierde en gran medida su viscocidad.
La explicación de estos fenómenos se basa en parte en la idea de que las part́ıculas que
forman estos sistemas se comportan a baja temperatura como si formacen un condensado
de Bose Einstein.
La teoŕıa de condensados también es aplicable a fenómenos astrof́ısicos como ser la
termodinámica de estrellas de neutrones, donde las densidades en juego son compatibles
con la existencia de efectos cuánticos macroscópicos.
La posibilidad de generar un condensado de Bose Einstein en el laboratorio nos abre
la puerta para estudiar efectos de correlaciones cuánticas macroscópicas en forma experi-
mental, lo que nos permite corroborar hipótesis sobre sistemas más complicados como los
que mencionabamos antes.
Las técnicas experimentales, por otro lado, requieren de cálculos teóricos precisos, de
manera de ser capaces de seleccionar experimentos adecuados, desarrollar mecanismos de
calibración y preveer cuales deben ser las condiciones para que un BEC sea posible.
Los parámetros que entran en juego a la hora de estudiar este fenómeno son diversos.
Entre ellos, debemos contar las simetŕıas del sistema en cuestión, la estad́ıstica de las
part́ıculas con las que trabajamos, las propiedades inerciales de las mismas (masa de las
2
1.1 Motivación del trabajo
Figura 1.1: Distribución de velocidades en una trampa de Rubidio en el experimento de
Anderson et. al. (1995) tomadas por el método de expansión para temperaturas de 400nK
(izquierda), 200nK(centro) y 50nK (derecha). El campo de visión es de 200µm × 270µm
que corresponden al desplazamiento de los átomos en un intervalo de 1/20seg
part́ıculas, relaciónes de dispersión), el mecanismo por el cual las confinamos (trampas
magnéticas, ópticas, etc ), las interacciones entre las part́ıculas (signo y magnitud de la
sección eficaz de scattering, posibilidad de formación de moléculas o clusters) entre otros.
También son varias las cantidades observables que podemos considerar. En sistemas
macroscópicos, la BEC se puede observar en el comportamiento del calor espećıfico en
función de la temperatura, la presión y la densidad. En sistemas mesoscópicos, como
son las trampas de iones como las que vamos a estudiar en este trabajo, podemos medir
entre otras cantidades, la enerǵıa del sistema, la distribución de la densidad, la velocidad
media, el espectro de absorción de radiación electromagnética, los modos de excitaciones
colectivas, etc.
La idea de este trabajo es estudiar una trampa de iones para una geometŕıa par-
ticular, donde los átomos pueden distribuirse en un área plana grande relativa al resto
de las longitudes caracteŕısticas del sistema, mientras que el movimiento en la dirección
3
Caṕıtulo 1 Introducción
perpendicular (en adelante, la dirección z) se encuentra confinado por un potencial. Esta
geometŕıa se corresponde con la adoptada en un reciente experimento del equipo de la
Universidad de Inssbruck [13]. En ese trabajo, se estudió la formación de un condensado
de átomos de Cesio por medio de una trámpa de superficie gravito-óptica (GOST)( ver
figura 1.1). Los detalles del experimento se pueden leer en la referencia, pero el punto
importante es que el potencial de confinamiento es de la forma
U(z) = U0 exp(−z/Λ) +mg z
mientras que el confinamiento horizontal se consigue mediante otro haz laser. Los paráme-
tros del experimento son:
Λ ≈ 1, 4µm
U0 ≈ 50nK × kB
que resulta en
ωz ≈ 2 π600Hz
Siendo el radio de confinamiento transversal
rxy = 0, 8mm
En este trabajo vamos a plantear un grado de simetŕıa un poco mayor, pensando
que se trata de un potencial cuadrático. En la práctica, al acercarnos al ĺımite en que
esta trampa funciona, los efectos sobre el espectro de enerǵıa debido a la forma real del
potencial no debeŕıan modificar mucho nuestros resultados.
Vamos a estudiar entonces los efectos de tres parámetros que están en juego en un
experimento como este: el potencial confinante, la temperatura del sistema y el efecto de
las interacciones entre las part́ıculas atrapadas.
1.2. Organización del trabajo
En el caṕıtulo dos, vamos a intentar dar más precisión al concepto de BEC, analizando
las circunstancias y los ĺımites en que este fenómeno puede ocurrir. Concluiremos calcu-
lando las relaciones funcionales respecto a la temperatura de varios de los parámetros
4
1.2 Organización del trabajo
Figura 1.2: Esquema de la trampa de superficie gravitoóptica(GOST)
f́ısicos para el problema de un gas de bosones no interactuantes en una caja tridimensio-
nal. Consideraremos también el efecto de la masa de las part́ıculas sobre la formación del
condensado.
En el caṕıtulo tres, estudiaremos el efecto de fijar una de las longitudes de la caja
estudiada en la sección 2, y como afecta esto a las cantidades que estudiamos. Tratare-
mos entonces el problema de un gas de bosones no interactuantes en dos dimensiones, y
compararemos los resultados.
En el caṕıtulo cuatro desarrollaremos el formalismo para tratar un sistema general de
bosones interactuantes. Se hará entonces una revisión del concepto de excitación elemental
de un sistema de part́ıculas.
En el caṕıtulo cinco aplicaremos ese formalismo, en primer lugar, al problema ho-
mogéneo con interacciones. Luego, analizaremos cualitativamente el efecto de introducir
condiciones de borde en el problema. Finalmente, presentaremos los resultados obtenidos
de aplicar el formalismo a sistemas confinados por medio de métodos numéricos. Compa-
raremos luego estos resultados con los cálculos anaĺıticos en los sistemas homogéneos.
Finalmente, el caṕıtulo seis enumeraremos las conclusiones de este trabajo y sus posi-
5
Caṕıtulo 1 Introducción
bles extensiones.
6
Caṕıtulo 2
BEC en sistemas homogéneos sin
interacciones
2.1.
En este caṕıtulo vamos a analizar una versión muy simplificada del sistema para
tratar de ganar una mejor comprensión del fenómeno. Vamos a empezar planteando el
hamiltoniano de un sistema general para part́ıculas no interactuantes.
Ĥ =
∑
i
ǫin̂i (2.1)
donde n̂i es un operador que actuando sobre un estado del sistema nos da el ”número de
part́ıculas”que ”pueblan” un cierto estado de part́ıcula simple. Cada estado de part́ıcula
simple tendrá asociada una ”función de onda”que nos permitirá calcular valores de ob-
servables relacionados con el movimiento de las part́ıculas en el sistema. La información
termodinámica, por otro lado, estará completamente codificada en el espectro ǫi y en las
ocupaciones medias de cada estado. El espectro, por otro lado, contiene toda la infor-
mación relativa al sistema en particular, como ser los grados de libertad internos de las
part́ıculas, la forma en que interactuan con el contenedor, las ecuaciones de movimiento
que satisfacen, etc. En un sistema no cerrado, el valor medio de un operador se define
como
〈
Â
〉
= tr(ρ̂Â) (2.2)
donde el operador densidad ρ̂ define el estado de un sistema abierto. En el equilibrio
termodinámico, el operador densidad debe ser constante, y por lo tanto, su conmutador
con el hamiltoniano debe ser nulo.
[
ρ̂, Ĥ
]
= 0 (2.3)
7
Caṕıtulo 2 BEC en sistemas homogéneos sin interacciones
De evaluar el valor medio del operador identidad, encontramos que ρ̂ debe tener traza 1.
En el equilibrio termodinámico, si el número de part́ıculas es estrictamente constante, el
operador densidad toma la forma
ρ̂ =
e−Ĥ/k T
Tr(e−Ĥ/k T )
(2.4)
al denominador de esta expresión, lo llamamos función de partición canónica del sistema.
A veces conviene, en lugar de fijar el número de part́ıculas, considerar que sólo está fijo
en media. En tal caso, introducimos la matriz densidad del conjunto gran-canónico como
ρ̂µ =
e−(Ĥ−µN̂)/k T
Tr(e−(Ĥ−µN̂)/k T )
(2.5)
Al producto del logaritmo del denominador de esta expresión con −k T lo llamamos
potencial gran canónico del sistema, que en términos del hamiltoniano 2.1 se escribe
Ξ = −k T log
(
Tr
(
e−(Ĥ−µN̂)/k T
))
= −
∑
i
log
(
∑
n
(
e−(ǫi−µ)n/k T
)
)
(2.6)
El valor de µ se obtiene de la condición
〈N〉 = Tr
(
ρ̂µN̂
)
(2.7)
Para continuar, es necesario incluir el efecto de la estad́ıstica en la expresión anterior. Si
las part́ıculas obedecen el principio de exclusión, la suma dentro del logaritmo se deben
hacer sobre los dos posibles valores de n, cero o uno. Por otra parte, en el caso que nos
ocupa, la suma debe hacerse sobre todos los valores enteros no negativos. De esta manera
obtenemos
Ξ = k T
∑
i
log
(
1 − e−(ǫi−µ)/k T
)
(2.8)
De esto, es posible obtener una forma expĺıcita para los 〈ni〉 en términos del espectro:
〈ni〉 =
∂
∂ǫi
Ξ
=
1
e(ǫi−µ)/k T − 1 (2.9)
8
2.1
De esta última expresión vemos que µ < ǫ0 si no queremos que ninguno de los términos
diverja. Por otra parte, la dispersión cuadrática media para 〈ni〉, viene dada por
(
∆ni
〈ni〉
)2
=
k T
〈ni〉2
∂2
∂ǫ2i
Ξ
= e
e−µ
kT = 1 +
1
〈ni〉
(2.10)
para un estado poco poblado, la incerteza en la ocupación va como
√
ni. Para un estado
macroscópicamente poblado, por otra parte, la incerteza en la ocupación va como ni,
que es un número grande. Esto ocurre particularmente a baja temperatura, cuando el
estado fundamental adquiere una población macroscópica. Si este comportamiento tiene
una ráız f́ısica, el condensado de Bose Einstein será una fase altamente inestable del
sistema. Ciertamente, esto ocurre si el sistema se encuentra conectado con un reservorio
infinito de part́ıculas. Sin embargo, en los experimentos reales, el número de part́ıculas es
siempre finito. Para tener en cuenta esto, la suma de la ec 2.6 deberá tomarse, en lugar de
entre 0 e ∞ sólo hasta el número de part́ıculas del sistema. Si bien esto sigue siendo una
aproximación, elimina el caracter singular de la suma hasta infinito y da una aproximación
más precisa. El resto de los resultados no cambian sensiblemente, pero obtenemos ahora
para el estado fundamental
(
∆n0
n0
)2
=
(
N
〈n0〉
− 1
)2
(2.11)
que es una cantidad que se anula cuando la fracción de part́ıculas en el fundamental se
acerca a 1. El desarrollo de este resultado podemos encontrarlo en el caṕıtulo 4 del texto
de ter Haar[15].
Veamos ahora que puede pasar para diferentes formas del espectro ǫi. Podemos asumir
para empezar que el espectro es discreto y que el nivel fundamental es no degenerado. En
tal caso, si la diferencia entre el primer nivel excitado y el fundamental es ∆ = ǫ1 − ǫ0,
para temperaturas menores que ∆/k las poblaciones de cualquiera de los estados excitados
será pequeña relativa a la población del fundamental.
Observemos por otro lado el caso en que el espectro se puede considerar casi-continuo.
Para esto conviene introducir la densidad de estados ρ(ǫ) de manera que el número de
estados Ω(ǫ) por debajo de la enerǵıa ǫ venga dada por
Ω(ǫ) =
∫ ǫi
0
ρ(x)dx (2.12)
9
Caṕıtulo 2 BEC en sistemas homogéneos sin interacciones
Con esta definición, podemos aproximar la suma en 2.9 como la integral
N =
∫ ∞
0
ρ(ǫ)dǫ
exp
(
ǫ−µ
k T
)
− 1
(2.13)
Sin embargo, no siempre es posible construir ρ(ǫ) de manera que resulte una función
regular y que reproduzca correctamente el espectro de niveles. Esto ocurre evidentemente
si el espectro es discreto, pero puede ocurrir en el caso de un espectro continuo si la
densidad de estados va como una potencia positiva cerca de ǫ = ǫ0. Entonces la integral
por la que remplazamos la suma es una función acotada de µ, con lo que predeciŕıa una
cota al número de part́ıculas al sistema. Sin embargo, esta no era una propiedad de la
suma original, que se pod́ıa hacer tan grande como se quisiera si µ se acercaba lo suficiente
a −ǫ0. Esto significa que ρ(ǫ) no puede ser una función regular, sino que debe dar una
contribución especial a un valor de la enerǵıa. Si ahora separamos de la suma el término
correspondiente al estado fundamental, vemos que N pasa a escribirse como
N =
1
exp((ǫ− µ)/(k T )) − 1 +
∫ ∞
0
ρ(ǫ)dǫ
exp
(
ǫ−µ
k T
)
− 1
(2.14)
El primer término es importante sólo cuando (ǫ−µ)/(k T ) << 1, si la integral está acotada.
Este término se vuelve importante cuando N supera la cota máxima para el valor de la
integral. En ese punto (ǫ−µ)/(k T ) << 1 y por lo tanto puede considerarse que la integral
vale su ĺımite en µ = 0. El valor de µ = 0 se puede recuperar ahora del primer término,
despejando su valor en función deN−N (max)ex . Lo interesante delfenómeno es que en el caso
del espectro discreto, la separación entre niveles fijaba una escala de enerǵıas del sistema
para la que el estado fundamental se poblaba. En cambio, en el último caso, el espectro no
fija de antemano ninguna escala de enerǵıas, y por lo tanto no es obvio que para alguna
temperatura el estado fundamental resulte poblado. Como N (max)ex es dependiente de T ,
podemos invertir la relación para definir la temperatura a la que ocurre la transición. La
condensación de Bose Einstein consiste en este último fenómeno.
Una condición necesaria para que valga lo antes discutido es la conservación del número
de part́ıculas. Sin ese v́ınculo, el valor de µ es siempre cero, y el valor de N será función sólo
de la enerǵıa disponible en el sistema, v́ıa la temperatura. Este es el caso de los sistemas
de part́ıculas sin masa, como la luz. La luz en una cavidad no puede formar un condensado
de Bose Einstein porque al no tener masa, no dispone de un estado de menor enerǵıa: la
10
2.2 Caja tridimensional
menor enerǵıa que puede tener un fotón es cero, y al tener enerǵıa cero desaparece el fotón.
Cuando las part́ıculas tienen masa, por otro lado, si tiene sentido hablar de part́ıculas en
su estado fundamental y el fenómeno de condensación puede ocurrir.
2.2. Caja tridimensional
El caso más sencillo a tratar es el de un gas de bosones masivos no interactuantes
confinados en una caja cúbica. Conviene para esto introducir el formalismo de segunda
cuantificación por dos motivos: porque simplifica mucho la notación y porque es la forma
más directa de escribir un hamiltoniano con la forma de la ecuación 2.1. En el apéndice A
damos una explicación sucinta de este formalismo. Una explicación más extensa se puede
hallar en el primer caṕıtulo del texto de Fetter y Walecka[8].
El hamiltoniano es de la forma
Ĥ =
∫
Ψ̂†(x)
(
− h̄
2
2m
∇2
)
Ψ̂(x)d3x (2.15)
donde los operadores Ψ̂(x) y Ψ̂†(x) son operadores de campo que satisfacen relaciones de
conmutación bosónicas
[
Ψ̂(x), Ψ̂(y)
]
= 0 (2.16)
[
Ψ̂†(x), Ψ̂(y)
]
= δ(x− y) (2.17)
Estos operadores se pondrán expandir en la base de part́ıcula independiente
Ψ̂(x) =
∑
~n
φ~n(x)â~n (2.18)
donde ~n representa el conjunto de tres enteros positivos ~n = (nx, ny, nz) que etiquetan las
funciones solución del problema de autovalores
ǫ~nφ~n(x) = −
h̄2
2m
∇2φ~n(x) (2.19)
normalizadas a 1, que se anulan en las caras de la caja. Explicitamente, son de la forma
φ~n(x) =
1√
V
3
∏
i=1
sin(niπ/V
1/3) (2.20)
ǫ~n =
h̄2
2mV 2/3
∑
i
n2i (2.21)
11
Caṕıtulo 2 BEC en sistemas homogéneos sin interacciones
donde V es el volumen de la caja. De esta manera, el hamiltoniano adquiere precisamente
la forma 2.1, cambiando el ı́ndice i por ~n. Cabe ahora observar que el espectro dentro de
la caja es discreto. Sin embargo, cuando la escala de temperaturas es grande comparada
con la enerǵıa caracteŕıstica h̄
2
2mV 2/3
, podemos suponer que es válido aproximar la suma
por una integral sobre una densidad de estados de forma que
ρ(ǫ) =
∂
∂ǫ
∫
h̄2
2 m
|~n|2<ǫ
d3n =
π
2
(2m)3/2V
h3
ǫ1/2 (2.22)
Esta integral presenta precisamente un comportamiento compatible con nuestra discusión
previa. Calculando las integrales correspondientes, obtenemos para la población de los
estados excitados
nex =
V
(h/
√
2 πmk T )3
Li3/2(e
µ
k T ) (2.23)
donde Liq(z) es la función conocida como polilogaritmo, función de Bose o Zeta de Rie-
mann incompleta de ı́ndice q y argumento z, definida como
Liq(z) =
1
Γ(q)
∫
xq−1dx
exp(x)/z − 1 (2.24)
Γq(z) =
∫
xq−1exp(−x)dx (2.25)
La función Γ(q) es conocida como función gamma de Euler. Las propiedades de estas
funciones son enunciadas en el apéndice C. Cuando el argumento de Liq(z) tiende a 1, su
valor tiende a un valor finito si q es mayor que 1. Este ĺımite en función de q es conocido
como función Zeta de Riemann ζ(q), que a su vez es el valor máximo que puede asumir
Liq(z). De esto se deduce que a temperatura y volumen fijos, el segundo miembro de
2.23 está acotado. Para una densidad dada, habrá una temperatura a la que se alcance
este ĺımite. Conviene definir la temperatura cŕıtica para la condensación de Bose Einstein
como
Tc(N/V ) =
h2
2 πmk
(
N
V ζ(3/2)
)2/3
(2.26)
Esta temperatura será más grande cuanto mayor sea la densidad y menor sea la masa
del sistema de las part́ıculas en el sistema. Vamos ahora a invertir para recuperar µ en
función de la temperatura cŕıtica. Obtenemos la ecuación:
ζ(3/2) =
(
T
Tc
)3/2
Li3/2(e
µ
k T ) (2.27)
12
2.2 Caja tridimensional
-12
-10
-8
-6
-4
-2
 0
 2
 0 1 2 3 4 5 6 7
µ
/k
T
c
a-Tc
T
Dependencia de µ con la temperatura
Gas de Bose-Einstein
Gas de Maxwell-Bolzmann
su solución no es expresable en términos de funciones elementales, pero vemos que si
tomamos como escala de enerǵıas k Tc encontramos que µ es función sólo de T y de Tc.
Su comportamiento puede verse en la figura 2.2 Esto muestra que por debajo de Tc µ es
constante y prácticamente igual a cero. Esto nos permite escribir la siguiente expresión
para n0/N :
n0
N
=





1 − (T/Tc)3/2 T < Tc
0 T > Tc
(2.28)
Entendiendo n0 como el parámetro de orden en esta transición, vemos que cae como una
ley de potencias al acercarse a la temperatura cŕıtica. Enumeremos ahora algunas otras
funciones termodinámicas del sistema. La enerǵıa del sistema viene dada por
U(N, V, T ) =
3
2
nexkT
Li5/2(e
µ(T/Tc)/kT )
Li3/2(eµ(T/Tc)/kT )
(2.29)
La última expresión tiene dos ĺımites. Para temperaturas por encima de la temperatura
cŕıtica, tiende al valor de un gas ideal clásico, ya que como vimos, a altas temperaturas
la cantidad µ/kT tiende a hacerse grande y negativa:
U(N, V, T ≫ Tc) =
3
2
nexkT (2.30)
13
Caṕıtulo 2 BEC en sistemas homogéneos sin interacciones
A temperaturas por debajo de Tc, por otra parte, este cociente toma nuevamente un valor
constante, igual a
U(N, V, T < Tc) =
3
2
nexkT
ζ(5/2)
ζ(3/2)
(2.31)
Para obtener CV debemos derivar a Tc constante. nex/N es una cantidad que se hace 1
justo por encima de Tc, mientas que por debajo se comporta como una ley de potencias.
El cociente de Li5/2(z)/Li3/2(z) por su lado, es una cantidad constante por debajo de Tc y
variable por encima de Tc. Por esto, conviene estudiar los dos régimenes por separado. Por
debajo de Tc la única función que depende de la temperatura es nex. Obtenemos entonces
CV (T < Tc)
N k
=
15
4
(
T
Tc
)3/2 ζ(5/2)
ζ(3/2)
(2.32)
Por encima de Tc, nex/N = 1 y tenemos
CV (T < Tc)
N k
=
3
2
(
5
2
Li5/2(z)
Li3/2(z)
− 3
2
Li3/2(z)
Li1/2(z)
)
(2.33)
 0
 5
 10
 15
 20
 0 2 4 6 8 10
U
/(
N
 k
 T
c
)
T/Tc
Dependencia de U con la temperatura
gas de Maxwell-Bolzmann
gas de Bose-Einstein
 0
 1
 2
 3
 4
 5
 0 1 2
0.77*x5/2
 0
 0.5
 1
 1.5
 2
 0 1 2 3 4 5
C
V
/(
N
 k
)
T/Tc
Dependencia de CV con la temperatura
gas de Maxwell-Bolzmann
gas de Bose-Einstein
Figura 2.1: Enerǵıa y calor espećıfico en función de T.
El segundo término se anula en Tc ya que Li1/2(z) presenta una divergencia en z = 1. A
altas temperaturas, los cocientes de polilogaritmos tienden a 1, con lo que CV /nK = 3/2
como en un gas clásico. En Tc CV es continua, aunque no aśı su derivada, que presenta
un salto finito
ĺım
δ→0
∂CV
∂T
∣
∣
∣
∣
∣
T=Tc−δ
− ∂CV
∂T
∣
∣
∣
∣
∣
T=Tc+δ
=
27Nk
16πTc
ζ(3/2)2 = 3,665
Nk
Tc
(2.34)
14
2.3 Caja bidimensional
La continuidad del calor espećıfico es una propiedad de los sistemas homogéneos, tridi-
mensionales, no interactuantes. El ı́ndice de las funciones polilogaritmo y zeta dependen
del cociente entre la dimensionalidad del espacio y la relación de dispersión de las excita-
ciones del sistema. Si este cociente resulta ser mayor que 2, el denominador del segundo
término en la expresión 2.33 no diverge y por lo tanto el ĺımite de ese término en la
temperatura cŕıtica da la magnitudde la discontinuidad.
2.3. Caja bidimensional
Consideremos ahora el efecto de congelar uno de los grados de libertad espaciales en el
problema anterior. Esto se obtiene, por ejemplo, al reducir la distancia entre un par de las
paredes de la caja tridimensional. Cuando esto ocurre, la escala de enerǵıas en esa dirección
se hace cada vez más grande hasta que comienza a hacerse notorio el caracter discreto del
espectro. Si esta escala de enerǵıas se hace más grande que la escala de enerǵıa térmica en
el problema, el sistema se comporta como si el grado de libertad extra desapareciera por
completo, y la dinámica queda confinada en las dos dimensiones restantes. En la trampa
descripta en la introducción, el sistema no está confinado en una caja. Sin embargo, como
la escala de temperaturas a la que se trabaja es lo bastante baja como para notar el
espectro discreto del potencial en la dirección z, podemos considerar como caso ĺımite,
que el sistema es bidimensional. El procedimiento de análisis es homólogo al caso en 3
dimensiones: la densidad de estados es ahora
ρ(ǫ) =
2πmS
h
(2.35)
con lo que obtenemos
nex =
2πmk T S
h2
∫ ∞
0
dx
ex−
µ
kT − 1
=
2πmk T S
h2
log
(
1
1 − e µkT
)
=
2πmk T S
h
Li1(e
x− µ
kT ) (2.36)
que es una función no acotada superiormente. Como consecuencia de esto ya no existe
una escala de enerǵıas distinta de la separación entre niveles. El caracter divergente de
2.36 en parte desaparece si modificamos la densidad de estados de manera que se anule
15
Caṕıtulo 2 BEC en sistemas homogéneos sin interacciones
por debajo de la enerǵıa asociada al primer estado excitado del sistema. Haciendo esto,
obtenemos
nex =
2πmk T S
h2
log
(
1
1 − eµ−∆ǫkT
)
=
2πmk T S
h
Li1(e
x−µ−∆ǫ
kT ) (2.37)
donde ∆ǫ es la mencionada enerǵıa. Como µ debe ser siempre negativo, nex queda ahora
acotado por
nex ≤
2πmk T S
h2
log
(
1
1 − e−∆ǫkT
)
(2.38)
Podemos despejar µ algebráicamente obteniendo
µ(T,N, S) = ∆ǫ+ kT log
(
1 − exp(− h
2N/S
2mk T
)
)
(2.39)
en la figura 2.3la gráfica de esta función respecto a T . Observamos que cuando S es muy
-30
-25
-20
-15
-10
-5
 0
 5
 0 2 4 6 8 10
µ
/(
∆
 ε
)
2 π m k/(h2 N/S) T
µ(T) a N cte
Figura 2.2: Potencial qúımico a densidad constante para un gas en 2D. La unidad de
temperatura corresponde al espaciamiento entre el nivel fundamental y el primer excitado.
Podemos observar que la región plana se extiende ligeramente más allá de 1.
grande, ∆ǫ se anula. El numerador de la exponencial en el régimen que nos interesa es
una cantidad lo bastante grande y negativa como para desarrollar el logaritmo a primer
orden. Igualando a cero esta expresión obtenemos el valor de Tc, que ya no es más una
ley de potencias como antes, sino que viene dado por
h2N
2 πmk S
= Tc log
(
1
1 − e−∆ǫk Tc
)
≈ Tc log
(
k Tc
∆ǫ
)
(2.40)
16
2.3 Caja bidimensional
o, en forma adimensional,
h2N
2 πm∆ǫ S
= x log(x) (2.41)
x =
kT
∆ǫ
(2.42)
En la figura 2.3 vemos una gráfica de Tc en función de la densidad. Se puede ver que la
pendiente dentro de seis ordenes de magnitud apenas si cambia dentro de un orden de
magnitud. Como la temperatura cŕıtica esta escaleada con ∆ǫ, cuando esta cantidad tienda
105
8X104
6X104
4X104
2X104
0
1,2X106 1068X1056X1054X1052X1050
k
 T
c
/∆
 ε
(h2 N)/(2π m∆ ε S)
Tc
y=0,08*(x-1,15 106) + 105
 0
 5
 10
 15
 0 5 10 15 20
0,33*t-16
Figura 2.3: Temperatura cŕıtica para un gas en 2D. La temperatura cŕıtica presenta un
comportamiento prácticamente lineal
a cero, la temperatura cŕıtica irá al mismo ĺımite. Para ∆ǫ finito, por otro lado, dentro
de una cierta escala, la relación entre densidad y temperatura cŕıtica es prácticamente
lineal, con lo que puede eliminarse ∆ǫ a ambos lados de la ecuación. Por ejemplo, en
el rango mostrado en la segunda figura, Tc ≈ 0,1 h
2
2πmk
N
S
. Debemos recordar que aunque
ζ(3/2) ≈ 2,6 > 0, 1, h2
2πmk
es una cantidad pequeña en general, que en tres dimensiones
figuraba con un exponente 2/3 en lugar de 1, lo que acentúa la disminución de Tc. Si por
otro lado, remplazamos ∆ǫ por su valor en función de S, vemos que en realidad el eje
horizontal indica directamente el número de part́ıculas, mientras que el eje vertical debe
ser escaleado con 1/S.
Calculemos ahora la enerǵıa del sistema. Evaluando la integral correspondiente obte-
nemos
U(T ) = 2πmk2T 2Li2(1 − e
−h2N/S
2πmkT ) (2.43)
17
Caṕıtulo 2 BEC en sistemas homogéneos sin interacciones
en la que remplazamos µ por su expresión en función de N , S y T . Esta expresión es válida
por encima de la temperatura cŕıtica y nos da un comportamiento prácticamente lineal
por encima de la temperatura caracteŕıstica −h
2N/S
2πmk
. Por debajo de Tc, debemos fijar µ = 0
con lo que obtenemos un comportamiento cuadrático. Como µ es una función continua,
también lo será U. El comportamiento cualitativo podemos observarlo en la figura 2.3
cuando la temperatura cŕıtica es igual a 3,0h
2N/S
2πmk
,0,5h
2N/S
2πmk
y 0,1h
2N/S
2πmk
Observemos que la
 0
 1
 2
 3
 4
 5
 0 1 2 3 4 5
U
(T
)(
h
2
/S
)/
(2
π
 
m
 k
2
)
T (2 π m k )/(h2 N/S)
Tc=3,0ε
U(T)
 0
 1
 2
 3
 4
 5
 0 1 2 3 4 5
U
(T
)(
h
2
/S
)/
(2
π
 
m
 k
2
)
T (2 π m k )/(h2 N/S)
Tc=0,5ε
U(T)
 0
 0.05
 0.1
 0.15
 0.2
 0.25
 0.3
 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
U
(T
)(
h
2
/S
)/
(2
π
 
m
 k
2
)
T (2 π m k )/(h2 N/S)
Tc=0,1ε
U(T)
Figura 2.4: Enerǵıa para un gas de bosones en 2D.
pendiente de la curva cambia de manera más abrupta cuanto más alta sea la temperatura
cŕıtica del sistema.
Hasta aqúı hemos supuesto que el sistema vive leǵıtimamente en 2D. En el caṕıtulo
siguiente estudiaremos el problema de un sistema en 3D confinado por diferentes poten-
ciales. Veremos entonces cuales son las condiciones para la validez de esta aproximación.
18
Caṕıtulo 3
Dimensionalidad y potencial
confinante
3.1. Motivación
En el caṕıtulo anterior encontramos una expresión para la temperatura de conden-
sación para un gas de Bose no relativista, no interactuante, confinado en una caja tri-
dimensional. Una caracteŕıstica notable de este resultado es que la dependencia de la
temperatura de condensación, se da exclusivamente respecto de variables intensivas del
sistema. Luego, hicimos otro tanto para el mismo problema, pero en dos dimensiones.
Vimos que en el pasaje de tres a dos dimensiones perdimos esta buena propiedad, siendo
ahora la temperatura de condensación dependiente de las variables extensivas del sistema.
Observamos que a pesar de esto, en el caso bidimensional, la dependencia es tan débil que
experimentalmente seguirá observándose condensación, a condición de que la superficie
en la que se extiende el condensado no sea demasiado grande.
Nos interesa ahora generalizar este resultado en dos sentidos: por un lado, nos gustaŕıa
conocer como juega la dimensionalidad espacial del sistema en el valor de la temperatura
cŕıtica en casos más generales. Otro parámetro que quisieramos introducir son las ca-
racteŕısticas del potencial confinante. Cuando el potencial confinante es menos singular
que el planteado hasta ahora, notaremos que en general la temperatura de condensa-
ción dejará de ser una función de las variables intensivas usuales (densidad, temperatura,
presión) y dependerá del producto entre N y una potencia de la frecuencia propia de la
trampa. Manteniendo fijo este producto, obtenemos un ĺımite finito para nex aún en dos
dimensiones.
Ya mencionamos la justificación de introducir la dimensionalidad espacial como paráme-
tro del sistema en el caṕıtulo anterior. La necesidad de estudiar los efectos del potencial
19
Caṕıtulo 3 Dimensionalidad y potencial confinante
confinante surge de que en general, la condensación de Bose Eistein se observa en sistemas
confinados mediante campos electromagnéticos externos. En una trampa deiones no hay
paredes bien definidas, sino que dependen de la enerǵıa de las part́ıculas encerradas en
ellas. Este efecto potencialmente debe ser tenido en cuenta en la trampa discutida en la
introducción.
3.2. El ĺımite termodinámico
Para el cálculo de la temperatura cŕıtica de la sección anterior, argumentamos que
el ĺımite termodinámico consiste en hacer tender el número de part́ıculas a infinito man-
teniendo la densidad constante. Esto es bastante razonable en la mayoŕıa de los siste-
mas homogéneos, ya que las cantidades relevantes para la termodinámica (enerǵıa, volu-
men, entroṕıa) asociadas a cualquier porción del sistema son proporcionales al número
de part́ıculas asociado a esa porción. Veremos luego que cuando los sistemas dejan de ser
homogéneos, el tratamiento de este ĺımite se vuelve más sutil.
Para empezar, supongamos que el sistema ya no es completamente isótropo, sino que
posee alguna dirección que nos convenga mantener fija. Podemos sin embargo hacer crecer
indefinidamente el volumen de la caja cambiando el área de la base de la caja donde con-
finamos el sistema. Pasamos aśı de tener un sistema invariante ante el grupo de Poncaire
en 3 dimensiones (ISO(3)) a uno invariante ante transformaciones de Poncaire en 2D,
(ISO(2)). Esto puede o no implicar que se congelen los grados de libertad asociados al
movimiento en la dirección fija. Si eso ocurre, obtuvimos un sistema con una dimensio-
nalidad efectiva igual a 2. Algo semejante se puede obtener fijando el área y variando la
altura de la caja, con lo que obtenemos un sistema invariante ante translaciones en 1D.
Vamos ahora a analizar entonces el caso particular de simetŕıa ISO(2), o como dećıamos
antes, aquel en el que dejamos fija la altura. Si luego tomamos el ĺımite haciendo la altura
infinita (manteniendo la densidad constante) debeŕıamos recuperar el caso con simetŕıa
ISO(3).
Al hacer la caja finita en el eje z, el número cuántico pz que nos serv́ıa para etiquetar
los estados, se vuelve ahora discreto, lo que se refleja en la aparición de una diferencia
finita entre las enerǵıas de los niveles con distinto pz e igual px,y. Por ello, dejará de ser
20
3.2 El ĺımite termodinámico
posible escribir la suma como una integral con una densidad que sea una función regular
de la enerǵıa; por esto vamos a acotar la suma como
Nex =
∑
pxyz
1
exp(β (ǫxy(pxy) + ǫz(pz) − µ)) − 1
(3.1)
=
∑
pz
∑
pxy
1
exp(β (ǫxy(pxy) + ǫz(pz) − µ)) − 1
(3.2)
Nex =
∑
pz
Npz (3.3)
Npz =
∑
pxy
1
exp(β (ǫxy(pxy) + ǫz(pz) − µ)) − 1
(3.4)
Consideremos el caso espećıfico de una relación de dispersión cuadrática (E = p
2
2 m
). Es-
cribimos entonces
ǫxy(pxy) =
p2xy
2m
(3.5)
ǫz(pz) =
p2z
2m
(3.6)
entonces, usando el argumento del caṕıtulo anterior, podemos aproximar la suma sobre
los estados excitados por la integral correspondiente:
Npz =
4S
h2
(
∫ ∞
|p2xy|>h̄2/S
d2pxy
expβ(ǫxy(pxy)+ǫz(pz)−µ) −1 + O
(
β−1
)
)
(3.7)
si h̄
2
m S
β < 1
∫ ∞
|p2xy|>h̄2/S
d2pxy
eβ(ǫxy(pxy)+ǫz(pz)−µ) − 1 =
2πm
β
∫ ∞
x0(pz)
dx
exp(x) − 1 (3.8)
= − ln
(
ex0(pz) − 1
)
x0(pz) = β
h̄2
2mS
+ βǫz(pz) − βµ (3.9)
Vemos entonces que cada Npz tiene la misma forma que la de una distribución de Bose-
Einstein en 2D, salvo que el potencial qúımico se encuentra corrido en cada una de ellas en
la cantidad ǫz correspondiente. Como ǫz es un conjunto discreto, salvo paraNpz=h/L, deben
ser cantidades finitas ya que el potencial qúımico efectivo es siempre finito y negativo. Si
ahora tomaramos el ĺımite S → ∞ la suma 3.3 puede separarse en un término divergente
(Npz=h/L) y una serie convergente, que acotaremos nuevamente por una integral
Nex =
∑
pz
Npz (3.10)
21
Caṕıtulo 3 Dimensionalidad y potencial confinante
=
2 πmS
h̄2 β
ln


1
1 − exp
(
β
(
µ− h̄2
2 m S
))

+ (3.11)
+
2 πmLS
h̄3 β
∫ ∞
h̄/L
− ln
(
exp
−β
(
µ−ǫz(pz)− h̄
2
2 m S
)
−1
)
dpz
=
LS
λ3β




λβ
L
ln




1
1 − exp
(
βµ− λ
2
β
S
)




+ (3.12)
+
∫ ∞
λ2
β
L2
+
λ2
β
S
−β µ
ln
(
1
exp (x) − 1
)
x−1/2dx
)
En el ĺımite termodinámico podemos simplificar un poco estas expresiones y escribir
Nex =
LS
λ3β
(
λβ
L
ln
(
S
λ2β
− βµ
)
+ g3/2
(
λ2β
L2
− β µ
))
(3.13)
donde g3/2(µ) es la función de Bose. Vemos que si tomamos el ĺımite termodinámico tanto
en L como en S recuperamos el caso tridimensional, (el término logaritmico se va a cero).
Por otro lado, si L permanece finito, el término logaŕıtmico presenta una divergencia y el
condensado desaparece. Como discutimos antes, en la práctica esta divergencia en realidad
no es tal: en cualquier experimento real, aunque enorme frente a las escalas caracteŕısticas
del sistema, el volumen siempre se mantiene finito. La dependencia logaŕıtmica con S crece
tan lento que aun variando diez ordenes de magnitud en volumen, el número máximo de
part́ıculas en estados excitados variará a lo sumo en un factor 10. Esto nos indica que,
aunque bajo la definición de ĺımite termodinámico que dimos al principio el sistema no
admite una temperatura cŕıtica finita, no es algo que se pueda ver en un experimento. La
diferencia respecto a lo que ocurŕıa en tres dimensiones consiste en que el resultado ya no
es más invariante de escala. Veremos que esto también ocurre al variar la flexibilidad del
potencial.
3.3. Confinamiento armónico en una dirección
Remplazemos ahora en el sistema del apartado anterior las paredes que confinan la
dinámica en la dirección z por un potencial armónico. Vamos a suponer que el potencial es
lo bastante débil como para que en las temperaturas a las que estamos trabajando tenga
22
3.3 Del potencial confinante
validez una aproximación semiclásica 1. La densidad de estados para este sistema resulta
ser
ρ(ǫ) =
2 πmS
h2
ǫ
h̄ω
(3.14)
z = exp
(
µ
kT
)
(3.15)
Con esta densidad de estados, el número de part́ıculas en estados excitados viene dado
por una integral análoga a la que estudiamos en el caṕıtulo anterior:
nex =
16mS
h2
(kT )2
h̄ω
Li2(z) (3.16)
De manera análoga, obtenemos una temperatura cŕıtica,
Tc =
√
√
√
√
h2N/Sh̄ω
32 πmζ(2)
(3.17)
Sin embargo, debemos observar que en este caso ω es proporcional al cuadrado de la altura
efectiva de la caja. Esto tiene como consecuencia que la temperatura cŕıtica depende ahora
no sólo de la densidad sino también del volumen y la forma del contenedor. Con esta
temperatura cŕıtica, reescribimos la población de los estados excitados como
nex = N
(
T
Tc
)2 Li2(z)
ζ(2)
(3.18)
Podemos también calcular la enerǵıa media del sistema como
U = 2
(
T
Tc
)2
NkT
Li3(z)
ζ(2)
(3.19)
El calor espećıfico puede calcularse análogamente:
Cv =





4
(
T
Tc
)
Nk ζ(3)
ζ(2)
T < Tc
2 k
ζ(2)
(
T
Tc
)2 (2Li2(z)
2
log(1−z) + 3 Li3(z)
)
T > Tc
(3.20)
Notemos que Li1(z) es una función que vaŕıa lentamente con su argumento. Según la dis-
cusión de la sección anterior, como esta función nunca puede hacerse leǵıtimamente cero
en un sistema finito, el calor espećıfico presentará una discontinuidad finita en la tempe-
ratura cŕıtica, del orden de la inversa de Li1(zmax). En ese sentido, la trampa se vuelve
1En el apéndice B daremos algun detalle extra respecto a la forma de construir la densidad de estados
en la aproximación semiclásica.
23
Caṕıtulo 3 Dimensionalidad y potencial confinante
más sensible a la región de baja enerǵıa del espectro respecto a una caja. En una trampa
armónica en tres dimensiones, por otro lado, esta información se desdibuja nuevamente: el
calor espećıfico presenta una discontinuidad finita, pero esta es independiente de la forma
de la trampa.
3.4. Del potencial confinante
Hasta ahora, estuvimos considerando la formación de condensados de Bose Einstein en
sistemas confinados dentro de paredes ŕıgidas, esto es, las paredes confinan completamente
al sistema en un volumen dado. Sabemos que esta idealizaciónfunciona bien cuando
estudiamos cantidades macroscópicas de gases confinados en botellas ŕıgidas y no porosas.
Sin embargo, muchos de los experimentos en los que se forman condensados de Bose
Einstein se realizan a escalas en las que no es práctico este tipo de confinamiento. Como
mencionamos en la introducción, en su lugar se utilizan trampas de iones, que pueden
modelarse por potenciales finitos y en general, no absolutamente ŕıgidas.
3.4.1. Existencia de estados libres
Alterar el potencial confinante implica modificar el espectro de part́ıcula simple y
por lo tanto, también cambiarán en alguna medida las propiedades termodinámicas del
sistema. Para comenzar con este análisis, consideremos en primer lugar el confinamiento
en un pozo de potencial finito en vez de uno infinito.
Al hacer finita la altura del potencial introducimos una nueva escala de enerǵıas: por
debajo de esta escala encontraremos un espectro discreto semejante al espectro original.
Por encima, encontramos un espectro continuo, cuyos estados asociados no se encuentran
confinados en la caja. Esto implica que a temperatura no estrictamente cero, siempre
existirá la posibilidad de que las part́ıculas escapen de la caja, y por lo tanto, no es
posible alcanzar un estado de equilibrio en sentido estricto. En la práctica, si la escala
de enerǵıa asociada a la temperatura es mucho menor que la profundidad del pozo, la
probabilidad por unidad de tiempo de que alguna part́ıcula escape de la caja es muy
baja y es posible descartar del sistema los estados del continuo.2 Respecto al espectro,
2El mismo resultado se obtiene introduciendo una presión de vapor en el sistema, que garantice un
24
3.4 Del potencial confinante
encontramos que la relación de dispersión no cambió, pero que ahora, los autovalores del
impulso vienen dados por las soluciones de
k = arctan(
√
2mV
k2
− 1)
y de
k = arctan(1/
√
2mV
k2
− 1)
En la figura 3.4.1 vemos las soluciones gráficas a estas ecuaciones, de las que podemos
inferir las caracteŕısticas del espectro. Las caracteŕısticas fundamentales son que el espec-
tro de estados ligados tiene un número finito de niveles, que no existe cruzamiento de
niveles (para ningún valor de V aparece degeneración accidental), que cuanto más bajo
sea el número cuántico menor es la diferencia de su valor con el caso de la caja infinita y
finalmente, que la relación de dispersión no cambia.
Concluimos entonces que la finitud del pozo no afectará mayormente a las magnitu-
des termodinámicas del gas dentro de la caja, sino que introducirá una temperatura de
evaporación por encima de la cual, el ritmo al que las part́ıculas escapan del sistema nos
impide seguir considerándolo un sistema en equilibrio.
Si bien este efecto parece ser indeseable, nos da la v́ıa para alcanzar las temperaturas
necesarias en los experimentos que estamos tratando: al producirse la evaporación, buena
parte de la enerǵıa del sistema se escapa con las part́ıculas evaporadas, consiguiendose
finalmente un sistema cuasiestacionario, con temperaturas muy por debajo de la tempe-
ratura de evaporación. Con este mecanismo es posible alcanzar escalas de temperatura
del orden del nanoKelvin
3.4.2. ”Rigidez” del confinamiento
Un segundo cambio que podemos hacerle al hamiltoniano es considerar un sistema
ya no confinado por una caja, sino dentro de un potencial menos singular. Consideremos
en general la familia de potenciales V (x) = h̄
2
2m x2
0
|x/x0|λ. Tomando el ĺımite λ → ∞
recuperamos la caja infinita, mientras que si hacemos λ = 2 encontramos una solución
bien conocida: el oscilador armónico. Para resolver esto, conviene llevar la ecuación de
valor medio del volumen del sistema bien definido.
25
Caṕıtulo 3 Dimensionalidad y potencial confinante
 0
 0.5
 1
 1.5
 2
 2.5
 3
 3.5
 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
V=50
 0
 0.5
 1
 1.5
 2
 2.5
 3
 3.5
 4
 4.5
 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
V=100
 0
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
 0 1 2 3 4 5 6 7
V=500
Figura 3.1: Espectro discreto del operador impulso lineal en un pozo de potencial para
diferentes valores de 2mV . La linea de cruces marca el impulso
√
2mV y las lineas de
puntos marcan los autovalores de k para el pozo infinito. las curvas en colores corresponden
a las diferentes ramas de arctan(
√
(2mV/k2 − 1)) y arctan(1/
√
(2mV/k2 − 1)). Vemos que
para k >
√
2mV las curvas ya no cortan a la diagonal, lo que significa que ya no existen
otros estados ligados por encima de ese impulso. Cuanto más alejado esta ki de
√
2mV ,
se acerca más a su valor correspondiente a la caja infinita.
Schrödinger del problema
En1,...,ndψn1,...,nd(x1, ..., xd) = −
h̄2
2m
∇2ψn1,...,nd(x1, ..., xd) + (3.21)
d
∑
i=1
∣
∣
∣
∣
xi
L
∣
∣
∣
∣
λ
ψn1,...,nd(x1, ..., xd)
26
3.4 Del potencial confinante
a una forma adimensional. El alto grado de simetŕıa del problema nos permite conseguir
una ecuación adimensionalizada completamente: introduciendo las variables ξi y f(n),
ξi =
xi
L
(3.22)
ǫn1,...,nd =
En1,...,nd
h̄ω
(3.23)
ω =
h̄
mL2
(3.24)
el hamiltoniano se reduce a
ǫn1,...,ndψn1,...,nd(ξ1, ...ξd) = −∇2ψn1,...,nd(ξ1, ..., ξd) + (3.25)
d
∑
i=1
|ξi|λ ψn1,...,nd(ξ1, ...ξd)
Este último a su vez es factorizable como:
ψn1,...,nd(ξ1, ...ξd) = ψn1(ξ1)...ψnd(ξd) (3.26)
ǫn1,...,nd = ǫn1 + ...+ ǫnd (3.27)
ǫniψni(ξi) = −∇2ψni(ξi) + |ξi|λ ψni(ξi) (3.28)
que son todos problemas unidimensionales iguales. Para construir la densidad de estados
a partir de estas ecuaciones intentamos dos caminos: una aproximación semiclásica y
mediante cálculo numérico. En el apéndice B están los detalles de estos métodos. Ambos
resultados pueden sumarizarse en que la densidad de estados obedece una ley de potencias:
n(ǫ) = 4
(
ǫ
h̄ ω
)sλ
F (λ) (3.29)
sλ ≈
2λ
2 + λ
(3.30)
F (λ) < 1 ĺım
λ→∞
F (λ) = 1 (3.31)
donde la expresión para s es exacta en los casos λ = 2 y λ→ ∞. Los resultados numéricos
difieren en esto sólo para los primeros números cuánticos, donde encontramos para λ ≈ 2
una región donde la dependencia es lineal. Con la densidad de estados, construimos la
integral que acota el número de ocupación total de los estados excitados:
Nex →
∫ ∞
1
d3n
eβ(E(n1,...nn)−µ) − 1 (3.32)
= (βh̄ω)−d/s
∫ ∞
(βh̄ω)−1
...
∫ ∞
(βh̄ω)−1
zs−11 ...z
s−1
d
ez1+...+zd−µ − 1dz1...dzd
27
Caṕıtulo 3 Dimensionalidad y potencial confinante
Se puede probar usando las propiedades de las funciónes polilogaŕıtmo (Liq) y Gamma Γ
que la última integral da
∫ ∞
kT
h̄ω
...
∫ ∞
kT
h̄ω
z
1/s−1
1 ...z
1/s−1
d
ez1+...+zd−µ − 1dz1...dzd = Lid/s(e
−µ+dh̄ω
k T )Γ(d/s)Q(d, s) (3.33)
Q(d, s) representa una integral angular que para d y s finitos es finita, por lo que la integral
completa estará acotada siempre y cuando la relación d/s sea estrictamente mayor que 1.
Si este es el caso, la temperatura cŕıtica toma la forma
Tc =
1
k
(
h̄ωd/sN
ζ(s/d)Γ(d/s)Q(d, s)
)s/d
(3.34)
En este punto, observamos que la temperatura cŕıtica depende de ω aśı como del número
de part́ıculas, pero no explicitamente del volumen; sin embargo, el volumen si aparece,
v́ıa el parámetro ω. Este último es inversamente proporcional al cuadrado de la longitud
caracteŕıstica del sistema. Si s vale exactamente 2, (ĺımite de la caja ŕıgida) ωd/sN es
proporcional a la densidad del sistema y, según la prescripcion usual para el ĺımite termo-
dinámico, esta debe ser un parámetro intensivo del sistema. Por otro lado, cuando s 6= 2,
si mantenemos la densidad constante ωd/sN debe caer como una potencia del volumen
caracteŕıstico.
En el trabajo de Bagnato [1], este problema queda enmascarado al plantear que el
potencial de la forma
V (x) = ex
∣
∣
∣
∣
x
L
∣
∣
∣
∣
λ
y tomando como volumen del sistema a Ld. Sin embargo, L no representa en la última
expresión ninguna magnitud f́ısica: el verdadero volumen del sistema es el correspondiente
a la escala de longitud proveniente de adimensionalizarla ecuación de Schrödinger, que
será proporcional a alguna potencia de L. A pesar de esto, en los condensados realizados
en laboratorios, los volumenes que encierran condensados estan en realidad lejos del ĺımite
de ”volumen infinito”, siendo del orden de algunos cientos de veces la longitud de onda
térmica, por lo que los condensados son perfectamente factibles. En el caso de la trampa
discutida en la introducción, obtenemos para el volumen
S = 1,210−7m2
mientras que el área asociada a la longitud de onda térmica
λ2T ≈ 2,810−16m3
28
3.4 Del potencial confinante
con lo que λ2T es apenas 4 ordenes de magnitud más pequeña que el área del sistema.
La situación cambia en contextos realmente macroscópicos en los que Nex se vuelve efec-
tivamente divergente. En el caṕıtulo siguiente, analizaremos el efecto de un parámetro
que aún no hemos tenido en cuenta: la presencia de interacciones entre los constituyentes
del sistema. Compararemos entonces los efectos de tamaño finito con los debidos a las
interacciones.
29
Caṕıtulo 3 Dimensionalidad y potencial confinante
30
Caṕıtulo 4
Sistemas de Bosones en interacción
En el caṕıtulo anterior estudiamos un sistema de bosones no interactuantes en diferen-
tes contextos y calculamos sus temperaturas cŕıticas. En este caṕıtulo nos dedicaremos a
tratar el problema de incorporar los efectos de las interacciones entre las part́ıculas dentro
de nuestro modelo. Al incluirlas, una nueva serie de fenómenos f́ısicos salen a la luz, a la
vez que se corren los ĺımites que calculamos antes para la formacíıon de condensados. Una
primera sección estará dedicada a una descripción microscópica más o menos detallada de
las interacciones entre las especies atómicas que forman condensados. Luego, plantearemos
las ecuaciones y trataremos de simplificar el modelo lo suficiente para que la matemática
sea tratable, intentando no degradar demasiado su conexión con una situación f́ısica real.
Finalmente, daremos una aproximación a la solución del problema de bosones confinados
en tres geometŕıas diferentes: un gas confinado en una caja d dimensional libre, un gas
en una caja d-dimensional, confinado luego en una dirección con una trampa armónica,
y un gas tridimensional confinado en una trampa esférica.
4.1. De las interacciones
Una interacción puede entenderse como el mecanismo por el cual dos partes del sistema
tienen una dinámica correlacionada. Las interacciones pueden distinguirse en interaccio-
nes de corto y de largo alcance. Las primeras establecen correlaciones sólo entre partes
del sistema separadas por distancias menores a una distancia caracteŕıstica, las segundas
son capaces de establecerlas a distancias arbitrariamente grandes. Las interacciones de
corto alcance, sin embargo, pueden ser capaces de establecer correlaciones de largo alcan-
ce en determinadas circunstancias: por ejemplo, si bien las interacciones entre los átomos
que forman un cristal pueden no ser interacciones de largo alcance, son responsables de
que si empujamos un extremo del cristal, el otro extremo se mueva casi instantaneamen-
31
Caṕıtulo 4 Sistemas de Bosones en interacción
te. Otra magnitud que caracteriza una interacción es su intensidad: cuanto más intensa
sea la interacción, más correlacionadas estarán las magnitudes f́ısicas de los subsistemas
interactuantes.
En mecánica cuántica, el mecanismo para introducir una interacción en un modelo es
incorporar un término en el hamiltoniano -el potencial de interacción -que dependa de
las variables que esta interacción acopla. La intensidad de la interacción queda enton-
ces dimensionada por el valor numérico del término de interacción. La forma funcional
de ese término determina la f́ısica de la interacción. Su elección puede estar basada en
consideraciones unicamente de simetŕıa o en base a parámetros emṕıricos.
El sistema que queremos estudiar consiste de átomos de elementos alcalinos. Si des-
preciamos el efecto del potencial confinante y nos concentramos en la dinámica de baja
enerǵıa, estos átomos son esféricamente simétricos. Como su carga es nula, a grandes
distancias
El potencial de interacción entre dos átomos o moleculas en general obedece la forma
emṕırica de un potencial de Lenard-Jones:
V (r) = V0
(
1
(r/r0)12
± 1
(r/r1)6
)
donde V0 es una cantidad de orden 1 respecto a alguna enerǵıa caracteŕıstica del sistema
y r0 < r1. En la figura 4.1 podemos ver una gráfica de este potencial. A distancias mayores
que r1 el potencial es prácticamente nulo. A distancias entre r0 y r1 el potencial puede
resultar atractivo o repulsivo de acuerdo al signo y presenta una zona impenetrable dentro
del radio para radios menores que r0.
Si bien esta forma del potencial ajusta perfectamente la interacción entre moléculas,
es exacta en particular para las interacciones entre dos átomos de hidrógeno (este último
cálculo está hecho en el libro de mecánica cuántica de Cohen-Tanudji[5]) y es fácilmente
tratable para el problema de dos cuerpos por medio de cálculo numérico, no es tan fácil
de tratar en contextos como el que estamos estudiando aqúı. Vemos que de todos modos
no se pierde demasiada información si, en los cálculos de secciones eficaces o en mecánica
de muchos cuerpos, lo replazamos por un potencial cuadrado:
Vrep(r) = V0θ(1 − r/a)θ(r/b− 1) − Vextθ(1 − r/b)
32
4.1 De las interacciones
-2
-1
 0
 1
 2
 3
 4
 5
 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
atractivo
repulsivo
Figura 4.1: Potencial de Lenard Jones.
donde θ(x) es la función escalón de Heavyside
θ(x) =





0 x < 0
1 x ≤ 0
(4.1)
La determinación de los parámetros del potencial suelen venir fundamentalmente de dos
fuentes: el análisis de relaciones termodinámicas emṕıricas y el de experimentos de dis-
persión. La primera de estas fuentes nos brinda esta información analizando en que punto
el sistema presenta transiciones de fase, o como son las isotermas respecto de un gas sin
interacciones. Un análisis cualitativo nos permite ver que a es la distancia mı́nima entre
moléculas a enerǵıas relativamente bajas, ya que acercarse más implica un enorme salto
en enerǵıa. El término atractivo, por otro lado, tiene como consecuencia la reducción de la
presión del gas, relativa al gas ideal a temperatura y volumen dados. Vext será proporcio-
nal a esta reducción. A cierta escala de densidades, caracterizada por el parámetro b este
efecto tenderá a desaparecer. Si el potencial es sólo repulsivo, la f́ısica a bajas enerǵıas
estará completamente dominada por el término exterior. Si por el contrario en el caso
atractivo, es necesario tener en cuenta ambos términos.
Los parámetros del potencial podemos fijarlos v́ıa los resultados de un experimento de
33
Caṕıtulo 4 Sistemas de Bosones en interacción
dispersión. La cantidad a medir será la sección eficaz total en función de la enerǵıa de las
part́ıculas incidentes. A primer orden en teoŕıa de perturbaciones, esta cantidad puede
relacionarse con el potencial de interacción como
σ =
4m2
h̄4
∣
∣
∣
∣
∫
V (r)ei(k−k
′).rd3x
∣
∣
∣
∣
2
(4.2)
esta integral presenta dos régimenes determinados por el alcance a del potencial: Si
a|k| << 1 estamos en el ĺımite lento, y σ ≈ 4m2
h̄4
∫
V (r)d3x que es constante para mien-
tras a|k| << 1. Cuando a|k| >> 1, la integral se hace prácticamente cero. Como regla
general, los detalles de la estructura interna de un potencial sólo se hacen evidentes a
enerǵıas del orden de la enerǵıa del potencial. Para el caso de un potencial tipo Lenard
Jones repulsivo, cuando el sistema se encuentra a baja temperatura, es perfectamente
ĺıcito considerarlo como un potencial que actue puntualmente y que de una sección eficaz
compatible con la obtenida con el potencial real a bajas enerǵıas. Sin embargo, a enerǵıas
suficientemente grandes, la sección eficaz se vuelve despreciable.En el caṕıtulo siguiente
no tomaremos en cuenta este efecto en los cálculos, lo que tendrá como consecuencia la
aparición de divergencias ultravioletas en algunas integrales. Si el potencial es atractivo,
por otro lado, puede ocurrir que a bajas enerǵıas forme estados ligados. Si este es el ca-
so, la aproximación por una delta deja nuevamente de ser válida y debemos tratar con
una descripción más precisa del potencial. Por último, es necesario aclarar que cuando el
sistema no se encuentra libre sino que esta bajo los efectos de un potencial externo, las
secciones eficaces pueden presentar fenómenos de resonancias para algunas enerǵıas. En
adelante, descartaremos este efecto, aunque se haya observado que en algunos casos su
presencia puede ser importante[7].
4.2. Hamiltoniano simplificado para interacciones de
contacto.
Luego de las consideraciones anteriores el hamiltoniano queda escrito como
Ĥ =
∫
Ψ̂†(x)
(
−∇2 + V (x) + g Ψ̂†(x)Ψ̂(x)
)
Ψ̂(x) (4.3)
Para diagonalizar el hamiltoniano seguiré el trabajo de Castin y Dum [4], de forma tal que
trabajaremos con el hamiltoniano como está, sin romper la simetŕıa de Gauge, esto es,
34
4.2 Hamiltoniano simplificado para interacciones de contacto.
verificando que Ĥ conmute con el operador número de part́ıculas N̂ orden a orden. Esto
es importante ya que lo que nos interesa es explorar los ĺımites de la región del espacio
de parámetros (g,T y ω) para los que el sistema es capaz de formar un condensado. En
estas regiones, por estar cerca de una transición de fase, potencialmente podŕıa fallar el
intento de considerar iguales las funciones de partición y su aproximación por método
de ensilladura. Escribiremos entonces el hamiltoniano como un desarrollo en potencias
de
√
N . Primero, nos interesará separar el operador de nuestro campo bosónico en dos
términos: uno asociado a la función de onda del condensado, mientras que el otro será su
complemento ortogonal.
Ψ̂(x) = φ(x)â0 + Ψ̂⊥(x) (4.4)
donde
â0 =
∫
φ∗(x)Ψ̂(x)d3x (4.5)
Para ser consistentes con nuestro desarrollo, buscaremos que la función φ(x) sea la auto-
función de autovalor más grande del operador densidad de un cuerpo.
ρ(y, x) =
∫
|y〉
〈
Ψ̂†(y)Ψ̂(x)
〉
〈x| d3xd3y (4.6)
ρ(y, x)φ(x) = λφ(y) (4.7)
Este operador densidad, a temperatura cero, consiste en tomar el valor esperado sobre
el estado fundamental del sistema, que aún no conocemos. Esto nos permitirá, más ade-
lante intentar un esquema variacional para encontrarlo. Por ahora, mantengamos a φ(x)
indefinido. Introducimos ahora los operadores1
n̂ex =
∫
Ψ̂⊥(x)
†Ψ̂⊥(x)d
3x = N − â†0â0 (4.8)
Λ̂(x) =
â†0√
N
Ψ̂⊥(x) (4.9)
Ψ̂⊥(x) =
Λ̂(x)â0√
N
1
1 − n̂ex
N
(4.10)
Ψ̂⊥(x)
†ÔΨ̂⊥(x) =
Λ̂(x)†ÔΛ̂(x)
1 − n̂ex+1
N
(4.11)
35
Caṕıtulo 4 Sistemas de Bosones en interacción
Una propiedad importante del operador Λ̂(x) es que su valor esperado debe ser cero, lo
que se deduce a partir de la definición de φ(x). Desarrollemos entonces el álgebra asociada
a los operadores que introducimos:
[
â0, Λ̂(x)
]
=
Λ̂(x)â0
N
1
1 − n̂ex
N
(4.12)
[
â†0, Λ̂(x)
]
= 0 (4.13)
[
Λ̂(x), Λ̂†(y)
]
=
(
1 − n̂ex
N
)
δ⊥(x− y) − (4.14)
Λ̂(x)Λ̂†(y)
N2 (1 − n̂ex/N)
P⊥ξ(x) =
∫
(δ(x− x′) − φ(x)φ(x′))ξ(x)d3x (4.15)
Vemos que el operador Λ̂(x) en primera aproximación, satisface relaciones de conmutación
bosónicas, lo que nos da la pauta de que si el sistema forma un condensado, la dinámica
de este operador será semejante a la de un nuevo campo bosónico.
Si bien introducimos Λ̂(x) para tratar el problema con interacciones, nos permite obte-
ner una interpretación interesante de lo que ocurre en un sistema que es capaz de formar
un condensado: A temperatura cero, el estado del sistema sin interacciones es el estado
fundamental. Las reglas de conmutación de Λ̂(x) son entonces las mismas que las aso-
ciadas con un campo de part́ıculas, por lo que formular la termodinámica del sistema en
términos de Λ̂(x) o en terminos de Ψ̂(x) es indistinto. Sin embargo,
∫
Λ̂†(x)Λ̂(x)d3x que
coincide con el operador número no conmuta con el hamiltoniano; más aún, el hamiltonia-
no para Λ̂(x) corresponde a un hamiltoniano con un complicado término de interacción.
Sin embargo, si el sistema forma un condensado, los términos de interacción se hacen des-
preciables. La no conservación de Λ̂†(x)Λ̂(x)d3x, por otro lado, tiene como consecuencia
que el potencial qúımico sea estrictamente cero. A temperaturas por debajo de la tem-
peratura cŕıtica del sistema, el espectro de Λ̂(x) será muy semejante al espectro de las
part́ıculas originales, por lo que la función gran partición del sistema original tiene que ser
muy parecida a la función partición del sistema de cuasipart́ıculas. Esto es compatible con
1el operador en el denominador conmuta con el operador en el numerador y Ô es un operador arbitrario
sobre el espacio de funciones. El operador Λ̂(x) actúa sobre un estado eliminando una part́ıcula de un
estado excitado llevandola al estado fundamental, lo que nos indica que este operador conmutará con el
operador número total part́ıculas.
36
4.2 Hamiltoniano simplificado para interacciones de contacto.
considerar que el potencial qúımico para el sistema de part́ıculas debe ser cero por debajo
de Tc. Al aumentar la temperatura, la población de cuasipart́ıculas comienza a crecer, lo
que implica un aumento del número de part́ıculas en estados excitados. La consecuencia
de esto es que, a Tc el número de excitaciones se corresponde exactamente con el número
medio de part́ıculas en estados excitados.
Cuando proyectamos el hamiltoniano sobre el subespacio de N part́ıculas y escribimos
n0 en términos de N y n̂ex, aparecerán una serie de términos que depederán solamente de
la función φ(x), mientras que el resto de los términos serán función tanto de φ(x) como
de los operadores de excitaciones Λ̂(x). El primero de estos términos será asociado a la
enerǵıa del condensado µN , mientra que el segundo corresponderá al hamiltoniano de
las excitaciones N K̂. La estrategia para diagonalizar los términos de excitaciones será la
siguiente:vamos a proponer que es posible desarrollar µ, φ(x), Λ̂(x) y K̂ en una serie
de potencias de N−1/2, donde cada orden conmute con los operadores correspondientes
a ordenes diferentes del desarrollo. Aqúı vamos a hacer esto hasta orden dos, pero en
principio es un procedimiento facilmente extendible a ordenes más altos. Presentamos los
primeros ordenes de los desarrollos de µ y K̂:
µ̂0 =
∫
φ∗0(x)(H + g(N − 1)φ∗0(x)φ0(x))φ0(x)d3x (4.16)
µ̂1 = 2
∫
φ∗1/2(x)(H + 2 g Nφ∗0(x)φ0(x))φ0(x))d3x (4.17)
µ̂2 = 2
∫
φ∗1/2(x)(H + g Nφ∗0(x)φ0(x))φ1/2(x)d3x+ (4.18)
+2
∫
φ∗1(x)(H + 2 g Nφ∗0(x)φ0(x))φ0(x)d3x
K̂0 = 0 (4.19)
K̂1 =
∫
φ∗0(x)(H + 2 g Nφ∗0(x)φ0(x))Λ̂0(x)d3x+ h.c. (4.20)
K̂2 =
∫
Λ̂†0(x)(H + 4 g Nφ∗0(x)φ0(x))Λ̂0(x)d3x− (4.21)
−
∫
φ∗0(x)(H + 2 g Nφ∗0(x)φ0(x))φ0(x)d3x
∫
Λ̂†0(x)Λ̂0(x)d
3x+
+g N
∫
(φ∗0(x)φ0(x))(Λ̂0(x)Λ̂0(x) + Λ̂
†
0(x)Λ̂
†
0(x))d
3x+
+
∫
φ∗1(x)(H + 2 g Nφ∗0(x)φ0(x))Λ̂0(x)d3x+ h.c.
Debemos imponer dos condiciones para que el sistema se mantenga en equilibrio: en
primer lugar, que orden a orden la norma de φ(x) sea 1. En segundo lugar, la enerǵıa
37
Caṕıtulo 4 Sistemas de Bosones en interacción
asociada a las excitaciones debe ser siempre positiva: caso contrario, la enerǵıa del sistema
completamente excitado seŕıa menor o igual que la enerǵıa del sistema sin excitaciones y
esta descripción del sistema fracasaŕıa. Analizaremos ahora la solución orden a orden.
4.2.1. Orden 0
A este orden, el hamiltoniano consiste en la constante µ0 que corresponde a la mı́nima
enerǵıa por part́ıcula. Esta enerǵıa corresponde a la diferencia de enerǵıa entre el nivel
fundamental de los subespacios con N + 1 y N , y podemos interpretarla como menos
el potencial qúımico. La determinación de este valor surgirá al tratar el orden siguiente,
donde encontraremos una ecuaciónpara φ0(x)
4.2.2. Orden 1
Observemos ahora el término de orden 1. La dinámica de
〈
Λ̂0(x)
〉
queda determinada
por el conmutador el valor medio con el hamiltoniano a este orden:
i h̄
d
〈
Λ̂(x)
〉
dt
=
〈[
Λ̂(x), K̂1
]〉
= P⊥(H + 2 g Nφ∗0(x)φ0(x))φ0(x)
pero por hipótesis,
〈
Λ̂0(x)
〉
= 0 a todo t. Para que esto se mantenga, necesariamente se
tiene que cumplir
(H + 2 g Nφ∗0(x)φ0(x))φ0(x) = ǫ0φ0(x) (4.22)
la solución de esta ecuación bien puede no ser única; sin embargo, veremos al estudiar
el orden siguiente que debemos elegir λ de manera que sea el menor valor posible. Esto
nos sugiere intentar un enfoque variacional para la solución. Al hacerlo, vemos que la
funcional a minimizar coincide con µ0.
Si g es positivo, µ0. es una cantidad definida positiva y por lo tanto, admitirá un
mı́nimo absoluto; por otro lado, si g no es positiva, µ0 podrá hacerse tan negativa como
se quiera haciendo que φ(x) se concentre lo suficiente en torno al origen. Este efecto se
debe en realidad a la forma en que aproximamos la interacción en nuestro hamiltoniano.
Cuando φ(x) se concentre lo suficiente entorno al origen, comenzará sentir los efectos de la
estructura del potencial de interacción. Dos cosas pueden ocurrir entonces. Si el potencial
admite estados ligados, el mı́nimo de enerǵıa corresponderá una organización del estado
38
4.2 Hamiltoniano simplificado para interacciones de contacto.
fundamental en la que cada part́ıcula se encuentre a a distancias respecto de las otras tales
que la enerǵıa sea mı́nima; en otras palabras, el sistema forma un sólido. Si por otro lado
el potencial no admite estados ligados, las part́ıculas seguirán en movimiento, autoconfi-
nadas por la parte atractiva del potencial, pero sufriendo los choques debidos a la región
interna del potencial, que nuevamente es repulsivo. Tal sistema se volveŕıa independiente
de la trampa, y toda la f́ısica estaŕıa autocontenida en el potencial de interacción. Sin em-
bargo, probablemente se podŕıa reducir al problema original remplazando el potencial de
autoconfinamiento por un potencial externo. Al margen de que esto ocurra, sin embargo,
puede ocurrir que µ0 tenga un mı́nimo local. La existencia de este mı́nimo local depen-
de principalmente del valor de |g N | y desaparece cuando ese valor es lo suficientemente
grande. En tal caso, podremos tomar como función del condensado a la funcion φ0(x)
que nos de este mı́nimo, siempre y cuando consideremos escalas de tiempo lo bastante
pequeñas para que el sistema colapse al mı́nimo absoluto. La estimación de estas escalas
de tiempo se han calculado con diversas técnicas en [12] y [11]
Una vez encontrado φ0, vemos que µ1 se reduce a la proyección de φ1(x) sobre φ0(x).
Por la condición de normalización, al elegir que la fase global de φ(x) sea constante,
esta proyección debe anularse. De esta manera, ninguna de las cantidades a este dan
contribuciones al hamiltoniano.
4.2.3. Orden 2
Lo primero que observamos es que, a este orden, encontramos dos términos identicos
a los que encontramos a orden 1, salvo porque en vez de φ0(x) aparece φ1(x) en su lugar.
Para anularlos, será necesario que la proyección de φ1(x) ortogonal a φ0(x) también se
anule. Como la proyección paralela a φ0(x) ya la habiamos elegido nula, φ1(x) debe ser
nulo para todo x. De esta manera, las expresiones a este orden se simplifican bastante:
µ̂2 = 2
∫
φ∗1(x)HGPφ0(x)d3x (4.23)
K̂2 =
∫
Λ̂†0(x)(HGP + Γ)Λ̂0(x)d3x+ (4.24)
+
∫
Γ
2
(Λ̂0(x)Λ̂0(x) + Λ̂
†
0(x)Λ̂
†
0(x))d
3x
donde introducimos los operadores
HGP = (H + 2 g Nφ∗0(x)φ0(x) − ǫ0) (4.25)
39
Caṕıtulo 4 Sistemas de Bosones en interacción
Γ = 2 g Nφ∗0(x)φ0(x) − ǫ0 (4.26)
Si bien no sabemos cual será la forma de φ2(x), nuevamente tiene que ser ortogonal a φ0(x)
para mantener la normalización y la fase. Luego, µ2 debe ser también nula. Calculemos
ahora el conmutador de Λ̂(x) con el hamiltoniano a este orden:
[
Λ̂0(x), Ĥ
]
= (HGP + Γ)Λ̂0(x) + ΓΛ̂†0(x) (4.27)
lo que muestra esto es que las ecuaciones de Λ̂(x) y Λ̂†(x) están acopladas. Para desaco-
plarlas, conviene primero expandir Λ̂(x) en una serie de funciones:
Λ̂0(x) =
∑
σ
uσ(x)α̂σ + vσ(x)α̂
†
σ (4.28)
donde α̂σ y α̂
†
σ formen algebras de conmutación bosónicas. Remplazando en la ecuación
4.27 la condición de que cada α̂σ evolucione en forma independiente se puede escribir
como el siguiente problema de autovalores para los pares (uσ(x), vσ(x)):
ǫσ



uσ(x)
vσ(x)


 =



(HGP + Γ)P⊥ ΓP⊥
−ΓP⊥ −(HGP − Γ)P⊥






uσ(x)
vσ(x)


 (4.29)
donde los proyectores se incorporaron con el fin de garantizar que uσ y vσ sean todos orto-
gonales con φ0(x). Si esto no fuera cierto, potencialmente Λ̂(x) adquiriŕıa una componente
sobre esa función, en contra de nuestras hipótesis. De todas formas, hay que observar que
el subespacio que sustraemos al introducir el proyector es un subespacio propio del pro-
blema sin los proyectores, por lo que podemos trabajar con o sin ellos, siempre y cuando
descartemos ese subespacio. En el apéndice C analizamos las propiedades de este opera-
dor; las más notables son que los autovalores se dan siempre de a pares (ǫσ,−ǫσ), y que
si Γ es definido positivo, el espectro es real y los pares (uσ(x), vσ(x)) satisfacen relaciones
de ortogonalidad compatibles con la propuesta de que α̂σ y α̂
†
σ correspondan a operadores
bosónicos.
Luego del remplazo, nuestro hamiltoniano toma la forma, a este orden :
Ĥ = µN + 2
∑
σ
ǫσ
(∫
v∗σ(x)vσ(x)d
3x
)
+
∑
σ
ǫσα̂
†
σα̂σ (4.30)
el estado fundamental se corresponderá a la ausencia de excitaciones asociadas a los α̂σ.
Sin embargo, recordemos que estos operadores en realidad se corresponden con una com-
binación lineal de dos operadores: uno que remueve una part́ıcula del estado fundamental
40
4.3 Efectos térmicos
y la coloca en un estado excitado, y otro que hace el proceso inverso. Esto significa que el
valor de espectación de n̂ex sobre el estado fundamental es siempre no nulo en presencia
de interacciones. La evaluación es directa:
〈n̂ex〉 =
∫
〈
Λ̂†(x)Λ̂(x)
〉
d3x (4.31)
=
∑
σ
∫
v∗σ(x)vσ(x)d
3x
donde usamos el hecho de que sobre el estado fundamental, α̂ |0〉 = 0 y las reglas de
conmutación para los operadores de excitación. Encontramos entonces una nueva cota a
la aplicación del formalismo: Si
∑
σ
∫
v∗σ(x)vσ(x)d
3x es comparable con N , el formalismo
deja de funcionar.
De la ecuación C.10 vemos que cuando Γ es definido negativo pueden aparecer ex-
citaciones para las que su enerǵıa asociada es cero. Si el espectro de HGP es continuo,
esto necesariamente ocurrirá si g < 0. Si por otro lado su espectro se puede considerar
discreto, si el operador Γ está acotado por debajo de la separación entre el nivel funda-
mental y el primero excitado de HGP , podemos argumentar v́ıa teoŕıa de perturbaciones
que C.10 seguirá siendo definido positivo. Sin embargo, como la separación entre niveles
se reduce conforme aumentamos el volumen, en el ĺımite termodinámico la interacción
debe ser definida positiva. La existencia de modos inestables está intimamente relaciona-
da con el caracter metaestable de la fase BEC cuando las interacciones son atractivas.
Cabe observar además que la producción de estas excitaciones, si el sistema se puede
considerar aislado, se debe solamente a términos orden 1/sqrtN en el hamiltoniano efec-
tivo, lo que significa que el tiempo de vida de la fase condensada puede hacerse muy
grande, siempre y cuando el número de modos nulos se mantenga finito. Esto es lo que
probablemente ocurra en los condensados de Li en trampas de iones. En esos sistemas,
aunque la interacción es atractiva, se lleva a cabo tanto a N (N ≈ 1400) como a volumen
finito (V ≈ (h/mω)3/2 ≈ 2,310−4mm3), lo que nos da una escala de tiempo del orden del
segundo.
4.3. Efectos térmicos
Para tener en cuenta los efectos térmicos para temperaturas cercanas a cero (y lejos de
latemperatura cŕıtica) construimos la matriz densidad de un cuerpo a partir de la matriz
41
Caṕıtulo 4 Sistemas de Bosones en interacción
densidad completa, obtenida de exponenciar el hamiltoniano. En la base de excitaciones
que introducimos en la sección anterior, la matriz densidad toma la forma sencilla
ρ̂ = exp(− Ĥ
k T
) =
∏
σ
exp(−α̂†σα̂σǫσ/kT ) (4.32)
vale observar que como α̂†σα̂σ no necesariamente es una cantidad conservada, el potencial
qúımico asociado a ellas es en principio nulo. Por otro lado, como el número de part́ıculas
śı es una cantidad conservada, si posee un potencial qúımico asociado, no nulo. Sin em-
bargo, este último habrá de compensarse con la enerǵıa por part́ıcula dando un resultado
neto cero. Por eso, en nuestra matriz densidad sólo aparece el producto de operadores
dependientes de los operadores de excitación. Claro está, por otro lado, que el número de
part́ıculas entra en juego tanto en el espectro como en las cantidades dependientes de las
part́ıculas originales.
Calculemos por ejemplo la matriz densidad de un cuerpo
ρ(x, y) = Trρ̂Ψ̂†(y)Ψ̂(x)/Trρ̂ (4.33)
A temperatura cero, sólo el estado fundamental representa una contribución a la traza,
por lo que la matriz densidad de un cuerpo se reducirá a
ρ(x, y) = (N −
∫
∑
σ
v∗σ(x)v
∗
σ(x)d
3x)φ(y)∗φ(x) +
∑
σσ′
v∗σ(y)v
∗
σ′(x) (4.34)
A temperatura pequeña pero finita, contribuirán también estados con excitación no nula.
Sin embargo, de nuestra construcción se puede obtener que
ρk T (x, y) = (N − 〈nex〉k T )φ(y)∗φ(x) + (4.35)
+
∑
σσ′
1
eǫσ/k T − 1u
∗
σ(y)u
∗
σ′(x) +
∑
σσ′
1
1 − e−ǫσ/k T v
∗
σ(y)v
∗
σ′(x)
donde naturalmente 〈n̂ex〉 es traza sobre el segundo y el tercer término. Vale notar que por
la condición de ortogonalidad que impusimos desde el principio, los subespacios propios
de la matriz densidad de un cuerpo siempre se mantienen sin cambio, al menos aparen-
temente. Al aumentar la temperatura o la interacción, comenzará a tomar importancia
la corrección a orden 2 en la expresión de φ(x), aśı como nuevos términos de interacción
para las cuasipart́ıculas. A nosotros, por otro lado, sólo nos interesa de momento saber
si es posible la existencia de condensación a temperatura finita. En el caṕıtulo siguiente
estudiaremos algunas soluciones para estas ecuaciones y veremos en que condiciones la
aproximación es autoconsistente.
42
Caṕıtulo 5
Aplicacion del formalismo a
diferentes sistemas
En el caṕıtulo anterior desarrollamos un formalismo para tratar un sistema de boso-
nes interactuantes por debajo de la temperatura de condensación, si es que esta es no
nula. Vamos ahora a aplicarlo a obtener soluciones que se aproximen a los sistemas f́ısi-
cos planteados en la introducción. Primeramente estudiaremos el problema homogéneo,
obtendremos sus soluciones para sistemas en dos y tres dimensiones y calcularemos algu-
nas de las cantidades observables relevantes. Luego consideraremos los efectos de encerrar
ese sistema entre dos semiplanos. Esto introduce una longitud caracteŕıstica dentro del
problema, que determinará bajo que condiciones es válido suponer este sistema como
homogéneo. Finalmente, por medio de cálculo numérico, estudiaremos como cambia el
problema al introducir un potencial confinante menos singular. Estudiaremos como casos
testigo los potenciales x2 y x8 y la caja ŕıgida (x∞).
5.1. Solución del problema para el caso homogéneo
Vamos a comenzar ahora por resolver las ecuaciones anteriores para el problema ho-
mogéneo, esto es, una caja d dimensional en el ĺımite de volumen grande. Las ecuacion
4.22 toma la forma
− h̄
2
2m
∇2φ(x) + 2 g Nφ(x)3 = ǫ0φ(x) (5.1)
que admite como solución de menor enerǵıa
φ(x) = 1/
√
V (5.2)
ǫ0 = 2 g N/V (5.3)
43
Caṕıtulo 5 Aplicacion del formalismo a diferentes sistemas
con lo que 4.29 se reducen a diagonalizar



− h̄2
2 m
∇2φ(x) + 2 g N/V 2 g N/V
−2 g N/V − h̄2
2 m
∇2φ(x) − 2 g N/V


 (5.4)
donde sobreentendemos el proyector ortogonal a los espacios con (u, v) constantes. Que-
dan entonces acopladas solamente pares de soluciones del problema sin interacción corres-
pondientes a impulso cero. Esto lleva a que el problema de autovalores de desacopla en
subespacios de dimensión 2, reduciendose a un problema de autovalores ordinario:
u~k(x) = ũ(
~k)
ei
~k~x
√
V
(5.5)
v~k(x) = ṽ(
~k)
e−i
~k~x
√
V
(5.6)
(5.7)
Remplazando en 5.8 tenemos
ǫ~k



ũ(~k)
ṽ(~k)


 = ∆k



E0(~k) + 1 1
−1 −E0(~k) − 1






ũ(~k)
ṽ(~k)


 (5.8)
donde definimos
∆~k = 2 g N/V
E0(~k) =
h̄2
2m∆k
k2
la solución para enerǵıa positiva, normalizadas, toman la forma
ǫ~k = ∆~k
√
(E0(~k) + 1)2 − 1 (5.9)
ũ(~k) =
(
1 − (E0(k) + 1 + ǫ(k)/∆~k)−2
)−1/2
(5.10)
ṽ(~k) = −
(
(E0(k) + 1 + ǫ(k)/∆~k)
2 − 1
)−1/2
(5.11)
(5.12)
de las que se recuperan las soluciones del problema sin interacciones si ∆~k → 0. Nex toma
la forma general
Nex =
(
∫
δǫ/kT
ρn(x)dx
ex − 1 +
∫
δǫ/kT
ρa(x)dx
1 − e−x
)
(5.13)
donde δǫ representa el espaciamiento entre el nivel fundamental y el primer nivel excitado.
Introducimos dos densidades de estados, una correspondiente a la contribución de la
44
5.1 Solución del problema para el caso homogéneo
 0
 2
 4
 6
 8
 10
 12
 14
 16
 18
 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
ε/∆
ε(p)
ε=(∆/(2m))1/2
ε=p2/(2m)+∆
Figura 5.1: Relación de dispersión en un sistema homogéneo con interacciones. ∆ da la
escala del cambio del régimen lineal al cuadrático.
componente de ”part́ıcula”ρn(x) y otra a la de la componente de cuasipart́ıcula ρa(x).
Nex estará acotado siempre y cuando tiendan a cero más rápidamente que su argumento.
Consideremos lo que ocurre en sistemas en 3 y dos dimensiones. Para empezar, vemos
 0
 0.2
 0.4
 0.6
 0.8
 1
 0 1 2 3 4 5
((
k
 T
)2
)/
(∆
2
) 
 ρ
u
(ε
)
ε/∆
ρn(ε/∆)
 0
 0.2
 0.4
 0.6
 0.8
 1
 0 1 2 3 4 5
((
k
 T
)2
)/
(∆
2
) 
 ρ
u
(ε
)
ε∆
ρa(ε/∆)
Figura 5.2: Densidad de estados asociadas a los términos de creación y destrucción de
cuasipart́ıculas para el sistema en tres dimensiones. La densidad de estados se comporta
linealmente en el ĺımite de bajas enerǵıas.
que la relación entre la enerǵıa de part́ıcula no interactuante y la enerǵıa de excitación
45
Caṕıtulo 5 Aplicacion del formalismo a diferentes sistemas
 0
 0.2
 0.4
 0.6
 0.8
 1
 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
((
k
 T
)2
)/
(∆
2
) 
 ρ
u
(ε
)
ε/∆
ρn(ε/∆)
 0
 0.2
 0.4
 0.6
 0.8
 1
 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
((
k
 T
)2
)/
(∆
2
) 
 ρ
u
(ε
)
ε∆
ρa(ε/∆)
Figura 5.3: Densidad de estados asociadas a los términos de creación y destrucción de
cuasipart́ıculas en el sistema en 2D. Que la segunda de estas cantidades de un valor finito,
no nulo en cero se corresponde con la divergencia logaŕıtmica del caso sin interacciones.
correspondiente al mismo estado de impulso es independiente de la dimensionalidad y
toma la forma (en unidades ∆k)
E0(ǫ) =
√
ǫ2 + 1 − 1
De la misma manera, |u|2 y |v|2 se escriben como
|u(ǫ)|2 =
(
1 − (
√
ǫ2 + 1 + ǫ)−2
)−1
|v(ǫ)|2 =
(
(
√
ǫ2 + 1 + ǫ)2 − 1
)−1
La dependencia con la dimensionalidad viene de la forma del elemento de volumen en el
espacio de las fases
V
hη
dηk =
V
hη
⊗dkη−1dk
debemos ser capaces de expresar kd−1dk en función de ǫ:
kη−1dk = d(kη)/η
= d((2m∆E0(ǫ))
η/2)/η
=
1
2
(2m∆)η/2(
√
ǫ2 + 1 − 1)1−η/2 ǫ√
ǫ2 + 1
dǫ
Poniendo todo esto junto, en el ĺımite en que ǫ≪ 1 tenemos, para η = 3
ρn(x) ≈
V
h3
(kT )2
πm3/2
4
√
∆
x (5.14)
46
5.1 Solución del problema para el caso homogéneo
ρa(x) ≈
V
h3
(kT )2
πm3/2
4
√
∆
x (5.15)
mientras que para η = 2
ρn(x) ≈
S
h2
πmkT
4
(
1 +
kT
∆
x
)
(5.16)
ρa(x) ≈
S
h2
πmkT
4
(
1 − kT
∆
x
)
(5.17)
Para η = 3 vemos un cambio cualitativo en el comportamiento en la región de baja
enerǵıa: A diferencia del caso sin interacciones, donde ρn(x) ∝ x1/2, ahora el comporta-
miento es lineal.