MEDIDAS-DE-TENDENCIA-CENTRAL - MIGUEL ANGEL JACOME CABAL

Vista previa del material en texto

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
		
Las medidas de tendencia central (media, mediana y moda) sirven como puntos de referencia para interpretar las calificaciones que se obtienen en una prueba. 
Volviendo a nuestro ejemplo, digamos que la calificación promedio en la prueba que hizo el alumno  fue de 20 puntos. Con este dato podemos decir que la calificación del alumno se ubica notablemente sobre el promedio. Pero si la calificación promedio fue de 65 puntos, entonces la conclusión sería muy diferente, debido a que se ubicaría muy por debajo del promedio de la clase. 
En resumen, el propósito de las medidas de tendencia central es: 
Mostrar en qué lugar se ubica la persona promedio o típica del grupo. 
Sirve como un método para comparar o interpretar cualquier puntaje en relación con el puntaje central o típico. 
Sirve como un método para comparar el puntaje obtenido por una misma persona en dos diferentes ocasiones. 
Sirve como un método para comparar los resultados medios obtenidos por dos o más grupos. 
Las medidas de tendencia central más comunes son: 
La media aritmética : comúnmente conocida como media o promedio . Se representa por medio de una letra M o por una X con una línea en la parte superior. 
La mediana : la cual es el puntaje que se ubica en el centro de una distribución. Se representa como Md . 
La moda : que es el puntaje que se presenta con mayor frecuencia en una distribución. Se representa Mo . 
Es la medida de tendencia central más conocida y utilizada. 
Las medias de dos o más distribuciones pueden ser fácilmente promediadas mientras que las medianas y las modas de las distribuciones no se promedian. 
La media se utiliza en procesos y técnicas estadísticas más complejas mientras que la mediana y la moda en muy pocos casos.
· MEDIA ARITMETICA 
Es aquella medida que se obtiene al dividir la suma de todos los valores de una variable por la frecuencia total . En palabras más simples, corresponde a la suma de un conjunto de datos dividida por el número total de dichos datos. 
Ejemplo 1: 
En matemáticas, un alumno tiene las siguientes notas: 4, 7, 7, 2, 5, 3 
n = 6 (número total de datos) 
La media aritmética de las notas de esa asignatura es 4,8. Este número representa el promedio . 
Ejemplo 2: 
Cuando se tienen muchos datos es más conveniente agruparlos en una tabla de frecuencias y luego calcular la media aritmética. El siguiente cuadro con las medidas de 63 varas de pino lo ilustra. 
	Largo (en m) 
	Frecuencia absoluta 
	Largo por Frecuencia absoluta 
	5 
	10 
	5          .       10  =   50 
	6 
	15 
	6          .        15 =   90 
	7 
	20 
	7          .        20 =  140 
	8 
	12 
	8          .        12 =    96 
	9 
	6 
	9            .          6 = 54 
	
	Frecuencia total = 63 
	430 
Se debe recordar que la frecuencia absoluta indica cuántas veces se repite cada valor, por lo tanto, la tabla es una manera más corta de anotar los datos (si la frecuencia absoluta es 10, significa que el valor a que corresponde se repite 10 veces). 
Media aritmética para datos agrupados 
Valor obtenido al agrupar n valores iguales, cada uno por separado, considerando su frecuencia; a menudo en forma de tabla...
  Fórmula:
Media aritmética de datos agrupados :
Media aritmética = ΣfX/Σf
dónde
              X = La puntuación individual
              f = Frecuencia
La media aritmética = 1+2+3+1+2+3+2/7 = 14/7 = 2
En este caso hay dos 1, tres 2 y dos 3. El número de veces que cada número aparece es su frecuencia. Formando así la tabla de abajo.
	X Value
	Frequency(f)
	ΣfX
	1
	2
	1 * 2 = 2
	2
	3
	2 * 3 = 6
	3
	2
	3 * 2 = 6
Paso1:Encontrar Σf.
           
 Σf = 7
Paso2: Ahora encontrar ΣfX.
          
ΣfX = ((1*2)+(2*3)+(3*2)) = 14
 Paso 3: Ahora, Suplente en la fórmula anterior, dado
            
Media aritmética = ΣfX/Σf = 14/7 = 2
Media aritmética para datos no agrupados 
Podemos diferenciar la fórmula del promedio simple para datos poblaciones y muéstrales:
Observe que la variación de ambas fórmulas radica en el tamaño de los datos (N identifica el tamaño de la población, mientras n el de la muestra).
Ejemplo: La media aritmética para datos no agrupados.
El profesor de la materia de estadística desea conocer el promedio de las notas finales de los 10 alumnos de la clase. Las notas de los alumnos son:
3,2 3,1 2,4 4,0 3,5
3,0 3,5 3,8 4,2 4,0
¿Cuál es el promedio de los alumnos de la clase?
 Solución 
Aplicando la fórmula para datos no arupados tenemos:
Cabe anotar que en ejemplo estamos ablando de una población correspondiente a todos los alumnos de la clase (10 alumnos en total).El promedio de las notas en de 3,4.
Modifiquemos la primera nota por 0,0 y calculemos nuevamente la media aritmética.
En este caso la media pasa de 3,47 a 3,15 . Esta variación notoria se debió a que la medida aritmética es sensible a los valores extremos cuando tratamos con pocos datos.El 0,0 es una nota atípica comparadas con las demás, que están ubicadas entre 3,0 y 4,2 .
· MEDIANA 
Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando están ordenados de menor a mayor.
La mediana se representa por Me .
La mediana se puede hallar solo para variables cuantitativas.
Caculo de la mediana:
1. Ordenamos los datos de menor a mayor.
2. Si la serie tiene un numero impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma. 
 *2 , 3 , 4 , 4 , 5 , 5 , 5 , 6 , 6 Me= 5
3. Si las serie tiene un numero par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.
 
 *7 , 8 , 9 , 1 0, 11 , 12 Me=9.5 
Mediana para datos agrupados 
Cuando los datos se encuentran agrupados en una distribución de frecuencia no conocemos los datos originales, por lo tanto es necesario estimar la mediana mediante los siguientes pasos: 
1. Calcular el valor n/2
2. Localizar el intervalo de clase donde se encuentra la mediana (intervalo mediano).Esto se hace encontrando el primer intervalo de clase donde la frecuencia acumulada es igual o mayor que n/2
3. Aplicando la siguiente formula con los valores del intervalo mediano:
 
Donde: Me = Mediana L i - 1 = Límite inferior de la clase de la mediana ni = Frecuencia de la clase de la mediana N = Total de datos o frecuencias N i - 1 = Frecuencia acumulada anterior a la mediana 
a 
Propiedades de la media 
· MODA
La moda es el valor con mayor frecuencia en una distribución de datos. 
Se hablará de una distribución bimodal de los datos adquiridos en una columna cuando encontremos dos modas, es decir, dos datos que tengan la misma frecuencia absoluta máxima. Una distribución trimodal de los datos es en la que encontramos tres modas. En el caso de la distribución uniforme discreta, cuando todos los datos tienen la misma frecuencia, se puede definir las modas como indicadas, pero estos valores no tienen utilidad. Por eso algunos matemáticos califican esta distribución como «sin moda». 
El intervalo modal es el de mayor frecuencia absoluta. Cuando tratamos con datos agrupados antes de definir la moda, se ha de definir el intervalo modal. 
La moda, cuando los datos están agrupados, es un punto que divide al intervalo modal en dos partes de la forma p y c-p, siendo c la amplitud del intervalo, que verifiquen que: 
Siendo la frecuencia absoluta del intervalo modal las frecuencias absolutas de los intervalos anterior y posterior, respectivamente, al intervalo modal. 
Moda de datos agrupados 
Para obtener la moda en datos agrupados se usa la siguiente fórmula: 
 
Donde: 
 = -inferior de la clase modal.
 = es el delta de frecuencia absoluta modal y la frecuencia absoluta premodal.
 = es el delta de frecuencia absoluta modal y la frecuencia absoluta postmodal.
 = Amplitud del intervalo modal
Clase modal es el intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta:
Ejemplo 
Calcular la moda de la distribución estadística:
	 
	fi
	[0, 5)
	3
	[5, 10)5
	[10, 15)
	7
	[15, 20)
	8
	[20, 25)
	2
	[25, ∞)
	6
La clase modal es: [15, 20) 
Aplicaremos la fórmula para el cálculo de la moda para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos: 
Lïmite inferior: 15
fi = 8 
fi–1 = 7
fi+1 = 2
ai = 5
Moda para datos no agrupados.
Una vez ordenado los datos en forma ascendente o descendente se observa los datos con mayor frecuencia, se puede concluir que la distribución puee tener una moa y se llama unimodal, mas de dos modas se llama polimodal, y no tener moda se llama amodal.
EJEMPLO:
Sea X edad en años cumplidos de 12 niños
	7
	6
	5
	4
	6
	8
	7
	5
	3
	4
	6
	5
Organizamos los datos
	3
	4
	4
	5
	5
	5
	6
	6
	6
	7
	7
	8
Mo= 5
Mo= 6
Ejemplo 1: Buscar la moda de: 
 
 5     12    9    5    8    7    1 
Como la moda es el número que más se repite, la moda es 5.
  
Ejemplo 2: Buscar la moda de: 
14    16    18    16    15    12    14    14    16    18   20   16   16 
El 14 se repite 3  veces. El 18 se repite 2  veces. El 16 se repite 5 veces. 
Por lo tanto, la moda es 16.
  
Ejemplo 3: Buscar la moda de: 
  
 23    35    45    33    47    31     29     22 
Como ningún número se repite, no  tiene moda. 
Hallar la moda de la distribución:
2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 Mo= 4 
· MEDIA GEOMETRICA 
1. En matemáticas y estadística, la media geométrica de una cantidad arbitraria de números (por decir n números) es la raíz n-ésima del producto de todos los números; es recomendada para datos de progresión geométrica, para promediar razones, interés compuesto y números índices. 
Por ejemplo, la media geométrica de 2 y 18 es 
Otro ejemplo, la media de 1, 3 y 9 sería 
 
Cabe destacar que la media geométrica necesita que no haya números negativos o que estos sean un número par. Si los valores contienen un número impar de números negativos estaríamos intentando aplicar una raíz a un número negativo, no pudiendo encontrar solución entre los números reales
2.  La media geométrica es un tipo de media de un conjunto de números diferente a la media aritmética. La media geométrica solo es relevante si todos los números son positivos. Se obtiene multiplicando todos los números (digamos “n” números), y obteniendo la raíz enésima del total. Un ejemplo común de utilización de la media geométrica, es al trabajar con cantidad enormes.
  Fórmula:
Media geométrica :
Media geométrica = ((X1)(X2)(X3)........(XN))1/N
dónde
              X = número individual
              N = tamaño total (número de números)
Media geométrica Ejemplo: Para encontrar la media geométrica de la 1,2,3,4,5.
  Paso 1: N = 5, el número total de valores de. Encontrar 1/N.
            1/N = 0.2 
  Paso 2: Ahora busca una media geométrica con la fórmula.
            ((1)(2)(3)(4)(5))0.2 = (120)0.2 
            tan, Media geométrica = 2.60517
Este ejemplo le guiará para calcular la media geométrica de forma manual.
Media geométrica ponderada 
Como en el caso de la media aritmética ponderada, en ocasiones se desea especificar la importancia de cada valor dentro del conjunto de observaciones. En tal caso, se emplea la fórmula:
Media geométrica ponderada. 
Dónde:
n: es el tamaño de la muestra.
xi: representa la i-ésima observación dentro del conjunto.
: representa la i-ésima observación dentro del conjunto.
: es la media de la muestra.
Note que en esta ecuación se utiliza el símbolo pi en vez de sigma.
 
· MEDIA ARMONICA
La media armónica (designada usualmente mediante H) de una cantidad finita de números es igual al recíproco, o inverso, de la media aritmética de los recíprocos de dichos valores y es recomendada para promediar velocidades. 
Así, dados n números x1, x2, ... , xn la media armónica será igual a: 
La media armónica resulta poco influida por la existencia de determinados valores mucho más grandes que el conjunto de los otros, siendo en cambio sensible a valores mucho más pequeños que el conjunto. 
La media armónica no está definida en el caso de que exista algún valor nulo. 
Construcción geométrica para hallar las medias aritmética (A), cuadrática (Q), geométrica (G) y armónica (H) de dos números a y b.
Ejemplo:
:Para encontrar la media armónica de la 1,2,3,4,5.
  Paso 1: Calcula el número total de valores. 
           
N = 5
Paso 2: Ahora determina la media armónica utilizando la fórmula de arriba. 
          
  N/(1/a1+1/a2+1/a3+1/a4+.......+1/aN)
            = 5/(1/1+1/2+1/3+1/4+1/5)
            = 5/(1+0.5+0.33+0.25+0.2)
            = 5/2.28
          
  Tan, Media armónica = 2.19
Este ejemplo le guiará para calcular la media armónica de forma manual.