9 Circunferencias - ANETTE RACHEL PINACHO MATIAS

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Circunferencias y círculos
Definiciones básicas
Círculo. Figura plana limitada por una circunferencia.
Circunferencia. Lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de otro punto fijo, llamado centro.
Arco (circular). Porción de una circunferencia.
Radio de un círculo. Todo segmento de recta que une el centro con la circunferencia.
Cuerda. Segmento cuyos extremos pertenecen a una misma circunferencia. 
Diámetro. Cuerda que pasa por el centro de una circunferencia o círculo.
Recta secante a una circunferencia. Corta en dos puntos a una circunferencia.
Recta tangente a una curva (o tangente), aquella que tiene un punto, y sólo uno, en común con la curva.
Ángulos en la circunferencia
Ángulo central 
Ángulo inscrito
Ángulo semi-inscrito
Ángulo circunscrito
Teoremas asociados a circunferencias 
La perpendicular trazada por el centro de un círculo a una cuerda, bisecta a la cuerda y al arco comprendido por ella
 Si en una circunferencia dos cuerdas son desiguales, entonces la mayor cuerda dista menos del centro que la otra
Hipótesis		Tesis
 
en C
en F
 Si en una circunferencia dos cuerdas son desiguales, entonces la mayor cuerda dista menos del centro que la otra
Hipótesis		Tesis
en C
en F
Construcción auxiliar
trazar tal que 
 
 
Tangente a una circunferencia
Sea la recta AB tangente a la circunferencia con centro en O, y T es el punto de tangencia 
 
El segmento OT es el radio de la circunferencia que pasa por el punto de tangencia
Por la definición de tangente, cualquier punto de la recta AB, distinto a T, pertenece al exterior de la circunferencia con centro en O.
Entonces, para cualquier posición del punto P se tiene que 
 	
Por tanto, la distancia más corta entre el punto O y la recta AB es igual a la longitud del radio OT
Por definición, la distancia más corta entre un punto y una recta es la perpendicular que los une. 
Entonces, se tiene el siguiente teorema:
La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que pasa por el punto de tangencia.
Teorema del ángulo inscrito en una circunferencia
La medida del ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del valor del ángulo central que subtiende al mismo arco.
Hipótesis		Tesis 				Figura
1) {⊙O 
Hipótesis		 Tesis 				Figura
1) {⊙O 
Construcción auxiliar:
2) Trazar el diámetro 
Con la construcción auxiliar se han formado 2 triángulos: y 
Cada uno de estos triángulos es isósceles ¿por qué? 
 es un ángulo externo a 
 es un ángulo externo a 
Recuerda el teorema del ángulo externo a un triángulo 
Aplica algunos axiomas y ¡ya está!
Hipótesis		 Tesis 				Figura
1) {⊙O 
Construcción auxiliar:
2) Trazar el diámetro 
 Demostración			Justificación
3) 		Radios de la misma circunferencia (1)
4) 		En ángulos opuestos a lados iguales (3)
5) 		En , ángulos opuestos a lados iguales (3)
6) Teorema del ángulo externo ()
7) 		Sustitución (4) en (6)
8) Teorema del ángulo externo ()
9) 		Sustitución de (5) en (8)
 
 Demostración		 Justificación
3) 		Radios de la misma circunferencia (1)
4) 		En ángulos opuestos a lados iguales (3)
5) 		En , ángulos opuestos a lados iguales (3)
6) 	Teorema del ángulo externo ()
7) 		Sustitución (4) en (6)
8) 	Teorema del ángulo externo ()
9) 		Sustitución de (5) en (8)
10) 	El todo es igual a la suma de sus partes
11) 	Sustitución de (7) y (9) en (10)
12) 	El todo es igual a la suma de sus partes.
13) 		Sustitución (12) en (11)
14) 		Trasponiendo (13)
 L.C.Q.D.
Problemas de construcción,
Con el programa Geogebra
Construcciones
Toda construcción que involucre la recta tangente a una circunferencia, deberá garantizar que la recta es perpendicular al radio que pasa por el punto de tangencia.
Construir una recta tangente a la circunferencia con centro en O, que pase por el punto P (exterior a la circunferencia). (2 soluciones)
Requisitos previos: 
Teorema de la recta tangente y el radio al punto de tangencia
Teorema del ángulo inscrito
Corolario: ángulo inscrito en media circunferencia
Traza el segmento 
 Localiza el punto medio (A) de 
Traza una circunferencia con centro en A y radio 
Localiza los puntos de intersección entre las dos circunferencias (C, D)
Las rectas y son tangentes a 
justificación
 es diámetro de la circunferencia auxiliar, con centro en A. 
La recta tangente y el segmento forman un ángulo (∠ODP) inscrito en la circunferencia auxiliar con centro en el punto A, por lo tanto 
B 
C
C
B
A
A
B CO
B
A
AC
B CO
B
A
AC
O
B
C
A
P
M
CASO I
O
A
B
D
C
M
P
C'
CASO II
O
B
D
C
A
M
P
R
O
A
B
C
D
O
A
B
D
C
angulo inscrito
O
B
C
A
D
ángulo semi 
inscrito
O
A
C
B
ODCAB