Sesion 9- Borges Aurora - Benitez gonzalez Jimena

Vista previa del material en texto

CENTRO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS 5 “BENITO JUÁREZ” 
CURSO DE PREPARACION PARA EL INGRESOA NIVEL SUPERIOR 
 
4. Geometría Analítica 
4.3 Coordenadas polares 
 
4.3.1 El plano polar 
 
Si en un plano fijamos un punto 𝑂 que llamaremos polo u origen, y a partir de él trazamos 
un rayo o semirrecta 𝐿 que dibujaremos horizontal por comodidad, llamado eje polar, 
cualquier punto 𝑃 del plano pertenece a una única circunferencia con centro en el polo y cuyo 
radio sea igual a la distancia del punto 𝑃 al polo 𝑂. Si el punto 𝑃 no coincide con el polo, 
determina también un sólo rayo por el polo, el rayo 𝑂𝑃, y de esta manera se determina el 
ángulo del eje polar al rayo 𝑂𝑃 (véase la Figura). 
 
De esta forma, la ubicación de cualquier punto 𝑃 queda determinada por la distancia 𝑟 del 
punto 𝑃 al polo 𝑂, que llamaremos radio (o norma) y el ángulo (o argumento) del eje polar 
al rayo 𝑂𝑃. Decimos entonces que el radio y el ángulo son las coordenadas polares del punto 
𝑃 en el plano polar, el cual se representa por 𝑃(𝑟, 𝜃). Por ejemplo, dada la coordenada polar 
(2, 30°), ésta representa a un punto ubicado a una 
distancia 2 del polo y ubicada en la semirrecta que 
hace un ángulo de 30° con el eje polar. Ya que los 
ángulos de pueden medir en grados o radianes, la 
coordenada del ángulo puede ser escrita en 
cualquiera de estas dos formas, es decir, en el 
ejemplo anterior las coordenadas (2, 30°) y (2, 
π/6) representan al mismo punto. 
Así, el sistema de coordenadas polares es un 
sistema de coordenadas bidimensional en el cual 
cada punto del plano se determina por un ángulo 
y una distancia. 
CENTRO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS 5 “BENITO JUÁREZ” 
CURSO DE PREPARACION PARA EL INGRESOA NIVEL SUPERIOR 
 
Figura. Representación del plano polar con un origen 
o polo en el centro y el eje polar representado por la 
semirrecta que corresponde al ángulo de 0°. 
Ubicación de puntos en el plano polar 
Para identificar un punto 𝑃 con coordenadas (𝑟, 𝜃) en el plano polar, se procede del siguiente 
modo (se está suponiendo que ya se tiene identificado el polo y el eje polar): 
• Paso 1. Se traza una semirrecta con vértice en el polo y que forme un ángulo 𝜃 con el 
eje polar. 
• Paso 2. Sobre esta semirrecta se mide la distancia 𝑟 a partir del polo y el punto final 
es el punto P de coordenadas (𝑟, 𝜃). 
Ejemplo 
Localicemos el punto (3, 60°), es decir, el punto 
en el plano polar que tiene un radio igual a 5 y un 
ángulo de 60° con respecto al eje polar. 
Paso 1. Tracemos la semirrecta con vértice en el 
polo y que forme un ángulo de 60° con el eje 
polar: 
 
 
Paso 2. Ahora, sobre la semirrecta que hemos 
trazado, hay que medir una distancia igual a 3 
desde el polo y éste será el punto que estamos 
buscando. 
¡Listo! El punto que estamos buscando es el punto 
morado de la imagen. 
 
Pasar de coordenadas cartesianas a coordenadas polares y viceversa 
Podemos establecer fórmulas para obtener las coordenadas polares de un punto P de 
coordenadas cartesianas (x, y) con el origen como polo, el eje X coincidente e igualmente 
orientado que el eje polar y el eje Y perpendicular al eje X con orientación que complete un 
sistema derecho. 
Para hallar estas fórmulas, consideremos el triángulo rectángulo OHP de la siguiente figura, 
el cual se encuentra ubicado en el plano cartesiano. Conociendo las coordenadas cartesianas 
(𝑥, 𝑦) del punto P, por el teorema de Pitágoras, tenemos que el radio en coordenadas polares 
de dicho punto es: 
CENTRO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS 5 “BENITO JUÁREZ” 
CURSO DE PREPARACION PARA EL INGRESOA NIVEL SUPERIOR 
 
𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 
 
Figura que representa la forma de pasar de coordenadas cartesianas a coordenadas polares. 
Además, el argumento o ángulo en coordenadas polares puede hallarse utilizando las razones 
trigonométricas, considerando la siguiente relación: 
tan 𝜃 = (
𝑦
𝑥
), por tanto, se tiene que 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (
𝑦
𝑥
) 
Pero es importante tener en cuenta que esta relación es válida cuando el punto P en cuestión 
se encuentra en el primer cuadrante, para hallar el ángulo polar de cualquier punto, considera 
las siguientes fórmulas: 
𝜃 =
{
 
 
 
 
 
 
 
 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (
𝑦
𝑥
) (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒)
180° − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (
𝑦
|𝑥|
) (𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒)
180° + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (
𝑦
𝑥
) (𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒)
360° + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (
𝑦
𝑥
) (𝑐𝑢𝑎𝑟𝑡𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒)
90° 𝑠𝑖 𝑥 = 0, 𝑦 > 0
270° 𝑠𝑖 𝑥 = 0, 𝑦 < 0
 
Recíprocamente, si conocemos las coordenadas polares (𝑟, 𝜃) de un punto P, sus coordenadas 
cartesianas se obtienen aplicando nuevamente las razones trigonométricas, resultando en las 
ecuaciones siguientes: 
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃, e 𝑦 = 𝑟 sen 𝜃 
Ejemplo 
Determinemos las coordenadas polares del punto P cuya coordenada cartesiana es (-3, 4). 
CENTRO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS 5 “BENITO JUÁREZ” 
CURSO DE PREPARACION PARA EL INGRESOA NIVEL SUPERIOR 
 
Por la coordenada cartesiana, sabemos que 𝑥 = −1 e 𝑦 = 2. Ahora, utilizando la fórmula 
dada y sustituyendo estos valores, se tiene que la coordenada polar que corresponde al radio 
se obtiene por: 
𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 = √(−3)2 + (4)2 = √9 + 16 = √25 = 5 
Por lo tanto, la coordenada polar del radio es 𝑟 = 5. Luego, considerando que el punto se 
encuentra en el segundo cuadrante, la coordenada polar que corresponde al ángulo es: 
𝜃 = 180° − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (
𝑦
𝑥
) = 180° − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (
4
|−3|
) = 180° − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (
4
3
)
= 180° − 53.13° = 126.87° 
Es decir, 𝜃 = 126.87°. De esta forma, el punto P, con coordenadas cartesianas (-3, 4), tiene 
como coordenadas polares (5, 126.87°). 
 
Conversión de un punto con coordenadas cartesianas a coordenadas polares. 
Ejemplo 
Ahora encontremos la representación en coordenadas cartesianas de un punto con 
coordenadas polares (2, 2π/3). 
Primeramente, notemos que la coordenada que corresponde al ángulo está escrita en radianes. 
Ahora, considerando las fórmulas mostradas, las coordenadas 𝑥 e 𝑦 en coordenadas 
cartesianas son: 
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 = 2 ∗ cos (
2π
3
) = (2)(−0.5) = −1 
𝑦 = 𝑟 sen 𝜃 = 2 ∗ sen (
2π
3
) = (2)(0.866) = 1.732 
Por lo tanto, la coordenada cartesiana de dicho punto es (-1,1.732). 
CENTRO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS 5 “BENITO JUÁREZ” 
CURSO DE PREPARACION PARA EL INGRESOA NIVEL SUPERIOR 
 
 
Conversión de un punto con coordenadas cartesianas a coordenadas polares. 
 
Curvas de coordenadas cartesianas (rectangulares) a coordenadas polares. 
Dada la ecuación de una curva en coordenadas cartesianas, es decir, de la forma 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0, 
podemos encontrar su representación en coordenadas polares, o sea, en términos de 𝑟 y 𝜃, 
sustituyendo a 𝑥 e 𝑦 de la expresión por las fórmulas encontradas anteriormente: 
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃, e 𝑦 = 𝑟 sen 𝜃 
Y simplificando la expresión a su forma más sencilla. 
Por ejemplo, la ecuación de la circunferencia 𝑥2 + 𝑦2 = 4, es decir, la circunferencia con 
centro en el origen y de radio 2, podemos pasarla a coordenadas polares sustituyendo por las 
expresiones anteriores y se obtiene: 
𝑥2 + 𝑦2 = (𝑟 cos 𝜃)2 + (𝑟 sen 𝜃)2 = 𝑟2 cos2 𝜃 + 𝑟2 sen2 𝜃 = 4 
Lo que sigue es simplificar esta expresión y para ello haremos uso de factorización y de una 
igualdad trigonométrica básica que dice que cos2 𝜃 + sen2 𝜃 = 1, por lo que se obtiene: 
𝑟2 cos2 𝜃 + 𝑟2 sen2 𝜃 = 𝑟2(cos2 𝜃 + sen2 𝜃) = (𝑟2)(1) = 𝑟2 = 4 
Entonces, se tiene que 𝑟2 = 4, por lo que la ecuación de la circunferencia en coordenadas 
polares es 
𝑟 = 2 
Como observamos, en este caso es una ecuación más sencilla que la de coordenadas 
cartesianas que justo lo que nos está diciendo es que son todos los puntos cuya distancia al 
origen es 2 y, debido a que el término 𝜃 no aparece, lo que está diciendo es que es un 
parámetro libre que puede tomar cualquier valor.CENTRO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS 5 “BENITO JUÁREZ” 
CURSO DE PREPARACION PARA EL INGRESOA NIVEL SUPERIOR 
 
4.3.1 Ecuaciones paramétricas 
 
Definición: Si 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0 es la ecuación rectangular (en coordenadas cartesianas) de una 
curva plana y las variables 𝑥 e 𝑦 están en función de una tercera variable 𝑡, llamada 
parámetro, entonces se tiene un sistema de ecuaciones de la forma: 
{
𝑥 = 𝑔(𝑡)
𝑦 = ℎ(𝑡)
 
Estas relaciones se conocen como ecuaciones paramétricas. 
El objetivo de resolver el sistema es representar en una sola ecuación las variables 𝑥 e 𝑦 
eliminando el parámetro. 
- Ecuación paramétrica de la recta 
{
𝑥 = 𝑎1 + 𝑣1𝑡
𝑦 = 𝑎2 + 𝑣2𝑡
 
Donde 𝑎1, 𝑎2, 𝑣1 y 𝑣2 son constantes (números fijos) y 𝑡 toma valores en todos los reales. 
 
- Ecuación paramétrica de la parábola 
{
𝑥 = 𝑡 + 𝑎
𝑦 =
1
4𝑐
𝑡2 + 𝑏
 
Que corresponde a una parábola con eje focal vertical ubicada en la coordenada (a, b). 
- Ecuación paramétrica de la circunferencia con centro en el origen 
{
𝑥 = 𝑅 cos 𝑡
𝑦 = 𝑅 sen 𝑡
 
Donde R es el radio de la circunferencia y 𝑡 toma valores entre 0 y 2π rad. 
 
- Ecuación paramétrica de la elipse con centro en el origen 
{
𝑥 = 𝑎1 + 𝑣1cos 𝑡
𝑦 = 𝑎2 + 𝑣2sen 𝑡
 
Donde 𝑎1, 𝑎2, 𝑣1 y 𝑣2 son constantes (números fijos) y 𝑡 toma valores entre 0 y 2π rad. 
 
- Ecuación paramétrica de la hipérbola con centro en el origen 
{
𝑥 = 𝑎 sec 𝑡
𝑦 = 𝑏 tan 𝑡 
Que es la parametrización de la hipérbola con centro en el origen y eje focal sobre el eje X. 
CENTRO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS 5 “BENITO JUÁREZ” 
CURSO DE PREPARACION PARA EL INGRESOA NIVEL SUPERIOR 
 
Transformación de ecuaciones paramétricas a rectangulares. 
Dada una curva en su forma paramétrica, su transformación a rectangular se obtiene con la 
eliminación del parámetro. No hay un método general para efectuar la eliminación, depende, 
en cada caso, de la forma de las ecuaciones paramétricas. 
Por ejemplo, si éstas contienen funciones trigonométricas, la ecuación rectangular surge al 
eliminar el parámetro por medio de identidades trigonométricas fundamentales. Si las 
ecuaciones paramétricas son algebraicas, su forma sugerirá alguna operación para eliminar 
el parámetro. Si de dos ecuaciones paramétricas una es más complicada que la otra, la 
ecuación rectangular puede obtenerse despejando el parámetro de la ecuación más sencilla y 
sustituyendo su valor en la otra ecuación. 
 
Ejemplo 
 
 
 
CENTRO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS 5 “BENITO JUÁREZ” 
CURSO DE PREPARACION PARA EL INGRESOA NIVEL SUPERIOR 
 
5. Cálculo diferencial 
5.1 Funciones, límites y continuidad 
 
5.1.1 Desigualdades 
Se dice que un número real 𝑥 es mayor que el número real 𝑦 siempre que 𝑥 − 𝑦 sea un número 
positivo. Entonces escribimos 𝑥 > 𝑦 que se lee “𝑥 es mayor que 𝑦”. Por ejemplo, 1 > −3, 
pues 1 − (−3) = 1 + 3 = 4, que es un número positivo. 
De forma análoga, se dice que un número real 𝑥 es menor que el número real 𝑦 cuando la 
diferencia 𝑥 − 𝑦 es negativa. Entonces escribimos 𝑥 < 𝑦 que se lee “𝑥 es menor que 𝑦”. Así, 
-1 es menor que 1 porque la diferencia −1 − 1 = −2, que es un número negativo. 
De acuerdo con esta definición, el cero es mayor que cualquier cantidad negativa y menor 
que cualquier cantidad positiva. 
Considerando las definiciones anteriores, definimos una desigualdad como una expresión 
que indica que una cantidad es mayor o menor que otra. Asimismo, llamamos primer 
miembro de una desigualdad a la expresión que está a la izquierda y segundo miembro a la 
que está a la derecha del signo de la desigualdad. Así, en 𝑎 + 𝑏 > 𝑐 − 𝑑 el primer miembro 
es 𝑎 + 𝑏 y el segundo 𝑐 − 𝑑. 
Propiedades de las desigualdades 
- Si sumamos o restamos una misma cantidad a ambos miembros de la expresión, el 
signo de la desigualdad no varía (se mantiene). Esto se puede expresar de la siguiente 
manera: 
Si 𝑎 > 𝑏, entonces, 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑐. 
- Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma 
cantidad positiva, el signo de la desigualdad no varía. Esto se puede expresar de la 
siguiente manera: 
Si 𝑎 > 𝑏 y 𝑐 > 0, entonces, 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐 y 
𝑎
𝑐
>
𝑏
𝑐
 
- Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma 
cantidad negativa, el signo de la desigualdad cambia. 
Si tenemos que 𝑎 > 𝑏 y multiplicamos por −𝑐, entonces, −𝑎𝑐 < −𝑏𝑐 y −
𝑎
𝑐
< −
𝑏
𝑐
 
- Si se cambia el orden de los miembros, la desigualdad cambia de signo. 
Si 𝑎 > 𝑏, entonces, Si 𝑏 < 𝑎. 
- Si se invierten los dos miembros, la desigualdad cambia de signo. 
Si 𝑎 > 𝑏, entonces, 
1
𝑎
<
1
𝑏
. 
CENTRO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS 5 “BENITO JUÁREZ” 
CURSO DE PREPARACION PARA EL INGRESOA NIVEL SUPERIOR 
 
- Si los miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a una misma potencia 
positiva, el signo de la desigualdad no cambia. 
- Si los dos miembros o uno de ellos es negativo y se elevan a una potencia impar 
positiva, el signo de la desigualdad no cambia. 
- Si un miembro es positivo y otro negativo y ambos se elevan a una misma potencia 
par positiva, el signo de la desigualdad puede cambiar, dependiendo del valor 
absoluto de cada miembro. El número elevado al cuadrado será mayor cuando la base 
sea el de mayor valor absoluto. 
Inecuaciones 
Una inecuación es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas 
(incógnitas) y que sólo se verifica para determinados valores de las incógnitas. Las 
inecuaciones se llaman también desigualdades de condición. 
Por ejemplo, la desigualdad 2𝑥 − 3 > 𝑥 + 5 es una inecuación porque tiene la incógnita 𝑥 y 
sólo se verifica (se cumple la desigualdad) para cualquier valor de 𝑥 mayor que 8. 
Resolver una inecuación es hallar los valores de las incógnitas que satisfacen la inecuación. 
 
Resolución de inecuaciones 
Para resolver las inecuaciones, es decir, hallar los valores que cumplen la desigualdad, se 
hacen uso de las propiedades antes mencionadas para operar algebraicamente. El proceso es 
similar a cuando se despeja la incógnita de una ecuación, sólo hay que tener cuidado de los 
casos en que el signo de la desigualdad cambia. 
 
Ejemplo 1: 
Resolvamos la inecuación: 
2𝑥 − 3 > 𝑥 + 5 
Pasando 𝑥 al primer miembro y 3 al segundo: 
2𝑥 − 𝑥 > 5 + 3 
Reduciendo se tiene que: 
𝑥 > 8 
Esto quiere decir que los valores de 𝑥 que cumplen o verifican la desigualdad son aquellos 
mayores que 8. 
 
 
CENTRO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS 5 “BENITO JUÁREZ” 
CURSO DE PREPARACION PARA EL INGRESOA NIVEL SUPERIOR 
 
Ejemplo 2: 
Hallar los valores de 𝑥 que cumplan la desigualdad: 
7 −
𝑥
2
>
5𝑥
3
− 6 
Suprimiendo los denominadores: 
42 − 3𝑥 > 10𝑥 − 36 
Pasando 10𝑥 al primer miembro y 42 al segundo miembro, se tiene: 
−3𝑥 − 10𝑥 > −36 − 42 
−13𝑥 > −78 
Dividiendo por -13, lo cual hace cambiar el signo de la desigualdad, obtenemos: 
𝑥 <
78
13
 
O bien, 
𝑥 < 6 
Los valores que satisfacen la desigualdad son todos los valores menores que 6. 
 
5.1.2 Dominio y rango 
 
El dominio de una función 𝑓(𝑥) es el conjunto de todos los valores posibles de la variable 
independiente para los cuales la función está definida, es decir, los valores de 𝑥. El rango es 
el conjunto de valores posibles para las salidas de la función, es decir, los valores que toma 
𝑓 después de haber sustituido los valores de la variable independiente, o bien, que el rango 
son los valores resultantes de 𝑦 que obtenemos después de haber sustituido todos los posibles 
valores de 𝑥. 
¿Cómo encontrar el dominio? 
Podemos determinar el dominio de la función al buscar los valores de la variable 
independiente, los cuales sí podemos usar en la función. Usualmente, esto implica evitar 
valores que producen un 0 en el denominador de fracciones, es decir, evitar dividir por cero 
ya que esta es una operación “no permitida” o indeterminada;o evitar tener valores negativos 
dentro de raíces cuadradas. 
Entonces, para encontrar el dominio, lo importante es recordar que: 
• El denominador de una fracción no puede ser cero. 
• El número dentro de una raíz cuadrada debe ser positivo. 
CENTRO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS 5 “BENITO JUÁREZ” 
CURSO DE PREPARACION PARA EL INGRESOA NIVEL SUPERIOR 
 
 
Ejemplo 1: Encontrar el dominio de la función 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 2 
En este caso, sabemos que la función estará correctamente definida cuando los valores dentro 
de la raíz cuadrada iguales o mayores que cero, es decir, debemos evitar que dentro de la raíz 
tengamos valores negativos. 
Entonces, la función está definida para valores que cumplen 𝑥 + 2 ≥ 0 y, aplicando las 
propiedades de las desigualdades y nuestro conocimiento de la resolución de inecuaciones, 
tendremos que 𝑥 ≥ −2. Es decir, el dominio de la función lo conforman aquellos valores de 
𝑥 mayores o iguales que -2. 
Escrito como intervalo, la expresión 𝑥 ≥ −2 se representa como [−2,∞), ya que quiere 
decir que -2 es el valor más pequeño que puede tomar (el corchete significa que el -2 forma 
parte de los valores que puede tomar la variable independiente, cuando se tiene el signo de 
mayor estricto en lugar de corchete es un paréntesis) y de ahí tomar cualquier valor mayor 
(el signo de infinito significa que tomará cualquier valor más grande que el número de la 
derecha y cuando tenemos este símbolo siempre debemos cerrar con un paréntesis). 
Ejemplo 2: Calcular el dominio de la función: 
𝑓(𝑥) =
1
𝑥2 − 1
 
En este caso, como tenemos una fracción y sabemos que los valores del denominador no 
pueden ser cero. Por ello, el procedimiento a seguir es encontrar los valores de 𝑥 que hacen 
que la expresión 𝑥2 − 1 se haga cero: 
𝑥2 − 1 = 0 
De esta forma, lo que tenemos es una ecuación cuadrática que es posible resolver ya sea por 
factorización o fórmula general (usando cualquiera de las dos formas llegaremos al mismo 
resultado). Si utilizamos factorización, nos damos cuenta que 𝑥2 − 1 es una diferencia de 
cuadrado que puede factorizarse como (𝑥 + 1)(𝑥 − 1), por lo tanto: 
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) = 0 
Por tanto, los valores de 𝑥 son 𝑥 = 1 y 𝑥 = −1. Con ello, el dominio de la función son 
aquellos valores de 𝑥 que NO son 1 y -1 ya que en estos valores el denominador se hace cero. 
Se dice entonces que el dominio de la función son todos los reales menos 1 y -1, y se escribe 
como ℝ\{−1,1}. 
Ejemplo 3: Halla el dominio de la función 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 7𝑥 − 1. 
Por la forma de la función, esta expresión nunca presentará una indeterminación dividiendo 
por cero (porque no es una fracción) y tampoco tenemos una raíz cuadrada, por lo que 
decimos que el dominio de la función son todos los reales, es decir, dominio=ℝ. 
CENTRO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS 5 “BENITO JUÁREZ” 
CURSO DE PREPARACION PARA EL INGRESOA NIVEL SUPERIOR 
 
 
¿Cómo encontrar el rango? 
Para encontrar el rango tenemos en cuenta lo siguiente: 
• El rango de una función es el conjunto de valores de 𝑦 desde el valor mínimo hasta 
el valor máximo. 
• Podemos sustituir algunos valores de 𝑥 para determinar lo que sucede con los valores 
de 𝑦. Podemos averiguar si es que los valores de 𝑦 son siempre positivos, siempre 
negativos. 
• Asegúrate de encontrar los valores mínimos y máximos de 𝑦. 
• Una sugerencia: traza una gráfica básica para visualizar el problema. 
Ejemplo 1: 
Encontrar el rango de la función: 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 5 
Debido a que 𝑥2 nunca es negativo, la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 5 nunca es menor que 5. Por lo 
tanto, el rango de 𝑓(𝑥) son “todos los números reales 𝑓(𝑥) ≥ 5. En la representación de 
intervalos, esto se escribe como [5, ∞). 
 
CENTRO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS 5 “BENITO JUÁREZ” 
CURSO DE PREPARACION PARA EL INGRESOA NIVEL SUPERIOR 
 
Ejemplo 2: 
Hallar el rango de la función: 
𝑓(𝑥) =
1
𝑥 + 5
 
En este caso, tenemos que sin importar qué tan grande o qué tan pequeña sea la 𝑥, la función 
𝑓(𝑥) nunca será igual a 0, a pesar de que 𝑥 tome valores muy grandes positivos o “número 
grandes negativos”, es decir, hacia −∞. Además, cuando 𝑥 toma valores muy cercanos a -5 
(pero nunca puede tomar este valor ya que queda una división por cero), dependiendo si hacia 
la derecha o la izquierda, la función toma valores muy pequeños o muy grandes, 
respectivamente. Esto significa que el rango de la función es todos los números reales a 
excepción del 0, que puede escribirse como ℝ\{0}.