Resumen de FDG - ANETTE RACHEL PINACHO MATIAS

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Resumen del primer libro de “Los Elementos” de Euclides
Anette Rachel Pinacho Matías 
Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías, Universidad de Guadalajara
I5921: Fundamentos de Geometría
Profesora Marisol Radillo Enríquez
25 de febrero de 2021
RESUMEN DEL PRIMER LIBRO DE “LOS ELEMENTOS” DE EUCLIDES
Los Elementos son sin duda la obra más famosa de Euclides y consta de 13 libros en total, pese al escaso conocimiento que poseemos del período clásico. En el primer libro se bordan 23 definiciones, 5 postulados y 5 axiomas o nociones comunes, los cuales abordaremos a continuación.
· 23 definiciones iniciales de “Los Elementos”
1. Punto es aquello que no tiene partes. 
2. Una línea es una longitud sin espesor ni anchura. 
3. Los límites de una línea son puntos. 
4. Una línea recta es aquella línea que tiene todos sus puntos en la misma dirección. 
5. Superficie es aquello que solo cuenta con longitud y anchura, no tiene espesor. 
6. Los extremos de una superficie son rectas. 
7. Una superficie plana es aquella que yace por igual sobre sus líneas rectas.
8. Ángulo plano es la inclinación entre sí de dos rectas de un plano que se cortan y que no están sobre una misma recta.
9. Cuando las líneas que forman el ángulo son rectas, al ángulo se le denomina rectilíneo.
10. Cuando una línea recta se encuentra sobre otra forman ángulos adyacentes iguales entre sí, cada uno de los ángulos iguales es recto y la levantada se le llama perpendicular a aquella sobre la que está.
11. Un ángulo obtuso es mayor que un ángulo recto.
12. Un ángulo agudo es menos que un ángulo recto.
13. El límite es lo que es extremo de algo.
14. Una figura es aquello que se encuentra comprendido por un límite o varios.
15. Un círculo es una figura plana rodeada por una línea, de tal modo que todas las rectas dibujadas sobre ella desde un punto de los que están dentro de la figura son iguales entre sí. 
16. Al punto se le denomina centro del círculo.
17. El diámetro del círculo es una recta que pasa por el centro, y que acaba en ambas direcciones en la circunferencia del círculo, y como consecuencia lo divide en dos partes iguales. 
18. Un semicírculo es la figura comprendida entre un diámetro y la circunferencia recortada por el diámetro. El centro del semicírculo es el mismo que el del diámetro. 
19. Las figuras rectilíneas son aquellas que se encuentran comprendidas por líneas rectas, las trilaterales por tres líneas rectas, las cuadrilaterales por cuatro líneas y las multilaterales por más de cuatro líneas rectas. 
20. En los triángulos, el triángulo equilátero tiene sus tres lados iguales; el isósceles dos de sus lados son iguales y uno no lo es; y en el escaleno ninguno de sus lados son iguales.
21. De los triángulos, el triángulo rectángulo cuenta con un ángulo recto; el obtusángulo el que tiene un ángulo obtuso; y el acutángulo el que sus tres ángulos son agudos. 
22. En los cuadriláteros, el cuadro es el que tiene todos sus lados iguales y ángulos rectos; el rombo es un cuadrilátero, pero no tiene ángulos rectos; el paralelogramo tiene sus lados y ángulos opuestos. A los otros cuadriláteros se les denomina trapecios.
23. Son rectas paralelas las que son alargadas indefinidamente por ambos sentidos y nunca llegan a encontrarse. 
A continuación, se presenta cinco postulados y cinco nociones comunes (a las que Proclo llama axiomas). La distinción entre nociones comunes y postulados, es que los axiomas son verdades aplicables a cualquier ciencia, mientras que los postulados se aplican solamente a la geometría. 
· Postulados
I. Se puede trazar una línea recta de un punto a otro. 
II. Se puede seguir prolongando un segmento rectilíneo infinitamente. 
III. Es posible trazar un círculo con cualquier centro (punto) y distancia (radio).
IV. Que todos los ángulos rectos son iguales entre sí. 
V. Si una línea recta corta a otros dos formando ángulos interiores menores a dos ángulos rectos, al prolongarlos indefinidamente se encontrarán en el mismo lado. 
Los primeros cuatro postulados son bastante claros, pero el quinto postulado de Euclides ha sido controversial para los matemáticos, porque no se puede verificar empíricamente. Esto lo llevó a recibir el nombre de Geometría no Euclidiana. 
· Axiomas o Nociones comunes
1. Cosas que sean iguales son iguales entre sí.
2. Si se añaden iguales a iguales, los resultados son guales.
3. Si a cosas iguales se restan cosas iguales, los restos son iguales.
4. Cosas que encajen una con la otra son iguales entre sí. 
5. El todo es mayor que la parte.
Los primeros tres axiomas nos indican que magnitudes de misma clase pueden ser igualadas, añadidas y sustraídas; el cuarto axioma dicta que, si dos cosas son idénticas, entonces son iguales. Algunos creen que el cuarto axioma debería ser un postulado, ya que es de carácter geométrico. 
Referencias electrónicas 
· https://euclides.org/los-elementos/libro-i/
· http://matematicas.uclm.es/ita-cr/web_matematicas/trabajos/2/Grecia.pdf
· http://roberprof.org/category/geometria/elementos-de-euclides/libro-i/nociones-comunes/
· https://cuentos-cuanticos.com/2011/11/01/euclides-y-la-organizacion-deductiva/
· https://www.ecured.cu/Elementos_de_Euclides
· http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Historia/Grecia7.htm
· http://newton.matem.unam.mx/geometria/t_1_000/t_1_000_am.html
· https://www.ugr.es/~jlbueso/euclides/13/defs.html