Ejercicios 02 de PL_WenceslaoR

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1.- Alumco fabrica láminas y varillas de aluminio. La capacidad de producción 
máxima se estima en 800 toneladas de lámina ó 600 toneladas de varilla por 
día. La demanda diaria (en toneladas) es de 550 de lámina y 580 de varilla. La 
utilidad por tonelada es de $40 por lámina y de $35 por varilla. Determine la 
combinación de producción diaria óptima. 
Variables 
𝑥1 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑛𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙á𝑚𝑖𝑛𝑎𝑠 
𝑥2 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑛𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 
 
Función objetivo 
𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑍 = 40𝑥1 + 35𝑥2 
 
Restricciones 
𝑟1: 
𝑥1
800
+
𝑥2
600
≤ 1 
𝑟2: 𝑥1 ≤ 550 
𝑟3: 𝑥2 ≤ 580 
𝑟4, 𝑟5: 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0 
 
Gráfica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Evaluar puntos en 𝑍 = 40𝑥1 + 35𝑥2 
𝑃1 (0, 0) 𝑍 = 40(0) + 35(0) = $0 
𝑃2 (0, 580) 𝑍 = 40(0) + 35(580) = $615 
𝑃3 (26.6, 580) 𝑍 = 40(26.6) + 35(580) = $21,366.66 
𝑃4 (550, 187.5) 𝑍 = 40(550) + 35(187.5) = $28562.5 
𝑃5 (550, 0) 𝑍 = 40(550) + 35(0) = $22,000 
 
Punto óptimo 
𝑃4 (550, 187.5) 
 
Conclusión 
La combinación de producción óptima es de 550 toneladas de lámina y 187.5 
toneladas de varilla ya que la utilidad es de $28,562.66, más alto que en las demás 
combinaciones de producción, además, es posible fabricar medias toneladas. 
 
2.-Una persona desea invertir $5000 durante el próximo año en dos tipos de 
inversión. La inversión A reditúa 5% y la inversión B 8 %. La investigación de 
mercado recomienda una asignación de por lo menos 25% en A y cuando 
mucho 50% en B. Además, la inversión A debe ser por lo menos de la mitad 
de la inversión B. ¿Cómo deben asignarse los fondos a las dos inversiones? 
Variables 
𝑥1 = 𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖ó𝑛 𝐴 
𝑥2 = 𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖ó𝑛 𝐵 
 
Función objetivo 
𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑍 = 0.05𝑥1 + 0.08𝑥2 
 
Restricciones 
𝑟1: 𝑥1 + 𝑥2 ≤ 5000 
𝑟2: 𝑥1 ≥ 0.25(𝑥1 + 𝑥2) 
𝑟3: 𝑥2 ≤ 0.5(𝑥1 + 𝑥2) 
𝑟4: 𝑥1 ≥ 0.5𝑥2 
𝑟5, 𝑟6: 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0 
 
 
Gráfica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Evaluar puntos en 𝑍 = 0.05𝑥1 + 0.08𝑥2 
𝑃1 (0, 0) 𝑍 = 0.05(0) + 0.08(0) = $0 
𝑃2 (2500, 2500) 𝑍 = 0.05(2500) + 0.08(2500) = $325 
𝑃3 (5000, 0) 𝑍 = 0.05(5000) + 0.08(0) = $250 
 
Punto óptimo 
𝑃2 (2500, 2500) 
 
Conclusión 
Los fondos deben organizarse de la siguiente manera: $2500 a la inversión en A; 
$2500 a la inversión en B. Con esta distribución se maximiza el rendimiento de la 
inversión. 
 
3.- La división de educación continua del Colegio Hidalguense ofrece un total 
de 30 cursos cada semestre. Los cursos ofrecidos suelen ser de dos tipos: 
prácticos y de humanidades. Para satisfacer las demandas de la comunidad, 
se deben ofrecer por lo menos 10 cursos de cada tipo cada semestre. La 
división estima que los ingresos por el ofrecimiento de cursos prácticos y 
humanistas son aproximadamente de $1500 y $1000 por curso, 
respectivamente. Idee una oferta de cursos óptima para el colegio. 
 
Variables 
𝑥1 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑟𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑟á𝑐𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 
𝑥2 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑟𝑠𝑜𝑠 ℎ𝑢𝑚𝑎𝑛𝑖𝑠𝑡𝑎𝑠 
 
Función objetivo 
𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑍 = 1500𝑥1 + 1000𝑥2 
 
Restricciones 
𝑟1: 𝑥1 + 𝑥2 ≤ 30 
𝑟2: 𝑥1 ≥ 10 
𝑟3: 𝑥2 ≥ 10 
 
Gráfica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Evaluar puntos en 𝑍 = 1500𝑥1 + 1000𝑥2 
𝑃1 (10, 10) 𝑍 = 1500(10) + 1000(10) = $25,000 
𝑃2 (10, 20) 𝑍 = 1500(10) + 1000(20) = $35,000 
𝑃3 (20, 10) 𝑍 = 1500(20) + 1000(10) = $40,000 
 
Punto óptimo 
𝑃3 (20,10) 
 
Conclusión 
Se deben ofertar 20 cursos prácticos y 10 cursos humanistas, con esta oferta se 
maximiza la utilidad y se cumplen las restricciones. 
 
 
4.- ChemLabs utiliza las materias primas I y II para producir dos soluciones de 
limpieza doméstica, A y B. Las disponibilidades diarias de las materias primas 
I y II son de 150 y 145 unidades, respectivamente. Una unidad de solución A 
consume 0.5 unidades de la materia prima I, y 0.6 unidades de la materia prima 
II, en tanto que una unidad de la solución B consume 0.5 unidades de la 
materia prima I, y 0.4 unidades de la materia prima II. Las utilidades por unidad 
de las soluciones A y B son de $8 y $10, respectivamente. La demanda diaria 
de la solución A es de entre 30 y 150 unidades, y la de la solución B va de 40 
a 200 unidades. Determine las cantidades de producción óptimas de A y B. 
 
Variables 
𝑥1 = 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝐴 
𝑥2 = 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝐵 
 
Función objetivo 
𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑍 = 8𝑥1 + 10𝑥2 
Datos 
 𝑥1 𝑥2 Disponibilidad 
Materia prima I 0.5𝑥1 0.5𝑥2 ≤ 150 
Materia prima II 0.6𝑥1 0.4𝑥2 ≤ 145 
Demanda 30 ≤ 𝑥1 ≤ 150 40 ≤ 𝑥2 ≤ 200 
 
Restricciones 
𝑟1: 0.5𝑥1 + 0.5𝑥2 ≤ 150 
𝑟2: 0.6𝑥1 + 0.4𝑥2 ≤ 145 
𝑟3: 𝑥1 ≥ 30 
𝑟4: 𝑥1 ≤ 150 
𝑟5: 𝑥2 ≥ 40 
𝑟6: 𝑥2 ≤ 200 
 
Gráfica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Evaluar puntos en 𝑍 = 8𝑥1 + 10𝑥2 
𝑃1 (30, 40) 𝑍 = 8(30) + 10(40) = $640 
𝑃2 (30, 200) 𝑍 = 8(30) + 10(200) = $2240 
𝑃3 (100, 200) 𝑍 = 8(100) + 10(200) = $2800 
𝑃4 (125, 175) 𝑍 = 8(125) + 10(175) = $2750 
𝑃5 (150, 137.5) 𝑍 = 8(150) + 10(137.5) = $2575 
𝑃6 (150, 40) 𝑍 = 8(150) + 10(40) = $1600 
 
 
Punto óptimo 
𝑃3 (100, 200) 
 
Conclusión 
La producción óptima de la solución A es de 100 unidades y de B 200 unidades. En 
este nivel de producción se maximiza la utilidad y se cumple con la restricción de 
materia prima y demanda. 
 
 
5.- Una compañía mueblera fabrica escritorios y sillas. El departamento de 
aserrado corta la madera para ambos productos, la que luego se envía a los 
distintos departamentos de ensamble. Los muebles ensamblados se envían 
para su acabado al departamento de pintura. La capacidad diaria del 
departamento de aserrado es de 200 sillas o de 80 escritorios. El departamento 
de ensamble de sillas puede producir 120 sillas diarias, y el de ensamble de 
escritorios produce 60 escritorios. La capacidad del departamento de pintura 
es de 150 sillas, o 110 escritorios. Dado que la utilidad por sillas es de $50 y 
la de un escritorio es de $100, determine la combinación de producción óptima 
para la compañía. 
 
Variables 
𝑥1 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 
𝑥2 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑜𝑟𝑖𝑜𝑠 
 
Función objetivo 
𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑍 = 50𝑥1 + 100𝑥2 
 
Restricciones 
𝑟1: 
𝑥1
200
+
𝑥2
80
≤ 1 
𝑟2:
𝑥1
150
+
𝑥2
110
≤ 1 
𝑟3: 𝑥1 ≤ 120 
𝑟4: 𝑥2 ≤ 60 
 
 
Gráfica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Evaluar puntos en 𝑍 = 50𝑥1 + 100𝑥2 
𝑃1 (0, 0) 𝑍 = 50(0) + 100(0) = $0 
𝑃2 (0, 60) 𝑍 = 50(0) + 100(60) = $600 
𝑃3 (50, 60) 𝑍 = 50(50) + 100(60) = $8500 
𝑃4 (90, 44) 𝑍 = 50(90) + 100(44) = $8900 
𝑃5 (120, 22) 𝑍 = 50(120) + 100(22) = $8200 
𝑃6 (120, 0) 𝑍 = 50(120) + 100(0) = $6000 
 
 
Punto óptimo 
𝑃4 (90, 44) 
 
Conclusión 
La producción óptima de sillas es de 90 unidades y de escritorios 44 unidades. En 
este nivel de producción se maximiza la utilidad y se cumple con la restricción de 
los departamentos 
 
 
Elaborado por: Wenceslao Reséndiz Aguilar