PPs hidraulica completo

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HIDRÁULICA GENERAL Y 
APLICADA
UNIDAD 1: Propiedades de Los Fluidos
Unidad 1: Propiedades de los Fluidos
Fluidos y el Continuo
Un fluido se define como una sustancia que cambia su forma continuamente siempre que esté sometida 
a un esfuerzo cortante, sin importar qué tan pequeño sea. En contraste un sólido experimenta un 
desplazamiento definido (o se rompe completamente) cuando se somete a un esfuerzo cortante
“ La mecánica de los fluidos no puede se estudiada desde un enfoque meramente 
matemático no exclusivamente físico, ambas disciplinas deben amalgamarse para para 
lograr una comprensión completa de los fenómenos que suceden”
Los fluidos están compuestos por moléculas con movimientos y colisiones constantes. En la mayor parte 
de los cálculos de ingeniería, el interés se centra en manifestaciones promedio medibles de muchas 
moléculas, como, por ejemplo, densidad, presión y temperatura. Estas manifestaciones se conocen 
como el continuo, en lugar del conglomerado real complejo de las moléculas discretas
No existe
en un fluido
Unidad 1: Propiedades de los Fluidos
Dimensiones y Unidades
Dimensiones Báasicas o Primarias: Son aquellas independientes de otras diemsiones
Dimensiones Secundarias: Pueden deducirce a partir de las Primarias.
Unidades básicas:
Longitud (L)
Fuerza(F)
Tiempo (T)
Temperatura (θ)
Sistema de unidades es congruente (o consistente) cuando una unidad de fuerza causa que una 
unidad de masa sufra una unidad de aceleración.
Sistema SI
2
111
seg
m
KgN  Sistema USC
2
111
seg
ft
sluglb 
Unidad Derivada Unidad Derivada
Unidad 1: Propiedades de los Fluidos
Viscosidad de un Fluido
Es una medida de la resistencia a fluir, como resultado de la interacción y cohesión de sus moléculas.
Se considera un flujo cobre una frontera fija, donde 
las partículas se mueven en líneas rectas paralelas, se 
puede suponer que el fluido se mueve en capas 
paralelas de espesor dy. 
La segunda ley de Newton dice que: 𝝉 = 𝝁
𝒅𝒗
𝒅𝒚
µ es una magnitud característica de la viscosidad y se 
conoce como “Viscosidad Dinámica o Viscosidad”
PARA PRESIONES RELATIVAMENTE BAJAS, LA 
VISCOSIDAD SOLO VARÍA CON LA TEMPERATURA
Esta Ley es válida para el caso de FLUIDOS NEWTONIANOS
Unidad 1: Propiedades de los Fluidos
Viscosidad de un Fluido
Unidad 1: Propiedades de los Fluidos
Viscosidad de un Fluido
µ = 0
µ = ∞
Unidad 1: Propiedades de los Fluidos
Viscosidad de un Fluido
Unidad 1: Propiedades de los Fluidos
Viscosidad de un Fluido












 
sm
Kg
m
sN
2
:












 
sft
slug
ft
slb
2
:












 
scm
gr
cm
sdina
2
:






=
−
−−
][:
][:
:
3
11
ML
TML




2 1: [ ]L T −






s
m2
:






s
ft2
:






s
cm2
:
VISCOSIDAD DINÁMICA
VISCOSIDAD CINEMÁTICA
DENSIDAD
Se define como la masa por unidad de volumen
para agua a presión estandar (760 mmHg) y a 4 ºC,
VOLUMEN ESPECIFICO
es el recíproco de la densidad, es decir, el volumen ocupado 
por la unidad de masa.
PESO ESPECIFICO
es el peso por unidad de volumen depende de la aceleración 
de la gravedad
Unidad 1: Propiedades de los Fluidos
Propiedades de un Fluido
][: 3−ML
3/94.1 ftslugs=
3/1000 mKg=

1
=sv
g= 
DENSIDAD RELATIVA
relación entre el peso de una sustancia y el peso de un volumen equivalente 
de agua en condiciones estándar.
aguaagua
S




==
COMPRESIBILIDAD
Se define como la medida del cambio de volumen (y por lo tanto de su densidad), cuando el fluido se 
somete a diferentes presiones.
Unidad 1: Propiedades de los Fluidos
Propiedades de un Fluido
Un volumen de fluido con cierta densidad y bajo un presión p, es 
sometido a una compresión. 
𝜕 𝜌, 𝜈 = 𝜌 𝑑𝜈 + 𝜈 𝑑𝜌 = 0 , 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎 𝑞𝑢𝑒: −
𝜈
𝑑𝜈
=
𝜌
𝑑𝜌
Multiplicando ambos miembros por dp
𝑬𝒗 = −
𝒅𝒑
ൗ𝒅𝒗 𝒗
=
𝒅𝒑
ൗ𝒅𝝆 𝝆
El signo – indica una disminución en el 
volumen al aumentar la presión y similar en el 
otro término con el signo +
EN GENERAL EL MÓDULO DE ELASTICIDAD VOLÚMETRICA DEL AGUA (EN GENERAL DE LOS FLUIDOS
LÍQUIDOS) ES UN VALOR GRANDE, POR LO QUE A LOS FINES INGENIRILES DE LA MECÁNICA DE LOS FLUIDOS
LA DENSIDAD DEL FLUIDO PERMANECE CONSTANTE PARA UN DETERMINADO VALOR DE TEMPERATURA
Unidad 1: Propiedades de los Fluidos
Módulo de elasticidad volumétrica
TENSIÓN SUPERFICIAL
Es una tensión que se distribuye a lo largo de la superficie, en la interfaz de un fluido líquido u otro 
gaseoso. Se debe principalmente a la atracción entre moléculas similares (cohesión) y y la atracción 
entre moléculas diferentes (adhesión)
Unidad 1: Propiedades de los Fluidos
Propiedades de un Fluido
La tensión superficial se mide como una intensidad de carga 
lineal o tangencial a la superficie y se da por unidad de 
longitud de una línea dibujada sobre la superficie libre.
TENSIÓN SUPERFICIAL
la distribución de fuerza vertical en la frontera de un cuerpo libre formado por la mitad de una gota de 
agua es la tensión superficial σ. En la sección transversal interior, se muestra la la distribución de fuerzas 
debido a la presión pi.
Unidad 1: Propiedades de los Fluidos
Propiedades de un Fluido
−𝑝𝑖 𝜋 𝑅
2 + 𝜎 2𝜋𝑅 = 0 , 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑖: 𝒑𝒊 =
𝟐𝝈
𝑹
Supongamos ahora una burbuja, la cual se corta por la mitad, 
suponiendo un espesor muy delgado (la superficie interna igual a la 
externa)
−𝑝𝑖 𝜋 𝑅
2 + 2 𝜎 2𝜋𝑅 = 0 −−−− 𝒑𝒊 =
𝟒𝝈
𝑹
TENSIÓN SUPERFICIAL
la distribución de fuerza vertical en la frontera de un cuerpo libre formado por la mitad de una gota de 
agua es la tensión superficial σ. En la sección transversal interior, se muestra la la distribución de fuerzas 
debido a la presión pi.
Unidad 1: Propiedades de los Fluidos
Propiedades de un Fluido
−𝑝𝑖 𝜋 𝑅
2 + 𝜎 2𝜋𝑅 = 0 , 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑖: 𝒑𝒊 =
𝟐𝝈
𝑹
Supongamos ahora una burbuja, la cual se corta por la mitad, 
suponiendo un espesor muy delgado (la superficie interna igual a la 
externa)
−𝑝𝑖 𝜋 𝑅
2 + 2 𝜎 2𝜋𝑅 = 0 −−−− 𝒑𝒊 =
𝟒𝝈
𝑹
TENSIÓN SUPERFICIAL
Supongacé ahora la situación en donde un líquido está en contacto con un solido. Como el caso de un 
líquido dentro de un tubo de vidrio. Si la adhesión del líquido con el sólido es mayor a la adhesión el 
mismo subirá y visceversa. 
Unidad 1: Propiedades de los Fluidos
Propiedades de un Fluido
𝜸
𝝅𝑫𝟐
𝟒
𝒉 = 𝝈𝝅𝑫𝐜𝐨𝐬𝜽
𝒉 =
𝟒 𝝈 𝐜𝐨𝐬𝜽
𝑫 𝜸
La altura capilar h para un fluido y un sólido depende de θ, el cual a su 
vez depende del diámetro del tubo.
Para agua y vidrio θ es aproximadamente 0, para mercurio y vidrio θ es 
aproximadamente 40°.
TENSIÓN SUPERFICIAL
Unidad 1: Propiedades de los Fluidos
Propiedades de un Fluido
PROPIEDADES MAS COMUNES EN MECÁNICA DE FLUIDOS APLICADAS A INGENIERÍA CIVIL
Unidad 1: Propiedades de los Fluidos
Propiedades de un Fluido
HIDRÁULICA GENERAL Y 
APLICADA
UNIDAD 2: Estática de los Fluidos
Unidad 2: Estática de los Fluidos
Supóngase un paquete de fluido, sobre e mismo pueden existir dos tipos de fuerzas actuantes, fuerzas de 
cuerpo y fuerzas de superficie.
LAS FUERZAS DE CUERPO QUE PUEDEN EJERCESE SOBRE UN PAQUETE DE FLUIDO SON ELECTROMAGNÉTICAS Y 
GRAVITACIONALES.
DE ESTAS FUERZAS SOLO SE CONCIDERARÁN LAS FUERZAS GRAVITACIONALES RESPONSABLES DEL PESO DEL 
FLUIDO
EN TANTO LAS FUERZAS DE SUPERFICIE ES POSIBLE AFIRMAR QUE EN UN FLUIDO ESTÁTICO, LAS PRESIONES 
QUE ORIGINAN ESTAS FUERZAS SON IGUALES EN TODOS LOS SENTIDOS.
La estática de os fluidos estudia las condiciones de equilibrio de los fluidos en reposo, y cuando se trata 
solo de llíquidos se denomina “HIDROSTÁTICA”
Unidad 2: Estática de los Fluidos
Siendo ax, ay, … las aceleraciones 
En el límite donde el tamaño del cuerpo tiende a 0, 
permitiendo que la cara inclinada se aproxime a x,y
manteniendo el ángulo
Infinitesimal de orden superior.Dividiendo por dx y dy
PS = Px = PY
“LA PRESIÓN ES IGUAL EN TODAS LAS DIRECCIONES, SIENDO θ UN ÁNGULO ARBITRARIO”
Dado que no pueden existir esfuerzos cortantes, las 
únicas fuerzas actuantes son las normales al área.
Unidad 2: Estática de los Fluidos
ECUACIONES DE EULER
Se concidera un elemento de fluido prismático que 
encierra a p, de densidad ρ y persión p.
La fuerza de cuerpo por unidad de masa de la 
partícula es:
𝑴 = 𝑋𝑖 + 𝑌𝑗 + 𝐾𝑧
El equilibrio en la dirección X, será entonces:
𝑝 −
1
2
𝜕𝑃
𝜕𝑥
𝑑𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧 − 𝑝 −
1
2
𝜕𝑃
𝜕𝑥
𝑑𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝜌𝑋𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 0
Simplificando y haciendo extensivo el razonamiento:
𝜕𝑃
𝜕𝑥
= 𝜌𝑋
𝜕𝑃
𝜕𝑦
= 𝜌𝑌
𝜕𝑃
𝜕𝑧
= 𝜌𝑍
ECUACIONES 
ESTÁTICAS DE EULER
La única fuerza de cuerpo 
conciderada es debida al 
campo gravitacional
𝑴 = 0𝑖 + 0𝑗 − 𝑔𝑧
𝜕𝑃
𝜕𝑥
= 0
𝜕𝑃
𝜕𝑦
= 0
𝜕𝑃
𝜕𝑧
= −𝜌𝑔 = 𝛾
𝑃
𝛾
+ 𝑧 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
Ley de Pascal
Unidad 2: Estática de los Fluidos
UNIDADES Y ESCALA DE MEDIDA DE LA PRESION
𝑃
𝛾
+ 𝑧 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
Ley de Pascal: Permite calcular las 
distribuciones de presiones en 
cualquier punto.
𝑃𝑎
𝛾
+ 𝑧0 =
𝑃
𝛾
+ 𝑧 𝑃 = 𝑃𝑎 + 𝛾 𝑧0 − 𝑧
Donde Pa es la presión atmosférica sobre la superficie del 
líquido
Cuando el “cero” de referencia es la 
presión atmosférica local, dicha medición 
se conoce como RPESIÓN MANOMÉTRICA.
Unidad 2: Estática de los Fluidos
Dispositivos para la medición de presiones hidrostáticas
Manómetros simples – Barómetro: Instrumento para medir la presión atmosférica local
𝑃𝑎 = 𝛾𝐻𝑔ℎ
A nivel del mar y 15° C, la 
presión atmosférica es de 
10333 Kg/m2
ℎ =
10333
13595
= 0.76 𝑚
Manómetros simples – Piezómetro: se utiliza para medir 
presiones relativamente bajas de un fluido líquido que fluye 
dentro de una cañería
Unidad 2: Estática de los Fluidos
Dispositivos para la medición de presiones hidrostáticas
Manómetros simples – Piezómetro: se utiliza para medir presiones relativamente bajas de un fluido líquido 
que fluye dentro de una cañería
Unidad 2: Estática de los Fluidos
Dispositivos para la medición de presiones hidrostáticas
Manómetros diferenciales: se utiliza para medir la diferencia entre dos puntos, cuando no es posible 
determinar la presión real en cada uno de los puntos del sistema
Unidad 2: Estática de los Fluidos
Manómetro inclinado: Para medir diferencias de presión muy pequeñas. El desplazamiento 
del líquido dentro del tubo inclinado es mayor que en un tubo vertical a igual diferencia de 
presión.
El volúmen de líquido desplazado en cada uno de los tanques es igual al desplazamiento 
en el tubo en U. (a y A son las áreas transversales de los tanques y el tubo en U)
Dispositivos para la medición de presiones hidrostáticas
Micrómetros: se utiliza para medir muy pequeñas o grandes diferencias de presión en forma muy precisa.
∆𝑦𝐴 =
𝑅
2
𝑎
Unidad 2: Estática de los Fluidos
EJEMPLO
Unidad 2: Estática de los Fluidos
ESFUERZO HIDROSTÁTIICO SOBRE SUPERFICIES PLANAS
HACIENDO SUMATORIA DE MOMENTOS CON 
RESPECTO DE Y (POR EJEMPLO) SIENDO X’LA 
DISTANCIA A Y
EN UNA SUPERFICIE PLANA LA RESULTANTE PASA 
POR EL CENTROIDE DE LA SUPERFICIE
Unidad 2: Estática de los Fluidos
ESFUERZOS SOBRE SUPERFICIES PLANA INCLINADA
EMPUJE ES LA PRESIÓN EN EL CENTRO DE GRAVEDAD DE LA 
PLACA MULTIPLICADO POR EL AREA
DONDE ACTUA??
Por Steiner 
Unidad 2: Estática de los Fluidos
EMPUJE HIDROSTÁTICO SOBRE SUPERFICIES CURVAS
Es posible proyectar la superficie curva sobre un sistema triortogonal de planos coordenados, y de esta 
manera calcular el empuje en cada proyección de forma independiente.
θ
dFH
dFV
dF 𝑑𝐹 = 𝑃𝑑𝐴
𝑑𝐹𝐻 = 𝑃 cos 𝜃 𝑑𝐴
𝑑𝐹𝑉 = 𝑃 sin 𝜃 𝑑𝐴
Proyecciones de las áreas en los 
diferentes planos
P sin 𝜃 𝑑𝐴 = 𝛾ℎ sin 𝜃 𝑑𝐴 = 𝛾ℎ𝐴𝑥 = 𝛾𝑉𝑜𝑙
HIDRÁULICA GENERAL Y 
APLICADA
UNIDAD 3 - 4: cinemática - Hidrodinámica
Unidad 3-4: Cinemática – Dinámica de los fluidos
Fundamentos
Cuando hablamos de cuerpos rígidos, es posible describir el movimiento de cada partícula de forma 
separada y discreta
𝑽 𝒙 = 𝒇(𝒕) 𝑽 𝒚 = 𝒈(𝒕) 𝑽 𝒛 = 𝒉(𝒕)
Todas las partículas del cuerpo se mueven de la misma 
manera
En un Continuo Deformable, como lo es un fluido, existen infinitas partículas cuyo movimiento debe ser 
descripto, por lo que se utilizan coordenadas espaciales para definir la posición de la misma. De esta 
forma la velocidad de TODAS las partículas queda definido por:
𝑽 𝒙 = 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛, 𝒕) 𝑽 𝒚 = 𝒈(𝒙, 𝒚, 𝒛, 𝒕) 𝑽 𝒛 = 𝒉(𝒙, 𝒚, 𝒛, 𝒕)
Conocido f,g,h, queda definida la velocidad en 
todo el espacio. 
Conocido f,g,h, queda definido lo que se conoce como CAMPO DE VELOCIDAD.
𝑽 𝒙 = 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛, 𝒕) 𝑽 𝒚 = 𝒈(𝒙, 𝒚, 𝒛, 𝒕) 𝑽 𝒛 = 𝒉(𝒙, 𝒚, 𝒛, 𝒕)
𝑽 𝒙 = 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) 𝑽 𝒚 = 𝒈(𝒙, 𝒚, 𝒛) 𝑽 𝒛 = 𝒉(𝒙, 𝒚, 𝒛)
FLUJO IMPERMANENTE
FLUJO PERMANENTE
Fundamentos
Los flujos se representan gráficamente con la ayuda de LAS LINEAS
DE CORRIENTE. Estas son siempre tangente a los vectores velocidad
de las partículas.
En Flujo Permanenete la orientación de las mismas será fija y
coincidirá con la trayectoria de las partículas. En flujo Inpermanente
solo serán una representación instantánea del flujo para un
determinado t.
Las líneas de corriente que pasan por un área infinitesimal, se
conocen como TUBO DE CORRIENTE. Por definición de L.C, no puede
haber flujo por las paredes de ese tubo, por lo que actúa un tubo
impermeable, de espesor nulo y de sección transversal infinitesimal.
Una suseción de tubos de corriente adyacentes, se conoce
como VENA FLUIDA.
Unidad 3-4: Cinemática – Dinámica de los fluidos
Fundamentos
Los flujos se representan gráficamente con la ayuda de LAS LINEAS
DE CORRIENTE. Estas son siempre tangente a los vectores velocidad
de las partículas.
En Flujo Permanenete la orientación de las mismas será fija y
coincidirá con la trayectoria de las partículas. En flujo Inpermanente
solo serán una representación instantánea del flujo para un
determinado t.
Las líneas de corriente que pasan por un área infinitesimal, se
conocen como TUBO DE CORRIENTE. Por definición de L.C, no puede
haber flujo por las paredes de ese tubo, por lo que actúa un tubo
impermeable, de espesor nulo y de sección transversal infinitesimal.
Una suseción de tubos de corriente adyasentes, se conoce como
VENA FLUIDA.
Unidad 3-4: Cinemática – Dinámica de los fluidos
Concepto de Flujo de Fluido y Ecuaciones Básicas al Volumen de Control
Se introducen los conceptos de movimiento de un fluido. Se desarrollará la teoría de flujo unidimensional 
con aplicaciones limitadas a casos incompresibles sin efectos de la viscosidad.
Enfoques de Análisis
Enfoque Lagrangiano: Las ecuaciones básicas se deducen para una masa de fluido dada. 
El ladrillo contiene una masa m0 en el t0. En t1 y t2, el ladrillo ha 
cambiado de posición, de momentun y energía, pero la 
posición relativa de las partículas que componen la masa es 
invariante. 
El enfoque Lagrangeano es un sistema de masa fija, por lo que 
los límites del sistema pudieran ser móviles. (ejemplo un gas en 
un cilindro).
Desde el punto de vista de sistema la ecuación de conservación de la masa y la segunda ley de Newton 
puede escribirse como:
Unidad 3-4: Cinemática – Dinámica de los fluidos
Concepto de Flujo de Fluido y Ecuaciones Básicas al Volumen de Control
La cosa no es tan ordenada para la mayoría de los casos en un fluido. Suponiendo partículas (de tal 
tamaño que mantenga las propiedades), al pasar de un tiempo t0 a t1, estas rápidamente cambian su 
orientación y posición, quedando mezcladas entre sí. Se modifica la posición relativa. 
Enfoque Euleriano: Se utiliza para la mayoría de los análisis en la mecánica de los fluidos. Considera un 
“volumen de control” fijo o punto fijo en el espacio.
Las ecuaciones se deducen para determinar la variación 
de masa, energía o momentum a medida que el fluido 
pasa a través de volumen.
Elvol. De control es arbitrario y generalmente la 
superficie se dibuja perpendicular a la dirección del flujo.
Niveles de Abstracción:
Nivel macroscópico: Aquí se estiman las integrales o los valores medios de las variables para un 
sistema o volumen de control
Nivel de Campo: Para estimar las variaciones punto a punto. Termina en un sistema de ecuaciones 
no lineales de resolución compleja (alta variabilidad temporal y espacial).
Unidad 3-4: Cinemática – Dinámica de los fluidos
Relaciones Integrales para un volumen de control – Sistema Vs Volumen de 
Control
En la mecánica de los fluidos, existen 3 formas de encarar un problema:
- Análisis de Volúmen de Control o de gran escala: Posee limitaciones para obtener resultados de 
procesos en menor escala. Se obtiene resultados medios, pero de gran utilidad en la Ingeniería.
- Análisis Diferencial o de pequeña escala: Aquí son las limitaciones mateméticas en general. Son 
ecuaciones complejas que representan estrictamente la física.
- Análisis Dimensional o experimental: En general el tiempo y la economía son las limitaciones de esta 
aproximación
TOTDAS LAS LEYES DE LA MECÁNICA 
FUEROS ESCRITAS PARA UN SISTEMA
Las leyes de la mecánica establecen lo que sucede
cuando existe una interacción entre el sistema y los
alrededores.
Sistema: una cantidad arbitraria de masa con propiedades 
idénticas.
SISTEMA
ALRREDEDORES
BORDES
Unidad 3-4: Cinemática – Dinámica de los fluidos
1- Ley de conservacion de la masa: La masa en un sistema se cnserva y no cambia. Incluso si cambia la 
densidad. 
𝑚𝑠𝑖𝑠𝑡 = 𝑐𝑡𝑒
𝑑𝑚
𝑑𝑡
= 0
2- Segunda ley deNewton: Si los alrrededores ejercen una F sobre el sistema, la masa comenzacrá a 
acelerarce
𝑭 = 𝑚𝒂 = 𝑚
𝑑𝑽
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
(𝑚𝑽)
Notece que F y V son vectores, por lo que existen tres 
componentes de cada uno.
3- Ley de momentum angular: Si los alrrededores ejercen un momento neto sobre el centro de masa del 
sistema, existirá un efecto de rotación
𝑴 =
𝑑𝑯
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
 𝒓 × 𝑽 𝜕𝑚
4- Primera ley de la termodinámmica: Si se adiciona calor y se extrae trabajo de un sistema, existirán una 
variación de la energía interna.
𝑑𝑄
𝑑𝑡
−
𝑑𝑊
𝑑𝑡
=
𝑑𝐸
𝑑𝑡
5- Segunda ley de la termodinámmica: Relaciona la variación del aentropía 
con la adición de calor y la temperatura absoluta
𝑑𝑆 ≥
𝑑𝑄
𝑇
Relaciones Integrales para un volumen de control – Sistema Vs Volumen de 
Control
Unidad 3-4: Cinemática – Dinámica de los fluidos
Para las aplicaciones ingenieriles, es necesario o conveniente colocar las
leyes mencionadas aplicadas a un volumen de control de forma
arbitraria.
“Analizando un volumen de control fijo, el sistema ocupará dicha región
solo un instante. Luego este pasará y vendrá otro. A nuestro efectos, eso
no interesa, solo necesitamos conocer el campo de flujo en la región
definida”
Relaciones Integrales para un volumen de control – Sistema Vs Volumen de 
Control
Unidad 3-4: Cinemática – Dinámica de los fluidos
Relaciones Integrales para un volumen de control – Caudal y Caudal másico
Suponga S un superficie a través de la cual pasa un fluido sin resistencia. La pregnta 
es: Qué volumen de flujo pasa por allí por unidad de tiempo?
Solo la componente de la Velocidad perpendicular al área, genera flujo pasante. 
Por lo que será necesario integrar la velocidad en todo la superficie S. n es el vector 
unitario normal a dA.
La cantidad de flujo que pasa por dA en un determinado dt, es el volumen del 
parallelepípedo.
𝑑𝒱 = 𝑉𝑑𝑡𝑑𝐴 cos 𝜃 = 𝑽. 𝒏 𝑑𝐴𝑑𝑡 La integrad de dV/dt es el caudal a través de S
𝑄 = 
𝑠
𝑽. 𝒏 𝑑𝐴 = 
𝑠
𝑉𝑛 𝑑𝐴
El signo del caudal (entrante o saliente) se obtiene a 
partir del producto punto (V.n)
Si se multiplica por la densidad, se obtiene el flujo másico
𝑚 = 
𝑠
𝜌 𝑽. 𝒏 𝑑𝐴 = 
𝑠
𝜌𝑉𝑛 𝑑𝐴
Si la densidad es constante 𝑚 = 𝜌𝑄
Unidad 3-4: Cinemática – Dinámica de los fluidos
Relaciones Integrales para un volumen de control – Teorema del transporte 
de Reynolds
“Para convertir el análisis de sistema a uno de volúmen de control es necesario convertir la matemática 
aplicada a una región específica en lugar de a un sistema de masas individuales”
Si se observan las leyes antes descriptas, todas están centradas en las derivadas temporales, por lo tanto, 
es necesario relacionar las derivadas temporales de las propiedades del sistema con la tasa de cambio 
de esa propiedad a través de una región específica.
V.C FIJO V.C MOVIL V.C DEFORMABLE
Unidad 3-4: Cinemática – Dinámica de los fluidos
Relaciones Integrales para un volumen de control – Teorema del transporte 
de Reynolds. V.C Fijo UNIDIMIENSIONAL
Concidere un conducto Unidimensional V(x).
El volumen de control seleccionado, se llena
completamente con el sistema 2 en un instante
determinado t. En un instante t + dt, el sistema 2
comineza a salir del V.C y comienza a ingresar el
sistema 1 desde a izquierda. Por lo tanto:
𝑑𝒱𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝐴𝑎𝑉𝑎𝑑𝑡 𝑑𝒱𝑠𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝐴𝑏𝑉𝑏𝑑𝑡
Suponga B una propiedad cualquiera, y β la 
cantidad de B por unidad de masa. La cantidad total 
deB en el volumen de control es:
𝐵𝑉𝐶 = 
𝑉𝐶
𝛽𝜌 𝑑𝒱 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝛽 =
𝑑𝐵
𝑑𝑚
Deseamos relacionar la tasa de cambio de B dentro
del V.C, con la tasa de cambio de la cantidad de B en
el sistema 2 que coincide con el V.C en un tiempo t
Unidad 3-4: Cinemática – Dinámica de los fluidos
Relaciones Integrales para un volumen de control – Teorema del transporte 
de Reynolds. V.C Fijo UNIDIMIENSIONAL
La derivada temporal de B en el volúmen de control puede definirce como:
=
1
𝑑𝑡
𝐵2 𝑡 + 𝑑𝑡 − 𝐵2(𝑡) − 𝜌𝛽𝐴𝑉 𝑜𝑢𝑡 + 𝜌𝛽𝐴𝑉 𝑖𝑛
1
𝑑𝑡
𝐵2 𝑡 + 𝑑𝑡 − 𝜌𝛽 𝑑𝒱 𝑜𝑢𝑡 + 𝜌𝛽 𝑑𝒱 𝑖𝑛 −
1
𝑑𝑡
𝐵2 𝑡 =
𝑑
𝑑𝑡
𝐵𝑉.𝐶 =
1
𝑑𝑡
𝐵𝑉.𝐶 𝑡 + 𝑑𝑡 −
1
𝑑𝑡
𝐵𝑉.𝐶 𝑡 =
Esta expresión puede reformularce de tal forma de encontrar la expresión deseada que relaciona la 
variación de la cantidad B en un sistema con la tasa de variación de B en un V.C., ya que en el instante t 
el sistema 2 coincide con el volumen de control. 
𝑑
𝑑𝑡
𝐵𝑠𝑖𝑠𝑡 =
𝑑
𝑑𝑡
 
𝑉.𝐶
𝜌𝛽 𝑑𝒱 + 𝜌𝛽𝐴𝑉 𝑜𝑢𝑡 − 𝜌𝛽𝐴𝑉 𝑖𝑛
Flujo entrante de la superficie de control
Flujo saliente de la superficie de control
Tasa de cambio de B entro del volumen de control
Terorema del transporte de Reynolds para un 
volumen fijo unidimensional
Unidad 3-4: Cinemática – Dinámica de los fluidos
Relaciones Integrales para un volumen de control – Teorema del transporte 
de Reynolds. V.C Fijo ARBITRARIO
Se observa un V.C general con un patrón de flujo
arbitrario que lo atravieza.
Aquí las velocidades no son simpre normales al área, y
pueden darce V entrantes, salientes y nulas.
𝑑
𝑑𝑡
𝐵𝑠𝑖𝑠𝑡 =
𝑑
𝑑𝑡
 
𝑉.𝐶
𝜌𝛽 𝑑𝒱 + 𝜌𝛽𝐴𝑉 𝑜𝑢𝑡 − 𝜌𝛽𝐴𝑉 𝑖𝑛
Esta expresión deducida para un conducto, puede ser 
rápidamente generalizada:
𝑑
𝑑𝑡
𝐵𝑠𝑖𝑠𝑡 =
𝑑
𝑑𝑡
 
𝑉.𝐶
𝛽𝜌 𝑑𝒱 + 
𝑆.𝐶
𝛽𝜌𝑉 cos 𝜃 𝑑𝐴𝑜𝑢𝑡 − 
𝑆.𝐶
𝛽𝜌𝑉 cos 𝜃 𝑑𝐴𝑖𝑛
𝑑
𝑑𝑡
𝐵𝑠𝑖𝑠𝑡 =
𝑑
𝑑𝑡
 
𝑉.𝐶
𝛽𝜌 𝑑𝒱 + 
𝑆.𝐶
𝛽𝜌 𝑽. 𝒏 𝑑𝐴
Forma General y Compacta del TEOREMA DE 
TRANSPORTE DE REYNOLDS
Unidad 3-4: Cinemática – Dinámica de los fluidos
Relaciones Integrales para un volumen de control – Ley de conservación de 
la masa
En este caso, y aplicando el teorema de transporte de Reynolds, donde: B = m, y β = dm/dm = 1.
Esta es la ecuación integral de conservscion de masa. Para 
un volúmen de control fijo:
𝑑𝑚
𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡
= 0 =
𝑑
𝑑𝑡
 
𝑉.𝐶
𝜌 𝑑𝒱 + 
𝑆.𝐶
𝜌 𝑽𝒓 . 𝒏 𝑑𝐴
 
𝑉.𝐶
𝑑𝜌
𝑑𝑡
𝑑𝒱 + 
𝑆.𝐶
𝜌 𝑽𝒓 . 𝒏 𝑑𝐴 = 0 Si las entradas y salidas de flujo son unidimensionales:
 
𝑉.𝐶
𝛿𝜌
𝛿𝑡
𝑑𝒱 + 𝜌𝑖𝐴𝑖𝑉𝑖 𝑜𝑢𝑡 − 𝜌𝑖𝐴𝑖𝑉𝑖 𝑖𝑛 = 0
Si el flujo es estaccionario:
 
𝑆.𝐶
𝜌 𝑽. 𝒏 𝑑𝐴 = 0 = 𝜌𝑖𝐴𝑖𝑉𝑖 𝑜𝑢𝑡 − 𝜌𝑖𝐴𝑖𝑉𝑖 𝑖𝑛 ; 𝑦 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒, 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝜌; 𝑸𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆 = 𝑸𝒔𝒂𝒍𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆
Unidad 3-4:Cinemática – Dinámica de los fluidos
Relaciones Integrales para un volumen de control – Conservación de la 
cantidad de movimiento
En este caso, y aplicando el teorema de transporte de Reynolds, donde: B = mV, y β = dB/dm = V.
Si el volumen de control es fijo, Vr = V.
Conciderando una de las componenetes (x)
𝑑(𝑚𝑽)
𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡
= 𝑭 =
𝑑
𝑑𝑡
 
𝑉.𝐶
𝑽𝜌 𝑑𝒱 + 
𝑆.𝐶
𝑽𝜌 𝑽𝒓. 𝒏 𝑑𝐴
𝑑(𝑚𝑽)
𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡
= 𝑭 =
𝑑
𝑑𝑡
 
𝑉.𝐶
𝑽𝜌 𝑑𝒱 + 
𝑆.𝐶
𝑽𝜌 𝑽. 𝒏 𝑑𝐴 𝐹𝑥 =
𝑑
𝑑𝑡
 
𝑉.𝐶
𝑢𝜌 𝑑𝒱 + 
𝑆.𝐶
𝑢𝜌 𝑢 𝑑𝐴
Si el flujo es permanente 𝑭 = 
𝑆.𝐶
𝑽𝜌 𝑽. 𝒏 𝑑𝐴
Este es el diferencial de caudal, que en flujo 
permanente es el caudal que atraviesa la 
superficie i
Si el flujo es permanente e incompresible
 𝑭 = 𝜌𝑽𝑖𝐴𝑖 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 − 𝜌𝑽𝑖𝐴𝑖 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒
Unidad 3-4: Cinemática – Dinámica de los fluidos
Relaciones Integrales para un volumen de control – Ecuación de Energía
En este caso, y aplicando el teorema de transporte de Reynolds a la primera ley de la termodinámica,
donde: B = E, y β = dE/dm = e (energía por unidad de masa)
𝑑𝑄
𝑑𝑡
−
𝑑𝑊
𝑑𝑡
=
𝑑𝐸
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
 
𝑉.𝐶
𝑒𝜌𝑑𝒱 + 
𝑆.𝐶
𝑒𝜌 𝑽. 𝒏 𝑑𝐴
𝑒 = 𝑒𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 + 𝑒𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 + 𝑒𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 + 𝑒𝑜𝑡𝑟𝑎𝑠
Reacciones químicas, electromagnéticas, nucleares, etc. En este análisis se 
desprecian.
𝑒 = 𝑢 +
𝑣2
𝑔
+ 𝑔𝑧
Z se toma como 
referencia
𝑊 = 𝑊𝑒𝑗𝑒 +𝑊𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 +𝑊𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑜 = 𝑊𝑠 +𝑊𝑝 +𝑊𝞶
El trabajo gravitacional puede incluirce 
dentro del potencial
Trabajo realizado o extraido por una máquina
El trabajo de presión es igual a la fuerza de presión sobre un área diferencial, multiplicado por la velocidad normal al 
volumen de control
𝑑𝑊𝑝 = − 𝑝𝑑𝐴 𝑉𝑛,𝑖𝑛 = −𝑝 −𝑽. 𝒏 𝑑𝐴 𝑊𝑝 = 
𝑆.𝐶
𝑝 𝑽. 𝒏 𝑑𝐴 Las fuerzas de presión actuan sobre la superficie únicamente, 
las internas se cancelas entre ellas.
El trabajo viscoso también actúa solo sobre la superficie, y está dado por el producto de cada tensión viscosa (una 
normal y dos tangenciales) y su respectiva componente de la velocidad.
𝑑𝑊𝞶 = −𝝉. 𝑽𝑑𝐴 𝑊𝞶 = − 
𝑆.𝐶
𝝉. 𝑽𝑑𝐴 Este trabajo se evaluará en cada caso en particular. En ciertos casos puede ser nulo o 
despreciable, por ejemplo en las paredes donde V=0 (condición no deslizante)
Unidad 3-4: Cinemática – Dinámica de los fluidos
Relaciones Integrales para un volumen de control – Ecuación de Energía
Finamlente el trabajo puede definirce como:
𝑊 = 𝑊𝑠 + 
𝑆.𝐶
𝑝 𝑽. 𝒏 𝑑𝐴 − 
𝑆.𝐶
𝝉. 𝑽𝑑𝐴
𝑒 = 𝑒𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 + 𝑒𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 + 𝑒𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 + 𝑒𝑜𝑡𝑟𝑎𝑠
𝑑𝑄
𝑑𝑡
−
𝑑𝑊
𝑑𝑡
=
𝑑𝐸
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
 
𝑉.𝐶
𝑒𝜌𝑑𝒱 + 
𝑆.𝐶
𝑒𝜌 𝑽. 𝒏 𝑑𝐴
𝑄 −𝑊𝑠 −𝑊𝜐 =
𝑑
𝑑𝑡
 
𝑉.𝐶
 𝑢 +
𝑣2
2
+ 𝑔𝑧 𝜌𝑑𝒱 + 
𝑆.𝐶
 ℎ +
𝑣2
2
+ 𝑔𝑧 𝜌 𝑽. 𝒏 𝑑𝐴
Para flujo Permanente con una entrada y una salida se obtiene la ECUACIÓN GENERAL DE ENERGÍA PARA 
FLUJO PERMANENTE
𝑄 −𝑊𝑠 −𝑊𝜐 = −𝑚1 ℎ +
𝑣2
2
+ 𝑔𝑧1 +𝑚2 ℎ +
𝑣2
2
+ 𝑔𝑧2 ℎ +
𝑣2
2
+ 𝑔𝑧1 = ℎ +
𝑣2
2
+ 𝑔𝑧2 − 𝑞 + 𝑤𝑠 + 𝑤𝜐
𝑝1
𝛾
+
 𝑢1
𝑔
+
𝑣1
2
2𝑔
+ 𝑧1 =
𝑝2
𝛾
+
 𝑢2
𝑔
+
𝑣2
2
2𝑔
+ 𝑧2 − ℎ𝑞 + ℎ𝑠 + ℎ𝜈
En flujos con bajas velocidades, sin trabajo de eje ni 
viscoso (flujo en tuberías)
𝑝1
𝛾
+
𝑣1
2
2𝑔
+ 𝑧1 =
𝑝2
𝛾
+
𝑣2
2
2𝑔
+ 𝑧2 +
 𝑢1 − 𝑢2 − 𝑞
𝑔
Representa las pérdidas por fricción
Unidad 3-4: Cinemática – Dinámica de los fluidos
Relaciones Integrales para un volumen de control – Ecuación de Energía
Finamlente para flujo incompresible, con una entrada y una salida, es posible escribir:
𝑝1
𝛾
+
𝑣1
2
2𝑔
+ 𝑧1 =
𝑝2
𝛾
+
𝑣2
2
2𝑔
+ 𝑧2 + ℎ𝑓𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 − ℎ𝑏𝑜𝑚𝑏𝑎 + ℎ𝑡𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑎
Existen numerosos casos donde el ingreso o egreso al volumen de control NO es estrictamente 
unidimensional y el término de energía debe ser corregido.
 
𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛
𝑉2
2
𝜌 𝑽. 𝒏 𝑑𝐴 ≡ 𝛼
𝑉𝐴𝑉
2
2
𝑚 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒; 𝑽𝑨𝑽 =
𝟏
𝑨
 𝒖𝒅𝑨 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒
Si u es la normal a la sección, entnces:
1
𝜌
 𝑢3 𝑑𝐴 =
1
2
𝜌𝛼𝑉𝐴𝑉
3 𝐴 𝛼 =
1
𝐴
 
𝑢
𝑉𝐴𝑉
3
𝑑𝐴
𝑝1
𝛾
+
𝛼 𝑣1
2
2𝑔
+ 𝑧1 =
𝑝2
𝛾
+
𝛼 𝑣2
2
2𝑔
+ 𝑧2 + ℎ𝑓𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 − ℎ𝑏𝑜𝑚𝑏𝑎 + ℎ𝑡𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑎
Unidad 3-4: Cinemática – Dinámica de los fluidos
Relaciones Integrales para un volumen de control – Flujo Ideal. Ecuación de 
Bernoulli
Se asume que el flujo es permanente, inclompresible y sin fricción, cosa que no es así, por lo que se debe
ser cuidadoso al utilizar esta ecuación. Se deben tener presentes las restricciones.
Suponga un tubo de corriente de área variable A(s) y longitud ds. Las propiedades V, p, ρ, 
varían con s. la inclinación θ es arbitrarria, donde dz = ds sin θ. La fricción se despresia. Es 
posible expresar la ley de conservación de la masa para las condiciones expuestas.
𝑑
𝑑𝑡
 
𝑉.𝐶
𝜌 𝑑𝒱 + 𝑚𝑜𝑢𝑡 − 𝑚𝑖𝑛 = 0 ≈
𝛿𝜌
𝛿𝑡
𝑑𝒱 + 𝑑 𝑚
 𝑚 = 𝜌𝐴𝑉; 𝑦 𝑑𝒱 ≈ 𝐴𝑑𝑠
𝑑 𝑚 = 𝑑 𝜌𝐴𝑉 = −
𝛿𝜌
𝛿𝑡
𝐴𝑑𝑠
Expresión deseada de
conservación de la masa
Escribiendo la ecuación de Momentum en la dirección de la línea de corriente
 𝑑𝐹 =
𝑑
𝑑𝑡
 
𝑉.𝐶
𝑉𝜌𝑑𝒱 + 𝑚𝑉 𝑜𝑢𝑡 − 𝑚𝑉 𝑖𝑛 ≈
𝛿
𝛿𝑡
𝜌𝑉 𝐴 𝑑𝑠 + 𝑑 𝑚𝑉
𝑑𝐹𝑠,𝑔𝑟𝑎𝑣 = −𝑑𝑊 sin 𝜃 = −𝛾𝐴𝑑𝑠 sin 𝜃 = −𝛾𝐴𝑑𝑧
𝑑𝐹𝑠,𝑝𝑟𝑒𝑠 =
1
2
𝑑𝑝 𝑑𝐴 − 𝑑𝑝 𝐴 + 𝑑𝐴 ≈ −𝐴 𝑑𝑝
Unidad 3-4: Cinemática – Dinámica de los fluidos
Relaciones Integrales para un volumen de control – Flujo Ideal. Ecuación de 
Bernoulli
 𝑑𝐹𝑠 = −𝛾𝐴 𝑑𝑧 − 𝐴 𝑑𝑝 =
𝛿
𝛿𝑡
𝜌𝑉 𝐴 𝑑𝑠 + 𝑑 𝑚𝑉 =
𝛿𝜌
𝛿𝑡
𝑉𝐴 𝑑𝑠 +
𝛿𝑉
𝛿𝑡
𝜌𝐴 𝑑𝑠 + 𝑚𝑑𝑉 + 𝑉 𝑑 𝑚
𝑑 𝑚 = 𝑑 𝜌𝐴𝑉 = −
𝛿𝜌
𝛿𝑡
𝐴𝑑𝑠Recordando la expresión de continuidad deducida, 
dividiendo por ρA y reordenando:
𝛿𝑉
𝛿𝑡
𝑑𝑠 +
𝛿𝑝
𝜌
+ 𝑉 𝑑𝑉 + 𝑔 𝑑𝑧 = 0 Ecuación de Bernoulli pará flujo inestacionario sin 
fricción sobre un línea de corriente
Si se concidera Fujo Estacionario e Incompresible, integrando entre dos puntos 
cualquiera de la línea de corriente y ordenando:
𝑝1
𝜌
+
𝑉1
2
2
+ 𝑔𝑧1 =
𝑝2
𝜌
+
𝑉2
2
2
+ 𝑔𝑧2 = 𝑐𝑡𝑒
𝑝1
𝛾
+
𝑣1
2
2𝑔
+ 𝑧1 =
𝑝2
𝛾
+
𝑣2
2
2𝑔
+ 𝑧2 +
 𝑢1 − 𝑢2 − 𝑞
𝑔
+ 𝑤𝑠 + 𝑤𝜈
Puede observarce que la Ec. De Bernoulli es un caso simpplificado de la 
ecuación general de Energía
Unidad 3-4: Cinemática – Dinámica de los fluidos
Relaciones Integrales para un volumen de control – Línea de Energía
Aquí se observa una interpretación de la Ecuación 
de Bernoulli.
Como se verá mas adelante, la Línea de energía 
tiene una determinada pendiente debido a las 
pérdidas que se generan el los FLUIDOS REALES.
Unidad 3-4: Cinemática – Dinámica de los fluidos
Relaciones DIFERENCIALES
En las relaciones integrales, se deducioeron las relaciones para un volumen de control. Al ser justamente 
integrales, los resultados obtenidos son prommedios en el volumen. Cuando se desea hacer un desarrollo 
mas detallado, se debe recurrir al análisis diferencial. 
Aquí se estudia punto por punto lo que sucede en el flujo. Las expresiones son matemáticamente mas 
complejas, y su resolución también. De hecho muchas veces los recursos disponibles (computacionales) 
no son suficientes parala resolución de ciertas problemas. 
Unidad 3-4: Cinemática – Dinámica de los fluidos
Relaciones DIFERENCIALES – Campo de Velocidad
La velocidad es la variable mas importante en la mecánica de los fluidos. Conocer el vector velocidad, 
es practicamente resolver el problema. El vector velocidad puede expresarce en forma general:
Unidad 3-4: Cinemática – Dinámica de los fluidos
𝑽 𝒓, 𝑡 = 𝒊𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 + 𝒋𝑣 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 + 𝒌𝑤 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡
El sistema coordenado es fijo, es decir un enfoque Euleriano. La aceleración puede definirce como:
𝒂 =
𝑑𝑽
𝑑𝑡
= 𝒊
𝑑𝑢
𝑑𝑡
+ 𝒋
𝑑𝑣
𝑑𝑡
+ 𝒌
𝑑𝑤
𝑑𝑡
Cada coponente escalar u,v,w, es función de (x,y,z,t). Aplicando la regla de 
la cadena
𝑑𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
𝑑𝑡
=
𝛿𝑢
𝛿𝑡
+
𝛿𝑢
𝛿𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝛿𝑢
𝛿𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+
𝛿𝑢
𝛿𝑧
𝑑𝑧𝑑𝑡
=
𝛿𝑢
𝛿𝑡
+ 𝑢
𝛿𝑢
𝛿𝑥
+ 𝑣
𝛿𝑢
𝛿𝑦
+ 𝑤
𝛿𝑢
𝛿𝑧
= 𝑽. 𝛁 𝑢
Aplicando la misma lógica a las tres componentes y condensando en un vector:
𝒂 =
𝑑𝑽
𝑑𝑡
=
𝛿𝑽
𝛿𝑡
𝑢
𝛿𝑽
𝛿𝑥
+ 𝑣
𝛿𝑽
𝛿𝑦
+ 𝑤
𝛿𝑽
𝛿𝑧
=
𝛿𝑽
𝛿𝑡
+ 𝑽. 𝜵 𝑽
Aceleración Convectiva: surge cuando la velocidad varía espacialmente, 
por ejemplo en uuna boquilla
Aceleración Local: esta el la variación temporal en un punto de la velocidad. 
Desaparece si el flujo es permanente.
Relaciones DIFERENCIALES – Ecuación de conservación de la masa
Conciderendo un volumen de control elemental dx,dy,dz. El flujo a través de cada cara es unidimensional. 
Unidad 3-4: Cinemática – Dinámica de los fluidos
La relación appropiada para este caso es:
 
𝑉.𝐶
𝛿𝜌
𝛿𝑡
𝑑𝒱 + 
𝑖
𝜌𝑖𝐴𝑖𝑉𝑖 𝑜𝑢𝑡 − 
𝑖
𝜌𝑖𝐴𝑖𝑉𝑖 𝑖𝑛 = 0
El volumen es muy pequeño, por 
lo que:
 
𝑉.𝐶
𝛿𝜌
𝛿𝑡
𝑑𝒱 ≈
𝛿𝜌
𝛿𝑡
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
En la figura se observan los flujos en la dirección x, pero la idea es extensible 
a los planos “yz” y “xz”. Con lo que los flujos existentes son:
𝛿𝜌
𝜌𝑡
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 +
𝛿
𝛿𝑥
𝜌𝑢 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 +
𝛿
𝛿𝑦
𝜌𝑣 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 +
𝛿
𝛿𝑧
𝜌𝑤 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 0
𝛿𝜌
𝜌𝑡
+
𝛿
𝛿𝑥
𝜌𝑢 +
𝛿
𝛿𝑦
𝜌𝑣 +
𝛿
𝛿𝑧
𝜌𝑤 =
𝛿𝜌
𝛿𝑡
+ 𝛁 ∙ 𝜌𝑽 = 𝟎
ECUACIÓN DE CONTINUIDAD PARA UN VOLUMEN DE CONTROL INFINITESIMAL
Relaciones DIFERENCIALES – Ecuación de conservación de la masa
Unidad 3-4: Cinemática – Dinámica de los fluidos
𝛿𝜌
𝜌𝑡
+
𝛿
𝛿𝑥
𝜌𝑢 +
𝛿
𝛿𝑦
𝜌𝑣 +
𝛿
𝛿𝑧
𝜌𝑤 =
𝛿𝜌
𝛿𝑡
+ 𝛁 ∙ 𝜌𝑽 = 𝟎
ECUACIÓN DE CONTINUIDAD PARA UN VOLUMEN DE 
CONTROL INFINITESIMAL
𝛿
𝛿𝑥
𝜌𝑢 +
𝛿
𝛿𝑦
𝜌𝑣 +
𝛿
𝛿𝑧
𝜌𝑤 =
𝛿𝜌
𝛿𝑡
+ 𝛁 ∙ 𝜌𝑽 = 𝟎
Flujo Permanente, compresible. La derivada temporal es 
nula
𝛿𝑢
𝛿𝑥
+
𝛿𝑣
𝛿𝑦
+
𝛿𝑤
𝛿𝑧
= 𝛁 ∙ 𝑽 = 𝟎
Flujo Permanente, incompresible. La derivada temporal es 
nula
Relaciones DIFERENCIALES – Ecuación de Cantidad de Movimiento
Unidad 3-4: Cinemática – Dinámica de los fluidos
Con la misma idea de volumen de control elemental utilizado en la sección anterior:
 𝑭 =
𝛿
𝛿𝑡
 
𝑉.𝐶
𝑽𝜌 𝑑𝒱 + 𝑚𝑖𝑽𝑖 𝑜𝑢𝑡 − 𝑚𝑖𝑽𝑖 𝑖𝑛
𝛿
𝛿𝑡
 
𝑉.𝐶
𝑽𝜌 𝑑𝒱 ≈
𝛿
𝛿𝑡
𝜌𝑽 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
Como el volumen es 
muy pequeño:
Haciendo extensiva la idea anterior, el momentum en cada dirección:
 𝐹 = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝛿
𝛿𝑡
𝜌𝑽 +
𝛿
𝛿𝑥
𝜌𝑢𝑽 +
𝛿
𝛿𝑦
𝜌𝑣𝑽 +
𝛿
𝛿𝑧
(𝜌𝑤𝑽)
Aplicando la regla de la cadena a cada uno de los términos de 
corchete:
𝑽
𝛿𝜌
𝛿𝑡
+ 𝛁 ∙ (𝜌𝑽) + 𝜌
𝛿𝑽
𝛿𝑡
+ 𝑢
𝛿𝑽
𝛿𝑥
+ 𝑣
𝛿𝑽
𝛿𝑦
+ 𝑤
𝛿𝑽
𝛿𝑧
El término entre corchetes es la Ec. De Continuidad y el otro la aceleración total de la partícula (dV/dt).
Por lo que finalmente la ecuación puede expresarce como:
 𝑭 = 𝜌
𝑑𝑽
𝑑𝑡
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
Fuerzas de Cuerpo: Solo se conciderará la gravedad.
Fuerzas de Superficie: Causado por las tensiones acuantes en cada cara.
𝑑𝑭𝑔𝑟𝑎𝑣 = 𝜌𝒈 𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛
Relaciones DIFERENCIALES – Ecuación de Cantidad de Movimiento
Unidad 3-4: Cinemática – Dinámica de los fluidos
Fuerzas de superficie: Las tensiones actuantes en cada cara son la sumas de las presiones hidrostáticas y 
las tensiones viscosas producto del movimiento y los gradientes de velocidad
Las causantes de los esfuerzos de superficie son 
los gradientes de tensiones. La figura muestra solo 
lasn tensiones en la dirección x. Por ejemplo: 
𝜎𝑥𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑒𝑠 𝑏𝑎𝑙𝑎𝑛𝑐𝑒𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝜎𝑥𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎
𝛿𝜎𝑥𝑥
𝛿𝑥
𝑑𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑖𝑒𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎 𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑛𝑒𝑡𝑜
Extendiendo la idea al resto de las caras
Relaciones DIFERENCIALES – Ecuación de Cantidad de Movimiento
Unidad 3-4: Cinemática – Dinámica de los fluidos
Si procedemos de igual manera en todas las caras del volumen elemental:
Multiplicando por el versor i,j,k, es posible obtener el vector 
de fuerza neto de superficie
𝑑𝑭
𝑑𝒱
𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑎
= 𝒊
𝛿𝜏𝒙𝒙
𝛿𝑥
+
𝛿𝜏𝒚𝒙
𝛿𝑦
+
𝛿𝜏𝒛𝒙
𝛿𝑧
+ 𝒋
𝛿𝜏𝒙𝒚
𝛿𝑥
+
𝛿𝜏𝒚𝒚
𝛿𝑦
+
𝛿𝜏𝒛𝒚
𝛿𝑧
+ 𝒌
𝛿𝜏𝒙𝒛
𝛿𝑥
+
𝛿𝜏𝒚𝒛
𝛿𝑦
+
𝛿𝜏𝒛𝒛
𝛿𝑧 𝜌𝒈 − 𝜵𝑝 + 𝛁𝜏𝒊𝒋 = 𝜌
𝑑𝑽
𝑑𝑡
Forma diferencial de las 
ecuaciones de Cantidad de 
Movimiento.
Son aolicables a cualquier tipo de 
fluido y cualquier condición de 
movimiento.
Relaciones DIFERENCIALES – Ecuación de Cantidad de Movimiento
Unidad 3-4: Cinemática – Dinámica de los fluidos
Flujo No viscoso: Ecuación de EULER. 𝜏𝑖𝑗 = 0
𝜌𝒈 − 𝛁𝑝 = 𝜌
𝑑𝑽
𝑑𝑡
A partir de aquí es posible inferir en la ecuación de Bernoulli integrando a lo largo de 
una línea de corriente para flujo no visco y permanente.
Fluido Newtoniano: Navier-Stokes: Si reemplazamos los esfuerzos viscosos por la ley de viscocidad de 
Newton (propiedades de los fluidos).
Siendo 𝞵 el coeficiente de viscocidad, y reemplazamos en la 
ec. Diferencial, se obtienen las ec. De Navier-Stokes. (C.L.M)
En estas ecuaciones las incógnitas son 4, u,v,w
y p, con lo cual para que el sistema no sea
indeterminado, se debe agregar la ecuación
de continuidad para flujo incompresible
HIDRÁULICA GENERAL Y 
APLICADA
UNIDAD 13: Similitud Hidráulica – Modelos Físicos
Unidad 13: Similitud Hidráulica – Modelos Físicos
INTRODUCCIÓN
Cuando un problema es demasiado complejo, y los métodos analíticos descriptos son insuficientes, El
problema debe ser abordado experimentalmente. La información es útil si esta es presentada en forma
compacta y económica.
Uno de los instrumentos más poderosos de que se dispone para tratar de conocer y comprender el
comportamiento del agua en la naturaleza y su interacción con las estructuras se encuentra en la
investigación mediante los modelos matemáticos y los modelos físicos. Ambos se complementan.
Unidad 13: Similitud Hidráulica – Modelos Físicos
INTRODUCCIÓN
El análisis dimensional es un método para reducir el número y complejidad de las varialbes que intervienen en un
fenómeno físco. Si el fenómeo depende de “n” variables dimensionales, es posible reducirlo a “k” variables
adimensionales, donde la reducción n – k = 1,2,3 o 4, dependiendo de la complejidad del problema. Generalmente n
– k es igual al número de vriables fundamentales, Longitud (L), Masa (M), Tiempo (T) y Temperatura (𝚯). En casos en vez
de Masa se utiliza Fuerza (F).
Ejemplo: Suponga que la fuerza sobre un cuerpo sumegido en una corriente de fluido depende de la 
Long. Del cuerpo (L), la velocidad del flujo (V), la densidad (ρ) y la viscocidad (µ).
𝑭 = 𝑓(𝐿, 𝑉, 𝜌, 𝜇)
Se deberá encontrar experimentalmente la función f. Experimentalmennte se deberían realizar al 
menos 10 experimentos para trazar una curva, entonces:
𝑭 = 𝑓(𝐿, 𝑉, 𝜌, 𝜇)
𝑭 = 𝑓(𝑳𝟏, 𝑉, 𝜌, 𝜇)
𝑭 = 𝑓(𝐿2, 𝑉, 𝜌, 𝜇)
𝑭 = 𝑓(𝐿3, 𝑉, 𝜌, 𝜇)
𝑭 = 𝑓(𝐿4, 𝑉, 𝜌, 𝜇)
𝑭 = 𝑓(𝐿5, 𝑉, 𝜌, 𝜇)
𝑭 = 𝑓(𝐿6, 𝑉, 𝜌, 𝜇)
𝑭 = 𝑓(𝐿7, 𝑉, 𝜌, 𝜇)
𝑭 = 𝑓(𝐿8, 𝑉, 𝜌, 𝜇)
𝑭 = 𝑓(𝐿9, 𝑉, 𝜌, 𝜇)
𝑭 = 𝑓(𝐿10, 𝑉, 𝜌, 𝜇)
𝑭 = 𝑓(𝑳𝟏, 𝑉1, 𝜌, 𝜇)
𝑭 = 𝑓(𝑳𝟏, 𝑉2, 𝜌, 𝜇)
𝑭 = 𝑓(𝑳𝟏, 𝑉3, 𝜌, 𝜇)
𝑭 = 𝑓(𝑳𝟏, 𝑉4, 𝜌, 𝜇)
𝑭 = 𝑓(𝑳𝟏, 𝑉5, 𝜌, 𝜇)
𝑭 = 𝑓(𝑳𝟏, 𝑉6, 𝜌, 𝜇)
𝑭 = 𝑓(𝑳𝟏, 𝑉7, 𝜌, 𝜇)
𝑭 = 𝑓(𝑳𝟏, 𝑉8, 𝜌, 𝜇)
𝑭 = 𝑓(𝑳𝟏, 𝑉9, 𝜌, 𝜇)
𝑭 = 𝑓(𝑳𝟏, 𝑉10, 𝜌, 𝜇)
𝑭 = 𝑓(𝑳𝟏, 𝑽𝟏, 𝜌1, 𝜇)
𝑭 = 𝑓(𝑳𝟏, 𝑽𝟏, 𝜌2, 𝜇)
𝑭 = 𝑓(𝑳𝟏, 𝑽𝟏, 𝜌3, 𝜇)
𝑭 = 𝑓(𝑳𝟏, 𝑽𝟏, 𝜌4, 𝜇)
𝑭 = 𝑓(𝑳𝟏, 𝑽𝟏, 𝜌5, 𝜇)
𝑭 = 𝑓(𝑳𝟏, 𝑽𝟏, 𝜌6, 𝜇)
𝑭 = 𝑓(𝑳𝟏, 𝑽𝟏, 𝜌7, 𝜇)
𝑭 = 𝑓(𝑳𝟏, 𝑽𝟏, 𝜌8, 𝜇)
𝑭 = 𝑓(𝑳𝟏, 𝑽𝟏, 𝜌9, 𝜇)
𝑭 = 𝑓(𝑳𝟏, 𝑽𝟏, 𝜌10, 𝜇)
PARA DETERMINAR LA
FUNCIÓN f SE REQUIEREN DE
104 O 10.000 EXPERIENTOS
Unidad 13: Similitud Hidráulica – Modelos Físicos
INTRODUCCIÓN
Si se agrupan las variables intervinientes en grupos adimensionales, es posible reducir el problema a la siguiente forma:
𝐹
𝜌𝑉2𝐿2
= 𝑔
𝜌𝑉𝐿
𝜇
𝐶𝐹 = 𝑔(𝑅𝑒)
El coeficiente de fuerza, es función del número de Reynolds. Para determinar 
la función g, solo se necesitan 10 puntos, y no es necesario variar cada 
magnitud de forma independiente.Otro importante beneficio del análisis dimensional, es que nos permite creafr leyes de semejanza para 
utilizar información de modelos para el diseño de prototipos. 
Modelo: es toda esquematización de la realidad hecha con fines de estudio.
En la teoría de los modelos físicos hablamos frecuentemente del “prototipo” para referirnos a aquello que 
se va a estudiar en modelo.
Por ejemplo si en el caso anterior, el Re del modelo es 
igual al del prototipo, implica que el CF también lo sea. 
𝑹𝒆𝑚 = 𝑹𝒆𝑝 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠; 𝑪𝑭𝑚 = 𝑪𝑭𝑝
“A partir de esta igualdas, es posible definir las leyes de 
escala”
Unidad 13: Similitud Hidráulica – Modelos Físicos
Principio de Homogeneidad Dimensional
“Si una ecuación realmente expresan una relación adecuada entre las variables en un proceso físico, esta ecuación
será dimensionalmente homogénea, es decir, cada uno de sus términos componentes tendrá las mismas dimensiones”
Ejemplo, la ecuación de un cuerpo que cae: 𝑆 = 𝑆0 + 𝑉0𝑡 +
1
2
𝑔𝑡2
Ejemplo, la ecuación de Bernoulli:
𝑝
𝜌
+
𝑉2
𝑔
+ 𝑔𝑧 = 𝑐𝑡𝑒
La gran motivación del análisis dimensional es que cualquier ecuación dimensionalmente homogenea 
puede ser escrita en una forma Adimensional equivalente, cuya forma es mas compacta. 
Dimensionalmente Homogeneas
𝑆 = 𝑆0 + 𝑉0𝑡 +
1
2
𝑔𝑡2
Puede dividirce en 5 términos (So, Vo, t, S, g). En nuestro pensamiento es posible dividirlos en 
variables y parámetros
Variables: Es lo que deseamos trazar, el resultado del experimento. En este caso S vs t
Parámetros: Son aquellas cantidades cuyo efecto sobre las variables deseamos saber.
Observamos que en la ecuación solo hay dos unidades presentes, (L y T). Por lo que vamos a seleccionar 
2 de los tres parámetros como parámetro de escala para adimensionalizar la ecuación. La pregunta es 
Cuáles parámetros seleccionar?. Bien la elección es arbitraria, y mostraremos a continuación el efecto de 
cada selección. “Es importante saber que la selección no afecta a al contenido de la información, pero si 
a su presentación”
Unidad 13: Similitud Hidráulica – Modelos Físicos
Principio de Homogeneidad Dimensional
Opción 1: So y Vo parámetros de 
escala, el efecto de la gravedad 
g
𝑆∗ =
𝑆
𝑆0
𝑡∗ =
𝑉0𝑡
𝑆0
𝑆 = 𝑆0 + 𝑉0𝑡 +
1
2
𝑔𝑡2
𝑆∗ = 1 + 𝑡∗ +
1
2
𝛼𝑡∗2
𝛼 =
𝑔𝑆0
𝑉0
2
Opción 2: Vo y g parámetros de 
escala, el efecto de la posición 
inicial
𝑆∗∗ =
𝑆𝑔
𝑉0
2
𝑡∗∗ = 𝑡
𝑔
𝑉0
𝑆∗ = 𝛼 + 𝑡∗∗ +
1
2
𝑡∗∗2
𝛼 =
𝑔𝑆0
𝑉0
2
Opción 3: So y g parámetros de escala, el 
efecto de la velocidad inicial
𝑆∗∗∗ =
𝑆
𝑆0
𝑡∗∗∗ = 𝑡
𝑔
𝑆0
0.5
𝑆∗∗∗ = 1 + 𝛽𝑡∗∗∗ +
1
2
𝑡∗∗∗2
𝛽 =
1
𝛼
=
𝑉0
𝑔𝑆0
Unidad 13: Similitud Hidráulica – Modelos Físicos
Principio de Homogeneidad Dimensional 𝑆 = 𝑆0 + 𝑉0𝑡 +
1
2
𝑔𝑡2
En las tres opciones aparece el mismo parámetro α (alfa), pero en todos los casos su 
significado es distinto: la gravedad adimensionalizada, la velocidad inicial y el 
desplazamiento inicial. 
Los tres gráficos tienen la misma información, cambian de apariencia para reflejar las 
diferencias expuestas. 
Donde originalmente el problema involucraba 5 cantidades, la forma adimensionalizada 
solo expone 3, de la forma:
𝑆∗ = 𝑓 𝑡∗, 𝛼 ; 𝑐𝑜𝑛 𝛼 =
𝑔𝑆0
𝑉0
2
La reducción 5 – 3 = 2, es igual al número de dimensiones fundamentales 
involucradas: [L] y [t].
Unidad 13: Similitud Hidráulica – Modelos Físicos
Teorema Pi de Buckingham
El teorema reducir el número de variables dimensionales en un menor número de grupos adimensionales, 
conocidos por Gupos Adimensionales π.
Primera parte del teorema: Qué reducción en variables es esperable?
Si un proceso satisface el Principio de Homogeneidad dimensional, e involucra “n” variables 
dimensionales, es posible reducirlo a una relación entre “k” variables adimensionales o grupos π.
La reducción j = n – k es igual al número máximo de variables que no forman parte de un grupo PI, y 
siempre es menor o igual al número de dimensiones que describen las variables.
Recordando la fuerza sobre un cuerpo sumergido en una corriente de flujo: 𝑭 = 𝑓(𝐿, 𝑉, 𝜌, 𝜇)
5 variables, F,L,V, 𝜌, 𝜇, descriptas por 3 dimensiones fundamentales: [MLT]. Es posible hacer la siguiente reducción: k = n 
– j =5 – 3 = 2. Que es exactamente lo que sucede: 𝝅𝟏 = 𝐶𝐹 𝑦 𝝅𝟐 = 𝑅𝑒
Segunda parte del teorema: Como encontrar los grupo PI?
Una vez definida la reducción J (depende del número de variables fundamentales involucradas), se 
seleccionan J variaables de escala que no formen un grupo entre si. El producto entre ellas mas una 
variable adicional, será el grupo adimensional propuesto, asignando a cada una de allas 
convenientemente exponentes no nulos. 
Unidad 13: Similitud Hidráulica – Modelos Físicos
Teorema Pi de Buckingham - Ejemplo
Paso 1: existen 5 variables (F,L,V, 𝜌, 𝜇)𝑭 = 𝑓(𝐿, 𝑉, 𝜌, 𝜇)
Paso 2: Determinar la variables fundamentales intervienen en el problema
Paso 3: encontramos J. No aparece la temperatura, por lo que J ser menor o igual a 3 (MLT). Vemos la 
lista y notamos que L,V y ρ no pueden formar un grupo, solo ρ contiene M y solo V contiene t. Por lo tanto 
J = 3 y K = 5 – 3 = 2. Existirán para este problema 2 grupos adimensionales PI.
Paso 4: Combinar L,U y ρ con una variable adicional. Luego elegir cualquier exponente para el término 
adicional para que este se ubique en el numerador o denominador. Como F es la vsariable dependiente 
del problema, pondremos que figure en el numerador con exponente 1. 
𝝅1 = 𝐿
𝑎𝑈𝑏𝜌𝑐𝐹 = 𝐿 𝑎 𝐿𝑇−1 𝑏 𝑀𝐿−3 𝑐 𝑀𝐿𝑇−2 = 𝑀0𝐿0𝑇0 Igualando los exponentes:
a + b - 3c + 1 = 0
c + 1 = 0
-b – 2 = 0
a = -2
b = -2
c = -1
𝝅1 = 𝐿
−2𝑈−2𝜌−1𝐹 =
𝐹
𝜌𝑈2𝐿2
= 𝐶𝐹 𝝅2 = 𝐿
1𝑈1𝜌1𝜇−1 =
𝜌𝑈𝐿
𝜇
Unidad 13: Similitud Hidráulica – Modelos Físicos
Modelación Física
Análisis 
Dimensional
Selección de variables 
importantes
Efectos Viscosos
Efectos de la Temperatura
Rugosidad
Tensión superficial
etc
Tomar esta deicción 
Requiere de Mucha 
Experiencia
Definidas las vriables y los grupos adimensionales, el experimiento intenta lograr las similitudes entre 
modelo y prototipo para encontrar la función adimensional buscada. 𝝅1 = 𝑓(𝝅𝟐, 𝝅3, … . . , 𝝅𝑘)
“Las condiciones de flujo en el modelo serán las mismas si todos los parámetros adimensionales se 
corresponden en Modelo y Prototipo”
𝑆𝑖, 𝝅2𝑚 = 𝝅2𝑝; 𝝅3𝑚 = 𝝅3𝑝; 𝝅𝑘𝑚 = 𝝅𝑘𝑝; 𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠; 𝝅1𝑚 = 𝝅1𝑝
Similitud Completa
Similitud Geométrica
Similitud Cinemática
Similitud Dinámica
Similitud Térmica
Unidad 13: Similitud Hidráulica – Modelos Físicos
Modelación Física
Similitud 
Geométrica
Modelo y Prototipo son geométricamente similares si, y solo sí, todas las dimensiones 
del cuerpo en las tres coordenadas tienen la misma ralación de escala lineal
Cuidado!!. Los ángulos deben preservarce. La dirección del flujo debe preservarce. La orioentación del 
modelo y del prototipo, respecto de los alrrededores, debe ser la misma
Unidad 13: Similitud Hidráulica – Modelos Físicos
Modelación Física
Similitud 
Cinemática
Los movimientos de dos sistemas son cinéticamente similares si las partículas 
homólogas se encuentran en puntos homólogos en momentos homólogos.
Cuando se involucran escales temporales, es necesario conciderar aspectos dinémicos tales como 
equivalencias en el número de Reyolds, Froude, Match, etc.
Por ejemplo en flujo friccional a superficie libre (flujo en 
un canal o río), son cinemáticamente similares si el 
Número de Froude es igual. 
𝐹𝑟𝑚 =
𝑉𝑚
2
𝑔𝐿𝑚
=
𝑉𝑝
2
𝑔𝐿𝑝
= 𝐹𝑟𝑝
𝐿𝑚 = 𝛼𝐿𝑝
𝑉𝑚
𝑉𝑝
=
𝐿𝑚
𝐿𝑝
1/2
= 𝛼
Escala de Longitud
𝑇𝑚
𝑇𝑝
=
 
𝐿𝑚
𝑉𝑚
 
𝐿𝑝
𝑉𝑝
= 𝛼
La escala de velocidades y la escala temporal, 
para el caso de flujo a superficie libre es igual a 
la raiz cuadrada de la escala de longitudes. 
Unidad 13: Similitud Hidráulica – Modelos Físicos
Modelación Física
Similitud Dinámica
Esta similitud se da si enmodelo y prototipo si los coeficientes de fuerza y presion son 
identicos.
Flujo Compresible: El número de Reynolds, Mach y relaci[on de calor específico debe ser igual entre 
modelo y prototipo. 
Flujo Incompresible: si no es flujo a superficie libre, solo en n[umero de Reyolds debe ser el mismo, caso 
contrario, el número de Reynolds, Froude, Weber y de Cavitación deben ser iguales. 
En el ejemplo se respetan idealmente los
números adimensionales de Reynolds y Froude, y
de esa manera se garantizan las similitudes
Cinemáticas y Dinámica.
Lo anterior es prácticamente imposible. 
Mantener la similitude de Reynolds y de Froude, 
implica que la Escala de Gravedad o de 
Viscocidad sea distinta de 1.
Es decir es necesario modificar la gravedad en 
el modelo o modificar el fluido. 
SEMEJANZA PARCIAL
Unidad 13: Similitud Hidráulica – Modelos Físicos
Modelación Física
Semejanza Parcial Practicamente es imposible lograr un similitud perfecta. En todos los problemas 
existen efectos de mayor influencia que otros, pero en todos los casos se encuentran 
todos los efectos.
Por esta razón es que se admite que la similitud sea aproximada. Se impone una condición de similitud
dinámica (la que major represente el fenómeno) y se desprecian las demás.
Aparecen de esta manera lo que se conoce como EFECTO DE ESCALA
En general los efectos de escala se producen por los 
esfuerzos viscosos y los efectos de la tension superficial.
Los fenómenos de cavitación, efectos de viscocidad y la 
tension superficial, pueden despreciarse si y solo si el 
número de Reynols y el número de Weber son lo 
suficientemente grandes.
Unidad 13: Similitud Hidráulica – Modelos Físicos
Modelación Física – CRITERIOS DE DISEÑO
CRITERIOS DE SIMILITUD ING. CIVIL
SEMEJANZA DE FROUDE
SEMEJANZA DE REYNOLDS
DETERMINAR LA ESCALA • Infraestructura disponible: espacio físico y capacidad de Bombeo.
• Tipo de Instrumental: Límites de aplicación del instrumental.
• Tipo de modelo a Representar: Fondo fijo, fondo móvil, turbomáquina, 
etc.
• Efectos de Escala: Alturas mínimas, tensión superficial, viscosidad, etc.
• Rugosidad: mínimas rugosidades a representar (ejemplo el vidrio).
• Presupuesto disponible.
Ejemplo: Supongamos que desde el espacio físico es viable una escala de longitudes de 1:10, por lo 
tanto, la escala de caudales será la siguiente, partiendo que es un modelo de froude y se pretende 
modelar un sector del Río Paraná, con un caudal por metro de ancho de 700 m3/s.
𝐸𝐿 =
𝐿𝑚
𝐿𝑝
=
1
10
𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑢𝑑𝑎𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟: 𝑄 = 𝑉 × 𝐴, 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑑𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝐹𝑟𝑜𝑢𝑑𝑒, 𝑙𝑎 𝐸𝑉 = 𝐸𝑙
1/2
𝐸𝑄 = 𝐸𝑣𝐸𝐿
2 = 𝐸𝐿
0.5𝐸𝐿
2 = 𝐸𝐿
5/2 𝐸𝑄 =
𝑄𝑚
𝑄𝑝
=
1
10
5/2
= 0.0312 Si el caudal del prototipo es de 700 m3/s, el del 
modelo debe ser de 2.21 m3/s
Unidad 13: Similitud Hidráulica – Modelos Físicos
Ejemplos de Modelos Físicos
Unidad 13: Similitud Hidráulica – Modelos Físicos
Ejemplo de Modelos Físicos
Unidad 13: Similitud Hidráulica – Modelos Físicos
Ejemplo de Modelos Físicos
Unidad 13: Similitud Hidráulica – Modelos Físicos
Ejemplo de Modelos Físicos
Unidad 13: Similitud Hidráulica – Modelos Físicos
Ejemplo de Modelos Físicos
Unidad 13: Similitud Hidráulica – Modelos Físicos
Ejemplo de Modelos Físicos
HIDRÁULICA GENERAL Y 
APLICADA
UNIDAD 4: Escurrimiento Permanente en Conductos. Flujo Viscoso
Unidad 5: Flujo Permanente Viscoso en conductos cerrados
INTRODUCCIÓN
El problema de flujo en conductos a presión es de gran importancia en la Ingeniería Civil. Poder responder:
“Dado una tubería de cuya sección es de cierta forma, el material es de ciertas características y por la
cual fluye un determinado caudal, cuál es la diferencia de presión que debe existir entre dos puntos, para
que el caudal mencionado pueda ser transportado?”
Aún no existe un análisis general del movimiento de los fluidos. Se dispone de:
1- Algunas docenas de casos particulaes con solución analítica.
2- Algunas soluciones numéricas a través de la implementación de algoritomos en ordenadores.
3 – Existe un gran cantidad de información experimental 
Si se desprecian los efectos viscosos
(suponiendo flujo incomp), el problema es
sencillo, pero eso no es possible ya que el 
flujo sufre importantes cambios para 
valores de Re mdoerados (10.000 aprox)
Unidad 5: Flujo Permanente Viscoso en conductos cerrados
Tipos de Flujo dentro de un conducto
Flujo a Sup. Libre
0 < Re < 1000: Flujo laminar
1.000 < Re < 10.000: Flujo en transición
Re > 10.000: Flujo Turbulento
En flujo turbulento existen
fluctuaciones impredecibles, 
pero los valores medios son 
estables y de facil comprensión
Unidad 5: Flujo Permanente Viscoso en conductos cerrados
INTRODUCCIÓN – Experiencia de Reynolds
Osborne Reynolds (1883) observó que el regimen de flujo variaba con el parámetro 𝜌𝑉𝑑 𝜇, hoy conocido
como el número de Reynolds en su honor.
A partir de la observación de un trazador dentro de una tubería de 
vidrio donde se establece un flujo, pudo observer las condiciones de 
flujo laminar, la transición y el flujo turbulento
La teoría de flujo laminar, se encuentra extensamente desarrollada, no
así lo que sucede cuando el flujo se vuelve turbulento. El
comportamiento de las variables velocidad y presión se vuelve
altamente impredecible (fluctuaciones turbulentas) y la teoría es
escaza al respecto, recurriendo desde hace muchos años a la
experimentación para poder representar y entender el
comportamiento turbulento.
𝑅𝑒𝑐𝑟𝑖𝑖𝑐𝑜 = 2300 𝑎𝑝𝑟𝑥
Unidad 5: Flujo Permanente Viscoso en conductos cerrados
Flujo Interno Una cañería larga, conectada a un reservorio.
Los efectos viscosos demoran una cierta longitud
en afectar al todo el flujo (Le), donde se dice que
a partir de dicha long. El flujo se encuentra
completamente desarrollado. El perfil de
Velocidades, las presiones y los esfuerzos cortantes
se mantienen constantes.
Del análisis Dimensional:
𝐿𝑒 = 𝑓 𝑑, 𝑉, 𝜌, 𝜇 ; 𝑉 = 
𝑄
𝐴
𝐿𝑒
𝑑
= 𝑔
𝜌𝑉𝑑
𝜇
= 𝑔(𝑅𝑒)
Flujo Laminar:
𝐿𝑒
𝑑
≈ 0.06 𝑅𝑒
Flujo Turbulento:
𝐿𝑒
𝑑
≈ 4.4 𝑅𝑒
1/6
Unidad 5: Flujo Permanente Viscoso en conductos cerrados
Concepto de Promedio Temporal Según Reynolds
La herramientas matemáticas actuales, no son capaces de captar las fluctuaciones turbulentas de
presión y velocidad (números altos de Re). Reynolds propone reescribir las ecuaciones de continuidad y
cantidad de movimiento en términos de variables promediadas en el tiempo
 𝑢 =
1
𝑇
 
0
𝑇
𝑢 𝑑𝑡
Para flujo de agua turbulentos, T suele ser 
aprox. 5 seg. 
𝑢′ = 𝑢 − 𝑢
 𝑢′ =
1
𝑇
 
0
𝑇
𝑢 − 𝑢 𝑑𝑡 = 𝑢 − 𝑢 = 0
Extendiendo esta idea a v y w, y reemplazando en las ec. De 
continuidad y cantidad de movimiento:
𝛿 𝑢
𝛿𝑥
+
𝛿 𝑣
𝛿𝑦
+
𝛿 𝑤
𝛿𝑧
= 0
𝜌
𝛿 𝑢
𝛿𝑡
= −
𝛿 𝑝
𝛿𝑥
+ 𝜌𝑔𝑥 +
𝛿
𝛿𝑥
𝜇
𝛿 𝑢
𝛿𝑥
− 𝜌𝑢′2 +
+
𝛿
𝛿𝑦
𝜇
𝛿 𝑢
𝛿𝑦
− 𝜌𝑢′𝑣′ +
𝛿
𝛿𝑧
𝜇
𝛿 𝑢
𝛿𝑧
− 𝜌𝑢′𝑤′
Tensiones Turbulentas o Tensiones de Reynolds. Estas son a priori 
desconocidas y deben relacionarse experimentalmente con la 
geometría y las condiciones de flujo
Unidad 5: Flujo Permanente Viscoso en conductos cerrados
Concepto de Promedio Temporal Según Reynolds
Afortunadamente, en flujos en
conductos y que sigan la ley de
pared, el término –ρu’v’ es
dominante sobre el resto, y es
possible escribir:
𝜌
𝑑 𝑢
𝑑𝑡
≈ −
𝑑 𝑝
𝑑𝑥
+ 𝜌𝑔𝑥 +
𝑑𝜏
𝑑𝑦
𝜏 = 𝜇
𝑑 𝑢
𝑑𝑦
− 𝜌𝑢′𝑣′ = 𝜏𝑙𝑎𝑚 + 𝜏𝑡𝑢𝑟𝑏
Distribución de τ en la capa de corte turbulenta cercana a la pared
En la capa viscosa de pared, son importantes los efectos viscosos producto de los altos gradientes de 
velocidad.
Los efectos turbulentos se manifiestan muy por encima de los viscosos en la capa exterior.
Existe una capa de superposición, donde conviven ambos efectos
Unidad 5: Flujo Permanente Viscoso en conductos cerrados
Perfil Logarítmico de Velocidades
Distribución de τ en la capa de corte turbulentacercana a la pared Prandtl (1930) deduce una
aproximación al perfil de velocidad
válida en la zona cercana a la
pared (ley de pared
Kármán (1933) deduce como varían 
los desviación respecto de U en la 
zona exterior 
En la zona de transición, Millikan (1937) propone que la velocidad varía de forma logarítmica respecto de 
y. Se conoce como ley logarítmica o perfil logarítmico de velocidades.
𝑢
𝑢∗
=
1
𝑘
ln
𝑦𝑢∗
𝜈
+ 𝐵
Esta ley en verdad aproxima prácticamente todo el perfil de velocidades, salvo en 
la zona cercana a la pared, donde la ley de pared se extiende en aprox. 2% del 
perfil, razón por la cual puede despreciarse.(k = 0.41 y B = 5 en la casi siempre) 
Unidad 5: Flujo Permanente Viscoso en conductos cerrados
Flujo en un conducto de sección circular
Realizando el análisis sobre un volumen de control, y 
planteando la ecuación de continuidad, energía para 
flujo permanente y cantidad de movimiento:
𝑉1 = 𝑉2
ℎ𝑓 = 𝑧1 +
𝑝1
𝜌𝑔
− 𝑧2 +
𝑝2
𝜌𝑔
= ∆ 𝑧 +
𝑝
𝜌𝑔
= ∆𝑧 +
∆𝑝
𝜌𝑔
∆𝑝 𝜋𝑅2 + 𝜌𝑔 𝜋𝑅2 ∆𝐿 sin∅ − 𝜏𝑤 2𝜋𝑅 = 𝑚(𝑉2 − 𝑉1)
𝜌𝑔𝜋𝑅2
∆𝑧 +
∆𝑝
𝜌𝑔
= ℎ𝑓 =
2𝜏𝑤
𝜌𝑔
∆𝐿
𝑅
𝜏𝑤 = 𝐹(𝜌, 𝑉, 𝜇, 𝑑, 𝜖)
8𝜏𝑤
𝜌𝑉2
= 𝑓 = 𝐹 𝑅𝑒 ,
𝜖
𝑑
El parámetro adimensional f, se conoce com Factor de 
Friccioón de Darcy.
Combinando las ultimas dos ecuaciones:
ℎ𝑓 = 𝑓
𝐿
𝑑
𝑉2
2𝑔
Unidad 5: Flujo Permanente Viscoso en conductos cerrados
Flujo en un conducto de sección circular. Solución de f para flujo laminar
A partir de la ecuación de continuidad, planteada en coordenadas cilíndricas, e integrando para todo el 
radio, es posible encontrar la distribución de τ en la cañería
𝜏 =
1
2
𝑟
𝑑
𝑑𝑥
𝑝 + 𝜌𝑔𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (𝑟)
Para flujo laminar𝜏 = 𝜇
𝑑𝑢
𝑑𝑟
𝜇
𝑑𝑢
𝑑𝑟
=
1
2
𝑟 𝐾
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐾 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑝 + 𝜌𝑔𝑧
𝑢 =
1
4𝜇
−
𝑑
𝑑𝑥
𝑝 + 𝜌𝑔𝑧 (𝑅2 − 𝑟2)
Perfil parabólico de Vel. Flujo Laminar
A partir del perfil de velocidades, es posible obtener el gradiente de velocidades.
𝜏𝑤 = 𝜇
𝑑𝑢
𝑑𝑟
𝑟=𝑅
8𝜏𝑤
𝜌𝑉2
= 𝑓 𝑓𝑙𝑎𝑚 =
64
𝑅𝑒𝑑
Unidad 5: Flujo Permanente Viscoso en conductos cerrados
Flujo en un conducto de sección circular. Solución de f para flujo turbulento
En este caso, partimos de la Ley de distribución de velocidades logarítmica. Reemplazando a y pot (R-r)
𝑢(𝑟)
𝑢∗
≈
1
𝑘
ln
(𝑅 − 𝑟)𝑢∗
𝜈
+ 𝐵
Def. la vel. media como Q/A, y Q la integral del perfil de 
velocidades entre 0 y R, y remplazamos los valores de B y k
𝑉
𝑢∗
≈ 2.44 ln
𝑅𝑢∗
𝜈
+ 1.34
𝑓 =
8𝜏𝑤
𝜌𝑉2
𝑢∗ =
𝜏𝑤
𝜌
1/2
𝑉
𝑢∗
=
8
𝑓
1/2
𝑅𝑢∗
𝜈
=
1
2
𝑅𝑒𝑑
𝑓
8
1/2
1
𝑓1/2
≈ 2 log 𝑅𝑒𝑑𝑓
1
2 − 0.8
La ecuación deducida para f, muestra que este valor se encuentra en forma implícita, por lo que 
conocido Re es engorroso determinar el valor de f. Así mismo en esta ecuación no se ha tenido en 
cuenta los efectos de la rugosidad de la pared.
Unidad 5: Flujo Permanente Viscoso en conductos cerrados
Flujo en un conducto de sección circular. Influencia de la Rugocidad
Nikuradse, simuló la rugosidad de la pared de un conducto con granos de arena de diferentes tamaños. 
Luego midió las caídas de presión en un tramo (hf) y el caudal erogado en la cañería, y logro relacionar 
el factor de fricción con el número de Re. 
• Se observa que la fricción puramente laminar no se ve 
afectada, el espesor de la sub capa viscosa es mayor a la 
rugosidad y se comporta como un conducto liso.
• Para moyores valores de Re, la ruosidad aparece y el factor 
de fricción f, varía con la relación ε/d. 
• Para valores elevados de Re, el factor de fricción se vuelve
constant para un determinado ε/d y se dice que el condcuto
se comporta como completamente rugoso (f, ya no depende
de Re, solo de ε/d).
Colebroock (1939) combinó las expresiones de pared 
lisa y pared rugosa y obtuvo una formula que 
aproxima aceptablemente para el diseño
1
𝑓1/2
= −2 log
∈/𝑑
3.7
+
2.51
𝑅𝑒𝑑𝑓
1/2
Unidad 5: Flujo Permanente Viscoso en conductos cerrados
Flujo en un conducto de sección circular. Ábaco de Moody
1
𝑓1/2
= −2 log
∈/𝑑
3.7
+
2.51
𝑅𝑒𝑑𝑓
1/2
Una ecuación bien aceptada, que 
expone al factor de fricción f en 
forma explícita es:
1
𝑓1/2
≈ −1.8 log
∈/𝑑
3.7
1.11
+
6.9
𝑅𝑒𝑑
Unidad 5: Flujo Permanente Viscoso en conductos cerrados
Flujo en un conducto de sección circular. Tres tipos de Problemas
1- Conocido d, L, V o Q, μ, ρ y g, determinar la pérdida de energía
V Re
ε/d
f hf
2- Conocido d, L, hf, μ, ρ y g, determinar el caudal o la velocidad
A
B
L, d, ε
Se plantea el inconveniente de que V no es conocida, por lo que no se puede 
determinar f en forma directa.
Si planteamos la ecuación de energía entre los recipientes A y Bhf
Z = 0
𝑍𝐴 +
𝑃𝐴
𝛾
+
𝑉𝐴
2
2𝑔
= 𝑍𝐵 +
𝑃𝐵
𝛾
+
𝑉𝐵
2
2𝑔
+ ℎ𝑓 ∆𝑍 = ℎ𝑓 = 𝑓
𝐿
𝑑
𝑉2
2𝑔
Para resolver este problema, es necesario una 
ecuación mas, ya que f y V son incógnitas
1
𝑓1/2
= −2 log
∈/𝑑
3.7
+
2.51
𝑅𝑒𝑑𝑓
1/2
Como la segunda ec. es implícita, nos lleva a un proceso iterativo
∆𝑍 = ℎ𝑓 = 𝑓
𝐿
𝑑
𝑉2
2𝑔
𝑉 =
∆𝑍 𝑑 2𝑔
𝑓 𝐿
1/2
V Re
ε/d
f1’ hf =∆Z Supongo f1 𝑉 =
∆𝑍 𝑑 2𝑔
𝑓 𝐿
1/2
Unidad 5: Flujo Permanente Viscoso en conductos cerrados
Flujo en un conducto de sección circular. Tres tipos de Problemas
3- Conocido Q, L, hf, μ, ρ y g, determinar el diámetro para las condiciones dadas
A
B
L, d, ε
El esquema podría se similar, simplemente que ahora el Q es una condición de 
diseño, por lo que requiero el diámetro para transportar ese Q en las 
condiciones dadas.hf
Z = 0
𝑍𝐴 +
𝑃𝐴
𝛾
+
𝑉𝐴
2
2𝑔
= 𝑍𝐵 +
𝑃𝐵
𝛾
+
𝑉𝐵
2
2𝑔
+ ℎ𝑓 ∆𝑍 = ℎ𝑓 = 𝑓
𝐿
𝑑
𝑉2
2𝑔
Ahora, tengo 3 incógnitas, por lo que requiero 3 ecuaciones, dos son las 
anteriores, es necesario agregar una mas. 
1
𝑓1/2
= −2 log
∈/𝑑
3.7
+
2.51
𝑅𝑒𝑑𝑓
1/2
∆𝑍 = ℎ𝑓 = 𝑓
𝐿
𝑑
8𝑄2
𝜋 𝑑4 𝑔
V Re
ε/d
f1’ d =d’ Supongo f1
𝑄 = 𝑉𝐴 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑉 =
4 𝑄
𝜋𝑑
𝑑 =
𝑓 𝐿 8 𝑄2
𝜋 ℎ𝑓 𝑔
1/5
𝑑 =
𝑓 𝐿 8 𝑄2
𝜋 ℎ𝑓 𝑔
1/5
𝑑 =
𝑓 𝐿 8 𝑄2
𝜋 ℎ𝑓 𝑔
1/5
Unidad 5: Flujo Permanente Viscoso en conductos cerrados
Flujo en un conducto de sección circular. Pérdidas Localizadas
Son pérdidas adicionales a las friccionales.
1. Entradas o salidas de las tuberías (embocaduras)
2. Expansiones o contracciones
3. Curvas, codos, te, etc
4. Válvulas, medidores, singularidades en general
5. etc
La pérdida medida, en general está dada como la relación entre la carga perdida a través de la 
singularidad y la carga de velocidad asociada a la cañería del sistema.
𝐾 =
ℎ𝑚
 𝑉
2
2𝑔
=
∆𝑝
 𝜌𝑉
2
2
K es un coeficiente adimensional que no tiene relación con Re o relación de 
rugosidad, y sus valores se basan en la experimentación.
Otra forma muy usual de expresar la pérdidas locales es a través de una Long. Equivalente satisfaciendo 
la ecuación de Darcy. 
ℎ𝑚 = 𝑓
𝑙𝑒
𝑑
𝑉2
2𝑔
= 𝐾
𝑉2
2𝑔
𝑙𝑒𝑞 =
𝐾𝑑
𝑓
Las pérdidas totales en una tubería pueden resumirse en:
ℎ𝑡 = ℎ𝑓 + ℎ𝑚 =
𝑉2
2𝑔
𝑓𝑙
𝑑
+ 𝐾
Unidad 5: Flujo Permanente Viscoso en conductos cerrados
Flujo en un conducto de sección circular. Pérdidas Localizadas
Son pérdidas adicionales a las friccionales.
1. Entradas o salidas de las tuberías (embocaduras)
2. Expansiones o contracciones
3. Curvas, codos, te, etc
4. Válvulas, medidores, singularidades en general
5. etc
La pérdida medida, en general está dada como la relación entre la carga perdida a través de la 
singularidad y la carga de velocidad asociada a la cañería del sistema.
𝐾 =
ℎ𝑚
 𝑉
2
2𝑔
=
∆𝑝
 𝜌𝑉
2
2
K es un coeficiente adimensional que no tiene relación con Re o relación de 
rugosidad, y sus valores se basan en la experimentación.
Otra forma muy usual de expresar la pérdidas locales es a través de una Long. Equivalente satisfaciendo 
la ecuación de Darcy. 
ℎ𝑚 = 𝑓
𝑙𝑒
𝑑
𝑉2
2𝑔
= 𝐾
𝑉2
2𝑔
𝑙𝑒𝑞 =
𝐾𝑑
𝑓
Las pérdidas totales en una tubería pueden resumirse en:
ℎ𝑡 = ℎ𝑓 + ℎ𝑚 =
𝑉2
2𝑔
𝑓𝑙
𝑑
+ 𝐾Unidad 5: Flujo Permanente Viscoso en conductos cerrados
Flujo en un conducto de sección circular. Pérdidas Localizadas
Unidad 5: Flujo Permanente Viscoso en conductos cerrados
Flujo en un conducto de sección circular. Pérdidas Localizadas
Unidad 5: Flujo Permanente Viscoso en conductos cerrados
Flujo en un conducto de sección circular. Pérdidas Localizadas
Unidad 5: Flujo Permanente Viscoso en conductos cerrados
Flujo en un conducto de sección circular. Pérdidas Localizadas
Unidad 5: Flujo Permanente Viscoso en conductos cerrados
Flujo en un conducto de sección circular. Pérdidas Localizadas
Unidad 5: Flujo Permanente Viscoso en conductos cerrados
Flujo en un conducto de sección circular. Pérdidas Localizadas
Unidad 5: Flujo Permanente Viscoso en conductos cerrados
Flujo en un conducto de sección circular. Sistemas de cañerías Múltiples
Existen algunos casos típicos. Hay reglas que permiten resolver los problemas con mayor facilidad:
Caso 1: Tuberías en Serie
𝑄1 = 𝑄2 = 𝑄3 = 𝑉1𝑑1
2 = 𝑉2𝑑2
2 = 𝑉3𝑑3
2
∆ℎ𝐴−−𝐵= ∆ℎ1 + ∆ℎ2 + ∆ℎ3 =
𝑉1
2
2𝑔
𝑓1𝐿1
𝑑1
+ 𝐾1 +
𝑉2
2
2𝑔
𝑓2𝐿2
𝑑2
+ 𝐾2 +
𝑉3
2
2𝑔
𝑓3𝐿3
𝑑3
+ 𝐾3
Si se conoce el caudal el problema tiene solución directa, en caso de que se conozca la pérdida, se 
deberán realizar iteraciones, ya que f1, f2 y f3 pueden ponerse en términos de V1
Unidad 5: Flujo Permanente Viscoso en conductos cerrados
Flujo en un conducto de sección circular. Sistemas de cañerías Múltiples
Existen algunos casos típicos. Hay reglas que permiten resolver los problemas con mayor facilidad:
Caso 2: Tuberías en Paralelo
∆ℎ𝐴−−𝐵= ∆ℎ1= ∆ℎ2= ∆ℎ3
𝑄 = 𝑄1 + 𝑄2 + 𝑄3
Si la pérdida es conocida, la solución es sencilla y se resuelve 
cada cañería para el Qi.
Si lo que se desea conocer es la distribución de caudales, 
conocido Q, es necesario iterar.
ℎ𝑓 = 𝑓
𝐿
𝑑
𝑉2
2𝑔
=
𝑓𝑄2
𝐶
𝐶 =
𝜋2𝑔𝑑5
8 𝐿
ℎ𝑓 =
𝑄2
 
𝐶𝑖
𝑓𝑖
2
𝐶𝑖 =
𝜋2𝑔𝑑5𝑖
8 𝐿𝑖
• Se suponen valores de f1, f2 y f3 (completamente rugoso)
• Se estima un primer valor de hf
• Con hf se estima cada Q. 𝑄𝑖 ≈ 
𝐶𝑖ℎ𝑓
𝑓𝑖
1/2
• Con cada Qi se calcula una Vi y un valor de Re.
• Se vuelven a estimar los coeficientes de fricción
Unidad 5: Flujo Permanente Viscoso en conductos cerrados
Flujo en un conducto de sección circular. Sistemas de cañerías Múltiples
Existen algunos casos típicos. Hay reglas que permiten resolver los problemas con mayor facilidad:
Caso 3: Sistema de reservorios
𝐸𝑛 𝑙𝑎 𝑢𝑛𝑖ó𝑛 𝑗: 𝑄𝑖 = 𝑄1 + 𝑄2 + 𝑄3 = 0
La presión podrá variar en cada cañería, pero en j, la línea 
piezométrica debe ser la misma independientemente del 
camino que se esté recorriendo
ℎ𝑗 = 𝑧𝑗 +
𝑝𝑗
𝜌𝑔 ∆ℎ𝑖 =
𝑉𝑖
2
2𝑔
𝑓𝑖𝐿𝑖
𝑑𝑖
= 𝑧𝑖 − 𝑧𝑗
Se debe suponer el valor piezométrico en j (zj + pj/gama), a partir de allí se calculan los Qi, y finalmente la 
sumatoria en j de los Qi debe ser nula (entrantes mas salientes = 0). De no ser así se debe corregir el valor 
piezométricos supuesto con el criterio correspondiente.
HIDRÁULICA GENERAL Y 
APLICADA
UNIDAD 6: Golpe de Ariete
Unidad 6: Flujo Transitorio. Golpe de Ariete
INTRODUCCIÓN
El fenómeno de golpe de Ariete se produce ante un cambio en la velocidad del flujo el cual genera
sobrepresiones o sub-presiones. Estas presiones viajan en forma de ondas cuyo efecto es disminuir la velocidad
del flujo. Estas variaciones en la velocidad son causadas por maniobras en el sistema, dependiendo de la
velocidad de los cambios, serán las magnitudes de los efectos.
Transitorio Hidráulico Maniobras
• Arranque y parada de 
Bombas
• Apertura o cierre de Válvulas
• Consumos en Red
• Rotura de Conductos
• Variaciones de Nivel
Variaciones en el tiempo y el 
espacio en el paso de un 
Régimen permanente inicial a 
uno final
Oscilaciones de Energía 
Cinética a Energía de 
Presión y Viceversa
Oscilaciones de Caudal
Oscilaciones de Velocidad
Oscilaciones de Presión Valores Máximos
Valores Mínimos
Roturas en cañerías
• Filtraciones
• Bolsas de Aire
• Colapso
SOLUCIÓN
RESISTENCIA ESTRUCTURAL
CONTROL DE LAS OSCILACIONES
Unidad 6: Flujo Transitorio. Golpe de Ariete
V=Vo V=0
a
DH
L
V=0
DH
L
t 
L
a
t  
V= -Vo V=0
a
DH
L
t 
L
a

V= -Vo
L
t 
2L
a
1
2
3
4
Unidad 6: Flujo Transitorio. Golpe de Ariete
V= -Vo
V=0
a
DH
L
V=0
DH
L
V=Vo
V=0
a
DH
L
V= Vo
L

a
L
t
2
t 
3L
a
t 
3L
a
 
t 
4L
a
5
6
7
8
Unidad 6: Flujo Transitorio. Golpe de Ariete
Variación de la Presión en el Tiempo, para un punto dado
Variación de la presión en una válvula: cabeza de velocidad y pérdidas por fricción despreciadas
Nivel del reservorio
4L
a
8L
a
12L
a
DH
tiempo
P
re
si
ó
n
Despreciando pérdidas de carga!
Unidad 6: Flujo Transitorio. Golpe de Ariete
Variación de la Presión en el Tiempo 
para un punto dado. Condiciones 
Reales.
Unidad 6: Flujo Transitorio. Golpe de Ariete
Ecuaciones que gobiernan el fenómeno de golpe de Ariete
Si tiene una cañería de sección variable. Considérese un elemento de fluido
entre dos plano separados por dx.
Planteando la segunda ley de Newton
𝑝𝐴 − 𝑝𝐴 +
𝛿
𝛿𝑥
𝑝𝐴 𝛿𝑥 + 𝑝
𝛿𝐴
𝛿𝑥
𝛿𝑥 − 𝜏0𝜋𝐷𝛿𝑥 − 𝛾𝐴𝛿𝑥 sin 𝜃 = 𝜌𝐴𝛿𝑥
𝑑𝑉
𝑑𝑡
−
1
𝜌
𝛿𝑝
𝛿𝑥
−
4𝜏0
𝜌𝐷
− 𝑔 sin 𝜃 =
𝑑𝑉
𝑑𝑡
𝜏0 =
𝜌𝑓𝑉2
8
𝑑𝑉
𝑑𝑡
+
1
𝜌
𝛿𝑝
𝛿𝑥
+ 𝑔 sin 𝜃 +
𝑓𝑉 𝑉
2𝐷
= 0
Aplicando la ecuación de continuidad al volumen de control, es 
posible expresarla de la siguiente forma:
1
𝐴
𝑑𝐴
𝑑𝑡
+
1
𝜌
𝛿𝑝
𝛿𝑡
+
𝛿𝑉
𝛿𝑥
La variación del área en el tiempo, puede expresarse 
en función del espesor de la pared y del módulo de 
elasticidad
𝑎2 =
 𝑘 𝜌
1 + 𝑘 𝐸 
𝐷
𝑒
𝛿𝑝
𝛿𝑡
+ 𝜌𝑎2
𝛿𝑉
𝛿𝑥
= 0
Unidad 6: Flujo Transitorio. Golpe de Ariete
Modelo simplificados. Tiempos Críticos de Cierre y Sobrepresiones
En general existen dos teorías para resolver el problema, bajos una serie de hipótesis simplificadoras. Una es la teoría de
columna rígida para cierres lentos, y la otra, teoría elástica para el caso de cierres bruscos.
TIEMPO DE CIERRE CRÍTICO
MANIOBRA DE CIERRE BRUSCO 
(TMCB). ALLEVI
MANIOBRA DE CIERRE LENTO 
(TMCL). MICHAUD
Unidad 6: Flujo Transitorio. Golpe de Ariete
Modelo simplificados. Tiempos Críticos de Cierre y Sobrepresiones
En general existen dos teorías para resolver el problema, bajos una serie de hipótesis simplificadoras. Una es la teoría de
columna rígida para cierres lentos, y la otra, teoría elástica para el caso de cierres bruscos.
TIEMPO DE CIERRE CRÍTICO
MANIOBRA DE CIERRE BRUSCO 
(TMCB). ALLEVI
MANIOBRA DE CIERRE LENTO 
(TMCL). MICHAUD
MANIOBRA DE CIERRE BRUSCO 
(TMCB). ALLEVI
Unidad 6: Flujo Transitorio. Golpe de Ariete
Modelo simplificados. Tiempos Críticos de Cierre y Sobrepresiones
En general existen dos teorías para resolver el problema, bajos una serie de hipótesis simplificadoras. Una es la teoría de
columna rígida para cierres lentos, y la otra, teoría elástica para el caso de cierres bruscos.
TIEMPO DE CIERRE CRÍTICO
MANIOBRA DE CIERRE BRUSCO 
(TMCB). ALLEVI
MANIOBRA DE CIERRE LENTO 
(TMCL). MICHAUD
MANIOBRA DE CIERRE LENTO 
(TMCL). MICHAUD
Unidad 6: Flujo Transitorio. Golpe de Ariete
CONTROL DEL GOLPE DE ARIETE
 Operación de Válvulas
 Válvulas Antiariete
 Chimeneas de Equilibrio
 Cámaras de Aire
Reservoir
Tail water
T
Penstock
Surge tank
 Reduce la amplitude de las fluctuaciones de presión en el tunel
 Disminuye el tiempo del ciclo de las ondas de presión en la 
cañería forzada
 Los tiempos de arranque y parade de una turbine pueden ser
menores.
 Cámaras de Aire
CHIMENEAS DE EQUILIBRIO
Unidad 6: Flujo Transitorio. Golpe de Ariete
CONTROL DEL GOLPE DE ARIETE
CHIMENEAS DE EQUILIBRIO
Unidad 6: Flujo Transitorio. Golpe de Ariete
CONTROL DEL GOLPE DE ARIETE
CHIMENEA DE EQUILIBRIO.
ROVECHAMIENTO DE LOS MOLINOS 
Unidad 6: Flujo Transitorio. Golpe de Ariete
CONTROL DEL GOLPE DE ARIETE
Unidad 6: Flujo Transitorio. Golpede Ariete
CONTROL DEL GOLPE DE ARIETE
Unidad 6: Flujo Transitorio. Golpe de Ariete
CONTROL DEL GOLPE DE ARIETE
Unidad 6: Flujo Transitorio. Golpe de Ariete
CONTROL DEL GOLPE DE ARIETE
CÁMARAS DE AIRE
Unidad 6: Flujo Transitorio. Golpe de Ariete
CONTROL DEL GOLPE DE ARIETE
CÁMARAS DE AIRE
Unidad 6: Flujo Transitorio. Golpe de Ariete
CONTROL DEL GOLPE DE ARIETE
VÁLVULAS ANTICIPADORAS DE PRESIÓN
Unidad 6: Flujo Transitorio. Golpe de Ariete
CONTROL DEL GOLPE DE ARIETE
VÁLVULAS DE ALIVIO
Unidad 6: Flujo Transitorio. Golpe de Ariete
BOMBA DE ARIETE
Unidad 6: Flujo Transitorio. Golpe de Ariete
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