Probabilidad-2 - Joseph Montecino

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0.1. TEORÍA DE CONJUNTOS 1
definition Observación
0.1. TEORÍA DE CONJUNTOS
0.1.1. DEFINICIÓN INTUITIVA DE CONJUNTOS
El término conjunto juega un papel fundamental en el desarrollo de las matemáticas modernas;
Además de proporcionar las bases para comprender con mayor claridad algunos aspectos de la teoría
de la probabilidad.
Podemos definir de manera intuitiva a un conjunto, como una colección o listado de objetos con
características bien definidas que lo hace pertenecer a un grupo determinado.
Para que exista un conjunto debe basarse en lo siguiente:
La colección de elementos debe estar bien definida.
Ningún elemento del conjunto se debe contar más de una vez, generalmente, estos elementos
deben ser diferentes, si uno de ellos se repite se contará sólo una vez.
El orden en que se enumeran los elementos que carecen de importancia.
0.1.2. NOTACIÓN
A los conjuntos se les representa con letras mayúsculas A,B ,C ,Ω . . . y a los elementos con letras
minúsculas a,b,c,ω, . . . por ejemplo, el conjunto A cuyos elementos son los números en el lanzamien-
to de un dado.
A = {1,2,3,4,5,6}
En base a la cantidad de elementos que tenga un conjunto, estos se pueden clasificar en conjuntos
finitos e infinitos.
0.1.3. FINITOS
: Tienen un número conocido de elementos, es decir, se encuentran determinados por su longitud
o cantidad.
S =: {"mi er coles"," j ueves","vi er nes","sabados","domi ng o","lunes","mar tes",}
0.1.4. INFINITOS
: Son aquellos en los cuales no podemos determinar su longitud.
Existen dos formas comunes de expresar un conjunto y la selección de una forma particular de
expresión depende de la conveniencia y de ciertas circunstancias siendo:
2
0.1.5. EXTENSIÓN
: Cuando se describe a cada uno de los elementos.
A = {a,e, i ,o,u}
0.1.6. COMPRENSIÓN
: Cuando se enuncian las propiedades que deben tener sus elementos.
A = {x | xesunavocal }
Para describir si un elemento pertenece o no a un conjunto, se utiliza el símbolo de pertenencia o
es elemento de, con el símbolo ∈, en caso contrario ∉.
Ejemplo 1
A = {1,2,3}
2 ∈ A pero 5 ∉ A
0.2. ALGUNAS PROPIEDADES DEL CONJUNTO POTENCIA 3
0.2. Algunas propiedades del Conjunto Potencia
Recuerda que si A es un conjunto, la colección que tiene por elementos a los subconjuntos de A
es un conjunto al que denotamos P (A) y llamamos el conjunto potencia de A. Por ejemplo,
(I) P (;) = {;}
(II) P ({a}) = {;, {a}}
(III) P ({a,b}) = {;, {a}, {b}, {a,b}}
Nota que el conjunto potencia de un conjunto A siempre tiene como elementos al conjunto vacío
; y a A mismo. En particular, P (A) siempre es diferente del vacío.
Teorema 1 Sean A y B dos conjuntos. Si A ⊆ B entonces P (A) ⊆P (B)
Teorema 2 Si A es un conjunto, el conjunto potencia de A es un conjunto de conjuntos y el conjunto
unión del conjunto potencia de A es igual a A, es decir,
⋃
P (A) = A.
0.2.1. Cardinalidad
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. En el caso de un conjunto finito se pueden contar los
elementos del conjunto:
El número de elementos de un conjunto finito es su cardinal.
El cardinal se denota por n(A). El único conjunto cuyo cardinal es 0 es el conjunto vacío ;.
Existen, a su vez, determinadas propiedades de cardinalidad. Si tomamos como ejemplo dos conjun-
tos, A y B :
(I) n(;) = 0
(II) A = B ⇒ n(A) = n(B)
(III) A ⫅B ⇒ n(A) ≤ n(B)
En resumen, la cardinalidad de un conjunto es el número de elementos que contiene, y es una medida
importante para describir y comparar conjuntos.
Antes de continuar con más propiedades de la cardinalidad, veamos unos conceptos necesarios.
0.3. Uniones e Intersecciones finitas de conjuntos
Teorema 3 Si A y B son dos conjuntos, la colección que tiene por elementos a los elementos que perte-
necen al mismo tiempo a A y a B es un conjunto al que denotamos A∩B y llamamos la intersección de
A y de B .
Teorema 4 Si A y B son dos conjuntos, la colección que tiene por elementos a los elementos que perte-
necen al conjunto A o al conjunto B (o a ambos) es un conjunto al que denotamos A∪B y llamamos la
unión de A y de B .
4
Por ejemplo, si A = {0,1,2,3,4,5} y B = {0,2,4,6} entonces la intersección de A y B es igual a A∩B =
{0,2,4} y la unión de A y B es igual a A∪B = {0,1,2,3,4,5,6}
Algunas propiedades de la unión y la intersección son las siguientes.
Teorema 5 Si A, B y C son conjuntos, entonces:
(I) A∩ A = A y A∪ A = A (IDEMPOTENCIA)
(II) A∩B = B ∩ A y A∪B = B ∪ A (CONMUTATIVIDAD)
(III) (A∩B)∩C = A∩ (B ∩C ) y (A∪B)∪C = A∪ (B ∪C ) (ASOCIATIVIDAD)
(IV) C ∪ (A∩B) = (C ∪ A)∩ (C ∪B) y C ∩ (A∪B) = (C ∩ A)∪ (C ∩B) (DISTRIBUTIVIDAD)
(V) A∩;=; y A∪;= A
0.4. Diferencias de conjuntos
Teorema 6 Si A y B son dos conjuntos, la colección que tiene por elementos a los elementos que perte-
necen a A y no pertenecen a B es un conjunto al que denotamos A −B y llamamos la diferencia de A y
B.
Por ejemplo, si A = {0,1,2,3,4,5} y B = {0,2,4,6} entonces la diferencia de A y B es igual a A −B =
{1,3,5} y la diferencia de B y A es igual a B\A = {6}.
Teorema 7 Si A es un conjunto, entonces
(I) A−;= A
(II) ;− A =;
(III) A− A =;
0.5. Complemento de un conjunto
El complemento de un conjunto A es el conjunto AC que contiene todos los elementos que no
pertenecen a A, respecto a un conjunto U que lo contiene.
Ac = {x ∈U | x ∉ A}
0.6. Diferencia simétrica
(símbolo △) La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A△B con todos los
elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B , pero no a ambos a la vez.
A△B = {x | x ∈ A \ B ∨x ∈ B \ A}
0.7. PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS 5
0.7. Producto Cartesiano de Conjuntos
Definición 8 Si a y b son dos objetos, definimos la pareja ordenada de a y b como el conjunto {{a}, {a,b}}
y lo denotamos (a,b).
Teorema 9 Sean a, b, α y β objetos. Entonces, (a,b) = (α,β) si y sólo si a =α y b =β.
Definición 10 Si A y B son dos conjuntos, la colección de todas las parejas ordenadas (a,b) donde a
es un elemento de A y b es un elemento de B es un conjunto al que denotamos A ×B y llamamos el
producto cartesiano de A y B.
Continuación de las propiedades de la cardinalidad
(I) Si dos conjuntos tienen la misma cardinalidad, entonces se dice que son equipotentes. Esto sig-
nifica que es posible establecer una correspondencia uno a uno entre los elementos de ambos
conjuntos.
Por ejemplo, los conjuntos A =: {1,2,3} y B = {a,b,c} tienen la misma cardinalidad, y se puede
establecer la correspondencia 1 ↔ a,2 ↔ b,∧3 ↔ c.
(II) n (A∪B) = n(A)+n(B)−n(A∩B)
(III) Si tenemos un conjunto A, y lo dividimos en dos subconjuntos disjuntos (es decir, que no tienen
elementos en común), entonces la cardinalidad de A es igual a la suma de las cardinalidades de
los subconjuntos. Es decir
n(A) = n(B)+n(C )
donde B ∧C son subconjuntos disjuntos de A.
Definición 11 En matemáticas, una partición de un conjunto A es una colección de subconjuntos no
vacíos de A, llamados clases o bloques, que cumplen tres condiciones:
(I) Cada elemento de A está en exactamente una de las clases de la partición. Es decir, cada elemento
de A pertenece a algún bloque de la partición.
(II) Cada clase de la partición es no vacía. Es decir, cada bloque de la partición tiene al menos un
elemento.
(III) Cada par de bloques es disjunto. Es decir, dos bloques cualesquiera de la partición no tienen ele-
mentos en común.
En otras palabras, una partición es una forma de descomponer el conjunto original A en subconjuntos
que no se superponen y que, en conjunto, contienen todos los elementos de A. Cada uno de estos sub-
conjuntos se llama clase o bloque de la partición.
Una partición puede ser finita o infinita, y puede tener una cantidad variable de bloques. En gene-
ral, una partición de un conjunto A puede proporcionar una forma útil de dividir A en subconjuntos
más manejables y estudiar sus propiedades.
Ejemplo 2 El conjunto A = {1,2,3,4,5} puede ser particionado de diversas formas. Una posible parti-
ción sería {{1,2}, {3,4,5}}, donde las dos clases son {1,2} y {3,4,5}. Otra posible partición sería {{1,4}, {2}, {3,5}},
donde las tres clasesson {1,4}, {2} y {3,5}. Cada partición proporciona una forma diferente de ver y es-
tudiar el conjunto original.
6
Definición 12 Diagramas de Venn - Euler: Cualquier figura geométrica cerrada (círculos, polígonos,
óvalos, . . .) sirve para representar gráficamente las operaciones entre conjuntos, estos gráficos son lla-
mados diagramas de Venn; por lo general el conjunto universal se representa con un rectángulo y los
conjuntos con un círculo, triángulo, elipse, . . .
A
B
U
A∪B
A B
La parte sombreada, representa A∩B
A B
La parte sombreada, representa A−B
A B
La parte sombreada, representa AB
A B
La parte sombreada, representa Ac B
Ejemplo 3 Emplea un diagrama de Venn para re-
presentar los siguientes conjuntos U = {1 : 10}, A =
{3,4,5,8,9} y B = {5,7,8,9,10} y luego encuentra las
operaciones propuestas.
A
3. 5.
8.
9.
4.
B
7.
10.
1.
2.
6.
U
A∪B =
A∩B =
A−B =
B − A =
Ac =
B c =
(A∪B)c =
(A∩B)c =
Ac ∩B c =
Ac ∪B c =
Ac ∩B =
A∩B c =
Leyes de DeMorgan
(A∪B)c = Ac ∩B c
(A∩B)c = Ac ∪B c
0.8. TÉCNICAS DE CONTEO 7
0.8. TÉCNICAS DE CONTEO
Ejemplo 4 Vamos a calcular el número de enteros entre 1 y 1000 que son divisibles por 2, por 3 o por 5.
0.8.1. Principio de la multiplicación
En términos de conjuntos, el principio de la multiplicación dice que el cardinal de un producto
cartesiano de un número finito de conjuntos finitos es el producto de los cardinales de los con-
juntos.
Con dos conjuntos:
n(A×B) = n(A) ·n(B)
Generalizando, para n conjuntos:
n(A1 × A2 × . . .× An) = n(A1)×n(A2)× . . .×n(An)
Podemos enunciar este principio así: "Si una tarea consta de n trabajos, y cada trabajo i se
puede realizar de ri formas diferentes, el trabajo se puede hacer de r1 · . . . ·rn formas diferentes"
Ejemplo 5 En el departamento de Estadística de una universidad hay 10 profesores consejeros, cada
uno de los cuales tiene 15 alumnos a su cargo. Si un profesor y uno de sus alumnos van a ser escogi-
dos para representar al departamento en un evento académico, ¿de cuántas maneras puede hacerse la
selección?
Ejemplo 6 Si un restaurante da en su menú cinco primeros platos, tres segundos y seis postres, en total
hay 5 ·3 ·6 = 90 formas diferentes de comer.
0.8.2. Permutaciones ordinarias o sin repetición
Una permutación ordinaria, o sin repetición, de n objetos diferentes es cualquier ordenación que
se pueda hacer, de forma que estén todos ellos, y ninguno se repita.
Por ejemplo, cabd , dcba o abdc son algunas de las permutaciones que se pueden hacer con los
elementos a, b, c y d .
Supóngase que se tiene un conjunto con n elementos, entonces para la primera posición se puede
escoger a cualquiera de los n elementos, para la segunda, a cualquiera de los (n−1) elementos restan-
tes, para la tercera a cualquiera de los (n −2) elementos restantes y así sucesivamente. Por lo tanto, el
número total P (n,n) de permutaciones de los n elementos es:
P (n,n) = n(n −1)(n −2) · · ·1
El producto de un entero positivo n por todos los que le preceden se denota por n! y se llama n
factorial. Se define 0! := 1. Luego
P (n,n) = n!
o nPn = n!
En conclusión: La cantidad de permutaciones de n objetos es n!.
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Ejemplo 7 ¿Cuántas permutaciones posibles hay entre las letras de la palabra AMOR?
Ejemplo 8 El número de formas en que se pueden colocar cinco personas en fila de a uno es
5P5 = 5 ·4 ·3 ·2 ·1
Ejemplo 9 Cuántas permutaciones de cuatro letras se pueden hacer con las letras de la palabra casa?
0.8.3. Permutaciones con elementos repetidos
En general se tiene que: el número total N de formas en que pueden permutarse n objetos de los
cuales n1,n2, · · · ,nr son iguales entre si, es:
N = n!
n1!n2! · · ·nr !
Ejemplo 10 ¿Cuántos arreglos diferentes pueden formarse con las letras de la palabra biologia?
Definición 13 Una permutación de n objetos tomados r ≤ n a la vez, es un arreglo en un orden parti-
cular de r de los n objetos. Así por ejemplo, las posibles permutaciones de las letras a, b, c y d tomadas
dos a la vez son: ab,ba, ac,ca, ad ,d a,bc,cb,bd ,db,cd ,dc. Es decir, hay 12 permutaciones de las letras
a, b, c y d tomadas dos a la vez.
El número total P (n,r ) de permutaciones de n objetos diferentes tomados r a la vez, puede hallar-
se siguiendo el siguiente razonamiento: para la primera posición se puede elegir a cualquiera de los
n objetos, para la segunda a cualquiera de los (n −1) restantes, y así sucesivamente hasta llegar que
para la r-ésima posición se puede elegir a cualquiera de los (n − r +1) objetos restantes. Esto es:
P (n,r ) = n(n −1) . . . (n − r +1)
= n!
(n − r )! ∴
Ejemplo 11 De un curso de 35 estudiantes se desean seleccionar 5, para conformar una mesa directiva
en los puestos de presidente, viceprecidente, secretario, fiscal y vocal, en su orden. De cuantas formas
sera posible la elección?
Ejemplo 12 Supóngase que se desea sentar a cuatro niñas y tres niños en una fila. Si los niños y las
niñas pueden sentarse en cualquier orden entonces habría 7! = 5040 formas de acomodarlos. Si se desea
que los niños y las niñas queden alternados entonces habría:
4 ·3 ·3 ·2 ·2 ·1 ·1
Si se desea que tanto los niños como las niñas queden juntos entonces habría:
4! ·3! ·2
Ejemplo 13 Se desea calcular el número de maneras de acomodar a 3 mexicanos, 4 venezolanos, 3 ar-
gentinos y 5 colombianos alrededor de una mesa redonda si las personas de la misma nacionalidad
insisten en sentarse juntas. En este caso se tienen cuatro grupos de personas: los mexicanos, los venezo-
lanos, los argentinos y los colombianos.
0.8. TÉCNICAS DE CONTEO 9
Ejemplo 14 (Combinaciones) Supóngase que se tienen n objetos diferentes. Cada elección de r ≤ n de
dichos objetos se llama una combinación de orden r . En otras palabras, una combinación de orden r
de un conjunto con n elementos es un subconjunto con r elementos del conjunto. Así por ejemplo, las
combinaciones de orden 2 de las letras a, b, c y d son: {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d} y {c,d}, esto es, hay
6 combinaciones de orden 2 de las letras a, b, c y d .
Definición 14 (Combinaciones) Para determinar el número de combinaciones C (n,r ) de orden r de
n objetos, se observa que si se tuviese en cuenta el orden habría P (n,r ) formas de escoger los r objetos,
como los r objetos pueden permutarse entre si de r ! formas, entonces:
r !
(
n
r
)
=n Pr(
n
r
)
= n!
(n − r )!r !
El número nCr se llama "n combinado r ". Por convención se define:(
n
r
)
:= 0 r < 0 o r > n
Ejemplo 15 De un grupo de 10 mujeres y 12 hombres se deben escoger cinco parejas, conformadas por
hombre y mujer, para un baile. Se desea determinar el número de selecciones posibles.
Ejemplo 16 De un grupo de 5 hombres y 3 mujeres, se desea escoger un comité conformado por 3 per-
sonas,
¿cuántas selecciones son posibles?
¿cuántas si en el comité debe haber por lo menos una mujer?
¿cuántas si hay dos hombres que no se llevan bien y no pueden pertenecer ambos al grupo?
¿cuántas si hay una pareja, hombre-mujer, que sólo aceptan hacer parte del comité si ambos
pertenecen a éste?.