clase24 - Maria Cristina Rodriguez Escalante

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CLASE 24
LA INTEGRAL DEFINIDA
24.1. La noción de área (con signo)
Pregunta obvia: ¿Cuál es el área de un rectángulo? Si consideramos la función f : R → R
definida por f(x) = c para x ∈ R, entonces el área de la región limitada por la gráfica de f , las
rectas x = a y x = b, y el eje X , es
c · (b− a).
¿Seguro? Claro está, lo es si c > 0, ¿pero también si c < 0? Dejamos esta discusión para luego.
Imaginemos entonces que tenemos una función f continua definida entre x = a y x = b, y
que f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]. Vamos a usar rectángulos para aproximar el área entre la gráfica
de y = f(x), el eje X y las rectas x = a y x = b.
En nuestro ejemplo a = 1, b = 4, f(x) =
x2
5
.
1 2 3 4
1
2
3
área 9.6
1 2 3 4
1
2
3
área 4.538125
Si aumentamos el número de rectángulos, mejoramos la aproximación:
117
1 2 3 4
1
2
3
área 4.29036 1 2 3 4
1
2
3
área real 4.2
En general, lo que hacemos es dividir el intervalo [a, b] según los puntos
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b.
El conjunto de dichos puntos se denomina una partición de [a, b], y escribimos
P = {x0, x1, x2, . . . , xn−1, xn}.
Ası́, en cada intervalo [xi−1, xi], aproximamos el “área” de f por la del rectángulo
f(xi) · (xi − xi−1) = f(xi)∆xi,
donde ∆xi = xi − xi−1 la variación de x en el intervalo, cumple el papel de longitud de la base y
f(xi) cumple el papel de altura del rectángulo. Entonces, el área bajo f se aproxima mediante la
suma
S(f, P ) =
n∑
i=1
f(xi)∆xi.
Esta suma es llamada suma de Riemann de f asociada a la partición P . Esta resulta una buena
aproximación del área bajo f , al aumentar el número n de puntos de la partición, pero sólo si
todos los rectángulos son cada vez más delgados al aumentar el número de puntos.
Establecemos la siguiente definición para las funciones que permiten que este procedimiento
tenga éxito.
Definición 24.1 (Función integrable según Riemann). Sea f : [a, b]→ R acotada. Diremos que la
función f es integrable según Riemann sobre [a, b], si existe el lı́mite
I = ĺım
n→∞
n∑
i=1
f(xi)∆xi.
En este caso, denotamos
I =
∫ b
a
f(x)dx
y lo llamamos integral de Riemann o integral definida de f sobre [a, b].
118
Nota. Por ası́ decirlo, el ancho de los intervalos ∆x se convierte en dx al pasar al lı́mite, dándole
sentido en la expresión de la integral.
Teorema 24.2. Toda función f : [a, b]→ R continua, es integrable según Riemann.
Ahora buscamos una manera sencilla de calcular el área de una función integrable sobre un
intervalo [a, b]. La manera más directa es dividir [a, b] en n intervalos de igual longitud
b− a
n
. En
este caso, los puntos de la partición son
xi = a+ i ·
b− a
n
, i = 0, 1, . . . , n.
Proposición 24.3. Si f : [a, b]→ R es integrable sobre [a, b], entonces∫ b
a
f(x)dx = ĺım
n→+∞
n∑
k=1
f
(
a+ k · b− a
n
)
· b− a
n
.
Ejemplo 24.4 (Área de un trapecio). Calcule
∫ 3
1
x dx
1 3
Aquı́ a = 1, b = 3, f(x) = x. Dado n ∈ N, ∆x = 3− 1
n
=
2
n
y
xi = 1 + i ·∆x = 1 +
2k
n
, i = 0, 1, · · · , n.
Entonces∫ 1
0
x dx = ĺım
n→+∞
n∑
i=1
(
1 +
2i
n
)
· 2
n
= ĺım
n→+∞
2
n
·
n∑
i=1
(
1 +
2i
n
)
,
= ĺım
n→+∞
2
n
·
( n∑
i=1
1 +
2
n
n∑
i=1
i
)
= ĺım
n→+∞
2(2n+ 1)
n
= ĺım
n→∞
2
(
2 +
1
n
)
= 4.
119
Ejemplo 24.5 (Nuestro ejemplo estrella). Calcule
∫ 4
1
x2
5
dx.
Aquı́ a = 1, b = 4, f(x) =
1
5
· x2. Dado n ≥ 1,
b− a
n
=
3
n
.
En consecuencia
xi = 1 + i ·
3
n
, i = 1, 2, · · · , n.
Entonces ∫ 4
1
f(x)dx = ĺım
n→+∞
n∑
i=1
f
(
1 + i · 3
n
)
· 3
n
= ĺım
n→+∞
n∑
i=1
1
5
(
1 + i · 3
n
)2
· 3
n
,
= ĺım
n→+∞
n∑
i=1
1
5
(
1 + 2i · 3
n
+ i2 · 9
n2
)
· 3
n
,
= ĺım
n→+∞
3
5n
( n∑
i=1
1 +
6
n
n∑
i=1
i+
9
n2
n∑
i=1
i2
)
,
= ĺım
n→+∞
3
5n
(
n+
6
n
· n(n+ 1)
2
+
9
n2
· n(n+ 1)(2n+ 1)
6
)
,
= ĺım
n→+∞
3
5
Å
1 + 3 ·
(
1 +
1
n
)
+
3
2
·
(
1 +
1
n
)(
2 +
1
n
)ã
,
=
3
5
(
1 + 3 · (1 + 0) + 3
2
(1 + 0)(2 + 0)
)
,
=
21
5
.
¿Cómo calcular de manera sencilla las integrales definidas? La respuesta se encuentra en los
dos teoremas fundamentales del cálculo.
24.2. El primer teorema fundamental del cálculo
En la mayoria de los casos, el lı́mite proveniente de la integral indefinida∫ b
a
f(x)dx = ĺım
n→∞
n∑
i=1
f(xi)∆xi.
es difı́cil de calcular, pero en realidad no necesitamos calcular tal lı́mite. Los teoremas fundamen-
tales del cálculo relacionan la antiderivación con el cálculo de áreas, y muestran además que, en
esencia, la integral definida y la derivación son operaciones inversas. Motivaremos esto con un
ejemplo.
Consideremos las funciones f, g : [0,+∞[→ R definida por f(t) = 3t y g(t) = 3t + 1. Dado
x ≥ 0, consideremos la integral definida de f en el intervalo [0, x].
120
t
y
f(t) = 3t
0 x
Esta área, que es fácil de calcular, es dada por∫ x
0
3tdt =
x · 3x
2
=
3
2
x2.
De la misma manera, consideramos la integral definida de g en [0, x], que es
t
y
g(t) = 3t+ 1
0 x∫ x
0
3t+ 1dt = x · 1 + x · 3x
2
= x+
3
2
x2.
Observe que tanto 3
x2
2
y x + 3
x2
2
son antiderivadas de f(x) y g(x), respectivamente. Esto no es
una coincidencia.
Teorema 24.6 (Primer teorema fundamental del cálculo). Sea f : [a, b] → R continua y conside-
remos la función G : [a, b]→ R definida por
G(x) =
∫ x
a
f(t)dt.
121
Entonces G es derivable sobre ]a, b[ y es una antiderivada de f , es decir,
G′(x) = f(x), ∀x ∈]a, b[.
t
y
y = f(t)
a x
G(x)
122