evaluaciones-2016-0 - Maria Cristina Rodriguez Escalante

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Universidad del Pací!co
Manual de imagenLogotipo institucional
Matemática I
Ciclo 2016-0
Primera Práctica Calificada
Lunes 11 de Enero de 2016
DURACIÓN: 100 Minutos
Está estrictamente prohibido el uso de cartucheras, calculadoras o notas y el préstamo de
materiales.
No hay consultas; si considera que alguna pregunta está errada o mal propuesta corrija el
enunciado y justifique su proceder.
Justifique su respuesta.
Son importantes el orden y la claridad en la presentación de su trabajo, caso contrario se
pueden restar puntos o invalidar completamente la respuesta.
APELLIDOS:
NOMBRES:
SECCIÓN:
1 2 3 4 NOTA
1. Justifique por que los siguientes enunciados son falsos
a) (1 pto) El argumento P1, P2, P3...Pn $ Q es válido si solo si las premisas y la conclusión
son verdaderas.
Solución. El enunciado es falso porque p � ”3   2” es falso, pero el argumento p $ p
es válido.
b) (1 pto) Si A � tx P R : x2   4u, entonces suppAq � 1
Solución. x2   4 Ø �2   x   2, suppAq � 2
c) (1 pto) Si A � R y B � R son intervalos entonces pAXBqC es un intervalo.
Solución. A � r1, 3s , B � r2, 5s y AXB � r2, 3s luego pAXBqC �s �8,2rYs3,�8r
d) (1 pto) Para todo x P R, x2�9x�3 � x� 3.
Solución. Para x � 3 no se cumple.
e) (1 pto) El argumento p^ q, q Ñ r, r $ pØ r es válido.
Solución. Es falso porque si r � F, q � V y p � V la proposición pØ r es falsa.
2. Considere el siguiente argumento:
Si el color no es azul, entonces o está nublado o hay un eclipse. El color es azul o de lo
contrario hay un eclipse. Por lo tanto está nublado.
a) (3 ptos) Traduzca el argumento al lenguaje de lógica formal estableciendo primero un
diccionario.
Solución. Sean
p � El color es azul
q � Está nublado
r � Hay eclipse
El argumento es
 pÑ pq Y rq, p_ p p^ rq $ q
b) (2 ptos) Determine si el argumento es válido (Justifique su respuesta).
Solución. Si p � V, q � F y r � V , las premisas son verdaderas y la conclusión es falsa.
El argumento no es válido.
3. a) (2.5 ptos) Según reglamentación del control de calidad, se permite que el peso registrado
en la etiqueta de una bolsa de arroz sea distinta al peso real, pero tal diferencia en
valor absoluto, no debe superar al 4 % del peso indicado en la bolsa. ¿cuál es valor
aceptable para el peso real ”a” de una bolsa cuya etiqueta dice que contiene 800 gramos
de arroz?.
Solución. La condición es |a�800| ¤ 4100800, de donde |a�800| ¤ 32, luego 768 ¤ a ¤
832. El valor aceptable está entre 768 y 832.
b) (2.5 ptos) Escriba por extensión el siguiente conjunto
B � tx P R : x � p�3qn, n P N, |n2 � 3| ¤ n� 9u
Solución. Resolviendo: |n2 � 3| ¤ n� 9 Ñ n2 � 3 ¤ n� 9, de donde n2 � n� 6 ¤ 0 Ñ
n ¤ 3. Por lo tanto n P t1, 2, 3u y B � t�3, 9,�27u
4. a) (2 ptos) Exprese el conjunto solución de:
abx2 � a2x ¤ 2ab� 2b2x, a   b   0,
como un intervalo o unión de intervalos.
Solución. La inecuación abx2� a2x ¤ 2ab� 2b2x es equivalente a abx2� pa2� 2b2qx�
2ab ¤ 0 Ø pax� 2bqpbx� aq ¤ 0 luego: CS � r�ab ,
2b
a s.
b) (3 ptos) Demuestra que: vx� yw ¥ vxw � vyw, para todo x, y P R.
Solución. Sea vxw � m y vxw � n , m,n P N, entonces m ¤ x   m� 1 y n ¤ y   n� 1,
sumando m� n ¤ x� y   m� n� 2, de donde:
m� n ¤ x� y   m� n� 1_m� n� 1 ¤ x� y   m� n� 2
Luego se tiene: vx�yw � m�n_vx�yw � m�n�1 , en cualquier caso vx�yw ¥ m�n.
Por lo tanto vx� yw ¥ vxw � vyw.
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Segunda Práctica Calificada
Matemáticas I Lunes 18 de enero de 2016
Verifique que son 4 preguntas, 20 puntos. Duración: 100 minutos.
Está estrictamente prohibido el uso de cartucheras, calculadoras o notas y el préstamo de
materiales.
No hay consultas; si considera que alguna pregunta está errada o mal propuesta corrija
el enunciado y justifique su proceder.
Justifique su respuesta.
Son importantes el orden y la claridad en la presentación de su trabajo, caso contrario se
puede invalidar completamente la respuesta.
APELLIDOS:
NOMBRES:
SECCIÓN:
1 2 3 4 NOTA
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1. a) (2 puntos) Sea (Fn)n∈N la sucesión de Fibonacci. Si F18 = 2 584 y F21 = 10 946
determine el valor de F22.
Por la definición de Fibonacci, se tiene que:
F18 + F19 = F20 y F19 + F20 = F21
Eliminando F20 de ambas ecuaciones, se tiene que
F19 + F18 + F19 = F21
luego,
F19 =
F21 − F18
2
= 4181.
Aśı, F20 = 6765 y F22 = 17711.
b) Considere la sucesión (an)n∈N cuyos primeros términos son:
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, · · ·
i. (1 punto) Exprese la sucesión de manera inductiva o recursiva.
a1 = 1, a2 = 2, an+2 = an + an+1, n ∈ N
ii. (2 puntos) Pruebe por inducción que: an <
(
1 +
√
5
2
)n
.
• n = 1 : a1 = 1 <
1 +
√
5
2
↔ 1 <
√
5
• n = 2 : a2 = 2 <
(
1 +
√
5
2
)2
↔ 8 <
(
1 +
√
5
)2 ↔ 8 < 6 + 2√5↔ 1 < √5
• Suponer como válido, el caso n = k y n = k + 1. Luego
ak <
(
1 +
√
5
2
)k
y ak+1 <
(
1 +
√
5
2
)k+1
.
Por la definición de (an)n∈N ,
ak+2 = ak+ak+1 <
(
1 +
√
5
2
)k
+
(
1 +
√
5
2
)k+1
=
(
1 +
√
5
2
)k [
1 +
1 +
√
5
2
]
Dado que
1 +
1 +
√
5
2
=
3 +
√
5
2
< 3 +
√
5 =
(
1 +
√
5
2
)2
,
se tiene que ak+2 <
(
1 +
√
5
2
)k+2
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2. Calcule los siguientes ĺımites:
a) (2.5 puntos) ĺım
n→∞
√
n + a−
√
n + b
√
n + c−
√
n + d
, c 6= d
ĺım
n→∞
√
n + a−
√
n + b
√
n + c−
√
n + d
= ĺım
n→∞
√
n + a−
√
n + b
√
n + c−
√
n + d
·
√
n + c +
√
n + d
√
n + c +
√
n + d
·
√
n + a +
√
n + b
√
n + a +
√
n + b
= ĺım
n→∞
a− b
c− d
·
√
n + c +
√
n + d
√
n + a +
√
n + b
= ĺım
n→∞
a− b
c− d
·
√
1 +
c
n
+
√
1 +
d
n√
1 +
a
n
+
√
1 +
b
n
=
a− b
c− d
b) (2.5 puntos) ĺım
n→∞
2n+1 + 3n+1
2n + 3n
ĺım
n→∞
2n+1 + 3n+1
2n + 3n
= ĺım
n→∞
3n+1
((
2
3
)n+1
+ 1
)
3n
((
2
3
)n
+ 1
)
= ĺım
n→∞
3
((
2
3
)n+1
+ 1
)
((
2
3
)n
+ 1
)
= 3
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3. Se sabe que dentro de n años el costo por unidad de un producto está dado por
C(n) =
2n2 − 16n + 37
n2 − 8n + 17
miles de dólares.
a) (2 puntos) Determine en qué momento el costo por unidad será $5 000.
C(n) = 5 ↔ 2n
2 − 16n + 37
n2 − 8n + 17
= 5
↔ n2 − 8n + 16 = 0
↔ n = 4
b) (2 puntos) Pruebe que el costo por unidad es acotado superiormente.
∀n ∈ N, 2(n− 4)2 ≤ 5(n− 4)2 → 2(n− 4)2 + 5 ≤ 5(n− 4)2 + 5
→ 2(n− 4)
2 + 5
(n− 4)2 + 1
≤ 5
→ C(n) ≤ 5
c) (1 punto) Determine la tendencia del costo por unidad a largo plazo.
ĺım
n→∞
Cn = ĺım
n→∞
2n2 − 16n + 37
n2 − 8n + 17
= ĺım
n→∞
2− 16
n
+
37
n2
1− 8
n
+
17
n2
= 2
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4. Justifique por qué los siguientes enunciados son falsos.
a) (2 puntos) Si una sucesión es convergente y otra es divergente, entonces el producto
es divergente.
an = 0 es una sucesión constante que converge a 0.
bn = n es una sucesión divergente.
anbn = 0 converge a 0.
b) (2 puntos) Si dos sucesiones son estrictamente crecientes, entonces el producto tam-
bién lo es.
an = n es una sucesión estrictamente creciente.
bn = −
1
n
es una sucesión estrictamente creciente.
anbn = −1 no es estrictamente creciente.
c) Si (an)n∈N se define como an =

2 , n > 1
s
1
n + 1
{
, n = 1
entonces ĺım
n→∞
an = 0
ĺım
n→∞
an = ĺım
n→∞
2 = 2 6= 0.
Universidad del Pací!co
Manual de imagenLogotipo institucional
Tercera Práctica Calificada
Matemáticas I Lunes 25 de enero de 2016
Verifique que son 4 preguntas, 20 puntos. Duración: 100 minutos.
Está estrictamente prohibido el uso de cartucheras, calculadoras o notas y el préstamo
de materiales.
No hay consultas; si considera que alguna pregunta está errada o mal propuesta corrija
el enunciado y justifique su proceder.
Justifique su respuesta.
Son importantes el orden y la claridad en la presentación de su trabajo, caso contrario
se pueden restar puntos o invalidar completamente la respuesta.
APELLIDOS:
NOMBRES:
SECCIÓN:
1 2 3 4 NOTA
SOLICITUD DE RE-CALIFICACIÓN
Motivos
1. Puntaje sumado erróneamente
2. Pregunta no corregida
3. La respuesta incluye aspectos
o perspectivas alternativas no
consideradas. (Explicar)
Reglamento de solicitud
Solo se aceptan solicitudes el d́ıa de entrega.
Si dos solicitudes son declaradas “No procedentes” en un mismo ciclo, el alumno no podrá
presentar solicitudes adicionales durante dicho ciclo.
Cualquier solicitud habilita al docente a realizar una revisión integral de la evaluación. Como
consecuencia, la nota puede mantenerse, subir o bajar.
Toda solicitud debe estar justificada adecuadamente en base a sus conocimientos del curso.
Se considera “No procedente” aquellas solicitudes donde el alumno sugiere el puntaje que
debe tener según su propio criterio.
Resultado
PROCEDENTE
NO PROCEDENTE
NOTA ANTERIOR NUEVA NOTA
1. Justifique porqué los siguientes enunciados son falsos.
a) (1 punto) Toda recta de pendiente negativa pasa por el primer cuadrante.
Solución. La recta y = −2x − 4 pasa por los puntos (0,−4) y (−2, 0), luego no
pasa por el primer cuadrante.
b) (1 punto) Si dos rectas son paralelas entonces no se intersecan.
Solución. La recta y = 2x + 1 con ella misma son paralelas y se intersecan en
todos sus puntos.
c) (1 punto) Si P,Q,R ∈ R2 son puntos en el plano, entonces
d(P,R) < d(P,Q) + d(Q,R).
Solución. Sean P = (1, 0), Q = (2, 0) y R = (3, 0), luego
d(P,R) = 2 = 1 + 1 = d(P,Q) + d(Q,R).
d) (2 puntos) El excedente del consumidor siempre es mayor que el excedente del
productor.
Solución. Sean O : p = q + 1 y D : p = −q + 5, el punto de equilibrio es (2,3) y
E.C.=2=E.P.
2. a) (2 puntos) Dados a, b, c, d números positivos, demuestre que
E(ac,bd) = E(a,b) ◦ E(c,d).
Solución.
E(ac,bd)(x, y) =
(
x
ac
,
y
bd
)
y
E(a,b) ◦ E(c,d)(x, y) = E(a,b)
(
x
c
,
y
d
)
=
(
x
ac
,
y
bd
)
.
Aśı E(ac,bd) = E(a,b) ◦ E(c,d).
b) (3 puntos) Demuestre que cualquier recta con pendiente m ∈ R−{0} y su trans-
formación, mediante una traslación T(h,k), son paralelas.
Solución. Sea la recta l : y = mx + b, x′ = x − h e y′ = y − k, luego T (l) = l′,
donde l′ : y′ = mx′ +mh+ b− k. Como l y l′ tienen la misma pendiente, entonces
son paralelas.
3. Por razones de comparación, un profesor quiere cambiar la escala de calificaciones
de un conjunto de exámenes escritos. Por ello requiere la ecuación de una recta que
transforme el promedio de los exámenes en 14 y que 20, que es la posible nota más
alta, la mantenga en 20.
a) (3 puntos) Si el promedio de los exámenes es 11, determine la ecuación de la recta
que realice lo solicitado.
Solución. La recta pedida debe pasar por los puntos (11, 14) y (20, 20), luego la
recta pedida es y − 14 = 2
3
(x− 11)
b) (2 puntos) Si en la nueva escala 12 es la calificación más baja, ¿cuál es la califica-
ción más baja en la escala original ?
Solución. Cuando y = 12, reemplazando en la recta tenemos
12− 14 = 2
3
(x− 11)
−2 = 2
3
(x− 11)
−3 = x− 11
8 = x.
En la escala original la nota más baja es 8.
4. a) (2 puntos) Sean I, C, U el ingreso, costo y utilidad de una empresa respectiva-
mente. Siendo (q0,M0) el punto de equilibrio, determine una expresión para q0 y
M0
Solución.
C = Cf + Cuq y I = pq,
igualando tenemos que
q0 =
Cf
p− Cu
y M0 =
pCf
p− Cu
b) (3 puntos) La ecuación de la oferta de cierto bien viene dada por p = a2q + 2.
Si la ecuación de la demanda, es perpendicular a la oferta, y pasa por el punto
(0, b), donde b > 2. Calcule el valor de a para que el excedente del productor sea
igual al excedente del consumidor.
Solución. La ecuación de la demanda es p = − 1
a2
q + b. Despejando q de ambas
ecuaciones e igualando para hallar pe tenemos
pe − 2
a2
= (b− pe)a2 . . . (1)
Para que el excedente del consumidor sea igual al excedente del productor debemos
tener que
(b− pe)qe
2
=
(pe − 2)qe
2
b− pe = pe − 2 . . . (2)
De (1) y (2) tenemos que a4 = 1, de donde a = 1 o a = −1.
[ESTA PÁGINA PUEDE USARSE COMO BORRADOR O PARA COMPLETAR UNA
PREGUNTA INDICÁNDOLO DEBIDAMENTE]
[ESTA PÁGINA PUEDE USARSE COMO BORRADOR O PARA COMPLETAR UNA
PREGUNTA INDICÁNDOLO DEBIDAMENTE]
Matemática I
Ciclo 2016 − 0
SOLUCIONARIO DE LA CUARTA PRÁCTICA CALIFICADA
Lunes 8 de Febrero del 2016
DURACIÓN: 100 Minutos
Está estrictamente prohibido el uso de cartucheras, calculadoras o notas y el préstamo de
materiales.
No hay consultas; si considera que alguna pregunta está errada o mal propuesta corrija el
enunciado y justifique su proceder.
Justifique su respuesta.
Son importantes el orden y la claridad en la presentación de su trabajo, caso contrario se
pueden restar puntos o invalidar completamente la respuesta.
APELLIDOS:
NOMBRES:
SECCIÓN:
1 2 3 4 NOTA
1. Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones (justifique su respuesta).
a) (2 ptos) Si f4 : A −→ B es inyectiva, entonces f : A −→ B es inyectiva.
Solución.
Tenemos para todo a, b ∈ A, [f4(a) = f4(b) → a = b].
Nos piden probar para todo a, b ∈ A, [f(a) = f(b) → a = b].
Luego,
f(a) = f(b), elevando a la cuarta
f4(a) = f4(b), por hipótesis a = b
Por lo tanto, f : A −→ B es inyectiva. La afirmación es verdadera.
b) (2ptos) Si f : R −→]− 4,+∞[ definida por f(x) =
4
x2 + 1
, entonces Ran f =]0, 4].
Solución.
Dado x ∈ R cualesquiera,
x2 ≥ 0
x2 + 1 ≥ 1
0 <
1
x2 + 1
≤ 1
0 <
4
x2 + 1
≤ 4
Por lo tanto, Ran f =]0, 4]. La afirmación es verdadera.
c) (1 pto) Dado f = {(x, y) ∈ R× R/x = 2}, entonces f es una función.
Solución.
Claramente (2, 3) y (2, 5) ∈ f , por tanto f no es función. La afirmación es falsa.
2. a) (3ptos) Dado un conjunto de vértices vi unidos por caminos (aristas) ej , define la matriz
de incidencia A = (aij)n×m donde
aij =
{
1, vértice vi contenido en la arista ej
0, otro caso
Dado el gráfico
b
b
b
b
e1
v2
v1
e2
e3
v4
v3
e4
e5
Calcule la matriz de incidencia.
Solución.
Formaremos una matriz donde las columnas se refieren a e1, e2, e3, e4 y e5 y las filas a
los vértices.
A =




1 0 1 0 1
1 1 0 0 0
0 0 0 1 1
0 1 1 1 0




b) (2 ptos) Si A =


a b c
d e f
g h i

, B =


1 2 3
0 1 2
0 0 2

 y A ·BT = 4I3. Calcule |A|.
Solución.
|A ·BT | = |4I3|
|A| · |BT | = 43 · 1
|A| · |B| = 64
|A| · 2 = 64
|A| = 32
3. a) Una pasteleŕıa elabora dos tipos de bizcocho: integral y chifón, utilizando harina, levadu-
ra y huevos. Elaborar 50 integrales requiere 15 bolsas de harina, 3 unidades de levadura
y 4 huevos; elaborar 50 chifones requiere 10 bolsas de harina, 2 unidades de levadura y
6 huevos. La panadeŕıa tiene una sucursal en Lima y otra en provincia. En lima, cada
bolsa de harina cuesta S/. 15, cada unidad de levadura cuesta S/. 10 y cada huevo cuesta
S/. 3; en provincia, los costos son de S/. 10, S/. 8 y S/. 2 respectivamente.
i) (1.5 ptos) Represente toda la información en dos matrices.
Solución.
Formamos dos matrices, donde una de ellas sus columnas son el tipo bizcocho y las
filas son los ingredientes usados para su preparación; en la otra matriz sus columnas
son los ingredientes usados y las filas son las sucursales.
M =


15 10
3 2
4 6

 , N =
[
15 10 3
10 8 2
]
ii) (1.5 ptos) Determine, usando operaciones matriciales, los costos totales de producir
50 bizcochos de cada tipo en cada una de las sucursales.
Solución.
Multiplicamos las matrices M y N halladas en el item anterior,
N ·M =
[
15 10 3
10 8 2
]
·


15 10
3 2
4 6

 =
[
267 188
182 128
]
Esta matriz nos da la siguiente información; en Lima producir 50 bizcochos integrales
cuesta S/. 267 y 50 chifones S/. 188 y en provincia producir 50 bizcochos integrales
cuesta S/. 182 y 50 chifones S/. 128.
b) (2 ptos) Determine la matriz inversa de
A =


1 a b
0 2 1
0 0 1

 , a, b ∈ R.
Solución.


1 a b 1 0 0
0 2 1 0 1 0
0 0 1 0 0 1


F2 − F3−→


1 a b 1 0 0
0 2 0 0 1 −1
0 0 1 0 0 1


1
2
F2
−→


1 a b 1 0 0
0 1 0 0 1
2
−1
2
0 0 1 0 0 1


F1 − aF2−→


1 0 b 1 −a
2
a
2
0 1 0 0 1
2
−1
2
0 0 1 0 0 1


F1 − bF3−→


1 0 0 1 −a
2
a
2
− b
0 1 0 0 1
2
−1
2
0 0 1 0 0 1


Por lo tanto, A−1 =


1 −a
2
a
2
− b
0 1
2
−1
2
0 0 1


4. (5 ptos) Con motivo de la próxima junta de Gobernadores del Banco Mundial un hotel debe
disponer sus 50 habitaciones para hospedar a los visitantes. El hotel cuenta con habitaciones
dobles, triples y cuádruples, con un total de 138 camas. En cada habitación doble se colocarán
5 toallas; cada habitación triple, 6 toallas; y 7 en cada cuádruple. Para un total de 288 toallas
en todo el hotel.
Considerando que el hotel cuenta con menos de 34 habitaciones entre dobles y triples. Deter-
mine las cantidades de habitaciones de cada tipo. (Resuelva utilizando eliminación gaussiana).
Solución.
Sea x la cantidad de habitaciones dobles, y la cantidad de habitaciones triples y z la cantidad
de habitaciones cuádruples, entonces la cantidad total de habitaciones es x+y+z, la cantidad
total de camas es 2x+ 3y + 4z y la cantidad total de toallas es 5x+ 6y + 7z.
El problema puede ser planteado como



x+ y + z = 50
2x+ 3y + 4z = 138
5x+ 6y + 7z = 288
Aplicando operaciones elementales obtenemos


1 1 1 50
2 3 4 138
5 6 7 288


F2 − 2F1−→
F3 − 5F1


1 1 1 50
0 1 2 38
0 1 2 38


F3 − F2−→


1 1 1 50
0 1 2 38
0 0 0 0


F1 − F2−→


1 0 −1 12
0 1 2 38
0 0 0 0


Por tanto el sistema de ecuaciones es equivalente a
{
x− z = 12
y + 2z = 38
Aśı, x = t+ 12 ≥ 0, y = 38 − 2t ≥ 0, z = t ≥ 0 y x+ y = 50 − t < 34. De ésto, 16 < t ≤ 19.
Luego el conjunto solución del sistema es {(29,4, 17); (30, 2, 18); (31, 0, 19)}.
M
at
e
1
UP
M
at
e
1
UP
M
at
e
1
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1
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Quinta Práctica Calificada
Matemáticas I Lunes 15 de febrero de 2016
Verifique que son 4 preguntas, 20 puntos. Duración: 100 minutos.
Está estrictamente prohibido el uso de cartucheras, calculadoras o notas y el préstamo de
materiales.
No hay consultas; si considera que alguna pregunta está errada o mal propuesta corrija el
enunciado y justifique su proceder.
Justifique su respuesta.
Son importantes el orden y la claridad en la presentación de su trabajo, caso contrario se
puede invalidar completamente la respuesta.
APELLIDOS:
NOMBRES:
SECCIÓN:
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1. Se define como punto fijo de una función real f al número real x ∈ domf tal que f(x) = x.
Considere la regla de correspondencia
f(x) =
1(
x +
1
2
) + 1,
que define a f por su máximo dominio de definición.
a) (2 puntos) Determine los puntos fijos de f.
Solución:
f(x) =
1(
x +
1
2
) + 1 = x→ 2x2 − x− 3 = 0→ x = 3
2
∨ x = −1
2
b) (3 puntos) Sea la función g : R → R definida por g(x) = x. En la siguiente región
cuadriculada, represente gráficamente las funciones f y g, indicando expĺıcitamente los
puntos calculados en el item a) y los interceptos con los ejes de f y g.
Y
X
1 2 3 4−1−2−3−4
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3
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−1
−2
−3
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2. Sea b una constante positiva, m ∈ R y f una función real definida por
f(x) =
{
−(x− b)2, si x ≤ m,
x si x > m.
a) (2.5 puntos) Determine el mayor valor que puede asumir m (en términos de b) de modo
que f sea invertible. Para justificar el valor de m, grafique f.
Y
X
b
b
En los siguientes ı́tems, considere el valor de m hallado en a)
b) (1 punto) Grafique la función f−1
Y
X
b
b
c) (1.5 puntos) Determine la regla de corres-
pondencia y el dominio de f−1.
f−1(x) =
{
x , si x > b,
b−
√
−x , si x ≥ 0.
dom f−1 = ]−∞, 0] ∪ ]b,+∞[
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3. a) (2 puntos) Sean f, g : R → R funciones invertibles tales que g(x) = (f(x)− 5)3 , para
todo x ∈ R. Determine una expresión para g−1 en términos de f−1.
Solución:
y = g(x) ↔ y = (f(x)− 5)3
↔ 3√y = f(x)− 5
↔ f(x) = 3√y + 5
↔ x = f−1 ( 3√y + 5)
↔ g−1(y) = f−1 ( 3√y + 5)
2
b) (3 puntos) Determine por qué son falsas las siguientes proposiciones:
El producto de dos funciones estrictamente crecientes es una función estrictamente
creciente.
Solución:
Contraejemplo: La función f : R → R definida por f(x) = x es estrictamente cre-
cientes, pero f 2 : R→ R con f 2(x) = x2 no es estrictamente creciente. 2
La función f : [−2, 1]→ R, definida por f(x) = x2, es par.
Solución:
Contraejemplo: La función no es par pues su dominio no es simétrico. Notemos que
el dominio no es simétrico dado que −2 ∈ dom(f)mientras que 2 /∈ dom(f). 2
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4. a) (2.5 puntos) Determine el máximo dominio de definición para
f(x) =
√
1− J x K + 1√
J x + 2 K− 1
.
Solución:
x ∈ domf ↔ 1− J x K ≥ 0 ∧ J x + 2 K− 1 > 0
↔ −1 < J x K ≤ 1
↔ J x K = 0 ∨ J x K = 1
↔ x ∈ [0, 1[∨x ∈ [1, 2[
↔ x ∈ [0, 2[
2
b) (2.5 puntos) Sea f : R→ R una función par y g : R→ R una función impar, pruebe que
la función producto f · g es impar.
Solución:
∀x ∈ R, f · g(−x) = f(−x) · g(−x) = f(x) · [−g(x)] = −f · g(x).
2
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Universidad del Pací!co
Manual de imagenLogotipo institucional
EXAMEN PARCIAL
Matemáticas I Sábado 30 de enero de 2016
Verifique que son cinco preguntas, 20 puntos. Duración: 120 minutos.
Está estrictamente prohibido el uso de cartucheras, calculadoras o notas y el préstamo
de materiales.
No hay consultas; si considera que alguna pregunta está errada o mal propuesta corrija
el enunciado y justifique su proceder.
Justifique su respuesta.
Son importantes el orden y la claridad en la presentación de su trabajo, caso contrario
se puede invalidar completamente la respuesta.
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1. Conteste:
a) (2 pts.) Si
|x2 + π| − (3 + x2)
|x| − e
< 0. Exprese el conjunto solución como intervalo
o unión de intervalos.
|x2 + π| − (3 + x2)
|x| − e
=
x2 + π − 3− x2
|x| − e
=
(π − 3)
|x| − e
Si
(π − 3)
|x| − e
< 0→ |x| < e→ −e < x < e
∴ C.S. =]− e, e[
b) (2 pts.) Sea p(x) = x · (α − x) · (x − β) un polinomio de tercer grado; donde
α, β ∈ R tales que α < 0 < β.
Halle los números reales x que satisfacen: p(x) > 0.
Si p(x) > 0→ x · (α− x) · (x− β) > 0→ x · (x− α) · (x− β) < 0
A continuación presentamos la tabla de signos [zonas]:
x < α α < x < 0 0 < x < β x > β
(x− α) · x · (x− β) (-) (+) (-) (+)
∴ C.S. = ]−∞, α[ ∪ ]0, β[
Halle los números reales x que satisfacen: p(x) < 0.
Si p(x) < 0→ x · (α− x) · (x− β) < 0→ x · (x− α) · (x− β) > 0
∴ C.S. = ]α, 0[ ∪ ]β,∞[
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2. Sean C(0) = C0 el capital inicial, C(t) = Ct el capital obtenido luego de transcu-
rrir t años y r la tasa de interés compuesta anualmente. Se define recursivamente
C(t) = Ct−1(1 + r), t ∈ N.
a) (1.5 pts.) Determine C(1) , C(2) y C(3)
C(1) = C0(1 + r)
C(2) = C1(1 + r) = C0(1 + r)
2
C(3) = C2(1 + r) = C0(1 + r)
3
b) (1 pt.) Determine una fórmula expĺıcita (no recursiva) para C(t).
C(t) = C0(1 + r)
t
c) (1.5 pts.) Demuestre el paso inductivo de la fórmula obtenida en la parte b).
Asumiendo que la fórmula es cierta para C(k) probamos para C(k+ 1) usando la
definición recursiva:
C(k + 1) = Ck(1 + r) = C0(1 + r)
k · (1 + r) = C0(1 + r)k+1
lo cual nos dice que C(k + 1) es cierto.
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3. Definimos las cónicas C1 y C2 mediante las ecuaciones C1 :
(y − 3)2
16
+
(x− 2)2
36
= 1 y
C2 : y
2 − 6y + 3x = 0 .
a) (1.5 pts) Determine el/(los) punto/(s) donde las cónicas C1 y C2 se intersecan.
De C2 : (y − 3)2 = −3(x− 3) . Reemplazando en C1 :
−3(x− 3)
16
+
(x− 2)2
36
= 1
Resolviendo la ecuación cuadrática:
−27(x− 3) + 4(x− 2)2 = 144
4x2 − 43x− 47 = 0→ x = −1 ∨ x = 47
4
Pero por C2 : x 6=
47
4
. Por lo tanto, las cónicas se intersecan en (−1; 3−
√
12) y
(−1; 3 +
√
12).
b) (2.5 pts) Grafique las cónicas C1 y C2 en el plano adjunto, identificando los puntos
donde se intersecan las cónicas.
Haciendo A = (−1; 3−
√
12) y B = (−1; 3 +
√
12):
−4. −3. −2. −1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
−3.
−2.
−1.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
0A
B
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4. Responda:
a) (2 pts.) Sean A = (
10
3
, 6) y B = (
2
15
,−6) dos puntos del plano. Sabiendo que l1
y l2 se intersecan en A, l1 ⊥ l2 y B ∈ l2 . Determinar las ecuaciones (intercepto-
pendiente) de dichas rectas.
Dado que A ∈ l2 y B ∈ l2 :
ml2 =
15
4
→ y + 6 = 15
4
(x− 2
15
)→ y = 15
4
x− 13
2
Dado que l1 ⊥ l2 :
ml1 = −
4
15
→ y − 6 = − 4
15
(x− 10
3
)→ y = − 4
15
x+
62
9
b) (2 pts.) Se sabe que en un mercado el productor aumenta la oferta en una uni-
dad por cada dos unidades monetarias (u.m.) que aumenta el precio unitario.
Además, se sabe que el precio del mercado en el equilibrio es de 6 u.m. por uni-
dad. Si el excedente del productor es 4, determine la ecuación general de la oferta.
Del enunciado, la pendiente de la oferta es m =
∆p
∆q
= 2. Considerando b el
y−intercepto, se tiene que:
p
q
b
O : p = 2q + b
D
6 = pe
qe
EP
El excedente del productor es EP =
(6− b) · qe
2
= 4. Además: 6 = 2qe + b
En consecuencia: qe = 2 = b.
∴ O : p− 2q − 2 = 0
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5. Dada la sucesión de Fibonacci (fn)n∈N := (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...). Se define la sucesión
(cn)n∈N, con término enésimo cn =
fn+1
fn
.
a) (1 pt.) Determine los cuatro primeros términos de la sucesión (cn)n∈N.
c1 = 1; c2 = 2; c3 =
3
2
; c4 =
5
3
b) (1 pt.) Dada la sucesión (cn)n∈N, se definen los puntos An = (n, cn), n ∈ N .
Identifique los An, n ∈ {1, 2, 3, 4} en el primer cuadrante:
1 2 3 4 5
0,5
1
1,5
2
0
A1
A2
A3
A4
c) (2 pts.) Si (cn)n∈N es convergente, calcule el ĺımite de la sucesión: ĺım
n→∞
(cn).
Sea ĺım
n→∞
(cn) = L→ ĺım
n→∞
(
fn+1
fn
) = ĺım
n→∞
(
fn + fn−1
fn
) = 1 + ĺım
n→∞
1
( fn
fn−1
)
= L
Se sigue que: 1 +
1
L
= L→ L2 − L− 1 = 0→ L = 1 +
√
5
2
; L > 0.
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Universidad del Pací!co
Manual de imagenLogotipo institucional
Examen Final
Matemáticas I Lunes 22 de febrero de 2016
Verifique que son 5 preguntas, 20 puntos. Duración: 120 minutos.
Está estrictamente prohibido el uso de cartucheras, calculadoras o notas y el préstamo
de materiales.
No hay consultas.
Justifique su respuesta.
Son importantes el orden y la claridad en la presentación de su trabajo, caso contrario
se pueden restar puntos o invalidar completamente la respuesta.
1 2 3 4 5 NOTA
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PREGUNTA INDICÁNDOLO DEBIDAMENTE]
1. (5 puntos) Justifique por qué las siguientes proposiciones son falsas:
a) Si cos(x) =
1
2
, entonces x =
π
3
.
Solución. Sea x =
π
3
+ 2π 6= π
3
y cos(x) =
1
2
.
b) Para todo a ∈ R las funciones f : {a,−a} → R y g : {a,−a} → R, donde
f(x) = x2 y g(x) = 2x no son iguales.
Solución. Sea a = 0, entonces f, g : {0} → R tienen el mismo dominio y el mismo
conjunto de llegada, además sus reglas de correspondencia son iguales ya que
f(0) = 0 = g(0).
c) Si la función f : R→ R es inyectiva, entonces es invertible.
Solución. La función f : R → R con regla de correspondencia f(x) = ex es
inyectiva pero no es sobreyectiva ya que ranf =]0,+∞[, luego no es invertible.
d) La función f : R→ R, definida por f(x)= x2, es creciente y decreciente.
Solución. No es creciente ni decreciente ya que f(−2) > f(0) pero f(0) < f(1).
e) Sea f : R→ R una función, definida por f(x) = ax+ b, con a, b ∈ R.
Si f es creciente, entonces a > 0.
Solución. Siendo a = 0, tenemos que f(x) = b es creciente pero a no es mayor
que cero.
2. (4 puntos)
a) (1 punto) Dada f : A→ B, demuestre que f ◦ IdA = f.
Solución. f ◦ IdA : A → B y (f ◦ IdA)(x) = f(IdA(x)) = f(x)., luego ambas
funciones tienen el mismo dominio, conjunto de llegada y regla de correspondencia,
por tanto son iguales.
b) (2 puntos) Dada f : A → B una función impar e invertible, demuestre que B es
un conjunto simétrico y que f−1 es impar.
Solución.
B es simétrico.- Sea y ∈ B, como f es sobreyectiva entonces y = f(x), luego
−y = −f(x) = f(−x), como −y es la imagen de −x tenemos que −y ∈ B.
f−1 es impar.- f−1 : B → A, su dominio es simétrico, además si y ∈ B,
y = f(x)←→ f−1(y) = x
Aśı f−1(−y) = f−1(−f(x)) = f−1(f(−x)) = −x = −f−1(y).
c) (1 punto) Determine el máximo dominio de definición y el rango de
f(x) = 3 cos(4x).
Solución.
dom f = R ya que el dominio del coseno es R.
El ran f = [−3, 3], ya que el ran cos = [−1, 1].
3. (4 puntos)
a) (2 puntos) El número de arrestos por narcotrafico n(t) en USA en función del
tiempo viene dada por n(t) = Aert donde t es medido en años desde 1985. Sabiendo
que el número de arrestos era de 800 000 en 1985 y 1 340 000 en 1989, determine
el valor de A, r y el número de arrestos en 1993.
Solución. Suponiendo que el número de arrestos está en miles para simplificar,
tenemos que n(0) = 800 y n(4) = 1340, de donde A = 800 y 1340 = 800e4r. De
esta última igualdad tenemos que
e4r =
67
40
r =
1
4
ln
(
67
40
)
.
Finalmente el número de arrestos en 1993 es
n(8) = 800e8r
= 800(e4r)2
= 800× (67
40
)2
= 2244,5
por lo tanto el número de arrestos en 1993 fue de 2244.5 mil arrestos.
b) (2 puntos) Determine el determinante de
A =
b+ c c+ a b+ aa b c
1 1 1

Solución.
|A| =
∣∣∣∣∣∣
b+ c c+ a b+ a
a b c
1 1 1
∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣
a+ b+ c b+ c+ a c+ b+ a
a b c
1 1 1
∣∣∣∣∣∣
= (a+ b+ c)
∣∣∣∣∣∣
1 1 1
a b c
1 1 1
∣∣∣∣∣∣
= (a+ b+ c)
∣∣∣∣∣∣
0 0 0
a b c
1 1 1
∣∣∣∣∣∣
= 0.
4. (4 puntos)
a) (1 punto) Dada f : R → R, definida por f(x) = 2
x2 + 1
+ 1, determine el rango
de la función, ranf .
Solución. Como x2 + 1 ≥ 1, tenemos que
0 <
1
x2 + 1
≤ 1
0 <
2
x2 + 1
≤ 2
1 <
2
x2 + 1
+ 1 ≤ 3
b) (1 punto) Esboce la gráfica de f.
Solución. La gráfica es
x
y
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
1
2
3
4
c) (2 puntos) Demuestre que g : [0,+∞[→ ranf, definida por g(x) = f(x) es biyec-
tiva.
Solución. Seanx1, x2 ∈ [0,+∞[ tal que
g(x1) = g(x2)
f(x1) = f(x2)
2
(x1)2 + 1
+ 1 =
2
(x2)2 + 1
+ 1
(x1)
2 = (x2)
2
x1 = ±x2
Como x1 y x2 son números positivos tenemos que x1 = x2, por tanto es inyectiva.
Además rang = ranf, por tanto es sobreyectiva.
5. (3 puntos) Grafique la región determinada por
y ≤ arctan(x+ 1)
y ≤ − arctan(x− 1)
y ≥ −
√
1− x2
indicando los interceptos con los ejes.
Solución.
x
y
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
3
π
2
π
4
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