INFORME SESION 4 ANALISIS ESTRUCTURAL - nataly De la cruz Rodriguez

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FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA ESCUELA 
PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL 
 
 
INFORME ACADÉMICO 
 
“ELEMENTOS VIGAS DE DOS DIRECCIONES, CRITERIO DE 
CONVERGENCIA Y CONTINUIDAD. ELEMENTOS VIGA EN 
TRES DIRECCIONES” 
 
CURSO: ANALISIS ESTRUTURAL II 
 
 
INTEGRANTES DEL GRUPO 
 
 De la Cruz Rodríguez, Nathaly Nicole (0000-0001-5721-
696X) 
 Huamanchumo Castañeda, Renzo Giovanni (0000-0001-
9805-8670) 
 Mejía De la Cruz, Raúl Antonio (0000-0001-5649-7894) 
 
 
DOCENTE: 
 
 
ING. MGTR. HENRY JOSEPH DEL CASTILLO VILLACORTA 
 
 
 
 
 
 
CHIMBOTE – 2023 
 
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INDICE 
1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 3 
2. OBJETIVOS ......................................................................................................................... 3 
2.1. OBJETIVO GENERAL ........................................................................................................ 3 
2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS ................................................................................................ 3 
3. CONTENIDO ....................................................................................................................... 4 
4. CONCLUSIONES .............................................................................................................. 12 
 
 
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1. INTRODUCCIÓN 
 
Los ingenieros que se dedican al análisis estructural de edificaciones se aseguran que sus 
diseños cumplan un estándar para lograr objetivos constituidos de seguridad, es decir, que 
la estructura no se desplome sin dar ningún aviso precedente o de nivel de servicio, por 
ejemplo, que la vibración en un edificio no moleste a sus ocupantes. Por otro lado, son 
responsables por hacer uso eficiente del dinero y materiales necesarios para obtener estos 
objetivos. 
 
El análisis estructural es el uso de las ecuaciones de la resistencia de materiales para 
encontrar los esfuerzos internos, deformaciones y tensiones que actúan sobre una 
estructura resistente, como edificaciones o esqueletos resistentes de maquinaria. 
 
Este informe tiene como fin conocer los conceptos sobre elementos de vigas en dos y tres 
direcciones. Criterios de convergencia y continuidad. 
 
2. OBJETIVOS 
 
2.1. OBJETIVO GENERAL 
 
Conocer los conceptos sobre elementos de vigas en dos y tres direcciones. Criterios de 
convergencia y continuidad. 
 
2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS 
 
 Profundizar más en los conocimientos acerca de las vigas, que son elementos 
importantes que conforman la estructura de una edificación. 
 
 Investigar textos que cuenten con información importante acerca de los elementos 
de las vigas en dos y tres direcciones, y conocer sus criterios de convergencia y 
continuidad. 
 
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3. CONTENIDO 
 
ELEMENTOS DE VIGAS EN DOS DIRECCIONES. CRITERIO DE 
CONVERGENCIA Y CONTINUIDAD. 
 
Se sabe que los elementos en un mismo plano bidimensional pueden soportar momentos 
de flexión, cargas axiales y fuerzas cortantes. Es por eso que a los nudos se le considerará 
tres grados de libertad. Primero se considerará el desplazamiento en el eje x’, después en 
el eje y’ y finalmente un desplazamiento angular en el eje z. 
 
En la siguiente imagen se muestra el elemento con sus respectivas nomenclaturas de los 
desplazamientos y sus fuerzas. 
 
 
 
 
En la sección anterior se resolvió el método de la rigidez considerando solo carga axial 
lo cual corresponde a considerar el desplazamiento en dirección local x’. En la sección de 
ecuaciones pendiente deflexión para elementos de ambos extremos continuos explicamos 
como obtener las fuerzas internas del elemento al aplicar un desplazamiento en el eje 
local y’ y un desplazamiento angular en el eje local z’. En las siguientes figuras se 
muestran las fuerzas internas del elemento viga al aplicar desplazamientos sobre el eje 
local y’ y z’ en los nodos inicial y final de un elemento viga. 
 
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Se tendría que realizar el principio de superposición para cada uno de los desplazamientos 
en el elemento viga como se muestra a continuación. 
 
 
 
 
Siendo la siguiente la ecuación de la rigidez escrita en forma local 
 
𝑞 = 𝑘㕒𝑑 
Una vez definida la ecuación de la rigidez de forma elemental procedemos a definir la 
matriz de transformación de desplazamientos, para ello se observa la siguiente figura. 
 
 
 
A continuación, se aplica un desplazamiento 𝐷㕖𝑥 sobre el eje global x y se descompone 
en desplazamientos locales 𝑑㕖𝑥′ y 𝑑㕖𝑦′ en direcciones de los ejes locales x’ e y’, repitiendo 
la descomposición vectorial con el desplazamiento global 𝐷㕖𝑦 teniendo entonces 
 
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Aplicando el mismo procedimiento para descomponer los desplazamientos globales en 
dirección x e y del nodo final del elemento viga en desplazamientos locales en dirección 
de los ejes x’ e y’ tenemos 
 
 
Los desplazamientos angulares sobre el eje z’ son los mismos que sobre el eje z debido a 
que estos dos ejes coinciden y tienen dirección perpendicular a la página, por tanto 
 
 
 
 
Por último volveremos a considerar nuevamente los cosenos directores como 𝜆𝑥 = cos(㔃𝑥 
) y 𝜆𝑦 = cos(㔃𝑦) para escribir las ecuaciones anteriores en forma matricial. 
 
 
 
 
Escribiendo en forma reducida tenemos 
D=TD 
 
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Dónde 𝑇 es la matriz de transformación de desplazamientos 
 
Para obtener la matriz de transformación de fuerzas descomponemos las fuerzas locales 
en el nodo inicial del elemento en fuerzas globales como se muestra en la siguiente figura. 
 
 
 
 
 
 
Repitiendo esta descomposición de fuerzas locales en globales para el nodo final del 
elemento tenemos 
 
 
Nuevamente tenemos que las fuerzas aplicadas sobre el eje z’ son las mismas que las 
aplicadas sobre el eje z debido a que los dos ejes tienen la misma dirección teniendo 
 
 
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Escribiendo en forma matricial queda 
 
 
 
En forma simplificada 
 
㕄 = 𝑇𝑇𝑞 
Dónde 𝑇𝑇 es la matriz de transformación de fuerzas 
 
Al igual que en la sección anterior definiremos la matriz global de rigideces mediante 
 
 
 
Teniendo nuevamente 𝑘 = 𝑇𝑡𝑘þ𝑇 solo que en este caso es 
 
 
 
La matriz de rigidez del elemento es de orden 6x6 y tras resolver la multiplicación 
matricial anterior queda como 
 
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Debe notarse que la matriz global de rigidez del elemento en coordenadas globales es una 
matriz simétrica. Por cada elemento se obtiene una matriz de rigidez global. Está matriz 
es del mismo orden que la matriz de rigidez global de la estructura, es de 3𝑛𝑥3𝑛 donde 𝑛 
es el número de nodos de la estructura, pero solo los 36 elementos mostrados en 𝑘 pueden 
llegar a ser diferentes de cero. Para poder identificar más fácilmente cuales son los grados 
de libertad afectados por cada elemento se acostumbra es escribir la matriz 𝑘 de la 
siguiente manera [1] 
 
 
Una vez obtenida la matriz de rigidez elementan (orden 6𝑥6) se realiza un ensamblaje de 
acuerdo con los grados de libertad de cada nodo para obtener cada matriz elementan en 
forma global (orden 3𝑛𝑥3𝑛), posteriormente dichas matrices elementales en forma global 
son sumadas y se obtiene la matriz global de rigidez de la estructura. 
 
Una vez obtenida la matriz de rigidez global de la estructura se hace una reagrupación del 
sistema de ecuaciones simultáneas de acuerdo con los desplazamientos restringidos 
impuestos en la estructura teniendo 
 
 
 
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Hay que recordar que el vector 㕄𝑘 contiene las fuerzas en los nodos no restringidos de la 
estructura. 
 
En la siguiente figura se muestra la nomenclatura a usar para obtener el vector de cargasconocidas 㕄𝑘 para un elemento viga en 2D cargado a flexión y cortante. 
 
 
 
Reescribiendo las ecuaciones del sistema matricial planteado tenemos 
 
 
 
 
De la primera ecuación despejamos los desplazamientos no restringidos de la estructura 
 
 
 
 
y de la segunda ecuación obtenemos el vector de fuerzas desconocidas de la estructura 
㕄𝑢. Después obtenemos las fuerzas internas de cada elemento la estructura con la 
ecuación 
 
 
 
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Hasta este paso termina el análisis de la estructura e inicia el postproceso del modelo en 
el cual se pueden obtener otras cantidades de interés sobre la estructura como son: 
deformaciones, esfuerzos normales, esfuerzos cortantes, esfuerzos principales, esfuerzos 
de Von Mises o de Tresca entre otras. 
 
 
 
4. CONCLUSIONES 
 
- Se conocieron los elementos de vigas en dos y tres direcciones al igual que 
los criterios de convergencia y continuidad. 
 
- Se logró profundizar los conocimientos acerca de las vigas, que son 
elementos importantes que conforman la estructura de una edificación. 
 
- Se realizó la investigar de textos que cuenten con información importante 
acerca de los elementos de las vigas en dos y tres direcciones, y conocer sus 
criterios de convergencia y continuidad.