Centro masa - Eliane Melanie Lopez Atencia

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Centro de masa 
· Centro de masa de un sistema unidimensional
Considerar el sistema unidimensional, tal como se muestra en la siguiente figura, formado por una varilla (de masa despreciable) y las masas y .
Como se puede apreciar, la varilla tiene una longitud de un metro y se encuentra apoyada en el punto A. En un extremo se encuentra la masa y en el otro la masa a una distancia de 0.6 m y 0.4 de A, respectivamente. La varilla se encuentra en equilibrio lo cual implica que se cumple: 
()()=() (ley de la Palanca)
Se dice que el punto A sobre la varilla es el centro de masa del sistema unidimensional formado por las masas y la varilla. Cuando se tiene una masa en cada uno de los extremos de una varilla, ¿cómo se determina el centro de masa del sistema? En otras palabras, ¿dónde debe estar el punto sobre la varilla para que se logre el equilibrio del sistema?
Considérese el eje horizontal como eje de referencia y la varilla a lo largo de este, como se muestra en la siguiente figura:
Tal como se indicó anteriormente, para que el sistema en cuestión se encuentre en equilibrio se debe cumplir:
De esta última igualdad se puede despejar que representa el centro de masa del sistema, es decir,
Ejemplo 1 
Encontrar el centro de masa del siguiente sistema. 
En este ejercicio, el centro de masa del sistema formado por las tres partículas se obtiene al utilizar la información conocida en la expresión : 
Esto es: 
Considerando lo anterior:
En donde M es conocido como el momento del sistema con respecto del origen.
Ejemplo 2 
Calcular la posición del centro de masas de la siguiente placa suponiendo que su masa está uniformemente distribuida por toda ella:
En primer lugar, y antes de iniciar los cálculos del C.M., vamos a determinar el valor de las constantes m y k para las dos curvas. Para tenemos que , con lo que deducimos que
Las dos curvas vienen dadas por lo tanto por las ecuaciones:
Para calcular la coordenada x del C.M. será conveniente dividir la placa en diferenciales de área cuyos puntos posean una coordenada x la misma para todos ellos. Vamos por lo tanto a dividir la placa en bandas verticales de espesor . El área de cada banda será:
	
El área de toda la placa será por lo tanto:
La coordenada x del C.M. será:
Para calcular la coordenada y del C.M. sería conveniente dividir la placa en diferenciales de área cuyos puntos poseyeran una coordenada y la misma para todos ellos, es decir en bandas horizontales de espesor , sin embargo podemos aprovechar los mismos diferenciales de área del cálculo anterior. Si asimilamos cada banda vertical a un segmento vertical homogéneo de longitud , y sabiendo que la posición que representa en cierta forma a dicho segmento es la posición de su centro de masas que se encuentra a mitad de altura, podemos tomar dicha posición como la posición representativa de la banda:
Manos a la Obra
1. Determinar el centro de masa de una placa delgada con densidad constante, cuya superficie está delimitada y el eje x del plano cartesiano (y =0).
2. Encontrar el centro de masa del sistema formado por tres masas representadas puntualmente sobre la recta 
3. Encuentre el centro de masa del sistema formado por las masas puntuales que se encuentran localizadas en un plano cartesiano, en los puntos respectivamente.
4. Para la lámina que se muestra en la figura (con densidad constante), determinar las coordenadas de su centro de masa.