Ejemplo - Método de las fuerzas - Análisis Estructural I

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CALCULO DE DESPLAZAMIENTOS EN UN PORTICO ISOSTATICO: 
 P = 10 KN B w = 2 KN/m 
 E C 
 a = 2.5 m 
 H = 3 m h = 2 m 
 D 
 
 A 
 
 L = 5 m 
SE PIDE CALCULAR EL DESPLAZAMIENTO DEL NUDO A. PARA ELLO PRIMERO SE CALCULAN LAS 
REACCIONES. EN A: AY, EN D: DY, DX 
 
∑MD = 0 (en sentido horario): 5*Ay + 2*10 - 2*2.5*(5 - 2.5/2) = 0; Ay = -0.25 
∑H = 0: Dx = 10 
∑V = 0: Ay + Dy = 5; Dy = 5.25 
SE APLICARA UNA CARGA UNITARIA HORIZONTAL EN EL NUDO A: 
 
 
1/5 
1 
1/5 
OBTENIENDO LAS FUNCIONES M, m PARA EL: 
TRAMO AB: 0 ≤ x < 3 
M = 0 
V = 0 
N = 0.25 
m = -x 
 
TRAMO BE: 0 ≤ x < 2.5 
M = -0.25x - x2 
V = -0.25 - 2x 
N = -10 
m = -3 
 
TRAMO DC: 0 ≤ x < 2 
M = -10x 
V = 10 
N = -5.25 
m = -x 
 
TRAMO CE: 0 ≤ x < 2.5 
M = -20 + 5.25x 
V = -5.25 
N = -10 
m = -2 - x/5 
 
RESOLVIENDO LAS INTEGRALES CON MAPLE: 
δ = 118.85/EI 
 
GRAFICANDO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(4)(4)
(7)(7)
(8)(8)
(3)(3)
(5)(5)
(1)(1)
(9)(9)
(10)(10)
(6)(6)
(2)(2)
17.96875000
26.66666667
74.21875000
118.8541667
CALCULO DE LAS REACCIONES EN UNA VIGA HIPERESTATICA:
 
SE VA A UTILIZAR EL METODO DE LAS FUERZAS. SE PUEDE RECONOCER QUE ES UNA VIGA 
HIPERESTATICA DE GRADO 2. LAS ECUACIONES A EMPLEAR SON LAS SIGUIENTES: 
 
PARA ELLO, PRIMERO SE CONVIERTE LA VIGA HIPERESTATICA EN UNA ISOSTATICA RETIRANDO 
LAS REACCIONES HIPERESTATICAS EN B Y C. 
 
PARA UNA VIGA ISOSTATICA COMO LA MOSTRADA, DE LONGITUD L, CON UNA CARGA 
CONCENTRADA P1 ACTUANDO A UNA DISTANCIA a1 , b1. SE VA A RECURRIR AL METODO DE LA 
CARGA ELASTICA PARA HALLAR LA DEFLEXION EN EL APOYO B, Y LUEGO EN C. 
 
PARA SUMAR LOS EFECTOS DE LAS DEMAS CARGAS SE PROCEDE CON LA SUPERPOSICION. 
AHORA, LA VIGA ESTA CARGADA CON UNA FUERZA DISTRIBUIDA DE FORMA TRIANGULAR. LOS 
CORTANTES SON GIROS Y EL PRODUCTO DE CORTANTES POR DISTANCIAS SON DEFLEXIONES. 
LAS RESULTANTES DE FUERZAS DISTRIBUIDAS TRIANGULARES ES BASE*ALTURA/2 Y EL PUNTO 
DE APLICACIÓN ESTA A 1/3 DE LA BASE, MEDIDO DESDE EL LADO RECTO. LA ALTURA DEL 
TRIANGULO DE FUERZAS DISTRIBUIDAS ES M/EI DONDE M=Pab/L. 
 
PARA EL PRIMER TRIANGULO DE FUERZAS R1 = (a*M/EI)/2; PARA EL SEGUNDO TRIANGULO R2 = 
(b*M/EI)/2. EL GIRO EN A SERA, DEBIDO A LA ACCION DEL PRIMER TRIANGULO DE FURZAS: 
θA = R1*(L - 2a/3)/L 
 
 
Y DEBIDO AL SEGUNDO TRIANGULO DE FUERZAS: R2*(2b/3)/L. QUEDANDO ENTONCES: 
θA = R1*(L - 2a/3)/L + R2*(2b/3)/L 
θD = (R1 + R2) - θA 
 
LA DEFLEXION EN B, SE OBTINE CON LA SIGUIENTE EXPRESION: 
δB = θD*(L2 + L3) - MB*(L2 + L3)2/6 
 
LA DEFLEXION EN B, SE OBTINE CON LA SIGUIENTE EXPRESION: 
δC = θD*(L3) - MC*(L3)2/6 
 
 
DONDE, MB ES EL MOMENTO FLECTOR EN B, Y MC ES EL MOMENTO FLECTOR EN C, QUE PUEDEN 
HALLARSE POR SEMEJANZA DE TRIANGULOS: M/b = MB/(L2 + L3) = MC/(L3) 
LA DEFLEXION EN B ASI HALLADA CORRESPONDE A LA CARGA P1 POR LO QUE SE REPITE EL 
PROCEDIMIENTO PARA CADA UNA DE LAS CARGAS ACTUANTES REALES. 
EL METODO DE LAS FUERZAS REQUIRE TAMBIEN EL CALCULO DE DEFLEXIONES EN EL PUNTO B 
DEBIDO A UNA CARGA UNITARIA APLICADA EN C: δbc = δcb. ADEMAS DE DEFLEXIONES EN EL 
PUNTO B, DEBIDO A UNA CARGA APLICADAS EN B: δbb . IDENTICO PARA C: δcc 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DATOS: 
L = 30 
L1 = 9 L2 = 12 L3 = 9 
P1 = 135 a1 = 4.5 b1 = 25.5 
P2 = 270 a2 = 18 b2 = 12 
P3 = 180 a3 = 24 b3 = 6 
 
SOLUCION PARA EL PROBLEMA COMPLETO: 
LA MATRIZ DE COEFICIENTES ES: 
 
EL SEGUNDO MIEMBRO: 
 
RESOLVIENDO EL SISTEMA DE ECUACIONES 2X2: 
VB = 144.38 VC = 377.67 
 
CON ESTATICA: 
VA = 44.38 VD = 18.57