Clase_5-2023-con anotaciones - Cristian Nolasco (1)

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Matemática para Informática
LAS-TUP
Prof. Clara Pamela Perez1
1Facultad de Ciencias Exactas
Universidad Nacional de Salta
Clase N°5
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 1 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Índice
1 Ecuaciones e Inecuaciones
Ecuaciones Polinómicas
Ecuaciones Racionales
Ecuaciones radicales
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 2 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ecuaciones polinómicas
Definición
Una ecuación polinomica de grado n es una ecuación de la forma:
anxn + an−1xn−1 + . . . + a2x2 + a1x1 + a0 = 0 (1)
con an 6= 0 donde n es un número entero no negativo y ai ∈ R para todo
i = 1, 2, ..., n,
La solución de una ecuación polinómica se llama raíz de la ecuación.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 3 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ecuaciones polinómicas
Definición
Una ecuación polinomica de grado n es una ecuación de la forma:
anxn + an−1xn−1 + . . . + a2x2 + a1x1 + a0 = 0 (1)
con an 6= 0 donde n es un número entero no negativo y ai ∈ R para todo
i = 1, 2, ..., n,
La solución de una ecuación polinómica se llama raíz de la ecuación.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 3 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ecuaciones polinómicas
Definición
Una ecuación polinomica de grado n es una ecuación de la forma:
anxn + an−1xn−1 + . . . + a2x2 + a1x1 + a0 = 0 (1)
con an 6= 0 donde n es un número entero no negativo y ai ∈ R para todo
i = 1, 2, ..., n,
La solución de una ecuación polinómica se llama raíz de la ecuación.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 3 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ecuaciones polinómicas
Definición
Una ecuación polinomica de grado n es una ecuación de la forma:
anxn + an−1xn−1 + . . . + a2x2 + a1x1 + a0 = 0 (1)
con an 6= 0 donde n es un número entero no negativo y ai ∈ R para todo
i = 1, 2, ..., n,
La solución de una ecuación polinómica se llama raíz de la ecuación.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 3 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ecuaciones polinómicas
Definición
Una ecuación polinomica de grado n es una ecuación de la forma:
anxn + an−1xn−1 + . . . + a2x2 + a1x1 + a0 = 0 (1)
con an 6= 0 donde n es un número entero no negativo y ai ∈ R para todo
i = 1, 2, ..., n,
La solución de una ecuación polinómica se llama raíz de la ecuación.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 3 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ecuaciones polinómicas
Definición
Una ecuación polinomica de grado n es una ecuación de la forma:
anxn + an−1xn−1 + . . . + a2x2 + a1x1 + a0 = 0 (1)
con an 6= 0 donde n es un número entero no negativo y ai ∈ R para todo
i = 1, 2, ..., n,
La solución de una ecuación polinómica se llama raíz de la ecuación.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 3 / 48
Highlight
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ecuación de Lineales
Definición
Una ecuación lineal o polinómicas de primer grado, en la variable “x” es una
ecuación que puede expresarse en su forma general:
ax + b = 0
donde a, b ∈ R y a 6= 0.
Ecuaciones en la forma Ax = B
Nos interesan aquellas ecuaciones que pueden reducirse a la forma lineal; más
precisamente aquellas que pueden reducirse a la forma Ax = B, donde A y B son
números reales. Sin embargo se debe tener en cuenta para determinar su solución
el dominio de la misma, y por otro lado que:
Si A 6= 0,
La ecuación Ax = B tiene solución única, el conjunto solución de esta
ecuación es
CS =
{
B
A
}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 4 / 48
Highlight
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ecuación de Lineales
Definición
Una ecuación lineal o polinómicas de primer grado, en la variable “x” es una
ecuación que puede expresarse en su forma general:
ax + b = 0
donde a, b ∈ R y a 6= 0.
Ecuaciones en la forma Ax = B
Nos interesan aquellas ecuaciones que pueden reducirse a la forma lineal; más
precisamente aquellas que pueden reducirse a la forma Ax = B, donde A y B son
números reales. Sin embargo se debe tener en cuenta para determinar su solución
el dominio de la misma, y por otro lado que:
Si A 6= 0,
La ecuación Ax = B tiene solución única, el conjunto solución de esta
ecuación es
CS =
{
B
A
}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 4 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ecuación de Lineales
Definición
Una ecuación lineal o polinómicas de primer grado, en la variable “x” es una
ecuación que puede expresarse en su forma general:
ax + b = 0
donde a, b ∈ R y a 6= 0.
Ecuaciones en la forma Ax = B
Nos interesan aquellas ecuaciones que pueden reducirse a la forma lineal; más
precisamente aquellas que pueden reducirse a la forma Ax = B, donde A y B son
números reales. Sin embargo se debe tener en cuenta para determinar su solución
el dominio de la misma, y por otro lado que:
Si A 6= 0,
La ecuación Ax = B tiene solución única, el conjunto solución de esta
ecuación es
CS =
{
B
A
}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 4 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ecuación de Lineales
Definición
Una ecuación lineal o polinómicas de primer grado, en la variable “x” es una
ecuación que puede expresarse en su forma general:
ax + b = 0
donde a, b ∈ R y a 6= 0.
Ecuaciones en la forma Ax = B
Nos interesan aquellas ecuaciones que pueden reducirse a la forma lineal; más
precisamente aquellas que pueden reducirse a la forma Ax = B, donde A y B son
números reales. Sin embargo se debe tener en cuenta para determinar su solución
el dominio de la misma, y por otro lado que:
Si A 6= 0,
La ecuación Ax = B tiene solución única, el conjunto solución de esta
ecuación es
CS =
{
B
A
}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 4 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ecuación de Lineales
Definición
Una ecuación lineal o polinómicas de primer grado, en la variable “x” es una
ecuación que puede expresarse en su forma general:
ax + b = 0
donde a, b ∈ R y a 6= 0.
Ecuaciones en la forma Ax = B
Nos interesan aquellas ecuaciones que pueden reducirse a la forma lineal; más
precisamente aquellas que pueden reducirse a la forma Ax = B, donde A y B son
números reales. Sin embargo se debe tener en cuenta para determinar su solución
el dominio de la misma, y por otro lado que:
Si A 6= 0,
La ecuación Ax = B tiene solución única, el conjunto solución de esta
ecuación es
CS =
{
B
A
}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 4 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ecuación de Lineales
Definición
Una ecuación lineal o polinómicas de primer grado, en la variable “x” es una
ecuación que puede expresarse en su forma general:
ax + b = 0
donde a, b ∈ R y a 6= 0.
Ecuaciones en la forma Ax = B
Nos interesan aquellas ecuaciones que pueden reducirse a la forma lineal; más
precisamente aquellas que pueden reducirse a la forma Ax = B, donde A y B son
números reales. Sin embargo se debe tener en cuenta para determinar su solución
el dominio de la misma, y por otro lado que:
Si A 6= 0,
La ecuación Ax = B tiene solución única, el conjunto solución de esta
ecuación es
CS =
{
B
A
}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 4 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ecuación de Lineales
Definición
Una ecuación lineal o polinómicas de primer grado, en la variable “x” es una
ecuación que puede expresarse en su forma general:
ax + b = 0
donde a, b ∈ R y a 6= 0.
Ecuaciones en la forma Ax = B
Nos interesan aquellas ecuaciones que pueden reducirse a la forma lineal; más
precisamente aquellas que pueden reducirse a la forma Ax = B, donde A y B son
números reales. Sin embargo se debe tener en cuenta para determinar su solución
el dominio de la misma, y por otro lado que:
Si A 6= 0,
La ecuación Ax = B tiene solución única, el conjunto solución de esta
ecuación es
CS =
{
B
A
}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 4 / 48
Highlight
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ecuación de Lineales
Definición
Una ecuación lineal o polinómicas de primer grado, en la variable “x” es una
ecuación que puede expresarse en su forma general:
ax + b = 0donde a, b ∈ R y a 6= 0.
Ecuaciones en la forma Ax = B
Nos interesan aquellas ecuaciones que pueden reducirse a la forma lineal; más
precisamente aquellas que pueden reducirse a la forma Ax = B, donde A y B son
números reales. Sin embargo se debe tener en cuenta para determinar su solución
el dominio de la misma, y por otro lado que:
Si A 6= 0,
La ecuación Ax = B tiene solución única, el conjunto solución de esta
ecuación es
CS =
{
B
A
}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 4 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ecuación de Lineales
Definición
Una ecuación lineal o polinómicas de primer grado, en la variable “x” es una
ecuación que puede expresarse en su forma general:
ax + b = 0
donde a, b ∈ R y a 6= 0.
Ecuaciones en la forma Ax = B
Nos interesan aquellas ecuaciones que pueden reducirse a la forma lineal; más
precisamente aquellas que pueden reducirse a la forma Ax = B, donde A y B son
números reales. Sin embargo se debe tener en cuenta para determinar su solución
el dominio de la misma, y por otro lado que:
Si A 6= 0,
La ecuación Ax = B tiene solución única, el conjunto solución de esta
ecuación es
CS =
{
B
A
}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 4 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ecuación de Lineales
Definición
Una ecuación lineal o polinómicas de primer grado, en la variable “x” es una
ecuación que puede expresarse en su forma general:
ax + b = 0
donde a, b ∈ R y a 6= 0.
Ecuaciones en la forma Ax = B
Nos interesan aquellas ecuaciones que pueden reducirse a la forma lineal; más
precisamente aquellas que pueden reducirse a la forma Ax = B, donde A y B son
números reales. Sin embargo se debe tener en cuenta para determinar su solución
el dominio de la misma, y por otro lado que:
Si A 6= 0,
La ecuación Ax = B tiene solución única, el conjunto solución de esta
ecuación es
CS =
{
B
A
}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 4 / 48
Highlight
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Si A = 0, nos queda una igualdad de la forma 0x = B. Esta igualdad
puede ser verdadera o falsa dependiendo del valor de B.
En el caso que B = 0, la igualdad es verdadera y se satisface para
cualquier valor de x . Decimos entonces que el conjunto solución son
todos los números reales, es decir:
CS = R
En el caso que B 6= 0, la igualdad es falsa y la ecuación no se
satisface para ningún valor de x . Decimos entonces que el conjunto
solución es vacío, es decir:
CS = ∅
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 5 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Si A = 0, nos queda una igualdad de la forma 0x = B. Esta igualdad
puede ser verdadera o falsa dependiendo del valor de B.
En el caso que B = 0, la igualdad es verdadera y se satisface para
cualquier valor de x . Decimos entonces que el conjunto solución son
todos los números reales, es decir:
CS = R
En el caso que B 6= 0, la igualdad es falsa y la ecuación no se
satisface para ningún valor de x . Decimos entonces que el conjunto
solución es vacío, es decir:
CS = ∅
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Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Si A = 0, nos queda una igualdad de la forma 0x = B. Esta igualdad
puede ser verdadera o falsa dependiendo del valor de B.
En el caso que B = 0, la igualdad es verdadera y se satisface para
cualquier valor de x . Decimos entonces que el conjunto solución son
todos los números reales, es decir:
CS = R
En el caso que B 6= 0, la igualdad es falsa y la ecuación no se
satisface para ningún valor de x . Decimos entonces que el conjunto
solución es vacío, es decir:
CS = ∅
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 5 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Si A = 0, nos queda una igualdad de la forma 0x = B. Esta igualdad
puede ser verdadera o falsa dependiendo del valor de B.
En el caso que B = 0, la igualdad es verdadera y se satisface para
cualquier valor de x . Decimos entonces que el conjunto solución son
todos los números reales, es decir:
CS = R
En el caso que B 6= 0, la igualdad es falsa y la ecuación no se
satisface para ningún valor de x . Decimos entonces que el conjunto
solución es vacío, es decir:
CS = ∅
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Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Si A = 0, nos queda una igualdad de la forma 0x = B. Esta igualdad
puede ser verdadera o falsa dependiendo del valor de B.
En el caso que B = 0, la igualdad es verdadera y se satisface para
cualquier valor de x . Decimos entonces que el conjunto solución son
todos los números reales, es decir:
CS = R
En el caso que B 6= 0, la igualdad es falsa y la ecuación no se
satisface para ningún valor de x . Decimos entonces que el conjunto
solución es vacío, es decir:
CS = ∅
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Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Si A = 0, nos queda una igualdad de la forma 0x = B. Esta igualdad
puede ser verdadera o falsa dependiendo del valor de B.
En el caso que B = 0, la igualdad es verdadera y se satisface para
cualquier valor de x . Decimos entonces que el conjunto solución son
todos los números reales, es decir:
CS = R
En el caso que B 6= 0, la igualdad es falsa y la ecuación no se
satisface para ningún valor de x . Decimos entonces que el conjunto
solución es vacío, es decir:
CS = ∅
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La ec tiene IS
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Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Si A = 0, nos queda una igualdad de la forma 0x = B. Esta igualdad
puede ser verdadera o falsa dependiendo del valor de B.
En el caso que B = 0, la igualdad es verdadera y se satisface para
cualquier valor de x . Decimos entonces que el conjunto solución son
todos los números reales, es decir:
CS = R
En el caso que B 6= 0, la igualdad es falsa y la ecuación no se
satisface para ningún valor de x . Decimos entonces que el conjunto
solución es vacío, es decir:
CS = ∅
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Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Si A = 0, nos queda una igualdad de la forma 0x = B. Esta igualdad
puede ser verdadera o falsa dependiendo del valor de B.
En el caso que B = 0, la igualdad es verdadera y se satisface para
cualquier valor de x . Decimos entonces que el conjunto solución son
todos los números reales, es decir:
CS = R
En el caso que B 6= 0, la igualdad es falsa y la ecuación no se
satisface para ningún valor de x . Decimos entonces que el conjunto
solución es vacío, es decir:
CS = ∅
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 5 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Si A = 0, nos queda una igualdad de la forma 0x = B. Esta igualdad
puede ser verdadera o falsa dependiendo del valor de B.
En el caso que B = 0, la igualdad es verdadera y se satisface para
cualquier valor de x . Decimos entonces que el conjunto solución son
todos los números reales, es decir:
CS = R
En el caso que B 6= 0, la igualdad es falsa y la ecuación no se
satisface para ningún valor de x . Decimos entonces que el conjunto
solución es vacío, es decir:
CS = ∅
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Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Sea:
5
x − 4 =
6
x − 3
Dado que el denominador no puede anularse, se tendrá: x 6= 4 y x 6= 3, con lo cual se
determina que el dominio es:
Dom = R− {4, 3}
Operando algebraicamente;
5
x − 4 −
6
x − 3 = 0
5(x − 3)− 6(x − 4)
(x − 4)(x − 3) = 0
5(x − 3)− 6(x − 4) = 0
5x − 15− 6x + 24 = 0
5x − 6x = 15− 24
− x = −9
x = 9
De donde C1 = {9}. Dado que 9 es distinto de 4 y de 3 entonces CS = {9}.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 6 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Sea:
5
x − 4 =
6
x − 3
Dado que el denominador no puede anularse, se tendrá: x 6= 4 y x 6= 3, con lo cual se
determina que el dominio es:
Dom = R− {4, 3}
Operando algebraicamente;
5
x − 4 −
6
x − 3 = 0
5(x − 3)− 6(x − 4)
(x − 4)(x − 3) = 0
5(x − 3)− 6(x − 4) = 0
5x − 15− 6x + 24 = 0
5x − 6x = 15− 24
− x = −9
x = 9
De donde C1 = {9}. Dado que 9 es distinto de 4 y de 3 entonces CS = {9}.C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 6 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Sea:
5
x − 4 =
6
x − 3
Dado que el denominador no puede anularse, se tendrá: x 6= 4 y x 6= 3, con lo cual se
determina que el dominio es:
Dom = R− {4, 3}
Operando algebraicamente;
5
x − 4 −
6
x − 3 = 0
5(x − 3)− 6(x − 4)
(x − 4)(x − 3) = 0
5(x − 3)− 6(x − 4) = 0
5x − 15− 6x + 24 = 0
5x − 6x = 15− 24
− x = −9
x = 9
De donde C1 = {9}. Dado que 9 es distinto de 4 y de 3 entonces CS = {9}.
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Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Sea:
5
x − 4 =
6
x − 3
Dado que el denominador no puede anularse, se tendrá: x 6= 4 y x 6= 3, con lo cual se
determina que el dominio es:
Dom = R− {4, 3}
Operando algebraicamente;
5
x − 4 −
6
x − 3 = 0
5(x − 3)− 6(x − 4)
(x − 4)(x − 3) = 0
5(x − 3)− 6(x − 4) = 0
5x − 15− 6x + 24 = 0
5x − 6x = 15− 24
− x = −9
x = 9
De donde C1 = {9}. Dado que 9 es distinto de 4 y de 3 entonces CS = {9}.
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Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Sea:
5
x − 4 =
6
x − 3
Dado que el denominador no puede anularse, se tendrá: x 6= 4 y x 6= 3, con lo cual se
determina que el dominio es:
Dom = R− {4, 3}
Operando algebraicamente;
5
x − 4 −
6
x − 3 = 0
5(x − 3)− 6(x − 4)
(x − 4)(x − 3) = 0
5(x − 3)− 6(x − 4) = 0
5x − 15− 6x + 24 = 0
5x − 6x = 15− 24
− x = −9
x = 9
De donde C1 = {9}. Dado que 9 es distinto de 4 y de 3 entonces CS = {9}.
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Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Sea:
5
x − 4 =
6
x − 3
Dado que el denominador no puede anularse, se tendrá: x 6= 4 y x 6= 3, con lo cual se
determina que el dominio es:
Dom = R− {4, 3}
Operando algebraicamente;
5
x − 4 −
6
x − 3 = 0
5(x − 3)− 6(x − 4)
(x − 4)(x − 3) = 0
5(x − 3)− 6(x − 4) = 0
5x − 15− 6x + 24 = 0
5x − 6x = 15− 24
− x = −9
x = 9
De donde C1 = {9}. Dado que 9 es distinto de 4 y de 3 entonces CS = {9}.
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Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Sea:
5
x − 4 =
6
x − 3
Dado que el denominador no puede anularse, se tendrá: x 6= 4 y x 6= 3, con lo cual se
determina que el dominio es:
Dom = R− {4, 3}
Operando algebraicamente;
5
x − 4 −
6
x − 3 = 0
5(x − 3)− 6(x − 4)
(x − 4)(x − 3) = 0
5(x − 3)− 6(x − 4) = 0
5x − 15− 6x + 24 = 0
5x − 6x = 15− 24
− x = −9
x = 9
De donde C1 = {9}. Dado que 9 es distinto de 4 y de 3 entonces CS = {9}.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 6 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Sea:
5
x − 4 =
6
x − 3
Dado que el denominador no puede anularse, se tendrá: x 6= 4 y x 6= 3, con lo cual se
determina que el dominio es:
Dom = R− {4, 3}
Operando algebraicamente;
5
x − 4 −
6
x − 3 = 0
5(x − 3)− 6(x − 4)
(x − 4)(x − 3) = 0
5(x − 3)− 6(x − 4) = 0
5x − 15− 6x + 24 = 0
5x − 6x = 15− 24
− x = −9
x = 9
De donde C1 = {9}. Dado que 9 es distinto de 4 y de 3 entonces CS = {9}.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 6 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Sea:
5
x − 4 =
6
x − 3
Dado que el denominador no puede anularse, se tendrá: x 6= 4 y x 6= 3, con lo cual se
determina que el dominio es:
Dom = R− {4, 3}
Operando algebraicamente;
5
x − 4 −
6
x − 3 = 0
5(x − 3)− 6(x − 4)
(x − 4)(x − 3) = 0
5(x − 3)− 6(x − 4) = 0
5x − 15− 6x + 24 = 0
5x − 6x = 15− 24
− x = −9
x = 9
De donde C1 = {9}. Dado que 9 es distinto de 4 y de 3 entonces CS = {9}.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 6 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Sea:
5
x − 4 =
6
x − 3
Dado que el denominador no puede anularse, se tendrá: x 6= 4 y x 6= 3, con lo cual se
determina que el dominio es:
Dom = R− {4, 3}
Operando algebraicamente;
5
x − 4 −
6
x − 3 = 0
5(x − 3)− 6(x − 4)
(x − 4)(x − 3) = 0
5(x − 3)− 6(x − 4) = 0
5x − 15− 6x + 24 = 0
5x − 6x = 15− 24
− x = −9
x = 9
De donde C1 = {9}. Dado que 9 es distinto de 4 y de 3 entonces CS = {9}.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 6 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Sea:
5
x − 4 =
6
x − 3
Dado que el denominador no puede anularse, se tendrá: x 6= 4 y x 6= 3, con lo cual se
determina que el dominio es:
Dom = R− {4, 3}
Operando algebraicamente;
5
x − 4 −
6
x − 3 = 0
5(x − 3)− 6(x − 4)
(x − 4)(x − 3) = 0
5(x − 3)− 6(x − 4) = 0
5x − 15− 6x + 24 = 0
5x − 6x = 15− 24
− x = −9
x = 9
De donde C1 = {9}. Dado que 9 es distinto de 4 y de 3 entonces CS = {9}.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 6 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Sea:
5
x − 4 =
6
x − 3
Dado que el denominador no puede anularse, se tendrá: x 6= 4 y x 6= 3, con lo cual se
determina que el dominio es:
Dom = R− {4, 3}
Operando algebraicamente;
5
x − 4 −
6
x − 3 = 0
5(x − 3)− 6(x − 4)
(x − 4)(x − 3) = 0
5(x − 3)− 6(x − 4) = 0
5x − 15− 6x + 24 = 0
5x − 6x = 15− 24
− x = −9
x = 9
De donde C1 = {9}. Dado que 9 es distinto de 4 y de 3 entonces CS = {9}.
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Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Sea:
5
x − 4 =
6
x − 3
Dado que el denominador no puede anularse, se tendrá: x 6= 4 y x 6= 3, con lo cual se
determina que el dominio es:
Dom = R− {4, 3}
Operando algebraicamente;
5
x − 4 −
6
x − 3 = 0
5(x − 3)− 6(x − 4)
(x − 4)(x − 3) = 0
5(x − 3)− 6(x − 4) = 0
5x − 15− 6x + 24 = 0
5x − 6x = 15− 24
− x = −9
x = 9
De donde C1 = {9}. Dado que 9 es distinto de 4 y de 3 entonces CS = {9}.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 6 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Sea:
5
x − 4 =
6
x − 3
Dado que el denominador no puede anularse, se tendrá: x 6= 4 y x 6= 3, con lo cual se
determina que el dominio es:
Dom = R− {4, 3}
Operando algebraicamente;
5
x − 4 −
6
x − 3 = 0
5(x − 3)− 6(x − 4)
(x − 4)(x − 3) = 0
5(x − 3)− 6(x − 4) = 0
5x − 15− 6x + 24 = 0
5x − 6x = 15− 24
− x = −9
x = 9
De donde C1 = {9}. Dado que 9 es distinto de 4 y de 3 entonces CS = {9}.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 6 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Otra forma de resolver este tipo de ecuaciones la veremos en el siguiente
ejemplo.
Ejemplo
Sea:
4
x + 1 =
3
x − 1 donde Dom = R− {−1, 1}
Teniendo en cuenta que x 6= −1 y x 6= 1, entonces (x + 1) (x − 1) no se
hace cero y podemos multiplicar ambos lados por esta expresión. Luego:
4
(x + 1) (x + 1) (x − 1) =
3
(x − 1) (x + 1) (x − 1)
4 (x − 1) = 3 (x + 1)
4x − 4 = 3x + 3
4x = 3x + 7
x = 7
Luego, Cs = {7}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 7 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Otra forma de resolver este tipo de ecuaciones la veremos en el siguiente
ejemplo.
Ejemplo
Sea:
4
x + 1 =
3
x − 1 donde Dom = R− {−1, 1}
Teniendo en cuenta que x 6= −1 y x 6= 1, entonces (x + 1) (x − 1) no se
hace cero y podemos multiplicar ambos lados por esta expresión. Luego:
4
(x + 1) (x + 1) (x − 1) =
3
(x − 1) (x + 1) (x − 1)
4 (x − 1) = 3 (x + 1)
4x − 4 = 3x + 3
4x = 3x + 7
x = 7
Luego, Cs = {7}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 7 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Otra forma de resolver este tipo de ecuaciones la veremos en el siguiente
ejemplo.
Ejemplo
Sea:
4
x + 1 =
3
x − 1 donde Dom = R− {−1, 1}
Teniendo en cuenta que x 6= −1 y x 6= 1, entonces (x + 1) (x − 1) no se
hace cero y podemos multiplicar ambos lados por esta expresión. Luego:
4
(x + 1) (x + 1) (x − 1) =
3
(x − 1) (x + 1) (x − 1)
4 (x − 1) = 3 (x + 1)
4x − 4 = 3x + 3
4x = 3x + 7
x = 7
Luego, Cs = {7}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 7 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Otra forma de resolver este tipo de ecuaciones la veremos en el siguiente
ejemplo.
Ejemplo
Sea:
4
x + 1 =
3
x − 1 donde Dom = R− {−1, 1}
Teniendo en cuenta que x 6= −1 y x 6= 1, entonces (x + 1) (x − 1) no se
hace cero y podemos multiplicar ambos lados por esta expresión. Luego:
4
(x + 1) (x + 1) (x − 1) =
3
(x − 1) (x + 1) (x − 1)
4 (x − 1) = 3 (x + 1)
4x − 4 = 3x + 3
4x = 3x + 7
x = 7
Luego,Cs = {7}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 7 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Otra forma de resolver este tipo de ecuaciones la veremos en el siguiente
ejemplo.
Ejemplo
Sea:
4
x + 1 =
3
x − 1 donde Dom = R− {−1, 1}
Teniendo en cuenta que x 6= −1 y x 6= 1, entonces (x + 1) (x − 1) no se
hace cero y podemos multiplicar ambos lados por esta expresión. Luego:
4
(x + 1) (x + 1) (x − 1) =
3
(x − 1) (x + 1) (x − 1)
4 (x − 1) = 3 (x + 1)
4x − 4 = 3x + 3
4x = 3x + 7
x = 7
Luego, Cs = {7}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 7 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Otra forma de resolver este tipo de ecuaciones la veremos en el siguiente
ejemplo.
Ejemplo
Sea:
4
x + 1 =
3
x − 1 donde Dom = R− {−1, 1}
Teniendo en cuenta que x 6= −1 y x 6= 1, entonces (x + 1) (x − 1) no se
hace cero y podemos multiplicar ambos lados por esta expresión. Luego:
4
(x + 1) (x + 1) (x − 1) =
3
(x − 1) (x + 1) (x − 1)
4 (x − 1) = 3 (x + 1)
4x − 4 = 3x + 3
4x = 3x + 7
x = 7
Luego, Cs = {7}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 7 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Otra forma de resolver este tipo de ecuaciones la veremos en el siguiente
ejemplo.
Ejemplo
Sea:
4
x + 1 =
3
x − 1 donde Dom = R− {−1, 1}
Teniendo en cuenta que x 6= −1 y x 6= 1, entonces (x + 1) (x − 1) no se
hace cero y podemos multiplicar ambos lados por esta expresión. Luego:
4
(x + 1) (x + 1) (x − 1) =
3
(x − 1) (x + 1) (x − 1)
4 (x − 1) = 3 (x + 1)
4x − 4 = 3x + 3
4x = 3x + 7
x = 7
Luego, Cs = {7}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 7 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Otra forma de resolver este tipo de ecuaciones la veremos en el siguiente
ejemplo.
Ejemplo
Sea:
4
x + 1 =
3
x − 1 donde Dom = R− {−1, 1}
Teniendo en cuenta que x 6= −1 y x 6= 1, entonces (x + 1) (x − 1) no se
hace cero y podemos multiplicar ambos lados por esta expresión. Luego:
4
(x + 1) (x + 1) (x − 1) =
3
(x − 1) (x + 1) (x − 1)
4 (x − 1) = 3 (x + 1)
4x − 4 = 3x + 3
4x = 3x + 7
x = 7
Luego, Cs = {7}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 7 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Otra forma de resolver este tipo de ecuaciones la veremos en el siguiente
ejemplo.
Ejemplo
Sea:
4
x + 1 =
3
x − 1 donde Dom = R− {−1, 1}
Teniendo en cuenta que x 6= −1 y x 6= 1, entonces (x + 1) (x − 1) no se
hace cero y podemos multiplicar ambos lados por esta expresión. Luego:
4
(x + 1) (x + 1) (x − 1) =
3
(x − 1) (x + 1) (x − 1)
4 (x − 1) = 3 (x + 1)
4x − 4 = 3x + 3
4x = 3x + 7
x = 7
Luego, Cs = {7}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 7 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Otra forma de resolver este tipo de ecuaciones la veremos en el siguiente
ejemplo.
Ejemplo
Sea:
4
x + 1 =
3
x − 1 donde Dom = R− {−1, 1}
Teniendo en cuenta que x 6= −1 y x 6= 1, entonces (x + 1) (x − 1) no se
hace cero y podemos multiplicar ambos lados por esta expresión. Luego:
4
(x + 1) (x + 1) (x − 1) =
3
(x − 1) (x + 1) (x − 1)
4 (x − 1) = 3 (x + 1)
4x − 4 = 3x + 3
4x = 3x + 7
x = 7
Luego, Cs = {7}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 7 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Otra forma de resolver este tipo de ecuaciones la veremos en el siguiente
ejemplo.
Ejemplo
Sea:
4
x + 1 =
3
x − 1 donde Dom = R− {−1, 1}
Teniendo en cuenta que x 6= −1 y x 6= 1, entonces (x + 1) (x − 1) no se
hace cero y podemos multiplicar ambos lados por esta expresión. Luego:
4
(x + 1) (x + 1) (x − 1) =
3
(x − 1) (x + 1) (x − 1)
4 (x − 1) = 3 (x + 1)
4x − 4 = 3x + 3
4x = 3x + 7
x = 7
Luego, Cs = {7}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 7 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
La importancia de tener en cuenta el dominio se muestra en el siguiente
ejemplo.
Sea :
3x
x − 3 = 1 +
9
x − 3 donde Dom = R− {3}
Multiplicamos ambos lados por x − 3 y simplificamos.
3x
(x − 3) (x − 3) =
(
1 + 9x − 3
)
(x − 3)
3x = x − 3 + 9
3x = x + 6
2x = 6
x = 3
Sin embargo 3 /∈ Dom. Luego Cs = ∅.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 8 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
La importancia de tener en cuenta el dominio se muestra en el siguiente
ejemplo.
Sea :
3x
x − 3 = 1 +
9
x − 3 donde Dom = R− {3}
Multiplicamos ambos lados por x − 3 y simplificamos.
3x
(x − 3) (x − 3) =
(
1 + 9x − 3
)
(x − 3)
3x = x − 3 + 9
3x = x + 6
2x = 6
x = 3
Sin embargo 3 /∈ Dom. Luego Cs = ∅.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 8 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
La importancia de tener en cuenta el dominio se muestra en el siguiente
ejemplo.
Sea :
3x
x − 3 = 1 +
9
x − 3 donde Dom = R− {3}
Multiplicamos ambos lados por x − 3 y simplificamos.
3x
(x − 3) (x − 3) =
(
1 + 9x − 3
)
(x − 3)
3x = x − 3 + 9
3x = x + 6
2x = 6
x = 3
Sin embargo 3 /∈ Dom. Luego Cs = ∅.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 8 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
La importancia de tener en cuenta el dominio se muestra en el siguiente
ejemplo.
Sea :
3x
x − 3 = 1 +
9
x − 3 donde Dom = R− {3}
Multiplicamos ambos lados por x − 3 y simplificamos.
3x
(x − 3) (x − 3) =
(
1 + 9x − 3
)
(x − 3)
3x = x − 3 + 9
3x = x + 6
2x = 6
x = 3
Sin embargo 3 /∈ Dom. Luego Cs = ∅.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 8 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
La importancia de tener en cuenta el dominio se muestra en el siguiente
ejemplo.
Sea :
3x
x − 3 = 1 +
9
x − 3 donde Dom = R− {3}
Multiplicamos ambos lados por x − 3 y simplificamos.
3x
(x − 3) (x − 3) =
(
1 + 9x − 3
)
(x − 3)
3x = x − 3 + 9
3x = x + 6
2x = 6
x = 3
Sin embargo 3 /∈ Dom. Luego Cs = ∅.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 8 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
La importancia de tener en cuenta el dominio se muestra en el siguiente
ejemplo.
Sea :
3x
x − 3 = 1 +
9
x − 3 donde Dom = R− {3}
Multiplicamos ambos lados por x − 3 y simplificamos.
3x
(x − 3) (x − 3) =
(
1 + 9x − 3
)
(x − 3)
3x = x − 3 + 9
3x = x + 6
2x = 6
x = 3
Sin embargo 3 /∈ Dom. Luego Cs = ∅.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 8 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
La importancia de tener en cuenta el dominio se muestra en el siguiente
ejemplo.
Sea :
3x
x − 3 = 1 +
9
x − 3 donde Dom = R− {3}
Multiplicamos ambos lados por x − 3 y simplificamos.
3x
(x − 3) (x − 3) =
(
1 + 9x − 3
)
(x − 3)
3x = x − 3 + 9
3x = x + 6
2x = 6
x = 3
Sin embargo 3 /∈ Dom. Luego Cs = ∅.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 8 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
La importancia de tener en cuenta el dominio se muestra en el siguiente
ejemplo.
Sea :
3x
x − 3 = 1 +
9
x − 3 donde Dom = R− {3}
Multiplicamos ambos lados por x − 3 y simplificamos.
3x
(x − 3) (x − 3) =
(
1 + 9x − 3
)
(x − 3)
3x = x − 3 + 9
3x = x + 6
2x = 6
x = 3
Sin embargo 3 /∈ Dom. Luego Cs = ∅.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 8 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
La importancia de tener en cuenta el dominio se muestra en el siguiente
ejemplo.
Sea :
3x
x − 3 = 1 +
9
x − 3 donde Dom = R− {3}
Multiplicamos ambos lados por x − 3 y simplificamos.
3x
(x − 3) (x − 3) =
(
1 + 9x − 3
)
(x − 3)
3x = x − 3 + 9
3x = x + 6
2x = 6
x = 3
Sin embargo 3 /∈ Dom. Luego Cs = ∅.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 8 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
La importancia de tener en cuenta el dominio se muestra en el siguiente
ejemplo.
Sea :
3x
x − 3 = 1 +
9
x − 3 donde Dom = R− {3}
Multiplicamos ambos lados por x − 3 y simplificamos.
3x
(x − 3) (x − 3) =
(
1 + 9x − 3
)
(x − 3)
3x = x − 3 + 9
3x = x + 6
2x = 6
x = 3
Sin embargo 3 /∈ Dom. Luego Cs = ∅.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 8 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Veamos a continuación algunos ejemplos donde la solución no es única.
Ejemplo
Sea :
4x + 1
2 =
6x + 2
3 donde Dom = R
Multiplicamos ambos lados por 6
64x + 12 = 6
6x + 2
3
3(4x + 1) = 2(6x + 2)
12x + 3 = 12x + 4
12x − 12x = 4− 3
0x = 1
De donde se deduce que Cs =∅.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 9 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Veamos a continuación algunos ejemplos donde la solución no es única.
Ejemplo
Sea :
4x + 1
2 =
6x + 2
3 donde Dom = R
Multiplicamos ambos lados por 6
64x + 12 = 6
6x + 2
3
3(4x + 1) = 2(6x + 2)
12x + 3 = 12x + 4
12x − 12x = 4− 3
0x = 1
De donde se deduce que Cs = ∅.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 9 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Veamos a continuación algunos ejemplos donde la solución no es única.
Ejemplo
Sea :
4x + 1
2 =
6x + 2
3 donde Dom = R
Multiplicamos ambos lados por 6
64x + 12 = 6
6x + 2
3
3(4x + 1) = 2(6x + 2)
12x + 3 = 12x + 4
12x − 12x = 4− 3
0x = 1
De donde se deduce que Cs = ∅.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 9 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Veamos a continuación algunos ejemplos donde la solución no es única.
Ejemplo
Sea :
4x + 1
2 =
6x + 2
3 donde Dom = R
Multiplicamos ambos lados por 6
64x + 12 = 6
6x + 2
3
3(4x + 1) = 2(6x + 2)
12x + 3 = 12x + 4
12x − 12x = 4− 3
0x = 1
De donde se deduce que Cs = ∅.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 9 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Veamos a continuación algunos ejemplos donde la solución no es única.
Ejemplo
Sea :
4x + 1
2 =
6x + 2
3 donde Dom = R
Multiplicamos ambos lados por 6
64x + 12 = 6
6x + 2
3
3(4x + 1) = 2(6x + 2)
12x + 3 = 12x + 4
12x − 12x = 4− 3
0x = 1
De donde se deduce que Cs = ∅.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 9 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Veamos a continuación algunos ejemplos donde la solución no es única.
Ejemplo
Sea :
4x + 1
2 =
6x + 2
3 donde Dom = R
Multiplicamos ambos lados por 6
64x + 12 = 6
6x + 2
3
3(4x + 1) = 2(6x + 2)
12x + 3 = 12x + 4
12x − 12x = 4− 3
0x = 1
De donde se deduce que Cs = ∅.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 9 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Veamos a continuación algunos ejemplos donde la solución no es única.
Ejemplo
Sea :
4x + 1
2 =
6x + 2
3 donde Dom = R
Multiplicamos ambos lados por 6
64x + 12 = 6
6x + 2
3
3(4x + 1) = 2(6x + 2)
12x + 3 = 12x + 4
12x − 12x = 4− 3
0x = 1
De donde se deduce que Cs = ∅.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 9 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Veamos a continuación algunos ejemplos donde la solución no es única.
Ejemplo
Sea :
4x + 1
2 =
6x + 2
3 donde Dom = R
Multiplicamos ambos lados por 6
64x + 12 = 6
6x + 2
3
3(4x + 1) = 2(6x + 2)
12x + 3 = 12x + 4
12x − 12x = 4− 3
0x = 1
De donde se deduce que Cs = ∅.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 9 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Veamos a continuación algunos ejemplos donde la solución no es única.
Ejemplo
Sea :
4x + 1
2 =
6x + 2
3 donde Dom = R
Multiplicamos ambos lados por 6
64x + 12 = 6
6x + 2
3
3(4x + 1) = 2(6x + 2)
12x + 3 = 12x + 4
12x − 12x = 4− 3
0x = 1
De donde se deduce que Cs = ∅.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 9 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Veamos a continuación algunos ejemplos donde la solución no es única.
Ejemplo
Sea :
4x + 1
2 =
6x + 2
3 donde Dom = R
Multiplicamos ambos lados por 6
64x + 12 = 6
6x + 2
3
3(4x + 1) = 2(6x + 2)
12x + 3 = 12x + 4
12x − 12x = 4− 3
0x = 1
De donde se deduce que Cs = ∅.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 9 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Veamos a continuación algunos ejemplos donde la solución no es única.
Ejemplo
Sea :
4x + 1
2 =
6x + 2
3 donde Dom = R
Multiplicamos ambos lados por 6
64x + 12 = 6
6x + 2
3
3(4x + 1) = 2(6x + 2)
12x + 3 = 12x + 4
12x − 12x = 4− 3
0x = 1
De donde se deduce que Cs = ∅.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 9 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Veamos a continuación algunos ejemplos donde la solución no es única.
Ejemplo
Sea :
4x + 1
2 =
6x + 2
3 donde Dom = R
Multiplicamos ambos lados por 6
64x + 12 = 6
6x + 2
3
3(4x + 1) = 2(6x + 2)
12x + 3 = 12x + 4
12x − 12x = 4− 3
0x = 1
De donde se deduce que Cs = ∅.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 9 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Sea :
6(x + 2) = 4(x + 3) + 2x donde Dom = R
Distribuyendo y operando algebraicamente
6x + 12 = 4x + 12 + 2x
6x − 4x − 2x = 12− 12
0x = 0
Que resulta una igualdad que es verdadera ∀x ∈ R, luego Cs = R.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 10 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Sea :
6(x + 2) = 4(x + 3) + 2x donde Dom = R
Distribuyendo y operando algebraicamente
6x + 12 = 4x + 12 + 2x
6x − 4x − 2x = 12− 12
0x = 0
Que resulta una igualdad que es verdadera ∀x ∈ R, luego Cs = R.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 10 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Sea :
6(x + 2) = 4(x + 3) + 2x donde Dom = R
Distribuyendo y operando algebraicamente
6x + 12 = 4x + 12 + 2x
6x − 4x − 2x = 12− 12
0x = 0
Que resulta una igualdad que es verdadera ∀x ∈ R, luego Cs = R.
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Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Sea :
6(x + 2) = 4(x + 3) + 2x donde Dom = R
Distribuyendo y operando algebraicamente
6x + 12 = 4x + 12 + 2x
6x − 4x − 2x = 12− 12
0x = 0
Que resulta una igualdad que es verdadera ∀x ∈ R, luego Cs = R.
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Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Sea :
6(x + 2) = 4(x + 3) + 2x donde Dom = R
Distribuyendo y operando algebraicamente
6x + 12 = 4x + 12 + 2x
6x − 4x − 2x = 12− 12
0x = 0
Que resulta una igualdad que es verdadera ∀x ∈ R, luego Cs = R.
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Highlight
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Sea :
6(x + 2) = 4(x + 3) + 2x donde Dom = R
Distribuyendo y operando algebraicamente
6x + 12 = 4x + 12 + 2x
6x − 4x − 2x = 12− 12
0x = 0
Que resulta una igualdad que es verdadera ∀x ∈ R, luego Cs = R.
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Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Sea :
6(x + 2) = 4(x + 3) + 2x donde Dom = R
Distribuyendo y operando algebraicamente
6x + 12 = 4x + 12 + 2x
6x − 4x − 2x = 12− 12
0x = 0
Que resulta una igualdad que es verdadera ∀x ∈ R, luego Cs = R.
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Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ecuaciones lineales con parámetros
Consideremos ahora aquellas ecuaciones que pueden reducirse a la forma
Ax = B, donde A y B son expresiones que dependen de parámetros.
Ejemplo
Analizar el valor del parámetro “k” para que la ecuación k2x + 1 = k + x
tenga:
i) Única solución ii) infinitas soluciones iii) ninguna solución
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 11 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ecuaciones lineales con parámetros
Consideremos ahora aquellas ecuaciones que pueden reducirse a la forma
Ax = B, donde A y B son expresiones que dependen de parámetros.
Ejemplo
Analizar el valor del parámetro “k” para que la ecuación k2x + 1 = k + x
tenga:
i) Única solución ii) infinitas soluciones iii) ninguna solución
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 11 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ecuaciones lineales con parámetros
Consideremos ahora aquellas ecuaciones que pueden reducirse a la forma
Ax = B, donde A y B son expresiones que dependen de parámetros.
Ejemplo
Analizar el valor del parámetro “k” para que la ecuación k2x + 1 = k + x
tenga:
i) Única solución ii) infinitas soluciones iii) ninguna solución
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 11 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ecuaciones lineales con parámetros
Consideremos ahora aquellas ecuaciones que pueden reducirse a la forma
Ax = B, donde A y B son expresiones que dependen de parámetros.
Ejemplo
Analizar el valor del parámetro “k” para que la ecuación k2x + 1 = k + x
tenga:
i) Única solución ii) infinitas soluciones iii) ninguna solución
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 11 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ecuaciones lineales con parámetrosConsideremos ahora aquellas ecuaciones que pueden reducirse a la forma
Ax = B, donde A y B son expresiones que dependen de parámetros.
Ejemplo
Analizar el valor del parámetro “k” para que la ecuación k2x + 1 = k + x
tenga:
i) Única solución ii) infinitas soluciones iii) ninguna solución
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 11 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ecuaciones lineales con parámetros
Consideremos ahora aquellas ecuaciones que pueden reducirse a la forma
Ax = B, donde A y B son expresiones que dependen de parámetros.
Ejemplo
Analizar el valor del parámetro “k” para que la ecuación k2x + 1 = k + x
tenga:
i) Única solución ii) infinitas soluciones iii) ninguna solución
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 11 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Solución:
En la ecuación k2x + 1 = k + x donde Dom = R, aplicando las
propiedades para llevarla a su mínima expresión (es decir despejar la
variable x). Lo que queremos es escribir la ecuación siguiendo la forma
Ax = B
k2x − x = k − 1
(k2 − 1)x = k − 1
(k − 1)(k + 1)x = (k − 1) (∗)
Ahora en nuestro caso A = (k + 1)(k − 1) y B = k − 1, estos valores no
ayudaran a determinar lo que se nos solicita.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 12 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Solución:
En la ecuación k2x + 1 = k + x donde Dom = R, aplicando las
propiedades para llevarla a su mínima expresión (es decir despejar la
variable x). Lo que queremos es escribir la ecuación siguiendo la forma
Ax = B
k2x − x = k − 1
(k2 − 1)x = k − 1
(k − 1)(k + 1)x = (k − 1) (∗)
Ahora en nuestro caso A = (k + 1)(k − 1) y B = k − 1, estos valores no
ayudaran a determinar lo que se nos solicita.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 12 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Solución:
En la ecuación k2x + 1 = k + x donde Dom = R, aplicando las
propiedades para llevarla a su mínima expresión (es decir despejar la
variable x). Lo que queremos es escribir la ecuación siguiendo la forma
Ax = B
k2x − x = k − 1
(k2 − 1)x = k − 1
(k − 1)(k + 1)x = (k − 1) (∗)
Ahora en nuestro caso A = (k + 1)(k − 1) y B = k − 1, estos valores no
ayudaran a determinar lo que se nos solicita.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 12 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Solución:
En la ecuación k2x + 1 = k + x donde Dom = R, aplicando las
propiedades para llevarla a su mínima expresión (es decir despejar la
variable x). Lo que queremos es escribir la ecuación siguiendo la forma
Ax = B
k2x − x = k − 1
(k2 − 1)x = k − 1
(k − 1)(k + 1)x = (k − 1) (∗)
Ahora en nuestro caso A = (k + 1)(k − 1) y B = k − 1, estos valores no
ayudaran a determinar lo que se nos solicita.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 12 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Solución:
En la ecuación k2x + 1 = k + x donde Dom = R, aplicando las
propiedades para llevarla a su mínima expresión (es decir despejar la
variable x). Lo que queremos es escribir la ecuación siguiendo la forma
Ax = B
k2x − x = k − 1
(k2 − 1)x = k − 1
(k − 1)(k + 1)x = (k − 1) (∗)
Ahora en nuestro caso A = (k + 1)(k − 1) y B = k − 1, estos valores no
ayudaran a determinar lo que se nos solicita.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 12 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Solución:
En la ecuación k2x + 1 = k + x donde Dom = R, aplicando las
propiedades para llevarla a su mínima expresión (es decir despejar la
variable x). Lo que queremos es escribir la ecuación siguiendo la forma
Ax = B
k2x − x = k − 1
(k2 − 1)x = k − 1
(k − 1)(k + 1)x = (k − 1) (∗)
Ahora en nuestro caso A = (k + 1)(k − 1) y B = k − 1, estos valores no
ayudaran a determinar lo que se nos solicita.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 12 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Solución:
En la ecuación k2x + 1 = k + x donde Dom = R, aplicando las
propiedades para llevarla a su mínima expresión (es decir despejar la
variable x). Lo que queremos es escribir la ecuación siguiendo la forma
Ax = B
k2x − x = k − 1
(k2 − 1)x = k − 1
(k − 1)(k + 1)x = (k − 1) (∗)
Ahora en nuestro caso A = (k + 1)(k − 1) y B = k − 1, estos valores no
ayudaran a determinar lo que se nos solicita.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 12 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Solución:
En la ecuación k2x + 1 = k + x donde Dom = R, aplicando las
propiedades para llevarla a su mínima expresión (es decir despejar la
variable x). Lo que queremos es escribir la ecuación siguiendo la forma
Ax = B
k2x − x = k − 1
(k2 − 1)x = k − 1
(k − 1)(k + 1)x = (k − 1) (∗)
Ahora en nuestro caso A = (k + 1)(k − 1) y B = k − 1, estos valores no
ayudaran a determinar lo que se nos solicita.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 12 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Solución:
En la ecuación k2x + 1 = k + x donde Dom = R, aplicando las
propiedades para llevarla a su mínima expresión (es decir despejar la
variable x). Lo que queremos es escribir la ecuación siguiendo la forma
Ax = B
k2x − x = k − 1
(k2 − 1)x = k − 1
(k − 1)(k + 1)x = (k − 1) (∗)
Ahora en nuestro caso A = (k + 1)(k − 1) y B = k − 1, estos valores no
ayudaran a determinar lo que se nos solicita.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 12 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Solución:
En la ecuación k2x + 1 = k + x donde Dom = R, aplicando las
propiedades para llevarla a su mínima expresión (es decir despejar la
variable x). Lo que queremos es escribir la ecuación siguiendo la forma
Ax = B
k2x − x = k − 1
(k2 − 1)x = k − 1
(k − 1)(k + 1)x = (k − 1) (∗)
Ahora en nuestro caso A = (k + 1)(k − 1) y B = k − 1, estos valores no
ayudaran a determinar lo que se nos solicita.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 12 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Solución:
En la ecuación k2x + 1 = k + x donde Dom = R, aplicando las
propiedades para llevarla a su mínima expresión (es decir despejar la
variable x). Lo que queremos es escribir la ecuación siguiendo la forma
Ax = B
k2x − x = k − 1
(k2 − 1)x = k − 1
(k − 1)(k + 1)x = (k − 1) (∗)
Ahora en nuestro caso A = (k + 1)(k − 1) y B = k − 1, estos valores no
ayudaran a determinar lo que se nos solicita.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 12 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Solución:
En la ecuación k2x + 1 = k + x donde Dom = R, aplicando las
propiedades para llevarla a su mínima expresión (es decir despejar la
variable x). Lo que queremos es escribir la ecuación siguiendo la forma
Ax = B
k2x − x = k − 1
(k2 − 1)x = k − 1
(k − 1)(k + 1)x = (k − 1) (∗)
Ahora en nuestro caso A = (k + 1)(k − 1) y B = k − 1, estos valores no
ayudaran a determinar lo que se nos solicita.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 12 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Si k 6= 1 ó k 6= −1 , estos son los valores del parámetro k que no
anulan el coeficiente de la variable x . Luego en (∗)
x = (k − 1)(k − 1)(k + 1) =
1
(k + 1)
la solución es única. CS =
{
1
k+1
}
.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 13 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Si k 6= 1 ó k 6= −1 , estos son los valores del parámetro k que no
anulan el coeficiente de la variable x . Luego en (∗)
x = (k − 1)(k − 1)(k + 1) =
1
(k + 1)
la solución es única. CS =
{
1
k+1
}
.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 13 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Si k 6= 1 ó k 6= −1 , estos son los valores del parámetro k que no
anulan el coeficiente de la variable x . Luego en (∗)
x = (k − 1)(k − 1)(k + 1) =
1
(k + 1)
la solución es única. CS =
{
1
k+1
}
.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 13 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Si k 6= 1 ó k 6= −1 , estos son los valores del parámetro k que no
anulan el coeficiente de la variable x . Luego en (∗)
x = (k − 1)(k − 1)(k + 1) =
1
(k + 1)
la solución es única. CS =
{
1
k+1
}
.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 13 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Si k 6= 1 ó k 6= −1 , estos son los valores del parámetro k que no
anulan elcoeficiente de la variable x . Luego en (∗)
x = (k − 1)(k − 1)(k + 1) =
1
(k + 1)
la solución es única. CS =
{
1
k+1
}
.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 13 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Si k 6= 1 ó k 6= −1 , estos son los valores del parámetro k que no
anulan el coeficiente de la variable x . Luego en (∗)
x = (k − 1)(k − 1)(k + 1) =
1
(k + 1)
la solución es única. CS =
{
1
k+1
}
.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 13 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Si k 6= 1 ó k 6= −1 , estos son los valores del parámetro k que no
anulan el coeficiente de la variable x . Luego en (∗)
x = (k − 1)(k − 1)(k + 1) =
1
(k + 1)
la solución es única. CS =
{
1
k+1
}
.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 13 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Si k 6= 1 ó k 6= −1 , estos son los valores del parámetro k que no
anulan el coeficiente de la variable x . Luego en (∗)
x = (k − 1)(k − 1)(k + 1) =
1
(k + 1)
la solución es única. CS =
{
1
k+1
}
.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 13 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Si k 6= 1 ó k 6= −1 , estos son los valores del parámetro k que no
anulan el coeficiente de la variable x . Luego en (∗)
x = (k − 1)(k − 1)(k + 1) =
1
(k + 1)
la solución es única. CS =
{
1
k+1
}
.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 13 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Si k = 1, el valor del parámetro k anula al coeficiente de la variable x
y al términos independiente de la ecuación. Luego en (∗)
(1− 1)(1 + 1)x = (1− 1)
0x = 0
por lo que se tiene infinitas soluciones. CS = R.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 14 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Si k = 1, el valor del parámetro k anula al coeficiente de la variable x
y al términos independiente de la ecuación. Luego en (∗)
(1− 1)(1 + 1)x = (1− 1)
0x = 0
por lo que se tiene infinitas soluciones. CS = R.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 14 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Si k = 1, el valor del parámetro k anula al coeficiente de la variable x
y al términos independiente de la ecuación. Luego en (∗)
(1− 1)(1 + 1)x = (1− 1)
0x = 0
por lo que se tiene infinitas soluciones. CS = R.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 14 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Si k = 1, el valor del parámetro k anula al coeficiente de la variable x
y al términos independiente de la ecuación. Luego en (∗)
(1− 1)(1 + 1)x = (1− 1)
0x = 0
por lo que se tiene infinitas soluciones. CS = R.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 14 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Si k = 1, el valor del parámetro k anula al coeficiente de la variable x
y al términos independiente de la ecuación. Luego en (∗)
(1− 1)(1 + 1)x = (1− 1)
0x = 0
por lo que se tiene infinitas soluciones. CS = R.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 14 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Si k = 1, el valor del parámetro k anula al coeficiente de la variable x
y al términos independiente de la ecuación. Luego en (∗)
(1− 1)(1 + 1)x = (1− 1)
0x = 0
por lo que se tiene infinitas soluciones. CS = R.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 14 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Si k = −1, el valor del parámetro k anula al coeficiente de la variable
x pero no anula al término independiente de la ecuación. Luego en (∗)
(−1− 1)(−1 + 1)x = (−1− 1)
0x = −2
por lo que la ecuación no tiene solución. CS = ∅.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 15 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Si k = −1, el valor del parámetro k anula al coeficiente de la variable
x pero no anula al término independiente de la ecuación. Luego en (∗)
(−1− 1)(−1 + 1)x = (−1− 1)
0x = −2
por lo que la ecuación no tiene solución. CS = ∅.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 15 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Si k = −1, el valor del parámetro k anula al coeficiente de la variable
x pero no anula al término independiente de la ecuación. Luego en (∗)
(−1− 1)(−1 + 1)x = (−1− 1)
0x = −2
por lo que la ecuación no tiene solución. CS = ∅.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 15 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Si k = −1, el valor del parámetro k anula al coeficiente de la variable
x pero no anula al término independiente de la ecuación. Luego en (∗)
(−1− 1)(−1 + 1)x = (−1− 1)
0x = −2
por lo que la ecuación no tiene solución. CS = ∅.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 15 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Si k = −1, el valor del parámetro k anula al coeficiente de la variable
x pero no anula al término independiente de la ecuación. Luego en (∗)
(−1− 1)(−1 + 1)x = (−1− 1)
0x = −2
por lo que la ecuación no tiene solución. CS = ∅.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 15 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Si k = −1, el valor del parámetro k anula al coeficiente de la variable
x pero no anula al término independiente de la ecuación. Luego en (∗)
(−1− 1)(−1 + 1)x = (−1− 1)
0x = −2
por lo que la ecuación no tiene solución. CS = ∅.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 15 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ecuaciones cuadráticas
Definición
Una ecuación de segundo grado con una incógnita es aquella que puede
reducirse su expresión general de la forma:
ax2 + bx + c = 0
donde a, b, c son números reales y a 6= 0.
El valor a recibe el nombre de coeficiente del término cuadrático; el
valor de b de coeficiente del término lineal y c es el coeficiente del
término independiente.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 16 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ecuaciones cuadráticas
Definición
Una ecuación de segundo grado con una incógnita es aquella que puede
reducirse su expresión general de la forma:
ax2 + bx + c = 0
donde a, b, c son números reales y a 6= 0.
El valor a recibe el nombre de coeficiente del término cuadrático; el
valor de b de coeficiente del término lineal y c es el coeficiente del
término independiente.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 16 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ecuaciones cuadráticas
Definición
Una ecuación de segundo grado con una incógnita es aquella que puede
reducirse su expresión general de la forma:
ax2 + bx + c = 0
donde a, b, c son números reales y a 6= 0.
El valor a recibe el nombre de coeficiente del término cuadrático; el
valor de b de coeficiente del término lineal y c es el coeficiente del
término independiente.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 16 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ecuaciones cuadráticas
Definición
Una ecuación de segundo grado con una incógnita es aquella que puede
reducirse su expresión general de la forma:
ax2 + bx + c = 0
donde a, b, c son números reales y a 6= 0.
El valor a recibe el nombre de coeficiente del término cuadrático; el
valor de b de coeficiente del término lineal y c es el coeficiente del
término independiente.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 16 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ecuaciones cuadráticas
Definición
Una ecuación de segundo grado con una incógnita es aquella que puede
reducirse su expresión general de la forma:
ax2 + bx + c = 0
donde a, b, c son números reales y a 6= 0.
El valor a recibe el nombre de coeficiente del término cuadrático; el
valor de b de coeficiente del término lineal y c es el coeficiente del
término independiente.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 16 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ecuaciones cuadráticas
Definición
Una ecuación de segundo grado con una incógnita es aquella que puede
reducirse su expresión general de la forma:
ax2 + bx + c = 0
donde a, b, c son números reales y a 6= 0.
El valor a recibe el nombre de coeficiente del término cuadrático; el
valor de b de coeficiente del término lineal y c es el coeficiente del
término independiente.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 16 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ecuaciones cuadráticas
DefiniciónUna ecuación de segundo grado con una incógnita es aquella que puede
reducirse su expresión general de la forma:
ax2 + bx + c = 0
donde a, b, c son números reales y a 6= 0.
El valor a recibe el nombre de coeficiente del término cuadrático; el
valor de b de coeficiente del término lineal y c es el coeficiente del
término independiente.
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Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Son ecuaciones cuadráticas las siguientes:
x2 + 6x + 9 = 0 −→ a = 1 b = 6 c = 9
−2x2 + x = 0 −→ a = −2 b = 1 c = 0
x2 − 9 = 0 −→ a = 1 b = 0 c = −9
(x − 2)2 − 9 = 0 −→ x2 − 4x − 5 = 0 −→ a = 1 b = −4 c = −5
x2 + x − 2 = 0 −→ a = 1 b = 1 c = −2
Existen diferentes maneras de resolver este tipo de ecuaciones, y depende
de la expresión que le corresponda.
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Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Son ecuaciones cuadráticas las siguientes:
x2 + 6x + 9 = 0 −→ a = 1 b = 6 c = 9
−2x2 + x = 0 −→ a = −2 b = 1 c = 0
x2 − 9 = 0 −→ a = 1 b = 0 c = −9
(x − 2)2 − 9 = 0 −→ x2 − 4x − 5 = 0 −→ a = 1 b = −4 c = −5
x2 + x − 2 = 0 −→ a = 1 b = 1 c = −2
Existen diferentes maneras de resolver este tipo de ecuaciones, y depende
de la expresión que le corresponda.
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Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Son ecuaciones cuadráticas las siguientes:
x2 + 6x + 9 = 0 −→ a = 1 b = 6 c = 9
−2x2 + x = 0 −→ a = −2 b = 1 c = 0
x2 − 9 = 0 −→ a = 1 b = 0 c = −9
(x − 2)2 − 9 = 0 −→ x2 − 4x − 5 = 0 −→ a = 1 b = −4 c = −5
x2 + x − 2 = 0 −→ a = 1 b = 1 c = −2
Existen diferentes maneras de resolver este tipo de ecuaciones, y depende
de la expresión que le corresponda.
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Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Son ecuaciones cuadráticas las siguientes:
x2 + 6x + 9 = 0 −→ a = 1 b = 6 c = 9
−2x2 + x = 0 −→ a = −2 b = 1 c = 0
x2 − 9 = 0 −→ a = 1 b = 0 c = −9
(x − 2)2 − 9 = 0 −→ x2 − 4x − 5 = 0 −→ a = 1 b = −4 c = −5
x2 + x − 2 = 0 −→ a = 1 b = 1 c = −2
Existen diferentes maneras de resolver este tipo de ecuaciones, y depende
de la expresión que le corresponda.
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Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Son ecuaciones cuadráticas las siguientes:
x2 + 6x + 9 = 0 −→ a = 1 b = 6 c = 9
−2x2 + x = 0 −→ a = −2 b = 1 c = 0
x2 − 9 = 0 −→ a = 1 b = 0 c = −9
(x − 2)2 − 9 = 0 −→ x2 − 4x − 5 = 0 −→ a = 1 b = −4 c = −5
x2 + x − 2 = 0 −→ a = 1 b = 1 c = −2
Existen diferentes maneras de resolver este tipo de ecuaciones, y depende
de la expresión que le corresponda.
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Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Son ecuaciones cuadráticas las siguientes:
x2 + 6x + 9 = 0 −→ a = 1 b = 6 c = 9
−2x2 + x = 0 −→ a = −2 b = 1 c = 0
x2 − 9 = 0 −→ a = 1 b = 0 c = −9
(x − 2)2 − 9 = 0 −→ x2 − 4x − 5 = 0 −→ a = 1 b = −4 c = −5
x2 + x − 2 = 0 −→ a = 1 b = 1 c = −2
Existen diferentes maneras de resolver este tipo de ecuaciones, y depende
de la expresión que le corresponda.
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Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Son ecuaciones cuadráticas las siguientes:
x2 + 6x + 9 = 0 −→ a = 1 b = 6 c = 9
−2x2 + x = 0 −→ a = −2 b = 1 c = 0
x2 − 9 = 0 −→ a = 1 b = 0 c = −9
(x − 2)2 − 9 = 0 −→ x2 − 4x − 5 = 0 −→ a = 1 b = −4 c = −5
x2 + x − 2 = 0 −→ a = 1 b = 1 c = −2
Existen diferentes maneras de resolver este tipo de ecuaciones, y depende
de la expresión que le corresponda.
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Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Son ecuaciones cuadráticas las siguientes:
x2 + 6x + 9 = 0 −→ a = 1 b = 6 c = 9
−2x2 + x = 0 −→ a = −2 b = 1 c = 0
x2 − 9 = 0 −→ a = 1 b = 0 c = −9
(x − 2)2 − 9 = 0 −→ x2 − 4x − 5 = 0 −→ a = 1 b = −4 c = −5
x2 + x − 2 = 0 −→ a = 1 b = 1 c = −2
Existen diferentes maneras de resolver este tipo de ecuaciones, y depende
de la expresión que le corresponda.
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Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Resolver la ecuación x2 + 6x + 9 = 0
Si observamos la expresión del primer miembro, se puede advertir que
corresponde a un polinomio que es un trinomio cuadrado perfecto:
x2 + 6x + 9 = 0
x2 + 2 · x · 3 + 32 = 0
Luego podemos factorizarlo como:
x2 + 2 · x · 3 + 32 = (x + 3)2 = 0
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 18 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Resolver la ecuación x2 + 6x + 9 = 0
Si observamos la expresión del primer miembro, se puede advertir que
corresponde a un polinomio que es un trinomio cuadrado perfecto:
x2 + 6x + 9 = 0
x2 + 2 · x · 3 + 32 = 0
Luego podemos factorizarlo como:
x2 + 2 · x · 3 + 32 = (x + 3)2 = 0
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Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Resolver la ecuación x2 + 6x + 9 = 0
Si observamos la expresión del primer miembro, se puede advertir que
corresponde a un polinomio que es un trinomio cuadrado perfecto:
x2 + 6x + 9 = 0
x2 + 2 · x · 3 + 32 = 0
Luego podemos factorizarlo como:
x2 + 2 · x · 3 + 32 = (x + 3)2 = 0
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Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Resolver la ecuación x2 + 6x + 9 = 0
Si observamos la expresión del primer miembro, se puede advertir que
corresponde a un polinomio que es un trinomio cuadrado perfecto:
x2 + 6x + 9 = 0
x2 + 2 · x · 3 + 32 = 0
Luego podemos factorizarlo como:
x2 + 2 · x · 3 + 32 = (x + 3)2 = 0
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Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Resolver la ecuación x2 + 6x + 9 = 0
Si observamos la expresión del primer miembro, se puede advertir que
corresponde a un polinomio que es un trinomio cuadrado perfecto:
x2 + 6x + 9 = 0
x2 + 2 · x · 3 + 32 = 0
Luego podemos factorizarlo como:
x2 + 2 · x · 3 + 32 = (x + 3)2 = 0
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Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Resolver la ecuación x2 + 6x + 9 = 0
Si observamos la expresión del primer miembro, se puede advertir que
corresponde a un polinomio que es un trinomio cuadrado perfecto:
x2 + 6x + 9 = 0
x2 + 2 · x · 3 + 32 = 0
Luego podemos factorizarlo como:
x2 + 2 · x · 3 + 32 = (x + 3)2 = 0
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Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Resolver la ecuación x2 + 6x + 9 = 0
Si observamos la expresión del primer miembro, se puede advertir que
corresponde a un polinomio que es un trinomio cuadrado perfecto:
x2 + 6x + 9 = 0
x2 + 2 · x · 3 + 32 = 0
Luego podemos factorizarlo como:
x2 + 2 · x · 3 + 32 = (x + 3)2 = 0
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 18 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Resolver la ecuación x2 + 6x + 9 = 0
Si observamos la expresión del primer miembro, se puede advertir que
corresponde a un polinomio que es un trinomio cuadrado perfecto:
x2 + 6x + 9 = 0
x2 + 2 · x · 3 + 32 = 0
Luego podemos factorizarlo como:
x2 + 2 · x · 3 + 32 = (x + 3)2 = 0
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Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
O simplemente:
(x + 3)2 = 0
(x + 3) (x + 3) = 0
Entonces:
x + 3 = 0 ∨ x + 3 = 0
x = −3 ∨ x = −3
Por lo tanto: CS = {−3}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 19 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
O simplemente:
(x + 3)2 = 0
(x + 3) (x + 3) = 0
Entonces:
x + 3 = 0 ∨ x + 3 = 0
x = −3 ∨ x = −3
Por lo tanto: CS = {−3}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 19 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
O simplemente:
(x + 3)2 = 0
(x + 3) (x + 3) = 0
Entonces:
x + 3 = 0 ∨ x + 3 = 0
x = −3 ∨ x = −3
Por lo tanto: CS = {−3}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 19 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
O simplemente:
(x + 3)2 = 0
(x + 3) (x + 3) = 0
Entonces:
x + 3 = 0 ∨ x + 3 = 0
x = −3 ∨ x = −3
Por lo tanto: CS = {−3}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 19 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones EcuacionesPolinómicas
O simplemente:
(x + 3)2 = 0
(x + 3) (x + 3) = 0
Entonces:
x + 3 = 0 ∨ x + 3 = 0
x = −3 ∨ x = −3
Por lo tanto: CS = {−3}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 19 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
O simplemente:
(x + 3)2 = 0
(x + 3) (x + 3) = 0
Entonces:
x + 3 = 0 ∨ x + 3 = 0
x = −3 ∨ x = −3
Por lo tanto: CS = {−3}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 19 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
O simplemente:
(x + 3)2 = 0
(x + 3) (x + 3) = 0
Entonces:
x + 3 = 0 ∨ x + 3 = 0
x = −3 ∨ x = −3
Por lo tanto: CS = {−3}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 19 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Resolver la ecuación −2x2 + x = 0
Si observamos la expresión del primer miembro, se puede factorizar como
sigue:
−2x2 + x = 0
x (−2x + 1) = 0
Entonces:
x = 0 ∨ − 2x + 1 = 0
x = 0 ∨ x = −12
Por lo tanto: CS =
{
0,−12
}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 20 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Resolver la ecuación −2x2 + x = 0
Si observamos la expresión del primer miembro, se puede factorizar como
sigue:
−2x2 + x = 0
x (−2x + 1) = 0
Entonces:
x = 0 ∨ − 2x + 1 = 0
x = 0 ∨ x = −12
Por lo tanto: CS =
{
0,−12
}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 20 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Resolver la ecuación −2x2 + x = 0
Si observamos la expresión del primer miembro, se puede factorizar como
sigue:
−2x2 + x = 0
x (−2x + 1) = 0
Entonces:
x = 0 ∨ − 2x + 1 = 0
x = 0 ∨ x = −12
Por lo tanto: CS =
{
0,−12
}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 20 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Resolver la ecuación −2x2 + x = 0
Si observamos la expresión del primer miembro, se puede factorizar como
sigue:
−2x2 + x = 0
x (−2x + 1) = 0
Entonces:
x = 0 ∨ − 2x + 1 = 0
x = 0 ∨ x = −12
Por lo tanto: CS =
{
0,−12
}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 20 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Resolver la ecuación −2x2 + x = 0
Si observamos la expresión del primer miembro, se puede factorizar como
sigue:
−2x2 + x = 0
x (−2x + 1) = 0
Entonces:
x = 0 ∨ − 2x + 1 = 0
x = 0 ∨ x = −12
Por lo tanto: CS =
{
0,−12
}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 20 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Resolver la ecuación −2x2 + x = 0
Si observamos la expresión del primer miembro, se puede factorizar como
sigue:
−2x2 + x = 0
x (−2x + 1) = 0
Entonces:
x = 0 ∨ − 2x + 1 = 0
x = 0 ∨ x = −12
Por lo tanto: CS =
{
0,−12
}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 20 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Resolver la ecuación −2x2 + x = 0
Si observamos la expresión del primer miembro, se puede factorizar como
sigue:
−2x2 + x = 0
x (−2x + 1) = 0
Entonces:
x = 0 ∨ − 2x + 1 = 0
x = 0 ∨ x = −12
Por lo tanto: CS =
{
0,−12
}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 20 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Resolver la ecuación −2x2 + x = 0
Si observamos la expresión del primer miembro, se puede factorizar como
sigue:
−2x2 + x = 0
x (−2x + 1) = 0
Entonces:
x = 0 ∨ − 2x + 1 = 0
x = 0 ∨ x = −12
Por lo tanto: CS =
{
0,−12
}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 20 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Resolver la ecuación −2x2 + x = 0
Si observamos la expresión del primer miembro, se puede factorizar como
sigue:
−2x2 + x = 0
x (−2x + 1) = 0
Entonces:
x = 0 ∨ − 2x + 1 = 0
x = 0 ∨ x = −12
Por lo tanto: CS =
{
0,−12
}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 20 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Resolver la ecuación x2 − 9 = 0
Si observamos la expresión del primer miembro es una diferencia de
cuadrados, se puede factorizar como sigue:
x2 − 32 = 0
(x − 3) (x + 3) = 0
Entonces:
x − 3 = 0 ∨ x + 3 = 0
x = 3 ∨ x = −3
Por lo tanto: CS = {3,−3}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 21 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Resolver la ecuación x2 − 9 = 0
Si observamos la expresión del primer miembro es una diferencia de
cuadrados, se puede factorizar como sigue:
x2 − 32 = 0
(x − 3) (x + 3) = 0
Entonces:
x − 3 = 0 ∨ x + 3 = 0
x = 3 ∨ x = −3
Por lo tanto: CS = {3,−3}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 21 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Resolver la ecuación x2 − 9 = 0
Si observamos la expresión del primer miembro es una diferencia de
cuadrados, se puede factorizar como sigue:
x2 − 32 = 0
(x − 3) (x + 3) = 0
Entonces:
x − 3 = 0 ∨ x + 3 = 0
x = 3 ∨ x = −3
Por lo tanto: CS = {3,−3}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 21 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Resolver la ecuación x2 − 9 = 0
Si observamos la expresión del primer miembro es una diferencia de
cuadrados, se puede factorizar como sigue:
x2 − 32 = 0
(x − 3) (x + 3) = 0
Entonces:
x − 3 = 0 ∨ x + 3 = 0
x = 3 ∨ x = −3
Por lo tanto: CS = {3,−3}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 21 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Resolver la ecuación x2 − 9 = 0
Si observamos la expresión del primer miembro es una diferencia de
cuadrados, se puede factorizar como sigue:
x2 − 32 = 0
(x − 3) (x + 3) = 0
Entonces:
x − 3 = 0 ∨ x + 3 = 0
x = 3 ∨ x = −3
Por lo tanto: CS = {3,−3}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 21 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Resolver la ecuación x2 − 9 = 0
Si observamos la expresión del primer miembro es una diferencia de
cuadrados, se puede factorizar como sigue:
x2 − 32 = 0
(x − 3) (x + 3) = 0
Entonces:
x − 3 = 0 ∨ x + 3 = 0
x = 3 ∨ x = −3
Por lo tanto: CS = {3,−3}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 21 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Resolver la ecuación x2 − 9 = 0
Si observamos la expresión del primer miembro es una diferencia de
cuadrados, se puede factorizar como sigue:
x2 − 32 = 0
(x − 3) (x + 3) = 0
Entonces:
x − 3 = 0 ∨ x + 3 = 0
x = 3 ∨ x = −3
Por lo tanto: CS = {3,−3}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 21 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Resolver la ecuación x2 − 9 = 0
Si observamos la expresión del primer miembro es una diferencia de
cuadrados, se puede factorizar como sigue:
x2 − 32 = 0
(x − 3) (x + 3) = 0
Entonces:
x − 3 = 0 ∨ x + 3 = 0
x = 3 ∨ x = −3
Por lo tanto: CS = {3,−3}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 21 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Resolver la ecuación x2 + x − 2 = 0
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 22 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Método de Completar cuadrados
El Método de Completar Cuadrados:
Para aplicar este método de resolución, se sigue los siguientes pasos:
1 Dividir toda la ecuación cuadrática por el coeficiente del término
cuadrático.
2 Sumamos a ambos miembros de la igualdad el opuesto del término
independiente. De un lado de la igualdad asociar los término
cuadrático y lineal de la ecuación.
3 Sumamos a ambos miembros de la igualdad el cuadrado de la mitad
del coeficiente lineal. En el primer término nos va a quedar un
trinomio cuadrado perfecto, es decir una expresión de la forma;
(x + a)2 = x2 + 2ax + a2
4 Aplicamos raíz cuadrada a ambos miembros y usando propiedades del
valor absoluto para resolver la ecuación.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 23 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Método de Completar cuadrados
El Método de Completar Cuadrados:
Para aplicar este método de resolución, se sigue los siguientes pasos:
1 Dividir toda la ecuación cuadrática por el coeficiente del término
cuadrático.
2 Sumamos a ambos miembros de la igualdad el opuesto del término
independiente. De un lado de la igualdad asociar los término
cuadrático y lineal de la ecuación.
3 Sumamos a ambos miembros de la igualdad el cuadrado de la mitad
del coeficiente lineal. En el primer término nos va a quedar un
trinomio cuadrado perfecto, es decir una expresión de la forma;
(x + a)2 = x2 + 2ax + a2
4 Aplicamos raíz cuadrada a ambos miembros yusando propiedades del
valor absoluto para resolver la ecuación.
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Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Método de Completar cuadrados
El Método de Completar Cuadrados:
Para aplicar este método de resolución, se sigue los siguientes pasos:
1 Dividir toda la ecuación cuadrática por el coeficiente del término
cuadrático.
2 Sumamos a ambos miembros de la igualdad el opuesto del término
independiente. De un lado de la igualdad asociar los término
cuadrático y lineal de la ecuación.
3 Sumamos a ambos miembros de la igualdad el cuadrado de la mitad
del coeficiente lineal. En el primer término nos va a quedar un
trinomio cuadrado perfecto, es decir una expresión de la forma;
(x + a)2 = x2 + 2ax + a2
4 Aplicamos raíz cuadrada a ambos miembros y usando propiedades del
valor absoluto para resolver la ecuación.
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Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Método de Completar cuadrados
El Método de Completar Cuadrados:
Para aplicar este método de resolución, se sigue los siguientes pasos:
1 Dividir toda la ecuación cuadrática por el coeficiente del término
cuadrático.
2 Sumamos a ambos miembros de la igualdad el opuesto del término
independiente. De un lado de la igualdad asociar los término
cuadrático y lineal de la ecuación.
3 Sumamos a ambos miembros de la igualdad el cuadrado de la mitad
del coeficiente lineal. En el primer término nos va a quedar un
trinomio cuadrado perfecto, es decir una expresión de la forma;
(x + a)2 = x2 + 2ax + a2
4 Aplicamos raíz cuadrada a ambos miembros y usando propiedades del
valor absoluto para resolver la ecuación.
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Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Método de Completar cuadrados
El Método de Completar Cuadrados:
Para aplicar este método de resolución, se sigue los siguientes pasos:
1 Dividir toda la ecuación cuadrática por el coeficiente del término
cuadrático.
2 Sumamos a ambos miembros de la igualdad el opuesto del término
independiente. De un lado de la igualdad asociar los término
cuadrático y lineal de la ecuación.
3 Sumamos a ambos miembros de la igualdad el cuadrado de la mitad
del coeficiente lineal. En el primer término nos va a quedar un
trinomio cuadrado perfecto, es decir una expresión de la forma;
(x + a)2 = x2 + 2ax + a2
4 Aplicamos raíz cuadrada a ambos miembros y usando propiedades del
valor absoluto para resolver la ecuación.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 23 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Método de Completar cuadrados
El Método de Completar Cuadrados:
Para aplicar este método de resolución, se sigue los siguientes pasos:
1 Dividir toda la ecuación cuadrática por el coeficiente del término
cuadrático.
2 Sumamos a ambos miembros de la igualdad el opuesto del término
independiente. De un lado de la igualdad asociar los término
cuadrático y lineal de la ecuación.
3 Sumamos a ambos miembros de la igualdad el cuadrado de la mitad
del coeficiente lineal. En el primer término nos va a quedar un
trinomio cuadrado perfecto, es decir una expresión de la forma;
(x + a)2 = x2 + 2ax + a2
4 Aplicamos raíz cuadrada a ambos miembros y usando propiedades del
valor absoluto para resolver la ecuación.
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 23 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Método de Completar cuadrados
El Método de Completar Cuadrados:
Para aplicar este método de resolución, se sigue los siguientes pasos:
1 Dividir toda la ecuación cuadrática por el coeficiente del término
cuadrático.
2 Sumamos a ambos miembros de la igualdad el opuesto del término
independiente. De un lado de la igualdad asociar los término
cuadrático y lineal de la ecuación.
3 Sumamos a ambos miembros de la igualdad el cuadrado de la mitad
del coeficiente lineal. En el primer término nos va a quedar un
trinomio cuadrado perfecto, es decir una expresión de la forma;
(x + a)2 = x2 + 2ax + a2
4 Aplicamos raíz cuadrada a ambos miembros y usando propiedades del
valor absoluto para resolver la ecuación.
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Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Sea la ecuación 4x2 − 17x + 15 = 0, determinar el conjunto solución
utilizando el método de completar cuadrados.
4x2 − 17x + 15 = 0
x2 − 174 x +
15
4 = 0
x2 − 174 x = −
15
4
x2 − 174 x +
(
−178
)2
= −154 +
(
−178
)2
(
x − 178
)2
= −154 +
(
−178
)2
= 4964√(
x − 178
)2
=
√
49
64
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 24 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Sea la ecuación 4x2 − 17x + 15 = 0, determinar el conjunto solución
utilizando el método de completar cuadrados.
4x2 − 17x + 15 = 0
x2 − 174 x +
15
4 = 0
x2 − 174 x = −
15
4
x2 − 174 x +
(
−178
)2
= −154 +
(
−178
)2
(
x − 178
)2
= −154 +
(
−178
)2
= 4964√(
x − 178
)2
=
√
49
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Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Sea la ecuación 4x2 − 17x + 15 = 0, determinar el conjunto solución
utilizando el método de completar cuadrados.
4x2 − 17x + 15 = 0
x2 − 174 x +
15
4 = 0
x2 − 174 x = −
15
4
x2 − 174 x +
(
−178
)2
= −154 +
(
−178
)2
(
x − 178
)2
= −154 +
(
−178
)2
= 4964√(
x − 178
)2
=
√
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Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Sea la ecuación 4x2 − 17x + 15 = 0, determinar el conjunto solución
utilizando el método de completar cuadrados.
4x2 − 17x + 15 = 0
x2 − 174 x +
15
4 = 0
x2 − 174 x = −
15
4
x2 − 174 x +
(
−178
)2
= −154 +
(
−178
)2
(
x − 178
)2
= −154 +
(
−178
)2
= 4964√(
x − 178
)2
=
√
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Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Sea la ecuación 4x2 − 17x + 15 = 0, determinar el conjunto solución
utilizando el método de completar cuadrados.
4x2 − 17x + 15 = 0
x2 − 174 x +
15
4 = 0
x2 − 174 x = −
15
4
x2 − 174 x +
(
−178
)2
= −154 +
(
−178
)2
(
x − 178
)2
= −154 +
(
−178
)2
= 4964√(
x − 178
)2
=
√
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Highlight
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Sea la ecuación 4x2 − 17x + 15 = 0, determinar el conjunto solución
utilizando el método de completar cuadrados.
4x2 − 17x + 15 = 0
x2 − 174 x +
15
4 = 0
x2 − 174 x = −
15
4
x2 − 174 x +
(
−178
)2
= −154 +
(
−178
)2
(
x − 178
)2
= −154 +
(
−178
)2
= 4964√(
x − 178
)2
=
√
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Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Sea la ecuación 4x2 − 17x + 15 = 0, determinar el conjunto solución
utilizando el método de completar cuadrados.
4x2 − 17x + 15 = 0
x2 − 174 x +
15
4 = 0
x2 − 174 x = −
15
4
x2 − 174 x +
(
−178
)2
= −154 +
(
−178
)2
(
x − 178
)2
= −154 +
(
−178
)2
= 4964√(
x − 178
)2
=
√
49
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C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 24 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Ejemplo
Sea la ecuación 4x2 − 17x + 15 = 0, determinar el conjunto solución
utilizando el método de completar cuadrados.
4x2 − 17x + 15 = 0
x2 − 174 x +
15
4 = 0
x2 − 174 x = −
15
4
x2 − 174 x +
(
−178
)2
= −154 +
(
−178
)2
(
x − 178
)2
= −154 +
(
−178
)2
= 4964√(
x − 178
)2
=
√
49
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C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 24 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Por propiedad de Valor Absoluto resulta de∣∣∣∣x − 178
∣∣∣∣ = 78
De donde
x − 178 =
7
8 ∨ x −
17
8 = −
7
8
por lo que sus soluciones son
x1 =
7
8 +
17
8 = 3 ∨ x2 = −
7
8 +
17
8 =
5
4
Luego
CS =
{
3, 54
}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 25 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Por propiedad de Valor Absoluto resulta de∣∣∣∣x − 178
∣∣∣∣ = 78
De donde
x − 178 =
7
8 ∨ x −
17
8 = −
7
8
por lo que sus soluciones son
x1 =
7
8 +
17
8 = 3 ∨ x2 = −
7
8 +
17
8 =
5
4
Luego
CS =
{
3, 54
}
C.P.P (UNSa) Unidad N°3 Año 2023 25 / 48
Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones Polinómicas
Por propiedad de Valor Absoluto resulta de∣∣∣∣x − 178
∣∣∣∣ = 78