LL - POLÍGONOS, IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS (2) (1) - John Liñan (4)

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REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  LETRAS 1 
 
 
Polígonos 
 
 PITÁGORAS Y EL NÚMERO DE ORO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pitágoras (582 - 500 a.C.), filósofo y matemático griego, nació en la isla de Samos. Fue instruido en las 
enseñanzas de los primeros filósofos jonios Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. Se dice que 
Pitágoras había sido condenado a exiliarse de Samos por su aversión a la tiranía de Polícrates. Hacia el 
530 a.C. se instaló en Crotona, una colonia griega al sur de Italia, donde fundó un movimiento con 
propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido como pitagorismo. La filosofía de Pitágoras se 
conoce sólo a través de la obra de sus discípulos. 
Los pitagóricos asumieron ciertos misterios, similares en muchos puntos a los enigmas del orfismo. 
Aconsejaban la obediencia y el silencio, la abstinencia de consumir alimentos, la sencillez en el vestir y 
en las posesiones, y el hábito del autoanálisis. Los pitagóricos creían en la inmortalidad y en la 
trasmigración del alma. 
En geometría el gran descubrimiento de la escuela fue el teorema de la hipotenusa, conocido como 
teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es 
igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. 
Una revuelta provocada en Crotona, por una asociación de ideas contrarias a las pitagóricas, terminó con 
el incendio de la sede. Se cree que Pitágoras se vio obligado a huir de Crotona y murió en Metaponto. 
La persecución de los pitagóricos provocó el éxodo a la Grecia Continental, dando lugar a la difusión de 
las ideas pitagóricas. 
 
La estrella pentagonal o pentágono estrellado era, según la tradición, el símbolo de los seguidores de 
Pitágoras. Los pitagóricos pensaban que el mundo estaba configurado según un orden numérico, donde 
sólo tenían cabida los números fraccionarios. La casualidad hizo que en su propio símbolo se encontrara 
un número raro: el número de oro. 
Por ejemplo, la relación entre la diagonal del pentágono y su lado es el número de oro. 
 
 
 
 
 ...036181
2
51
AB
AC


 
También podemos comprobar que los segmentos QN, NP y QP están en proporción áurea. 
Tomado de: 
http://rt000z8y.eresmas.net/El%20numero%20de%20oro.htm#7 
 
http://rt000z8y.eresmas.net/El%20numero%20de%20oro.htm#7
 
2 C E P R E P U C 2021.1 
 
POLÍGONOS 
 
Dado el pentágono ABCDE. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PERÍMETRO 
Se denomina perímetro de un polígono a la suma de las longitudes de todos sus lados. Se denota por 2p. 
 
Así, en el pentágono ABCDE: 
 
PERÍMETRO 2p = a + b + c + d + e 
SEMIPERÍMETRO p = 
2
e d c b a 
 
 
 
CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS 
 
1. SEGÚN SU FORMA 
 
CONVEXO NO CONVEXO (CÓNCAVO) 
 
 
 
 
 
 
 
ELEMENTOS NOTACIÓN 
LADOS AB , BC , CD , DE , EA 
VÉRTICES A, B, C, D, E 
ÁNGULOS INTERIORES 1, 2, 3, 4, 5 
ÁNGULOS EXTERIORES 1, 2, 3, 4, 5 
DIAGONALES AC , AD , BD , BE , CE 
 
A 
B 
C 
D 
E 
1 
2 
4 
3 
5 
1 
2 
3 
4 
5 
1 
4 
2 
3 
1 
2 
b 
a 
e 
d 
c 
 
REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  LETRAS 3 
2. CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS SEGÚN SU NÚMERO DE LADOS 
 
NÚMERO DE LADOS NOMBRE 
3 Triángulo 
4 Cuadrilátero 
5 Pentágono 
6 Hexágono 
7 Heptágono 
8 Octógono 
9 Nonágono 
10 Decágono 
11 Endecágono 
12 Dodecágono 
15 Pentadecágono 
20 Icoságono 
 
 
4 C E P R E P U C 2021.1 
PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS CONVEXOS 
 
Si n es el número de lados. 
 
Suma de ángulos interiores S = 180°(n  2) 
Suma de ángulos exteriores S = 360° 
Número de diagonales que pueden trazarse desde un vértice d = n  3 
Número total de diagonales Dt = 
2
)3n(n 
 
 
Ejemplos 
1. ¿Cuántas diagonales tiene el polígono convexo 
cuya suma de sus ángulos interiores es igual a 
2340°? 
 
2. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar en el 
polígono convexo cuya suma de ángulos 
exteriores es igual la tercera parte de la suma de 
sus ángulos interiores? 
 
 
 
3. En un polígono convexo, se cumple que el 
número de diagonales es igual al número de 
vértices aumentado en siete. ¿En cuántos 
triángulos se puede dividir este polígono al unir 
un vértice con el resto de los vértices? 
 
 
 
REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  LETRAS 5 
 
POLÍGONOS REGULARES 
Son aquellos polígonos convexos que tienen sus lados y sus ángulos congruentes entre sí. Es decir, son 
polígonos convexos equiláteros y equiángulos. 
 
Ejemplos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEFINICIONES EN LOS POLÍGONOS REGULARES 
 
POLÍGONO INSCRITO POLÍGONO CIRCUNSCRITO 
Es aquel polígono cuyos vértices están sobre 
una circunferencia. 
 
 
Circunferencia circunscrita 
 
Es aquel polígono cuyos lados son tangentes a una 
circunferencia. 
 
Circunferencia inscrita 
 
IMPORTANTE 
Todo polígono regular es inscriptible y circunscriptible a dos circunferencias concéntricas. 
Así en el pentágono regular ABCDE : 
 
 
 
 
 
 
 
 
60° 
60° 
60° 
 
O 
Triángulo equilátero Cuadrado 
B 
C 
D E 
A 
 
6 C E P R E P U C 2021.1 
 
ELEMENTOS DE UN POLÍGONO REGULAR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Centro (O) 
Se denomina centro de un polígono regular al centro de la 
circunferencia inscrita o circunscrita. 
Apotema (a) 
Se denomina apotema de un polígono regular a la 
perpendicular trazada desde el centro del polígono a 
cualquiera de sus lados. La apotema une el centro del 
polígono con el punto medio de cualquiera de los lados y 
coincide con el radio de la circunferencia inscrita en el 
polígono. 
Radio (R) 
Se denomina radio de un polígono regular al radio de la 
circunferencia circunscrita al polígono. 
Ángulo central () 
Se llama ángulo central de un polígono regular que se 
forma en el centro del polígono al unir dicho punto con 
dos vértices consecutivos. 
 = 
n
360
 
Ángulo interior () 
 = 
n
)2n(180 
 
Ángulo exterior() 
 = 
n
360
 
 
ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR (A) 
Dado el pentágono regular ABCDE. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a 
donde: 
p : semiperímetro del polígono 
a : longitud de la apotema del polígono 
 
B 
C 
D E 
 
A 
O 
 
R 
a 
 
R 
A = p.a 
C 
B 
A 
D 
E 
L L 
L L 
L 
O 
 
REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  LETRAS 7 
 
ÁNGULOS EN LOS POLÍGONOS REGULARES 
POLÍGONO 
Ángulo central 
 
Ángulo interior 
 
Ángulo exterior 
 
 
 
 
 
TRIÁNGULO 
120° 60° 120° 
 
 
 
 
CUADRADO 
90° 90° 90° 
 
 
 
 
 
PENTÁGONO 
72° 108° 72° 
 
 
 
 
HEXÁGONO 
60° 120° 60° 
 
 
 
 
OCTÓGONO 
45° 135° 45° 
DECÁGONO 
 
 
36° 144° 36° 
DODECÁGONO 
 
 30° 150° 30° 
 
 
 
  
O 
 
 
  
O 
 
 
  
O 
 
 
  
O 
 
 
  
O 
 
 
 
 
O 
 
  
 
O 
 
8 C E P R E P U C 2021.1 
Ejemplos 
1. Completa la tabla expresando el lado, la apotema y el área de cada polígono regular en función de R. 
POLÍGONO LADO APOTEMA ÁREA 
 
 
R 3 
 
 
 
 
 
R 2 
 
 
 
 
 
 
R 
 
 
 
 
2. Halla el área del triángulo equilátero inscrito en 
una circunferencia de 4 cm de radio. 
3. Si el perímetro de un hexágono regular 
circunscrito a una circunferencia es 48 cm, 
determina la longitud de la apotema del 
cuadrado inscrito en la misma circunferencia. 
 
 
 
R 
 
R 
R 
 
REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  LETRAS 9 
 
4. ¿En qué relación se encuentran los perímetros 
de un triángulo equilátero y de un hexágono 
regular inscritos en una misma circunferencia de 
8 m de radio? 
 
5. En un hexágono regular de apotema 3 3 m, 
calcula el área del triángulo que se forma al 
unir tres vértices no consecutivos del 
hexágono. 
 
6. Un hexágono regular ABCDEF tiene un área de 96 3 cm 2 . Calcula: 
 a. el lado del hexágono 
 b. la diagonal AD 
 c. ¿qué tipo de triángulo es FCE según sus ángulos? ¿Cuáles son sus ángulos internos?d. la distancia entre AB y DE . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 C E P R E P U C 2021.1 
 
7. Calcula el perímetro del polígono regular cuyo 
lado mide 5 m si tiene en total 35 diagonales. 
8. En un icoságono regular ABCDE …., halla la 
medida del ángulo formado por las mediatrices 
de los lados AB y CD . 
 
 
9. En un pentágono regular ABCDE, sobre el lado 
CD se construye exteriormente el cuadrado 
CDFG. Calcula la medida del ángulo DFE. 
 
10. En un hexágono regular ABCDEF, sobre AB 
se construye interiormente el cuadrado ABGH. 
Halla HFE. 
 
 
 
REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  LETRAS 11 
11. En un polígono regular MNPQRS…,  MNQ mide 
90°. Calcula el número de diagonales. 
 12. En la figura mostrada, ABCDEFGH es un 
octógono regular, BCDM es un paralelogramo 
y  mide igual que un ángulo central de un 
pentadecágono regular. Halla el valor de x. 
 
 G F 
E 
D 
C B 
A 
H 
M 
 
x 
 
12 C E P R E P U C 2021.1 
 
Identidades Trigonométricas Fundamentales 
 
 
LA TRIGONOMETRÍA Y EL EVEREST 
Un gran proyecto de reconocimiento en 1800 fue la “Gran Planimetría Trigonométrica” de la India británica. 
Se construyeron para el proyecto los mayores teodolitos, monstruos con escalas circulares de 36″ de 
ancho, cuyas lecturas se hacían con extraordinaria precisión con 5 microscopios. Cada uno con su caja 
pesaba media tonelada. Usándolos, el proyecto cubrió el país con múltiples cadenas de triángulos en las 
direcciones norte-sur y este-oeste y se necesitaron décadas para completarla. 
En 1843 Andrew Scott Waugh se encargó del proyecto como Inspector General y puso especial atención a 
las montañas del Himalaya del norte de la India. Debido a las nubes y a la niebla, esas montañas se ven 
raramente desde las tierras bajas, y hasta 1847 no se consiguieron varias mediciones. Después de haberse 
hecho, los resultados necesitaron ser analizados laboriosamente por “computadores” en las oficinas de 
inspección; no eran máquinas sino personas que efectuaban los cálculos trigonométricos. 
 
La historia dice que en 1852 el jefe de los “computadores” fue hacia el director y le dijo: “Señor, hemos 
descubierto la mayor montaña del mundo”. Desde una distancia de más de 100 millas (160 km), se observó 
la montaña desde seis estaciones diferentes, y “no dio lugar a que el observador sospechara que estaba 
viendo a través de su telescopio el punto más alto de la Tierra”. Al principio se la designó como “Pico XV” 
por la inspección, pero en 1856 Waugh la denominó en memoria de Sir George Everest, su predecesor en 
la oficina de jefe de inspectores. El Everest fue el primero en registrarse y en usar los teodolitos gigantes; 
ahora están expuestos en el “Museum of the Survey of India” en Dehra Dum. 
Como dato adicional: para topografiar una tierra, los topógrafos la dividen en triángulos y marcan cada 
ángulo con un “punto de referencia”, que hoy en día es, a menudo, una placa de latón redonda fijada en el 
suelo con un agujero en el centro, sobre el que ponen sus varillas y teodolitos (George Washington hizo 
este trabajo cuando era un adolescente). Después de medir la base, como la AB en el ejemplo del río, el 
topógrafo medirá (de la forma descrita aquí) los ángulos que se forman con el punto C y usar la 
trigonometría para calcular las distancias AC y BC. Estas pueden servir como base de 2 nuevos triángulos, 
que a su vez suministrarán bases para dos más … y de esta forma construirá más y más triángulos hasta 
que se cubra la tierra al completo con una red que tiene distancias conocidas. Posteriormente se puede 
añadir una red secundaria, subdividiendo los triángulos grandes y marcando sus puntos con estacas de 
hierro, que proporcionarán distancias conocidas adicionales en las que se pueden basar los mapas o los 
planos. 
Hoy en día la posición sobre la Tierra se puede localizar de forma muy precisa usando el sistema de 
posicionamiento global (GPS) de 24 satélites en órbita exacta, que están difundiendo constantemente su 
posición. Un pequeño instrumento electrónico de mano recibe sus señales y nos devuelve nuestra posición 
con un error de 10-20 metros ( aún es más preciso para usos militares, los patrocinadores del sistema). Se 
usa una gran cantidad de trigonometría, pero lo hace todo la computadora que está dentro de su aparato. 
 
 
 
 
Tomado de: 
http://mezvan.blogsome.com/2006/08/07/la-trigonometria-y-el-everest/ 
 
 
http://mezvan.blogsome.com/2006/08/07/la-trigonometria-y-el-everest/
http://mezvan.blogsome.com/2006/08/07/la-trigonometria-y-el-everest/
 
REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  LETRAS 13 
 
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 
 
Entre las funciones trigonométricas de un mismo ángulo se verifican algunas relaciones fundamentales que 
reciben el nombre de identidades trigonométricas. Estas se clasifican en tres grupos: pitagóricas, recíprocas 
y por división. 
 
IDENTIDADES RELACIONES 
DIVISIÓN 
tan  = 


cos
sen
 
cot  = 


sen
cos
 
RECÍPROCAS 
csc  = 
sen
1
 
sec  = 
cos
1
 
cot  = 
tan
1
 
PITAGÓRICAS 
sen 2  + cos 2  = 1 
1 + tan 2  = sec 2  
1 + cot 2  = csc 2  
 
Ejemplos 
1. Simplifica la expresión E. 
E = 
Acsc
senA
Asec
Acos
 
 
2. Reduce R. 
R = 
xsec
1
.
xcsc
1
.xcot.xtan
)1xcosxsen(.)1xcosxsen( 
 
 
 
14 C E P R E P U C 2021.1 
 
3. Determina el valor de M en la siguiente 
identidad: 
xcot
1
M
xtan
1
xcos
1
222
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Simplifica la siguiente expresión: 






222
2
2
2
2
coscotsen
csc
cot
sec
tan
 
5. Simplifica la siguiente expresión: 
 E = 






senx
xcos
xcos
senx
 . (1 + cot
2
x) . senx . cosx (1 ‒ cos
2
x) 
6. Simplifica la siguiente expresión: 
 A = (1 ‒ sen
2
x)(1 + tan
2
x) + 
xcotxtan
1
xsec
1
xcsc
1
2








 
 
 
 
REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  LETRAS 15 
7. Si (senx)(cosx) = a, halla sen 6 x + cos 6 x. 
 
 
8. Simplifica la expresión P. 
P = 
1xcot
xcot2xcsc
1xtan
xtan2xsec 22




