Geometría Plana

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PRINCIPIOS BASICOS DE GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA Profesor: Nelson Jaimes
	
GEOMETRIA
La geometría es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras en el plano o en el espacio, incluyendo: puntos, rectas, planos, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc. Es la base teórica de la geometría descriptiva, del dibujo técnico y es fundamental para el sistema de posicionamiento global. Tiene su aplicación práctica en física aplicada, mecánica, arquitectura, geografía, cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística y en muchos otros temas.
Desde los antiguos griegos han sido muchas las contribuciones al desarrollo de la geometría y esto hace que proliferen numerosas sub ramas de ella y con enfoques muy diferentes. La geometría clásica Euclidiana, que enfoca la geometría Euclidiana del plano y la del espacio, que son de las más conocidas y utilizadas, y también se definen las geometrías no Euclidianas como lo son la geometría elíptica, la esférica y la hiperbólica. 
Geometría Plana
El punto
 En geometría, el punto, junto con la recta y el plano, son considerados conceptos primarios; es decir, sólo es posible describirlos en relación a otros elementos similares. El punto es un elemento geométrico adimensional, no es un objeto físico; describe una posición en el espacio, determinada en función de un sistema de coordenadas preestablecido.
La recta
La recta, o línea recta, sólo posee una dimensión y contiene infinitos puntos; también se suele describir como una sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión.
Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano, los tres son considerados “conceptos apriorísticos” ya que su definición sólo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Las rectas suelen denominarse con una letra minúscula.
El plano
El plano, en geometría, es el ente ideal que sólo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas.
Los planos suelen denominarse con una letra del alfabeto griego.
Segmento
Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos.
Ángulo
Un ángulo es la "abertura" o “amplitud” entre dos líneas que se cruzan en un punto. La geometría es la rama de las matemáticas que se encarga de su medición, su clasificación y del estudio de sus propiedades. Los ángulos se miden principalmente en grados sexagesimales, que son aquellos que dividen la circunferencia en 360 partes iguales, cada una de las cuales representa 1º (un grado) sexagesimal. También suelen medirse en “radianes”, forma que nos indica que “el barrido” o vuelta completa a una circunferencia es equivalente a 2π radianes, es decir, 2π radianes = 360º, lo que nos lleva a saber que π radianes = 180º, π/2 radianes = 90º, para concluir que 1 radian es equivalente a 57,296º; en el entendido que sabemos que el símbolo π (se lee “pi”) es un número irracional y una de las constantes más empleadas en matemáticas, física e ingeniería, que su valor numérico truncado es igual a 3,1415926……… y que también representa la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, siempre y cuando estemos hablando de geometría Euclidiana. De otra manera, también podemos decir que: Un radián es la medida de un ángulo con vértice en el centro de una circunferencia, que subtiende sobre ella un arco de igual longitud que el radio de la circunferencia. 
Clasificación de los ángulos:
Los matemáticos suelen medir los ángulos como la abertura entre una línea horizontal fija OA y una segunda línea OB que puede girar alrededor del punto O. Si las mismas se encuentran alineadas en igual dirección; es decir, si OA y OB son dos semirrectas coincidentes, se entiende que su abertura es nula, es decir, el ángulo formado entre ellas es igual a 0º. La línea OB puede desplazarse a partir de la posición que indica 0º en sentido horario o en sentido anti horario; si el desplazamiento se hace en sentido anti horario, el ángulo recorrido o “barrido” se considera positivo; caso contrario, el ángulo es negativo. Los ángulos se designan haciendo uso de letras griegas tales como α (alpha), θ (tita), β (Beta) y otros.
	B
 Β+ 
 β = 0º A 	A
O B	O	A	O	β-
	 B
Ángulo recto: es aquel que se forma cuando las rectas OA y OB se cruzan perpendicularmente; es decir, interseca la cuarta parte de una circunferencia formando así un ángulo de 90º o π/2 radianes.
Ángulo agudo: un ángulo agudo es aquel cuya abertura o amplitud (β) es mayor que 0º pero menor que 90º 
Ángulo llano: es aquel que se forma cuando OA y OB son dos semirrectas opuestas; en otras palabras, la recta OB “barre” la mitad de una circunferencia, equivalente a π radianes o 180º. 
Ángulo obtuso: un ángulo obtuso tiene una abertura mayor a la del ángulo recto, pero menor que la del ángulo llano (90º < β < 180º).
B
	B
	B
	β
	β	O
O	A O	 A B			A O	A
 Angulo: Recto Agudo Llano Obtuso 
Ángulos Complementarios: Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es igual a 90°.
Angulos Suplementarios. Dos àngulos son suplementarios si la suma de sus medidas es igual a 180ª
TRIGONOMETRIA
La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es la medición de los triángulos. En términos generales, la trigonometría es el estudio de las razones trigonométricas seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. 
Entre las numerosas aplicaciones de la trigonometría encontramos las técnicas de triangulación, las cuales son usadas en astronomía para medir la distancia a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos de difícil acceso y en sistemas globales de navegación por satélites.
Triángulo
Un triángulo, en geometría, es un polígono de tres lados y tres ángulos. Los puntos comunes a cada par de lados se denominan vértices del triángulo. 
Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.
Clasificación por las longitudes de sus lados
· Triángulo equilátero: si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos tienen la misma medida β = 60 grados ó radianes)
· Triángulo isósceles: si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida.
· Triángulo escaleno: si todos sus lados tienen longitudes diferentes. En un triángulo escaleno no hay ángulos con la misma medida.
 β
 
	β β	θ θ
Triángulo: equilátero Isósceles Escaleno
Según la amplitud de sus ángulos
· Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.
· Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menor de 90°).
· Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos son menores a 90º.
	90º	>90º
Triángulo: Rectángulo Obtusángulo Acutángulo
Cuadriláteros
Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Los cuadriláteros tienen distintas formas pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales. En todos los cuadriláteros la suma de los ángulos interiores es igual a 360º. Otros nombres usados para referirse a este polígono son tetrágono y cuadrángulo.
Clasificación de loscuadriláteros
Paralelogramo
Un paralelogramo es un tipo especial de cuadrilátero (un polígono formado por cuatro lados) cuyos lados son paralelos dos a dos.
Los paralelogramos se clasifican en:
· Paralelogramos rectángulos, son aquellos cuyos ángulos internos son todos ángulos rectos. En esta clasificación se incluyen
Un cuadrado es un cuadrilátero que tiene sus lados opuestos paralelos y, por tanto, es un paralelogramo. Dado que sus cuatro ángulos internos son rectos, es también un caso especial de rectángulo. De modo similar, al tener los cuatro lados iguales, es un caso especial de rombo. Cada ángulo interno de un cuadrado mide 90 grados ó π/ 2 radianes, y 
La suma de todos ellos es 360º ó 2π radianes. 
Un rectángulo es un paralelogramo cuyos cuatro lados forman ángulos rectos entre sí. Los lados opuestos tienen la misma longitud.
· Paralelogramos no rectángulos, son aquellos que tienen dos ángulos internos agudos y dos ángulos internos obtusos. En esta clasificación se incluye:
El rombo es un cuadrilátero paralelogramo. Sus cuatro lados son iguales en longitud y son paralelos dos a dos; el romboide es también un cuadrilátero paralelogramo. De sus cuatro lados, son iguales los opuestos y desiguales los contiguos. 
	
 Rombo	 Romboide
Un trapecio es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y otros dos no paralelos. Los lados paralelos se llaman bases del trapecio y la distancia entre ellos se llama altura. 
Un trapezoide es un polígono cuadrilátero tal que ninguno de sus cuatro lados es paralelo a otro. El trapezoide no tiene propiedades especiales, excepto las que son propias de todo cuadrilátero convexo, como que la suma de sus ángulos internos es de 360º. Los trapezoides pueden ser inscriptibles si la suma de sus ángulos opuestos es de 180º. Del mismo modo, puede ser circunscriptible si las sumas de sus pares de lados opuestos son iguales entre sí por eso no son paralelogramos.
 Trapezoide
Los triángulos, cuadriláteros y otras figuras planas son conocidas también como polígonos regulares; y su nombre deriva del número de lados que componen dicha figura; así tenemos el pentágono, el hexágono, el heptágono, el octágono, el de decágono y otras. Obviamente que es importante conocer las propiedades de todas ellas, pero en nuestro estudio nos limitaremos a conocer sobre el pentágono y el hexágono.
Pentágono: En geometría se denomina pentágono a un polígono de cinco lados y cinco vértices. Un pentágono regular es aquel que tiene sus cinco lados iguales y sus ángulos internos congruentes.
Hexágono: En geometría plana elemental, un hexágono es un polígono de seis lados y seis vértices. Un hexágono regular es un polígono convexo con seis lados iguales y seis ángulos iguales.
Es recomendable, por su importancia, que Usted se decida a aprender los pasos necesarios para construir estas dos últimas figuras.
Círculo y circunferencia	
Un círculo, en geometría, es el conjunto de los puntos de un plano que se encuentran contenidos en una circunferencia. En castellano, la palabra círculo tiene varias acepciones, la primera: una superficie geométrica plana contenida dentro de una circunferencia con área definida; mientras que se denomina circunferencia a la curva geométrica plana, cerrada, cuyos puntos son equidistantes del centro, y sólo posee longitud. "Aunque ambos conceptos están relacionados, no debe confundirse la circunferencia (línea curva) con el círculo (superficie)."
 Circulo Circunferencia
Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio. Sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que este es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada, es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.
Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales. La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unidad.
Elementos de la circunferencia
· Centro del círculo, que se corresponde con el centro de la circunferencia, del cual equidistan todos los puntos de esta.
· Radio, es el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia;
· Diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia y, lógicamente, pasa por el centro;
· Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los diámetros;
· Arco, segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia.
O: Centro de la circunferencia	 
O
C
D
A
B
	 
OB: Radio
AE: Diámetro	D 
CD: Cuerda 	
 
AB: Arco A O E 
Líneas y puntos notables en un triangulo
Altura es el segmento que va de un vértice al lado opuesto y es perpendicular a este. Ortocentro es el punto de intersección de las tres alturas de un triángulo.
Mediana es el segmento comprendido entre un vértice y el punto medio del lado opuesto.
Baricentro es el punto de intersección de las tres medianas de un triángulo.
Bisectriz es la semirrecta que divide a un ángulo en dos partes iguales. Incentro es el punto de intersección de las tres bisectrices de un triángulo. Es el centro de la circunferencia inscrita. Mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al mismo en su punto medio. Circuncentro es el punto de intersección de las tres mediatrices de un triángulo. Es el centro de la circunferencia circunscrita.
	
Ahora que ya repasamos y nos recordamos de los diferentes tipos de ángulos y de triángulos y de las figuras geométricas planas más comunes, es necesario investigar sobre sus propiedades tales como perímetro, área y cualquier otra de interés para su completo conocimiento. 
Perímetro: Es la línea o conjunto de líneas que forman el contorno de una superficie o figura; en geometría, es la suma de las longitudes de los lados de una figura geométrica plana.
Área: Es un concepto que nos permite asignar una medida a la extensión de una superficie que se encuentra comprendida entre ciertos límites.
Perímetros y áreas En todos los libros de Mecánica tanto de estática como de dinámica encontraras tablas muy completas sobre las áreas y demás propiedades de figuras planas. 
	
LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Como ya fue descrito, la trigonometría es el estudio de las funciones trigonométricas seno, coseno, tangente, cotangente secante y cosecante. Si las colocamos en una columna nos encontramos con lo siguiente:
Seno (Sen)
Coseno (Cos)
Tangente (Tag)		
Cotangente (Ctg) 	 Tag = 1/Ctg Cos = 1/sec Sen = 1/Csc 	
Secante (Sec)
cosecante (Csc)
Luego de enterarnos que el seno es el inverso de la cosecante, el coseno el inverso de la secante y la tangente es el inverso de la cotangente, Iniciamos el estudio matemático de las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo y una circunferencia de radio unitario (Circunferencia unidad, r = 1).
D
B
 O A
C
β
y
x
El seno es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa OB (OB = r = 1)
El coseno es la razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa
 = OA
La tangente es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente o contiguo al ángulo
 pero: AB = Sen (β) y OA = Cos (β) por tanto 
Observemosque el punto B tiene coordenadas (x, y) y su abscisa x está representada por el segmento OA (x = OA) y su ordenada y la representa el segmento AB (y = AB), pero también pudimos observar que x = OA = cos (β) y y = AB = sen (β); por tanto, si aplicamos Pitágoras al triangulo OAB, obtenemos (OA)2 + (AB)2 = (OB)2 Sabemos que OA es el coseno del ángulo, AB es el seno del mismo ángulo y OB = 1, por tanto 
 cos2 (β) + sen2 (β) = 1 identidad trigonométrica Pitagórica fundamental. 
Así mismo, como X representa al coseno del ángulo y Y representa al seno, podemos afirmar que en el primer cuadrante el seno y el coseno son positivos, en el segundo cuadrante el seno es positivo pero el coseno es negativo, en el tercer cuadrante tanto el seno como el coseno son negativos y en el cuarto cuadrante el coseno es positivo y el seno negativo.
 
(x, y) Ξ (cos, sen) y(+, +)
(-, +)
(-, -)
(+, -)
 
 x	 
Identidades Trigonométricas
Una identidad es una igualdad que se cumple para todos los valores permisibles de la variable. En trigonometría existen siete identidades fundamentales: Las llamadas identidades recíprocas, que son tres, a saber: y las cuatro identidades de división
 sen (θ) * csc (θ) = 1 		 	
 cos (θ) * sec (θ) = 1 
 Tag (θ) * Ctg (θ) = 1 
 
Aplicando el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo mostradoθ
a
b
Cc
Tenemos: a2 + b2 = c2 
	; por tanto 
Sen2 (θ) + Cos2 (θ) = (b/c)2 + (a/c)2 = (b2 + a2)/ c2 = c2/C2 = 1
Entonces, para todo ángulo se cumple la identidad Pitagórica
Sen2 (θ) + Cos2 (θ) = 1
Que también puede expresarse de dos maneras distintas y muy útiles si dividimos la expresión, primero, entre Sen2θ y luego entre Cos2θ, obteniendo, en ese orden, las siguientes expresiones:
1 + Ctg2 (θ) = Csc2 (θ) ; Tag2 (θ) + 1 = Sec2 (θ)
Partamos ahora del hecho de tener que realizar el estudio en un triángulo NO rectángulo; en ese caso, es necesario tener conocimiento de los llamados Teorema del Coseno o Ley del Coseno, y de la Ley de los senos.
Para más fácil comprensión del tema, observemos que el ángulo opuesto a cada lado del triángulo lo designamos con la misma letra, pero en minúscula. 
 Ley de los Senos C
 	c
b
a
B
 Teorema del Coseno A
A2 = B2 + C2 – 2*B*C* Cos (a) 
B2 = A2 + C2 – 2*A*C* Cos(b)
C2 = A2 + B2 – 2*A*B* Cos(c) 
Obsérvese que si el ángulo opuesto al lado buscado fuese igual a 90º; es decir, si el triángulo fuese rectángulo, indudablemente se cumpliría el teorema de Pitágoras.
FUNCIONES INVERSAS O RECIPROCAS
Si y = sen x se lee y es igual al seno de x; la función inversa o reciproca x = arc sen y se lee x es igual al arco seno de y; dichas funciones inversas se denominan así, con el prefijo arco, por el hecho de que un radian es el arco de circunferencia de longitud igual al radio de la misma. 
 Función trigonométrica Función reciproca
 y = sen x x = arc sen y o x = sen-1 y 
 y = cos x x = arc cos y o x = cos-1 y
 y = tag x x = arc tag y o x = tag-1 y
Se debe tener mucho cuidado de no confundirlas con:
y = 1/cos x 	 y = sec x 
Obviamente hay muchas otras cosas importantes y necesarias de comprender referentes a la geometría y a la trigonometría, pero pudiéramos decir que lo expuesto aquí es el ABC, mínimo necesario, para encarar con éxito la materia correspondiente. Insistir en realizar una tabla que nos de los valores de cada una de las funciones en cada uno de los cuatro cuadrantes, hoy día no tiene sentido, por cuanto dichos valores los consigues de manera inmediata en la más sencilla calculadora de bolsillo, siempre y cuando hagas buen uso de ella por no haber desechado desde un principio el manual del usuario en el cesto de la basura.
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