LL - EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y POLINOMIOS (1) - John Liñan (4)

Vista previa del material en texto

REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  LETRAS 1 
Expresiones Algebraicas y Polinomios 
 
 
Adivina el número 
¿Le has pedido alguna vez a alguien que piense un número y que haga varias 
operaciones con él para que tú después le adivines el número en que pensó? 
 
Empecemos con un ejemplo: 
1) piensa un número 
2) súmale 5 
3) multiplica el resultado por 2 
4) a lo que quedó réstale 4 
5) el resultado divídelo entre 2 
6) a lo que quedó réstale el número que pensaste … ¡El resultado es 3! 
El resultado siempre es 3, no importa con que número se haya empezado. ¿Cómo funciona el truco? 
Hagamos una tabla con varios ejemplos: 
Piensa un número 4 7 12 35 
Súmale 5 9 12 17 40 
Multiplica por 2 18 24 34 80 
Resta 4 14 20 30 76 
Divide entre 2 7 10 15 38 
Resta el número que pensaste 7 - 4 10 - 7 15 - 12 38 -35 
El resultado es 3 3 3 3 3 
En efecto, en los cuatro casos el resultado es 3, pero esto no es una prueba de que el truco siempre 
funcione y de que para cualquier número que se elija el resultado final será 3. 
Para generalizar, en lugar de empezar con un número concreto, usemos  para representar al número 
desconocido, y para representar los números que sí conocemos usaremos . 
1) piensa un número:  
2) súmale 5:  +  
3) multiplica el resultado por 2:  +  
4) a lo que quedó réstale 4:  +  
5) el resultado divídelo entre 2:  +  
6) a lo que quedó réstale el número que pensaste:  … ¡El resultado siempre es 3! 
 
Sin embargo, los  y los  no son lo más cómodo para escribir matemáticas, es mucho más útil usar el 
lenguaje matemático, en este caso el lenguaje algebraico, usaremos expresiones algebraicas: 
1) piensa un número: x 
2) súmale 5: x + 5 
3) multiplica el resultado por 2: 2(x + 5) = 2x + 10 
4) a lo que quedó réstale 4: 2x + 6 
5) el resultado divídelo entre 2: 3x
2
62x

 
6) a lo que quedó réstale el número que pensaste: x + 3 - x = 3 … 
¡El resultado siempre es 3! 
http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/lugares/mate2l.htm 
 
http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/lugares/mate2l.htm
 
2 C E P R E P U C 2021.1 
DEFINICIONES 
TÉRMINO ALGEBRAICO: Es una combinación de números y letras vinculados entre sí por las 
operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación. 
Ejemplo: T(x) = 2ax 3 Coeficiente: 2a, Variable: x, Exponente: 3 
 T(x; y) =  4b xy 3 Coeficiente:  4b, Variables: x e y, Exponentes: 1 y 3 
 
Términos semejantes: Dos o más términos algebraicos son semejantes cuando tienen las mismas 
variables y cada una de ellas tiene los mismos exponentes. 
Ejemplo: T(x; y) = 2x
3
y
4
 y Q(x; y) = 5x
3
y
4
 son semejantes. 
 P(x; y) = 3xy
2
 y R(x; y) = 3x
2
y no son semejantes 
EXPRESIÓN ALGEBRAICA: Es una combinación de números y letras unidos entre sí por los 
signos de las operaciones básicas. 
Ejemplo: E(x; y) = 2xy 3  3 x 2 y + xy 5 
 
GRADOS RELATIVO Y ABSOLUTO 
TÉRMINO ALGEBRAICO 
 
T(x; y) = 
5
4
3





 x 4 y 6 
GRADO RELATIVO 
Es el exponente que tiene la 
variable del término dado. 
Grado con respecto a x: 
G.R. (x) = 4 
Grado con respecto a y: 
G.R. (y) = 6 
GRADO ABSOLUTO 
Es la suma de los exponentes de 
sus variables. 
Grado absoluto: 
G.A. = 4 + 6 = 10 
EXPRESIÓN ALGEBRAICA 
 
 E (x; y) =
6
2
3






x 6 y 3 + 
2/1
4
3






x 16 y 2 
GRADO RELATIVO (Con respecto a una variable) 
Es el mayor exponente que tiene dicha variable en la expresión. 
G.R. (x) = 16 
G.R. (y) = 3 
GRADO ABSOLUTO (Con respecto a todas las variables) 
Es el grado del término de mayor grado absoluto. 
G.A. = 18 
 
IMPORTANTE 
La suma de los grados relativos en un término algebraico es el grado absoluto del mismo. 
Esto no necesariamente se cumple en una expresión algebraica. 
 
 
REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  LETRAS 3 
 
 Ejemplos 
1. T(x; y; z) = 
7
2
5





 x 2/1 y 4 3 z 
G.R. (x) = 
G.R. (y) = 
G.R. (z) = 
G.A. = 
2. E(x; y) = 
2/1
5
4





 x 2/3 y  7x 5 y 2/1 + x 6 
G.R. (x) = 
G.R. (y) = 
 
G.A. = 
3. E(x; y; z) = 4x 3 z 2 + y 4 z 2  x 2 y 4 
G.R. (x) = 
G.R. (y) = 
G.R. (z) = 
G.A. = 
 
 
4 C E P R E P U C 2021.1 
 POLINOMIOS 
Un polinomio en la variable x denotado por P(x), se define por: 
P(x) = an x n + an  1 x 1n + an  2x 2n + … + a1x + a0 
donde los coeficientes son números reales y los exponentes son números naturales. Al término an se 
le denomina coeficiente principal, ao es el término independiente. 
 
 Ejemplos 
P(x) = x 3 + 2x 4 + 5x + 1 y Q(x) = 2x 2  3, son polinomios en una variable. 
Un polinomio puede tener una o más variables: 
P(x) = 2 x 4 + 3x 3 + 
2
1 
Q(x; y) = 2x 3  xy 2 + x 2 + y 
R(x; y; z) = 2 xyz + 3xz 4  
5
3 y 2 
 La expresión E(x) = x 2/1 + 2x + 1 no es un polinomio. 
 
IMPORTANTE 
1. Polinomio constante: P(x) = a, a  0 
 Un polinomio de un término se llama MONOMIO. 
 Un polinomio de dos términos se llama BINOMIO. 
 Un polinomio de tres términos se llama TRINOMIO. 
 
2. El valor numérico de un polinomio es el número que se obtiene al sustituir cada variable por el 
valor asignado a ella. 
 Ejemplos 
  Sea P(x) = x 2 + 3. Si x toma el valor 4, entonces: 
 P(4) = 4 2 + 3 = 19 
  Si Q(x) = 2x 2 + 5x + 7 
 entonces: Q(2) = 2(2) 2 + 5(2) + 7 = 25 
 Q( 1) = 2( 1) 2 + 5( 1) + 7 = 4 
 Q(0) = 2(0) 2 + 5(0) + 7 = 7 
 
3. Dado P(x), un polinomio de una variable, se cumple: 
 P(0) = Término independiente 
 P(1) = Suma de coeficientes 
 
 Ejemplos 
 Si P(x) = 4x 3  2x 2 + 5x  3: 
 Término independiente = P(0) = 4(0) 3  2(0) 2 + 5(0)  3 =  3 
 Suma de coeficientes = P(1) = 4(1) 3  2(1) 2 + 5(1)  3 = 4 
 Si P(x) = (x + 3) 2 + 2: 
 Término independiente = P(0) = (0 + 3) 2 + 2 = 11 
 Suma de coeficientes = P(1) = (1 + 3) 2 + 2 = 18 
 
 
REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  LETRAS 5 
 POLINOMIOS ESPECIALES 
 
 1. Polinomio Ordenado (con respecto a una variable): es aquel que presenta a los exponentes de 
dicha variable colocados en forma ascendente o descendente. 
 Ejemplos 
 P(x) = 3x 7 + 12x 3  2x + 6 
 es un polinomio ordenado descendentemente con respecto a x. 
 P(x; y; z) = 2xz 4  7x 5 y 2 z + 8x 7 y 4 
 es un polinomio ordenado ascendentemente con respecto a x e y. 
 Además, es ordenado descendentemente con respecto a z. 
 
 2. Polinomio Completo (con respecto a una variable): es aquel que presenta todos los exponentes 
de dicha variable, desde el cero hasta un valor máximo. Además, se cumple, para un polinomio de 
una sola variable, que su número de términos es igual a su grado absoluto aumentado en 1. 
 
 
 Ejemplos 
 P(x) = 4x 4  2x + 3x 3  7 + 8x 2 es completo. 
 Q(x) = 5x 3  2x + 6 no es completo. 
 
3. Polinomio Idénticamente Nulo: es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes iguales a cero. 
 Ejemplo 
 Si P(x) = (a  3) x 2 + (b + 2)x + c  5 es idénticamente nulo 
 entonces: a  3 = 0  a = 3 
 b + 2 = 0  b =  2 
 c  5 = 0  c = 5 
 
 4. Polinomios Idénticos: dos polinomios son idénticos, si tienen el mismo grado y todos sus términos 
correspondientes semejantes tienen coeficientes iguales. 
 Ejemplo 
 Dados P(x) = ax 2 + bx + c y Q(x) = dx 2 + ex + f 
 P(x) y Q(x) son idénticos si y solo si a = d, b = e y c = f. 
 
 5. Polinomio Homogéneo: es aquel polinomio que tiene todos sus términos del mismo grado. A este 
grado se le llama grado de homogeneidad. 
 Ejemplo 
 P(x; y) = 3x 2 y 2 + x 3 y – y 4 
 Es un polinomio homogéneo cuyo grado de homogeneidad es 4. 
Número de términos = grado absoluto + 1 
 
6 C E P R E P U C 2021.1 
 Ejemplos 
1. Los términos algebraicos P(x), Q(x) y R(x) son 
semejantes. Halla la suma de sus coeficientes si 
son positivos. 
 P(x) = 2ax 3a3  
 Q(x)= 2bx 1b
2 
 R(x) = bx 15 
 
2. Se conoce el siguiente término algebraico: 
E(x; y) = 5x b2a5  y b4a3  
 Halla a y b si G.R. (x) = 8 y G.A. = 18. 
3. Se conocen los siguientes polinomios: 
P(x) = – x 2 + 3 
Q(x) = 7x 4  4x + 3 
 Halla 
)1(Q)1(P
)0(Q)2(P


. 
4. Se conoce el siguiente polinomio: 
P(x) = (x  1) 47 + (x + 2) 3 + (x  3) + a. 
 Si su término independiente es  15, halla la 
suma de los coeficientes de P(x). 
 
 
 
REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  LETRAS 7 
5. Se conoce el siguiente polinomio: 
 
 Si P(x) es completo y ordenado, halla a + b + c. 
6. Si P(x + 1) = 2x 2 + 4x + 2, halla P( 2 ). 
7. Se conoce el siguiente polinomio: 
P(x) = (a  b + 2)x 2  (b + a  4)x + c  4a 
 Si P(x) es idénticamente nulo, halla a+b+c. 
 
 
8. Se conoce el siguiente polinomio: 
P(x; y; z) = mx18 ya z2b + nx16 y12+b z13 
Si P(x; y; z) es homogéneo, halla a + b. 
 
 
8 C E P R E P U C 2021.1 
 
9. Para el polinomio P(x), se cumple lo siguiente: 
 P(x – 2) = 3x2 – 5 
Halla P(x). 
 
 
10. El polinomio P(x) de segundo grado cumple con 
las siguientes condiciones: 
 I. P(1) = 0 
 II. P(2) = 0 
III. El término independiente de P(x) es 8. 
 Halla P(‒ 1). 
 
 
 
 
REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  LETRAS 9 
OPERACIONES CON POLINOMIOS 
SUMA O DIFERENCIA DE POLINOMIOS 
Cuando se suma o se restan polinomios solo se reducen los términos semejantes. 
Ejemplos: 
Sean P(x) = 3x 3  5x 2 + 7x  1 
 Q(x) = 3x 2 + x 3  2 
Calcula: a. P(x) + Q(x) = (3x 3  5x 2 + 7x  1) + (3x 2 + x 3  2) 
 = 3x 3  5x 2 + 7x  1 + 3x
2
+ x 3  2 
 = 4x 3  2x 2 + 7x  3 
 b. P(x)  Q(x) = (3x 3  5x 2 + 7x  1)  (3x 2 + x 3  2) 
 = 3x 3  5x 2 + 7x  1  3x 2  x 3 + 2 
 = 2x 3  8x 2 + 7x + 1 
 
 
 
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS 
Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada término de un polinomio por cada uno de los términos 
del otro polinomio. (Aplica lo visto en Teoría de Exponentes). Luego se reducen los términos semejantes. 
Ejemplo: 
Sean P(x) = x 3  2x + 1 
 Q(x) = x 2  3 
Calcula: a. 3P(x)  2Q(x) = 3(x 3  2x + 1)  2(x 2  3) 
 = 3x 3  6x + 3  2x 2 + 6 
 = 3x 3  2x 2  6x + 9 
 b. P(x) Q(x) = (x 3  2x + 1)(x 2  3) 
 = x 3 (x 2  3)  2x(x 2  3) + 1 (x 2  3) 
 = x 5  3x 3  2x 3 + 6x + x 2  3 
 = x 5  5x 3 + x 2 + 6x  3 
 
 
…. 
…. 
 
10 C E P R E P U C 2021.1 
Ejemplos: 
1. Si M(x) = 3x
3
 3x 2 
 N(x) = x 2  1 
 calcula: 
 a. M(x) + N(x) 
 b. M(x) N(x) 
 c. 3M(x)  2N(x) 
2. Rubén tenía (7x 2 + 6x + 3) soles; luego recibió 
de propina (2x 2 + 6x + 4) soles de su padre y 
(5x – 2) soles de cada uno de sus tres tíos. Si 
luego gastó (8x 2 – 3x – 5) soles, ¿cuánto le 
queda? 
3. El costo total de producción de x pantalones es 
(2x 2  6x) soles. Si todos los x pantalones que 
se producen se venden a un precio unitario de 
(x  2) soles, ¿cuál será la expresión de la 
utilidad en términos de x? 
 
 
 
 
 
 
 
 
USE ESTE ESPACIO COMO BORRADOR. 
3